习 题 三 解 答
1、用高斯消元法解下列方程组。
(1）1231231
22314254
27x x x x x x x x -+=⎧⎪
++=⎨⎪+=⎩①②③
解:⨯4②＋(-)①2,1
2
⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ,得:
1232323231425313222
x x x x x x x ⎧
⎪-+=⎪
-=⎨⎪⎪-=⎩④⑤⑥ 再由5
2)4
⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ,得到三角方程组:
1232332314272184x x x x x x ⎧
⎪-+=⎪
-=⎨⎪⎪-=
⎩
回代,得：
36x =-,21x =-,19x = 所以方程组的解为
(9,1,6)T x =--
注意：
①算法要求,不能化简。化简则不是严格意义上的消元法,在算法设计上就多出了步骤。实际上,由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。
②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式,不能用矩阵，以展示消元过程。
要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。 矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。 一般形式或分量形式：
1231231
2231425427x x x x x x x x -+=⎧⎪
++=⎨⎪+=⎩①②③
矩阵形式
123213142541207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
向量形式
123213142541207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
③必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。 ④消元顺序12x x →→
，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元
也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。 ⑤不能化简方程,否则系数矩阵会变化,也不利于算法设计。
(2）1231231231132323110
221x x x x x x x x x --=⎧⎪
-++=⎨⎪++=-⎩
①②③
解：⨯23②＋(
)①11,1
11
⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ,得： 123232311323523569111111252414111111x x x x x x x ⎧
--=⎪⎪
⎪
-=⎨⎪
⎪
+=-⎪⎩④⑤⑥ 再由25
11)5211
⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ,得到三角方程组:
123233113235235691111111932235252x x x x x x ⎧
⎪--=⎪
⎪
-=⎨
⎪
⎪
=-⎪⎩
回代，得：
32122310641
,,193193193
x x x =-
==, 所以方程组的解为 41106223(,,)193193193T
x =-
２、将矩阵
102001112011001
1A ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪-
⎪⎝⎭
作L Ｕ分解。 解:设
111213142122232431323132
4142434410001020100001111000201110000011u u u u l u u u A LU l l u u l l l u ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
根据矩阵乘法,先求U 的第一行，由11j j a u =，得
111213141,0,2,0u u u u ====。
再求Ｌ的第一列，由矩阵乘法，因为1111i i a l u =,所以1
111
i i a l u =
,而111u =,所以11i i l a =,所以2131410,2,0l l l ===。
再求U 的第二行，得 21122211l u u ⨯+⨯=，则
22211211001u l u =-⨯=-⨯=， 21132333101l u u u ⨯+⨯+⨯=，则 23211311021u l u =-⨯=-⨯=， 21142434441001l u u u u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 24211411001u l u =-⨯=-⨯=，
再求L 的第二列，得
3112322210000l u l u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 32311200200l l u =-⨯=-⨯=
41124222430000l u l u l ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 42411200000l l u =-⨯=-⨯=
再求Ｕ的第三行,得
311332233311l u l u u ⨯+⨯+⨯=-，则
33311332231122015u l u l u =--⨯-⨯=--⨯+⨯=- 311432243444101l u l u u u ⨯+⨯+⨯+⨯=,则 34311432241120011u l u l u =-⨯-⨯=-⨯-⨯= 再求L 的第三列,得
411342234333101l u l u l u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则
4311(10201)55l =-⨯-⨯+⨯=-
再求U 的第四行,得
4114422443344411l u l u l u u ⨯+⨯+⨯+⨯=,则
