251平面向量应用举例

2.5 平面向量应用举例1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： .(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： .(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 .(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__ __．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__ __．[知识点拨]向量方法在平面几何中应用的几点说明：(1)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(2)要证明A 、B 、C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →.(3)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可．1．四边形ABCD 中，若AB →＝12DC →，则四边形ABCD 是 ( ) A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形 2．下列直线与a ＝(2,1)垂直的是 ( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x －y ＋4＝0 3．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们合力大小于10N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为________N ( )A ．53B ．10C ．5 2D ．54．若直线l ：mx ＋2y ＋6＝0与向量(1－m,1)平行，则实数m 的值为__ __.命题方向1 ⇨向量在平面几何中的应用典例1 如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2.求对角线AC 的长．〔跟踪练习1〕如图所示，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，试用向量证明：AC ⊥BD ．命题方向2 ⇨向量在物理中的应用典例2 如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围.〔跟踪练习2〕两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i 、j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1、F 2分别对该质点所做的功；(2)F 1、F 2的合力F 对该质点所做的功．用向量方法探究存在性问题做题时，我们会遇到一些存在性问题、比较复杂的综合问题等等，解决此类问题常常运用坐标法，坐标法就是把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了解决问题的难度．另外，坐标法又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁．因此我们要善于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化．典例3 在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 是边AC 上靠近点A 的一个三等分点，试问：在线段BM (端点除外)上是否存在点P ，使得PC ⊥BM ？〔跟踪练习3〕△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是边BC 的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．对向量相等的定义理解不清楚典例4 已知在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相互平分，且AC ⊥BD ，求证：四边形ABCD 是菱形. 〔跟踪练习4〕如右图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接DP 、EF ，求证：DP ⊥EF .1．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是 ( )A ．(8,0)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为 ( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形3．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为 ( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝04．已知△ABC 的重心是G ，CA 的中点为M ，且A 、M 、G 三点的坐标分别是(6,6)，(7,4)，(163，83)，则|BC |为 ( )A ．410B ．10C ．102D ．210A 级 基础巩固一、选择题1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1→、F 2→，则|F 1→＋F 2→|为 ( )A ．(5,0)B ．(－5,0)C ． 5D ．－ 52．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是 ( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形3．已知点A (－2,0)，B (0,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是 ( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是 ( )A ．5B ．－5C ．32D ．－325．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的 ( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高线的交点6．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为 ( )A ．40 NB ．102NC ．202ND ．402N二、填空题7．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做功的是__ __.8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 .三、解答题9．在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，用向量法证明CD ＝12AB ． 10．某人骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a km/h 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.B 级 素养提升一、选择题1．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m) ( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10) 2．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( )A ．5B ．25C ．5D ．103．已知点O 、N 、P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O 、N 、P 依次是△ABC 的 ( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心4．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝ ( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10二、填空题5．某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走303m 到达点B ，则此人的位移的大小是____m ，方向是东偏北____.6．作用于同一点的两个力F 1、F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为7．已知：▱ABCD 中，AC ＝BD ，求证：四边形ABCD 是矩形.8．如图所示，已知▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长.。