高考数学(理)培优练习-二项分布及其应用(含2019高考原题)

专题十一 概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布一、选择题1．（2015湖北）设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A ．0．8B ．0．75C ．0．6D ．0．45 4.（2011湖北）已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA ．6.0B ．4.0C ．3.0D ．2.0二、填空题5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ．6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ．7．（2015广东）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()20D X =，则p = ．8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。

第7讲 二项分布及其应用1．条件概率 (1)定义设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B发生的条件概率．(2)性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1；②如果B ，C 是两个互斥事件，则P (B ∪C|A )＝P (B |A )＋P (C|A )． 2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )．②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ) (2)相互独立事件就是互斥事件．( )(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( )(5)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516B.316C.58D.38解析：选A.因为X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，所以P (X ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－123＝516.在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )A.12 B.25 C.35D.34解析：选D.设“第1次抽到文科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次抽到文科题第2次抽到理科题”就是事件AB .P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2×420＝25.P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝2×320＝310. P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝310410＝34.某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．解析：可看作3次独立重复试验，则P ＝C 23×0.62×0.4＋0.63＝81125. 答案：81125(教材习题改编)国庆期间，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P (A － B －)＝1－12＝12.答案：12条件概率[典例引领](1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B.14 C.25D.12(2)将三颗骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个3点”，则P (A |B )＝( )A.6091B.12C.712D.81125【解析】 (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝110410＝14. (2)P (A |B )表示在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个3点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个3点”的情况数目为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同”则只有一个3点，共C 13×5×4＝60种情况，故P (A |B )＝6091. 【答案】 (1)B (2)A把本例(1)事件A 中的“和”变为“积”，其他条件不变，则P (B |A )＝________．解析：事件A ：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，所以P (A )＝710.事件B ：“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2，4)，所以P (AB )＝110，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝110710＝17.答案：17条件概率的两种求解方法[通关练习]1．根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为310，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为( ) A.911B.89C.25D.811解析：选B.设事件A 表示宜都三月份吹东风，事件B 表示三月份下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P (B |A )＝830310＝89.2．(2018·武汉市武昌区调研考试)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59解析：选A.小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，所以P (A |B )＝24108＝29.相互独立事件的概率[典例引领](2017·高考天津卷节选)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.。

第四讲二项分布及其应用、正态分布题组1二项分布及其应用1.[2015 新课标全国Ⅰ,4,5分][理]投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3122.[2014新课标全国Ⅱ,5,5分][理]某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.453.[2017全国卷Ⅱ,13,5分][理]一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.4.[2015 广东,13,5分][理]已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.5.[2016全国卷Ⅱ,18,12分][理]某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.6.[2015 湖南,18,12分][理]某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.题组2正态分布7.[2015 山东,8,5分][理]已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%8.[2015湖北,4,5分][理]设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图13-4-1所示.下列结论中正确的是()图13-4-1A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)9.[2014新课标全国Ⅰ,18,12分][理]从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图13-4-2:图13-4-2(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.A组基础题1.[2018石家庄市重点高中高三摸底,3]某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A. B. C.D.2.[2018惠州市二调,5] 设随机变量ξ服从正态分布N(4,3),若P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1),则实数a等于()A.7B.6C.5D.43.[2018洛阳市尖子生第一次联考,14]已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0<Y<2)=p,则P(Y>4)=.4.[2018陕西省部分学校高三摸底检测,18]一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的质量频率分布直方图(如图13-4-3).(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球质量的众数与平均数;(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中质量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)图13-4-35.[2018唐山市五校联考,18]某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中,队员甲得分统计的茎叶图如图13-4-4.图13-4-4(1)根据这8场比赛,估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ;(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ,σ2),且各场比赛间相互没有影响,依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数(结果保留整数).参考数据:≈5.66,≈5.68,≈5.70.正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率约为0.954.B组提升题6.[2017甘肃二诊,3]抛掷两枚骰子,记事件A为“朝上的2个数之和为偶数”,事件B为“朝上的2个数均为偶数”,则P(B|A)=()A. B. C. D.7.[2018辽宁省五校联考,18]某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中,选出3种商品进行促销活动.(1)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率;(2)该商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高60元,规定购买该商品的顾客有3次抽奖机会,若中奖一次,则获得数额为n元的奖金;若中奖两次,则获得数额为3n元的奖金;若中奖三次,则获得数额为6n元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖的概率都是,请问:该商场将奖金数额n最高定为多少元,才能使促销方案对该商场有利?8.[2018南宁市高三摸底联考,18]某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目成绩共同构成,该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度,从中随机抽取了100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见,如图13-4-5是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.图13-4-5(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表,并判断我们能否有95%的把握认为“对高考改革方案的态度与城乡户口有关”?(2)用样本的频率估计概率,若随机在全省不赞成高考改革方案的家长中抽取3个,记这3个家长中是城镇户口的人数为X,试求X的分布列及数学期望E(X).,其中n=a+b+c+d.注:K2=-)) ) ) )9.[2018益阳市、湘潭市高三调考,18]某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分,未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为,,,他们出线与未出线是相互独立的.(1)求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率;(2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.答案1.A 由题意得所求概率P=×0.62×(1-0.6)+ ×0.63=0.648.故选A .2.A 根据条件概率公式P (B|A )= )),可得所求概率为=0.8.故选A . 3.1.96 依题意知,X~B (100,0.02),所以DΧ=100×0.02×(1-0.02)=1.96. 4. 由 , - ) ,得p= . 5.(Ⅰ)设A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P (A )=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.(Ⅱ)设B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P (B )=0.10+0.05=0.15. 又P (AB )=P (B ),故P (B|A )=) )=) )= =.因此所求概率为.(Ⅲ)记续保人本年度的保费为X ,则X 的分布列为EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 6.(Ⅰ)记事件A 1={从甲箱中摸出的1个球是红球}, A 2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B 1={顾客抽奖1次获一等奖},B 2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,A1与A2相互独立,A12互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+2,C=B1+B2.因为P(A1)==,P(A2)==,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P( A2)=×(1-)+(1-)×=.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(Ⅱ)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(Ⅰ)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B(3,).于是P(X=0)=()0()3=,P(X=1)=()1()2=,P(X=2)=()2()1=,P(X=3)=()3()0=.故X的分布列为X的数学期望为E(X)=3×=.7.B由已知μ=0,σ=3,所以P(3<ξ<6)=[P(-6<ξ<6)-P(-3<ξ<3)]=(95.44%-68.26%)=×27.18%=13.59%.故选B.8.C由正态分布密度曲线的性质可知,X~N(μ1,),Y~N(μ2,)的密度曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,因此结合题中所给图象可得μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),A错误.又X~N(μ1,)的密度曲线较Y~N(μ2,)的密度曲线“瘦高”,所以σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),B错误.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤P(Y≥t),C正确,D错误.选C.9.(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6.(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6,依题意知X~B(100,0.682 6),所以EX=100×0.682 6=68.26.A组基础题1.C设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A, “开关第二次闭合后出现红灯”为事件B,则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB,“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B|A,由题意得P(B|A)=)=,故选C.)2.B由随机变量ξ服从正态分布N(4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x=4.∵P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1),∴x=a-5与x=a+1关于直线x=4对称,∴(a-5)+(a+1)=8,即a=6.选B.3.0.1因为随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),P(X≥1)=0.64,所以P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=p(1-p)+p2=0.64,解得p=0.4或p=1.6(舍去),所以P(0<Y<2)=p=0.4,P(Y>4)=(1-0.4×2)=0.1.4.(1)由题意,得(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克,而50个样本中小球质量的平均数为=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克).故由样本估计总体,可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克.(2)由题意知,该盒子中小球质量在[5,15]内的概率为,则X~B(3,).X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=()0×()3=,P(X=1)=()1×()2=,P(X=2)=()2×()1=,P(X=3)=()3×()0=.∴X的分布列为∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.(或者E(X)=3×=)5.(1)由题图可得μ=(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,σ2=[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25,所以σ≈5.68.所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15,标准差σ为5.68.(2)设甲每场比赛中的得分为随机变量X,由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率P(X≥26)≈[1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]≈(1-0.954)=0.023,设在82场比赛中,甲得分在26分以上的次数为Y,则Y~B(82,0.023).Y的均值E(Y)=82×0.023≈2.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为2.B组提升题6.D解法一事件AB包括:(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共9个.事件A包括:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,=,故选D. 6),共18个.由题意,得P(AB)==,P(A)==,由条件概率公式,得P(B|A)=))解法二由题意,得P(A)==,P(AB)==,则P(B|A)=)=,故选D.)7.(1)设“选出的3种商品中至少有一种是家电”为事件A,从2种服装、3种家电、4种日用品中,选出3种商品,共有种不同的选法, 选出的3种商品中,没有家电的选法有种,所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P(A)=1-=1-=.(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额(单位:元)为随机变量ξ,则其所有可能的取值为0,n,3n,6n.当ξ=0时,表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,所以P(ξ=0)=()0(1-)3=,P(ξ=n)=()1(1-)2=,P(ξ=3n)=()2(1-)1=,P(ξ=6n)=()3(1-)0=.所以顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)=0×+n×+3n×+6n×=,由≤60,解得n≤64.所以该商场将奖金数额n最高定为64元,才能使促销方案对该商场有利.8.(1)完成2×2列联表,如下:代入公式,得=-)≈3.03<3.841.K2=-)) ) ) )所以我们没有95%的把握认为“对高考改革方案的态度与城乡户口有关”.(2)用样本的频率估计概率,随机在全省不赞成高考改革方案的家长中抽取一人,该人是城镇户口的概率为0.6,是农村户口的概率为0.4,X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=(0.4)3=0.064,P(X=1)=×0.6×(0.4)2=0.288,P(X=2)=×0.62×0.4=0.432,P(X=3)=×0.63=0.216.所以X的分布列为E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8.9.(1)记“甲出线”为事件A,“乙出线”为事件B,“丙出线”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D,则P(D)=1-P(=1-××=.(2)由题意可得ξ的所有可能取值为0,1,2,3,则P(ξ=0)=P()=××=;P(ξ=1)=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××=;P(ξ=2)=P(AB)+P(A C)+P(BC)=××+××+××=;P(ξ=3)=P(ABC)=××=.所以ξ的分布列为E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.。

12.5二项分布及其应用考情分析本节内容主要以解答题的形式与分布列、期望等结合，考查条件概率、相互独立事件的概率，n 次独立重复试验及二项分布 基础知识1、 条件概率：（1）定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(/)P B A 来表示，其公式为()(/)()P A B P B A P A =（2） 条件概率具有的性质：（1）非负性：0(/)1P B A ＃；（2）可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则(/)(/)(/)P B C A P B A P C A =+U2、 相互独立事件（1）定义：对于事件A 和B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A,B 为相互独立事件（2） 相互独立事件的概率性质：①若A 与B 相互独立，则(/)(),()(/)()()()P B A P B P A B P B A P A P A P B ===g g ②如果事件12,,,n A A A g g g 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =鬃?g g g g g g ③若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立3、 独立重复试验与二项分布：①独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验②二项分布：一般的，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(0,1,2)k k n k n p x k C p p k n -==-=鬃?，此时称随机变量X 服从二项分布，记作(,)X B n p :，并称p为成功概率。

注意事项1.可先定义条件概率P(B|A)＝，当P(B|A)＝P(B)即P(AB)＝P(A)P(B)时，事件B 与事件A 独立．但是要注意事件A 、B 、C 两两独立，但事件A 、B 、C 不一定相互独立． 2.计算条件概率有两种方法． (1)利用定义P(B|A)＝；(2)若n(C)表示试验中事件C 包含的基本事件的个数，则 P(B|A)＝.题型一 条件概率【例1】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )．A.18B.14C.25D.12 解析 P(A)＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P(A∩B)＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝110410＝14. 答案 B【变式1】如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 (1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.解析 圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4，根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝2π，根据条件概率的公式得P(B|A)＝＝12π2π＝14. 答案2π 14[: 题型二 独立事件的概率【例2】某品牌汽车的4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.(1)若以频率作为概率，求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及其数学期望E(η)．解：(1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款”的概率为0.2，所以 P(A)＝0.83＋C 13×0.2×(1－0.2)2＝0.896. (2)由a100＝0.2得a ＝20，∵40＋20＋a ＋10＋b ＝100，∴b ＝10. 记分期付款的期数为ξ，依题意得： P(ξ＝1)＝40100＝0.4，P(ξ＝2)＝20100＝0.2，P(ξ＝3)＝20100＝0.2，P(ξ＝4)＝10100＝0.1，P(ξ＝5)＝10100＝0.1.由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)． P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4； P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. ∴η的分布列为：∴η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．【变式2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6， P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知DE F，D E F，D EF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：因此E(ξ)题型三独立重复试验与二项分布【例3】今天你低碳了吗？近来，国内站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量(千克)＝耗电度数×0.785，汽车的碳排放量(千克)＝油耗公升数×0.785等．某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：(1)如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；(2)A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A 小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求E(ξ)．解：(1)记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A ， P(A)＝12×12×15×15＋4×12×12×45×15＋12×12×45×45＝33100.(2)设A 小区有a 人，2周后非低碳族的概率P ＝a×12－152a＝825， 2周后低碳族的概率P ＝1－825＝1725，依题意ξ～B(25，1725)，所以E(ξ)＝25×1725＝17.【变式3】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．解 (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P(A B )＝P(A )·P(B )＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. ∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X 服从二项分布X ～B(3,0.9)， P(X ＝k)＝C k30.9k×0.13－k，k ＝0,1,2,3，∴X 的分布列是重难点突破【例4】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．解析 设“5次预报中恰有2次准确”为事件A ，“5次预报中至少有2次准确”为事件B ，“5次预报恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C. (1)P(A)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453＝10×1625×1125≈0.05.(2)P(B)＝1－C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫450⎝ ⎛⎭⎪⎫1－455－C 15×45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－454≈0.99. (3)P(C)＝C 14×45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453×45≈0.02.巩固提高1．若随机变量X 的分布列如下表，则E(X)等于( )P A.118 B.9 C.209D.920解析：由分布列的性质可得2x ＋3x ＋7x ＋2x ＋3x ＋x ＝1，∴x ＝118.∴E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x ＋4×3x＋5x ＝40x ＝209.答案：C2．设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E(X)＝2，则P(X ＝2)等于( ) A.1316 B.4243 C.13243D.80243解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，∴E(X)＝n 3＝2.∴n ＝6. ∴P(X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.[:答案：D3．已知随机变量X ～B(6，22)，则P(－2≤X≤5.5)＝( ) A.78B.18C.6364D.3132解析：依题意，P(－2≤X≤5.5)＝P(X ＝0,1,2,3,4,5)＝1－P(X ＝6)＝1－C 66×(22)6＝78. 答案：A[:4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴在y 轴的左侧．其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量X ＝|a －b|的取值，则X 的数学期望E(X)＝( )A.89B.35C.25D.13解析：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，X 的可能取值有0,1,2. P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，E(X)＝89. 答案：A5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )A.148 B.124 C.112D.16解析：依题意得3a ＋2b ＋0×c＝1，∵a ＞0，b ＞0，∴3a ＋2b≥26ab ，即26ab ≤1，∴ab≤124.当且仅当3a ＝2b 即a ＝25，b ＝35时等式成立．答案：B。

高考数二项分布与正态分布（理科专用）专题卷一、单选题1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)=0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于( )A. 0.977B. 0.954C. 0.628D. 0.4772.已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于()A. 0.1B. 0.2C. 0.6D. 0.83.已知随机变量服从正态分布则A. 0.89B. 0.78C. 0.22D. 0.114.已知随机变量v服从正态分布则（）A. 0.89B. 0.78C. 0.22D. 0.115.小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（）A. B. C. D.6.下列说法中正确的个数是( )⑴已知，，，则⑵将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法．⑶被除后的余数为．⑷若，则＝⑸抛掷两个骰子，取其中一个的点数为点的横坐标，另一个的点数为点的纵坐标，连续抛掷这两个骰子三次，点在圆内的次数的均值为A. 1B. 2C. 3D. 47.若随机变量X服从正态分布N（1，4），设P（0＜X＜3）=m，P（﹣1＜X＜2）=n，则m、n的大小关系为（）A. m＞nB. m＜nC. m=nD. 不确定8.若随机变量服从二项分布，则（）A. B.C. D.9.随机变量服从正态分布，若，则（）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.810.设随机变量，，若，则的值为（）A. B. C. D.11.已知随机变量服从正态分布,若,则=( ).A. B. C. D.12.设两个正态分布N(μ1 ，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有（）A. μ1＜μ2，σ1＜σ2B. μ1＜μ2，σ1＞σ2C. μ1＞μ2，σ1＜σ2D. μ1＞μ2，σ1＞σ2二、填空题13.设随机变量～，则________14.若随机变量ξ～N(2，1)，且，则＝________.15.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＞2）=0.15，则P（0≤ξ≤1）=________．16.已知随机变量，且，，则________.17.（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．18.若随机变量，则，.已知随机变量，则________．三、解答题19.一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？20.某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．21.某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该校高三年级男生的平均身高；（2）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．22.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作区间，记作，记作，记作，例如：10点04分,记作时刻64．参考数据：若,则；；．（1）估计这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中,在之间通过的车辆数为，求的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布，其中可用这600辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组区间的中点值代表，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数结果保留到整数．答案一、单选题1.B2.A3. D4. D5. D6. C7.C8. D9. C 10. B 11. C 12. A二、填空题13. 14. 0.1587 15.0.35 16.17.1.96 18. 0.8185三、解答题19.解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率p==；（Ⅱ）若m=3，每次中奖的概率p=，∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为=；（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）==3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），∴f′（p）=3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴p=时，f（p）取得最大值，即p==∴m=2，即m=2时，f（p）取得最大值．20. （1）解：=90，S2= =49（2）解：由（1）可估计，μ=90，σ=7．P（76＜x＜97）=P（μ﹣2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）= + =0.818521. （1）解：根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，∴高于全市的平均值170.5；（2）解：由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，∴人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人；（3）解：∵P（170.5﹣3×4＜ξ≤170.5+3×4）=0.9974，∴P（ξ≥182.5）= =0.0013，∴0.0013×100 000=130，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；∴随机变量ξ可取0，1，2，于是P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= =，∴Eξ=0× +1× +2× =1．22. （1）解：这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即10点04分（2）解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，即，所以的可能取值为0,1,2,3,4．所以，，，，，所以的分布列为所以（3）解：由（1）可得，, 所以，估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，由,得，所以估计在这一时间段内通过的车辆数为（辆）。

专题7.2 二项分布（特色专题卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选12题，填空4题，解答题6题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1．设随机变量X ～B （4，23），则P （X ≤1）＝（ ）A ．127B ．19C ．13D ．122．一盒中有5个大小形状一致的球，其中3个为黄球，2个为红球，采用放回抽样取3球，记一共取到的红球数为x ，则X 服从二项分布，（n ，p ）为（ ） A ．（3，0.4）B ．（3，0.6）C ．（2，0.4）D ．（2，0.6）3．下列说法正确的是（ ）A ．n 重伯努利试验的每次试验结果可以多于两种B ．n 重伯努利试验的各次试验结果可以不独立C ．n 重伯努利试验中，每次试验“成功”的概率可以不同D ．一次伯努利试验中，事件A 发生的次数X 服从两点分布4．某学校对高二年级学生进行体能测试，若每名学生测试达标的概率都是23（相互独立），且5名学生中恰有k 名学生同时达标的概率是80243，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．3或45．（2021秋•成都月考）已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ） A ．36625B ．9125C ．108625D ．541256．（2022•叙州区校级模拟）已知随机变量X ～B （n ，p ），E （X ）＝2，D （X ）=23，则P （X ≥2）＝（ ） A ．2027B ．23C ．1627D ．13277．（2021春•梅河口市校级期末）设随机变量X 服从二项分布X ～B （n ，p ），且E （X ）＝1.6，D （X ）＝1.28，则p ＝（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.48．（2021春•淮安期末）设随机变量X ，Y 满足：Y ＝3X ﹣1，X ～B （2，13），则D （Y ）＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．79．（2019春•海淀区校级期末）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现4次时停止，设停止时共取了X 次球，则P （X ＝6）等于（ ）A ．C 64(38)6(58)2 B ．C 63(38)3(58)2 C ．C 53(38)3(58)2D ．C 53(38)4(58)210．（2021春•会宁县校级期末）如果X ～B （20，13），Y ～B （20，23），那么当X ，Y 变化时，使P （X ＝k ）＝P （Y ＝r ）成立的（k ，r ）的个数为（ ） A ．21B ．20C ．10D ．011．（2021春•武汉期中）已知随机变量X 服从二项分布X ～B （n ，p ），若E （X ）=54，D （X ）=1516，则p ＝（ ） A ．14B ．13C ．34D ．4512．（2021春•天津期末）随着现代科技的不断发展，使用微信支付越来越广泛．设某群体的每位成员使用微信支付的概率都为0.8，且各成员的支付方式相互独立，则该群体的10位成员中使用微信支付的人数X 的均值和方差分别为（ ） A ．E （X ）＝8，D （X ）＝2 B ．E （X ）＝8，D （X ）＝1.6 C ．E （X ）＝2，D （X ）＝8 D ．E （X ）＝2，D （X ）＝1.6二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则P （X ≥1）＝ ．14．若随机变量X 服从两点分布，且P （X ＝0）＝0.8，令Y ＝3X ﹣2，则P （Y ＝﹣2）＝ ．15．（2021春•重庆期末）某射击队对9位运动员进行射击测试，每位运动员进行3次射击，至少命中2次则通过测试，已知每位运动员每次射击命中的概率均为23，各次射击是否命中相互独立，且每位运动员本次测试是否通过相互独立，设9位运动员中有X 人通过本次测试，则E （X ）＝ ．16．（2021秋•宁化县校级月考）已知随机变量X ～B （4，p ），方差D （X ）最大值为 ，当方差D （X ）最大时，(4px−1x)6的展开式中1x2的系数为．三．解答题（共6小题，第17题10分，第1822题每题12分，共60分）17．（2013春•禅城区校级期末）篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P．（1）若投篮1次得分记为ξ，求方差Dξ的最大值；（2）当（1）中Dξ取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率．18．（2014•文登市三模）现有正整数1，2，3，4，5，…n，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点向前跳两步．（Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为ξ，求Eξ和Dξ；（Ⅱ）求质点恰好到达正整数6的概率．19．（2021春•福州期中）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为34，45，23，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．（1）求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；（2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，求X概率分布列及期望；20．（2014•旌阳区校级模拟）德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，课程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率34232312（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．21．（2016秋•清城区期末）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量1 1.52天数102515频率0.2a b若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望．22．（2014春•奉新县校级月考）作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能6：15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为13，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：红灯12345等待时间（秒）6060903090（1）设学校规定7：20后（含7：20）到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；（2）设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求P（X≥2）的值；（3）设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y的分布列和数学期望．。

第五节 二项分布与正态分布(对应学生用书P 152)1．条件概率及其性质设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 若事件A 、B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )；事件A 与B －，A －与B ，A －与B －都相互独立． 3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．4．正态分布(1)正态曲线：函数f (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f (x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作X ～N (μ，σ2).(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4. 提醒：1．辨明两个易误点(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．(2)运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A 、B 相互独立时，公式才成立．2．理解事件中常见词语的含义(1)A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； (2)A ，B 都发生的事件为AB ； (3)A ，B 都不发生的事件为A － B －； (4)A ，B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ； (5)A ，B 至多一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A － B －.1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( )(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．( )(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )(4)若条件A 与B 独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －不一定相互独立．( )(5)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，则A ，B 相互独立．( )(6)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生次数的概率分布．( )(7)在n 次独立重复试验中，事件恰好发生k 次的概率为C k n p k .( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)×2．(教材习题改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A ．49B ．29C ．427D ．227解析：选A 所求概率P ＝C 13·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫1－133－1＝49.3．(教材习题改编)某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是( )A ．ab －a －b ＋1B ．1－a －bC ．1－abD ．1－2ab答案：A4．(教材习题改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A ．310B ．13C ．38D ．29答案：B(对应学生用书P 153)条件概率 [明技法] 条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).[提能力]【典例】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A ．18B ．14C ．25D ．12解析：选B 方法一 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110410＝14.方法二 n (A )＝C 23＋C 22＝4，n (AB )＝1，∴P (B |A )＝n (AB )n (A )＝14. (2)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.解析：由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π. 故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.答案：14[刷好题]1．设由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝________.解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1412＝12.答案：122．(2018·商丘模拟)一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求：(1)第1次抽到红球的概率；(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率； (4)抽到颜色相同的球的概率．解：设A ＝{第1次抽到红球}，B ＝{第2次抽到红球}， 则第1次和第2次都抽到红球为事件AB .从第5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n (Ω)＝A 25＝20， (1)由分步计数原理，n (A )＝A 13·A 14＝12， 于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝1220＝35.(2)P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝620＝310.(3)方法一 在第1次抽到红球的条件下， 当第2次抽到红球的概率为 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12，方法二 P (B |A )＝n (AB )n (A )＝612＝12. (4)抽到颜色相同球的概率为P ＝P (两次均为红球)＋P (两次均为白球)＝3×220＋2×120＝25.相互独立事件的概率 [析考情]相互独立事件的概率是高考的常考考点，是解决复杂问题的基础，一般情况下，一些较为复杂的事件可以拆分为一些相对简单事件的和或积，这样就可以利用概率公式转化为互斥事件和独立事件的组合，通常以解答题形式出现，与数学期望等知识结合，难度中等．[提能力]【典例】 (1)(2018· 常德模拟)已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次测出的是次品且第二次测出的是正品的概率为( )A ．16B ．310C ．35D ．56解析：选B 第一次测出是次品的概率为35，第二次测出是正品的概率为24＝12，所以第一次测出的是次品且第二次测出的是正品的概率为：35×12＝310.(2)(2018·商丘模拟)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． ①求至少有一种新产品研发成功的概率；②若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}， 由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －都相互独立． ①记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E － F －， 于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.②设企业可获利润为X 万元， 则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X ＝0)＝P (E － F －)＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝＋480＋1 32015＝2 10015＝140.[悟技法]相互独立事件同时发生的概率的2种求法 (1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式； (2)间接法：从对立事件入手计算． [刷好题]1．(2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 2．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率． 解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”， 则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，A 与B －相互独立．则A ·B －表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415，(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35，依题意，A ，B ，C 相互独立，A －，B －，C －相互独立， 且AB C －，A B －C ，A －BC ，ABC 彼此互斥． 又P (X ＝2)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.独立重复试验与二项分布 [析考情]二项分布是一种重要的概率模型，在高考中经常出现，选择题、填空题、解答题都可以出现，其中解答题出现的频率更高，一般会综合相互独立、互斥或对立事件等知识进行考查，难度中等．[提能力]【典例】 (2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球，5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球．则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}；A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2，因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2)＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125， 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.[悟技法]二项分布满足的3个条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验中只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． [刷好题]1．某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立．(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列；(2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率． 解：(1)根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7， P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－13＝16， P (X ＝2)＝C 12×12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－12＝13， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－12＝112， P (X ＝4)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×12＝16， P (X ＝5)＝C 12×12×⎝⎛⎭⎫1－12×13＝16， P (X ＝7)＝12×13×12＝112，∴教师甲投篮得分X 的分布列为(2)间彼此互斥，因此，所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎝⎛⎭⎫16＋13＋16×⎝⎛⎭⎫16＋13＋112＋16×⎝⎛⎭⎫16＋13＋112＋16＋112×⎝⎛⎭⎫1－112＝1948. 2．(2018·沈阳质检)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望． 解：(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响， 所以P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝727. (2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627＝29； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝1227＝49； P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 因此X 的分布列为所以X 的数学期望为E (X )＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.正态分布 [明技法]正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．[提能力]【典例】 (1)(2018·长春质检)已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ＞2)＝0.15，则P (0≤X ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：(1)P (0≤X ≤1)＝P (1≤X ≤2)＝0.5－P (X ＞2)＝0.35.(2)P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.答案：(1)C (2)B [刷好题]1．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于________.解析：根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.答案：42．(2018·福建质检)若随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ＞5)＝P (X ＜－1)＝0.2，则P (2＜X ＜5)＝________.解析：因为随机变量X ～N (μ，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝μ对称．又P (X ＞5)＝P (X ＜－1)＝0.2，所以μ＝5－12＝2，所以P (2＜X ＜5)＝P (X ＞2)－P (X ＞5)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.3。

典例在线在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在()40,60内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为13，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【参考答案】（1）0.04a=，82；（2）见试题解析．X 的数学期望为()1313E X =⨯=． 【解题必备】1.二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率.解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率.2.若离散型随机变量~(,)x B n p ，则(),()(1)E x np D x np p ==-，即其均值和方差的求解既可以利用定义，也可以直接代入上述公式.学霸推荐1．一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个黄球，一个绿球”，则(|)P B A =A ．1247 B ．211 C ．2047D ．15472．某校为了调查“阳光体育活动”在高三年级的实施情况,从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试,成绩在6.9米以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成5组，画出频率分布直方图的一部分(如图所示),已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.（1）求这次铅球测试成绩合格的人数;（2）若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名,记ξ表示两人中成绩不合格的人数, 利用样本估计总体,求ξ的分布列和数学期望E ξ.1．【答案】D【解析】记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个黄球，一个绿球”，则()222212543212C C C C 47C 66P A ---==，()1153212C C 5C 22P AB ==， ()()()51522|474766P AB P B A P A ∴===. 故选D.【名师点睛】本题主要考查古典概型概率公式、排列组合的应用以及条件概率公式，属于中档题.求条件概率问题时一定要注意条件概率与独立事件同时发生的概率问题的区别与联系.记事件为A “取出的两个球顔色不同”，事件B 为“取出一个黄球，一个绿球”，利用古典概型概率公式求出()P A ， ()P AB ，再由条件概率公式能求出结果.2．【答案】（1）37；（2）详见解析，320E ξ=.（2）ξ的所有可能的取值为0,1,2,利用样本估计总体,从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名,成绩合格的概率为,成绩不合格的概率为1−=,∴ξ~B (2,).则P (ξ=0)= 2237C ()40=,P (ξ=1)=()()=, P (ξ=2)=2223C ()40=,∴ξ的分布列为0 1 2P 1369160011180091600∴Eξ=2×=.【名师点睛】频率分布直方图中,每一个小矩形都是等宽的,都等于组距,高是“”,因此,小矩形的面积表示频率.对于实际问题中的随机变量,如果能断定它服从某个常见的典型分布,则可直接利用期望公式求得.因此,熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.。

专题10.6 二项分布及其应用A 基础巩固训练1. 将三颗骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”，则概率P （A|B ）的值为( ) A ．6091 B ．12 C ．518 D ．91216【答案】A2. 已知随机变量X ～B(n ，0.8)，D(X)=1.6，则n 的值是( ) A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】B【解析】由106.12.08.0)1()(=⇒=⨯=-=n n p np X D ,故选B.3. 设某种产品分两道工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%．生产这种产品只要有一道工序出次品就出次品，则该产品的次品率是( )A ．0．13B ．0．03C ．0．127D ．0．873 【答案】C4. 一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， X 表示抽到的二等品件数，则DX =__________． 【答案】2.91【解析】由于是有放回的抽样，所以是二项分布()~100,0.03X B ，1000.030.97 2.91DX npq ==⨯⨯=,填2.91.5.【2016山东模拟】一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。

（Ⅰ）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；（Ⅱ）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

【解析】（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是P343101.30C P C == 4分（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率32166431023C C C P C +==． 8分 随机变量ξ服从二项分布)2,3(B ,分布列如下 12分272E ξ=． 13分．B 能力提升训练1. ．在一个投掷硬币的游戏中，把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B|A)等于( ) A.12 B.14 C.16 D.18【答案】A2. 某一批花生种子，若每1粒发芽的概率为35，则播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为（ ）. A. 18125 B. 36125 C.48125 D.54125【答案】D【解析】由题意得，发芽种子的粒数),(~p n B X ，其中53,3==p n ；则播下3粒种子恰有2粒发芽的概率12554)531()53()2(223=-⨯⨯==C X P . 3. 某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（结论写成小数的形式） _________ ． 【答案】0.648.【解析】由题意，得：经过3次射击中击中目标的次数为X ，则)6.0,3(~B X ，所以此人至少有两次击中目标的概率为648.04.06.04.06.0)3()2(0333223=⨯⨯+⨯⨯==+==C C X P X P P .4. 已知随机变量ξ服从二项分布1~6,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(2)P ξ=的值为 .【答案】802435. 春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动. （1）试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会；若中一次奖，则获得数额为m 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m 元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m 元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖的概率都是13，请问：商场将奖金数额m 最高定位多少元，才能使促销方案对商场有利？C 思维扩展训练1. 一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164 B.5564 C.18D.116【答案】B【解析】设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率P ＝1－P (T )P (R )P (C )P (D )＝5564.2. 甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________． 【答案】343.在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0．9，0．9，0．8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）A. 0．998B. 0．046C. 0．002D. 0．954 【答案】D4.在5道题中有3道历史类，两道诗词鉴赏类，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到历史题的条件下，第二次抽到历史类问题的概率为 _________ ． 【答案】21【解析】思路1:在第一次抽到历史题的条件下,剩下四道题中两道历史类，两道诗词鉴赏类抽一道为历史类的概率为21;思路2:在第一次抽到历史题记为事件A ，第二次抽到历史类问题记为事件B,则21)()()|(15132523===C C C C A P AB P A B P ,所以答案为21.5. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求：（1）甲恰好击中目标2次的概率；（2）乙至少击中目标2次的概率； （3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率 【答案】（1）（2）;（3）试题解析：（1）甲恰好击中目标2次的概率为 （2）乙至少击中目标2次的概率为（3）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A=B 1+B 2，B 1，B 2为互斥事件 P （A ）=P （B 1）+P （B 2）所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为X 的数学期望为 13()355E X =⨯=.。

高中数学2.2二项分布及其应用试题2019.091,设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，2,已知直线12(1,3),(1,)l a l b k ==-的方向向量为直线的方向向量，若直线l 2经过点（0，5），且221,l l l 则直线⊥的方程为 A ．053=-+y x B ．0153=-+y x C ．053=+-y xD ．0153=+-y x3,已知向量1(,sin ),)2a b αα==v v ，且a v 与b v 共线，则锐角α等于 ．4,当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 5,直线20x y +-=上的点和圆()()226618x y -+-=上的点的最短距离是6,已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ，则事件A 发生的概率为______．7,已知()1f x a b =⋅-，其中向量a ＝,c o s x x ），b ＝（1，2cos x ）（x R ∈）（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()2f A =，a =4B π=，求边长b 的值．8,将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率；（3）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率 9,如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA 平面EFG ； （2）求三棱锥P EFG -的体积．10,已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （1）求3a ；（2）令1n n n b a a +=-，证明：数列{}n b 是等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．11,已知函数).(3232)(23R ∈+-=x x ax x x f（1）若1=a ，点P 为曲线)(x f y =上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数),0()(+∞=在x f y 上为单调增函数，求a 的取值范围．12,已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点为（-1,0）和（1,0），椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．13,图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是A ．2B ．4C ．6D ．814,下列推理正确的是A ． 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ．B ．把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+．C ．把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n()x y x y +=+．D ．把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．15,用演绎法证明函数y = x 3是增函数时的小前提是 （ ） A ．增函数的定义 B ．函数y = x 3满足增函数的定义C ．若x 1＜x 2，则f （x 1）＜ f （x 2）D ．若x 1＞x 2，则f （x 1）＞ f （x 2）16,把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是 A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则他与另一条相交 ． B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则他与另一条垂直． C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交． D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．17,下面几种推理是类比推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A +∠B =1800B ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质C ．某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.D ．一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除.18,等比数列{},243,9,52==a a a n 中则其前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．19219,四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是A ．编号1B ．编号2C ．编号3D ．编号420,定义A*B 、B*C 、C*D 、D*B 分别对应下列图形（左），那么下列图形（右）中，可以表示A*D 、A*C 的分别是（ ）①②③④（1）（2）（3）（4）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（1）（4）试题答案1, B 2, B3, 6π 4, 5m -≤5,6, 857, 解：⑴f (x)＝a ·b －1，cosx ）·（1，2cosx ）－1sin2x ＋2cos 2x －1＋cos2x ＝2sin （2x ＋6π） 由2k π－2π≤2x ＋6π≤2k π＋2π 得k π－3π≤x ≤k π＋6π∴f (x)的递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ （k ∈Z ） ⑵f (A)＝2sin （2A ＋6π）＝2 ∴sin （2A ＋6π）＝1∴2A ＋6π＝2π∴A ＝6π由正弦定理得：sin 21sin 2a Bb A===．∴边长b8, 解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件 （1）记“两数之和为5”为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件，所以P （A ）=41369=； 答：两数之和为5的概率为19．（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，所以P （B ）=931364-=；答：两数中至少有一个奇数的概率34．（3）基本事件总数为36，点（x ，y ）在圆x 2+y 2=15的内部记为事件C ，则C 包含8个事件，所以P （C ）=82369=． 答：点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率29．9, （1）证法1：如图，取AD 的中点H ，连接,GH FH ，∵,E F 分别为,PC PD 的中点，∴EF CD ．∵,G H 分别为,BC AD 的中点，∴GH CD ． ∴EFGH ．∴,,,E F H G 四点共面．∵,F H 分别为,DP DA 的中点，∴PA FH ． ∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA 平面EFG ．证法2：∵,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点， ∴EF CD ，EG PB ． ∵CD AB ，∴EFAB ．又EF PAB AB PAB ⊄⊂面，面 EFPAB EGPAB 面，同理面∵EF EG E =，∴平面EFG 平面PAB ． ∵PA ⊂平面PAB ，∴PA 平面EFG ．（2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ，∴GC PD ⊥． ∵ABCD 为正方形，∴GC CD ⊥． ∵PD CD D =，∴GC ⊥平面PCD ．∵112PF PD ==，112EF CD ==，∴1122PEF S EF PF ∆=⨯=． ∵112GC BC ==，∴111113326P EFG G PEF PEF V V S GC --∆==⋅=⨯⨯=．10, 解：（1）∵*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈321327a a a ∴=-=（2）证明：2132,n n n a a a ++=-{}n b ∴是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列． （3）由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12*22...2121().n n n n N --=++++=-∈11, 解：（1）设切线的斜率为k ，则22()2432(1)1k f x x x x '==-+=-+又35)1(=f ，所以所求切线的方程为：135-=-x y 即.0233=+-y x（2）342)(2+-='ax x x f ， ∵)(x f y =为单调增函数，∴()0f x '≥即对任意的0)(),,0(≥'+∞∈x f x 恒有0342)(2≥+-='ax x x fx x x x a 4324322+=+≤∴而26432≥+x x ，当且仅当26=x 时，等号成立.所以a ≤12, 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由已知得：222213a c b a c ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）设1122()()A x y B x y ，，，．联立221.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得:222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 则22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，，又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+． 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BDk k ∴=-，即1212122y y x x =---．1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mkk k k --∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=．解得：12227km k m =-=-，，且均满足22340k m +->．当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．13, C 14, D 15, B 16, B 17, B 18, B 19, A 20, C。