八年级数学将军饮马问题专题练习汇总(20200708010955)

难关必刷03轴对称之将军饮马模型（3种类型30题专练）【模型梳理】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营河如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．类型二：两定两动在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

类型三：一定两动在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）BBBBBB【题型讲解】 类型一：两定一动 【例1】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．类型二：两定两动【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为A ．3B ．4C ．D ．【变式】如图，在锐角三角形ABC中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是P OBAMN()E AFCDB()AB ．2C ．D ．4类型三：一定两动【例3】点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。

初二数学将军饮马练习题一、选择题1. 已知等差数列的前n项和为Sn，且该数列的公差为d，下列哪个等式成立？A. Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)B. Sn = (n/2)(a + d)C. Sn = na + ndD. Sn = 2n + d2. 某数列前两项之和为7，公差为3，若该数列的前n项和恰好为200，则n的值为多少？A. 8B. 11C. 14D. 173. 菜市场里有一摊卖香蕉，第一天卖出1只，第二天卖出4只，第三天卖出7只，以此类推，第n天卖出的香蕉只数为an，则an等于下列哪个算式？A. an = 2n - 1B. an = 3nC. an = 3n - 2D. an = n^2 + 1二、填空题1. 若等差数列的首项为5，公差为2，第5项的值为______。

2. 若等差数列的前n项和为50，公差为3，求n的值，得到的n值为______。

三、解答题1. 某等差数列的首项为3，公差为4，请写出前10项的值。

2. 若等差数列的前n项和为Sn，首项为a，公差为d，试用公式表示Sn与n之间的关系。

3. 军事演习中，将军驾马自西向东行驶，每隔20分钟发射一枚导弹，导弹速度恒定为800米/分钟。

已知导弹发射后经过t分钟即可以抵达目标区域，请用公式表示导弹发射时间与导弹抵达目标的距离之间的关系。

四、应用题1. 某次数学测验中，小明的每题得分都比上一题多2分，小明一共做了10道题，最后一题得了40分，求小明的总分。

2. 甲乘积物品价格最初为300元，每年涨价5%。

乙乘积物品价格最初为500元，每年涨价3%。

若经过若干年之后，甲的产品价格与乙的产品价格相等，求相遇时经过的年数。

以上为初二数学将军饮马练习题的相关内容。

请认真审题、解答，如有问题请及时反馈。

微专题将军饮马模型通关专练一、单选题1(2023·福建厦门·校考二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为BC、CD的中点，点P是对角线BD上的动点，则四边形PECF周长的最小值为()A.4B.4+22C.8D.4+42【答案】C【分析】作E关于BD的对称点E ，连接E F交BD于点O，根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四边形PECF的周长最小，即OE+OF最小，再利用三角形三边关系解题即可．【详解】解：如图，作E关于BD的对称点E ，连接E F交BD于点O，故点P与点O重合时，四边形PECF的周长最小，即OE+OF最小，∵E和E 关于BD对称，则OE=OE ,EO+OF=E O+OF=4连接E P，同样E P=PE，EP+PF=E P+PF>E F而E F=E O+OF=4，即EP+PF>E F所以当P与O重合时，四边形PECF周长最小，即为4+2+2=8，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2(2023秋·八年级课时练习)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB与点D，∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于()A.4cmB.2cmC.3cmD.1cm【答案】C【详解】∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.故选C.3(2023·福建福州·八年级福州日升中学校考期中)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF 垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是()A.7B.6C.5D.4【答案】D【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可．【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，AP+BP的最小值是4.故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．4(2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习)如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=15，点P、Q 分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为()A.35B.40C.50D.60【答案】C【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′．【详解】解：如上图，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm，∴AB=AC=2AD=70，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+ PQ=PE+EQ′=PQ′，∴QD=DQ′=15(cm)，∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm)∵BP=20(cm)，∴AP=AB-BP=70-20=50(cm)∴AP=AQ′=50(cm)，∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′=PA=50(cm)，∴PE+QE的最小值为50cm．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．5(2023春·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习)如图，点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，下列线段最短的是()A.PAB.PCC.PBD.PD【答案】C【分析】根据点到直线的距离可直接进行排除选项．【详解】解：∵点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，∴PB<PC<PA<PD，∴线段最短的是PB；故选C．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是解题的关键．6(2023秋·福建宁德·八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(-2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是()A.(-2，0)B.(0，0)C.(2，0)D.(4，0)【答案】C 【分析】作A 关于x 轴的对称点C ，连接AC 交x 轴于D ，连接BC 交交x 轴于P ，连接AP ，此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，求出C (的坐标，设直线CB 的解析式是y =kx +b ，把C 、B 的坐标代入求出解析式是y =x -2，把y =0代入求出x 即可．【详解】如图：作A 关于x 轴的对称点C ，连接AC 交x 轴于D ，连接BC 交交x 轴于P ，连接AP ，则此时AP +PB 最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，∵A (-2，4)，∴C (-2，-4)，设直线CB 的解析式是y =kx +b ，把C 、B 的坐标代入得：{2=4k +b -4=-2k +b，解得：k =1，b =-2，∴y =x -2，把y =0代入得：0=x -2，x =2，即P 的坐标是(2，0)，故选C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．7(2023·福建·校联考零模)如图，等腰Rt △ABC 中，AB ⊥AC 于A ，AB =CA =DC =2，M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时，在直线BM 上有一点E ，连接CE ．12BE +CE 的最小值为()A.πB.263C.63D.6【答案】D 【分析】由M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时，得M 为△ABC 的费马点，以AC 为边向外作正三角形ACF ，据费马点的特征，直线BM 和直线BF 为同一条直线，由题意容易求得∠MBC =30°，以BF为边，B 为顶点向∠MBC 的外侧作∠FBG ，使∠FBG =30°，过E 作BG 的垂线，垂足为H ，显然12BE +CE =CE +EH ；再过点C 作BG 的垂线，垂足为H ，由垂线段最短，知12BE +CE =CE +EH ≥CH ；因为易得BC =22，又∠GBC =60°就容易求得CH 就是12BE +CE 的最小值．【详解】解：如下图以AC 为边向外作正三角形ACF ，以BF 为边，B 为顶点向∠MBC 的外侧作∠FBG ，使∠FBG =30°，过E 作BG 的垂线，垂足为H ，过点C 作BG 的垂线，垂足为H由∠FBG =30°，HE ⊥BG 知HE =12BE ∴12BE +CE =CE +EH ≥CH 下面计算CH∵AB =AC =2且AB ⊥AC∴BC =22；∵M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时∴M 为△ABC 的费马点由费马点的特点知BM 与BF 为同一条直线∵正三角形ACF∴∠CAF =60°又AB ⊥AC∴∠BAF =150°又AB =AC =AF∴∠ABF =15°又∠ABC =45°∴∠FBC =30°∴∠GBC =60°在RT △BCH 中CH =BC sin ∠GBC =BC sin60°=22⋅32=6∴12BE +CE 的最小值为6．故选：D ．【点睛】此题是几何最值问题--费马点和胡不归的综合．确定最短长度时，要据30°角所对直角边是斜边的一半把问题转化为“垂线段最短”来解决；计算最短值时要熟悉费马点的性质．8(2023秋·福建厦门·八年级统考期末)如图，在四边形ABCD 中，∠C =α°，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为()A.αB.2αC.180-αD.180-2α【答案】D【分析】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD 的对称点A ，A″，即可得出∠AA E+∠A″=α，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A ，A″，连接A A″，交BC于E，交CD于F，∴AF=A″F，AE=A E，∴∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，则A A″即为△AEF的周长最小值，∵∠C=α，∠ABC=∠ADC=90°∴∠DAB=180°-α，∴∠AA E+∠A″=180°-180°-α=α，∵∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，∴∠EAA +∠A″AF=α，∴∠EAF=180°-α-α=180°-2α，故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．9(2023秋·八年级单元测试)如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是()A. B.C. D.【答案】C【详解】解：要得到满足题意的点，首先要作A点(或B点)关于直线l的对称点，然后将此对称点与B(A)点连接，所得连线与直线l的交点即为所求点，观察选项，只有C符合.故选：C．10(2023·福建·九年级专题练习)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，tan∠ABC=4，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.12【答案】C 【分析】连接AD ，根据等腰三角形三线合一的性质，得到AD ⊥BC ，利用正切的定义解得AD BD=4，再由垂直平分线的性质得到点C 关于直线EF 的对称点为点A ，根据轴对称-最短路线解题即可．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∵BC =4，∴BD =2，∴tan ∠ABC =AD BD =4，解得AD =8，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=(CM +MD )+CD =AD +12BC =8+12×4=10．故选：C ．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题11(2023春·福建福州·九年级统考期中)在平面直角坐标系xOy 中，点B ，P ，Q 的坐标分别为5,0 ，a ,2 ，a +2,2 ，则△BPQ 周长的最小值为．【答案】25+2【分析】由题意，PB =(a -5)2+22，PQ =2，BQ =(a -3)2+22，推出当PB +BQ =(a -5)2+22+(a -3)2+22最小时，△BPQ 的周长最小，欲求PB +BQ 的最小值，相当于在x 轴上找一点E a ,0 ，使得点E 到F 5,2 ，G 3,2 的距离和最小．【详解】解：∵B 5,0 ，P a ,2 ，Q a +2,2 ，∴PB =(a -5)2+22，PQ =2，BQ =(a -3)2+22，∴当PB +BQ =(a -5)2+22+(a -3)2+22最小时，△BPQ 的周长最小，欲求PB +BQ 的最小值，相当于在x 轴上找一点E a ,0 ，使得点E 到F 5,2 ，G 3,2 的距离和最小，如图，作点G 关于x 轴的对称点L ，连接FL 交x 轴于点E ，此时EG +FE 的值最小，∵L 3,-2 ，EG +EF 的最小值=FL =22+42=25，∴△BPQ 的周长的最小值为25+2．故答案为：25+2．【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12(2023秋·福建南平·八年级统考期末)如图，∠AOB =22°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，记∠MQP =α，∠OPN =β，当MQ +QP +PN 最小时，则α与β的数量关系为．【答案】β-α=44°【分析】作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于P ，交OB 于Q ，则MQ +QP +PN 最小，易知∠OQM =∠OQM =∠NQP ，∠OPQ =∠APN =∠APN ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：如图，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于P ，交OB 于Q ，则MQ +QP +PN 最小，∴∠OQM =∠OQM =∠NQP ，∠OPQ =∠APN =∠APN ，∴∠PQN =12180°-α =∠AOB +∠MPQ =22°+12180°-β ，∴β-α=44°，故答案为：β-α=44°．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13(2023秋·福建莆田·八年级统考期中)如图，在锐角△ABC 中，∠ACB =50°，边AB 上有一定点P ,M ,N 分别是AC 和BC 边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是．【答案】80°【分析】根据对称的性质，易求得∠C +∠EPF =180°，由∠ACB =50°，易求得∠D +∠G =50°，继而求得答案；【详解】∵PD ⊥AC ，PG ⊥BC ，∴∠PEC =∠PFC =90°，∴∠C +∠EPF =180°，∵∠C =50°，∵∠D +∠G +∠EPF =180°，∴∠D +∠G =50°，由对称可知：∠G =∠GPN ，∠D =∠DPM ，L∴∠GPN +∠DPM =50°，∴∠MPN =130°-50°=80°，故答案为：80°．【点睛】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用．14(2023秋·福建厦门·八年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB =BC ，AC =2cm ，S △ABC =3cm 2，边BC 的垂直平分线为l ，点D 是边AC 的中点，点P 是l 上的动点，则△PCD 的周长的最小值是．【答案】4【分析】连接BD ，由于AB =BC ，点D 是AC 边的中点，故BD ⊥AC ，再根据三角形的面积公式求出BD 的长，再根据直线l 是线段BC 的垂直平分线可知，点C 关于直线l 的对称点为点B ，故BD 的长为CP +PD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接BD ，∵AB =BC ，点D 是BC 边的中点，∴BD ⊥AC ，∴S △ABC =12AC •BD =12×2×BD =3，解得BD =3，∵直线l 是线段BC 的垂直平分线，∴点C 关于直线l 的对称点为点B ，∴AB的长为CP+PD的最小值，AC=3+1=4．∴△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=BD+12故答案为：4．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．15(2023秋·八年级课时练习)如图，在ΔABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为.【答案】9.【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.【详解】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD≅△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.16(2023秋·福建三明·八年级统考期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线MN上，∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为度．【答案】15【分析】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称易证∠CBP=∠CDP，结合∠BCN=30°证得△BCD是等边三角形，可得AC=CD，结合已知根据等腰三角形性质可求出∠CDP，即可解决问题．【详解】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，∵AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称可知：CB=CD，PB=PD，∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,∴∠CBP=∠CDP，∵∠BCN=30°，∴∠BCD=2∠BCN=60°，∴△BCD是等边三角形，∵AC=BC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠CAD=∠CDA=12180°-∠ACB-∠BCD=15°，∴∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15．【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键．三、解答题17(2023秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中)△ABC在平面直角坐标系中的位置如下图所示，点A(1,1)，点B(4,2)，点C(3,4)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1,B1,C1的坐标．(2)y轴上是否存在一点P，使得PA+PB的和最小．若存在，请你找出点P的位置．(保留作图痕迹)(3)求出△A1B1C1的面积．【答案】(1)画图见解析，A1-1,1，B1-4,2，C1-3,4(2)见解析(3)72【分析】(1)根据轴对称的性质即可在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，进而得点A1、B1、C1的坐标；(2)连接AB1或A1B，与y轴交点即为点P；(3)根据网格利用割补法计算即可．【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；A1-1,1，B1-4,2，C1-3,4；(2)如图，点P 即为所求；(3)S △A 1B 1C 1=3×3-12×1×3-12×1×2-12×2×3=72．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．18(2023春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期末)如图，在正方形网格上有一个△ABC (三个顶点均在格点上)．(1)作△ABC 关于直线HG 的轴对称图形△A 1B 1C 1(不写作法)；(2)画出△ABC 中BC 边上的高AD ；(3)在HG 上画出点P ，使PB +PC 最小．【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析．【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可；(2)根据三角形的高的概念过点A 作AD 垂直于线段CB 的延长线，垂足为D 即可；(3)连接CB 1，交HG 于点P ，点P 即为所求．【详解】(1)解：如图1，△A 1B 1C 1为所求作的三角形；(2)解：如图2，过点A作AD垂直于线段CB的延长线，垂足为D，则线段AD就是△ABC中BC边上的高；(3)解：如图3，根据两点之间，线段最短，连接CB1，交HG于点P，点P即为所求．【点睛】本题考查作轴对称图形，作高、以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．19(2023春·福建泉州·七年级福建省永春第一中学校考期末)(1)如图1，在△ABC中∠A=60º，BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.①填空：∠BOC=度；②求证：BC=BE+CD．(写出求证过程)(2)如图2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n，CE平分∠ACB．①若△ABC的面积为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是．(直接写出答案)；　②若∠A=20°，则△BCE的周长等于．(直接写出答案)．【答案】(1)①120；②证明见解析；(2)①2sn(或m2-n24)；②m【详解】试题分析：(1)①根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+12∠A，由∠A=60º即可得∠BOC的值；②采用截长法在BC上截取BF=BE，连接OF，由边角边证得△EBO≌△FBO，再由角边角证得△DCO ≌△FCO，即可得证；(2)①当AM⊥BC时，AM+MN的值最小；②在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，通过构造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性质即可求解.试题解析：(1)①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，∵BD、CE均为△ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，∴∠BOC=90°+12∠A，∵∠A=60º，∴∠BOC=90°+12×60º=120°；故答案为120°；②证明：由(1)①∠BOC=120°，∴∠BOE=∠COD=180°-120°=60°，在BC上截取BF=BE，连接OF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO=∠FBO，又∵BO=BO(公共边相等)∴△EBO≌△FBO(SAS)∴∠BOF=∠BOE=60°，∴∠COF=∠BOC-∠BOF=120°-60°=60°=∠COD，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO=∠FCO，又∵CO=CO(公共边相等)∴△DCO ≌△FCO (ASA )∴CD =CF ，∴BC =BF +CF =BE +CD ；(2)①如图：当AM ⊥BC 时，与BC 交于点D ，过M 作MN ⊥AC 交AC 与点D ，∵CE 平分∠ACB ，∴DM =DN ，∴AD =AM +MD =AM +MN ,此时，AM +MN 的值最小，由S △ABC =12BC ·AD ，BC =n ，△ABC 的面积为S ，得AD =2s n，或∵AB =AC , AD ⊥BC , AB =AC =m ，BC =n ，∴BD =CD =n 2,在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD =m 2-n 24；故答案为2s n(或m 2-n 24)；②如图：在CA 上截取CD =CB ,以E 为圆心EC 为半径画弧，与AC 交于点F ，∵AB =AC =m ，∠A =20°，∴∠B =∠C =80°,∵CE 平分∠ACB ,∴∠BCE =∠DCE =40°,∵CE =CE ,∴△BCE ≌△DCE ,∴∠CDE =∠B =80°,∠DEC =∠BEC =60°,BE =DE ,∴∠CDE =40°,∵EC =EF ,∴∠EFC =∠ECF =40°,∴∠DEF =∠CDE -∠DFE =40°,∴DE =DF ,∠AEF =∠DFE -∠A =40°-20°=20°,∴EF =AF ,∴BE =DF ,CE =AF ,∴△BCE 的周长=BC +CE +BE =CD +AF +DF =AC =m .点睛：此题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，最短路径问题等知识.解题的关键是添加正确的辅助线构造出全等三角形，对线段进行转化.20(2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中)如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A 1,1 ，B 4,2 ，C 3,4 .(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并简要说明理由.【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】(1)先根据轴对称性质找到A、B、C的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可画出图形；(2)作点B关于x轴对称的点B ，连接AB 交x轴于点P，连接AP，BP，即可得到结论；【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；(2)解：作点B关于x轴对称的点B ，连接AB 交x轴于点P，连接AP，BP，则AP+BP=AP+B P=AB ，根据两点之间，线段最短，此时△PAB的周长最小，△PAB如图所示．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、最短路径问题，能根据对称性质正确作出对称图形是解答的关键．21(2023春·福建三明·七年级统考期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)(1)在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)在直线l上找出点P，使得△PBC周长最小，在图中标出点P的位置；(3)已知点D在格点上，且△BCD和△BCA全等，请画出所有满足条件的△BCD(点D与点A不重合)．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)找到△ABC关于直线l对称的点，再依次连接即可；(2)连接B1C，与直线l交于点P即可；(3)根据全等三角形的判定画图即可．【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，点P即为所求；(3)如图，△BCD即为所求，共有3个．【点睛】此题主要考查了作图-轴对称变换，全等三角形的判定，最短路径，解题的关键是掌握相应的画图方法．22(2023秋·福建福州·八年级统考期中)如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC．(1)写出△ABC各顶点的坐标；(2)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(3)在y轴上作出点P，使得AP+BP的值最小．【答案】(1)A(-4，5)，B(-3，1)，C(-1，3)(2)见解析(3)见解析【分析】(1)按要求写出横纵坐标即可；(2)关于y轴对称的时候，x值变成相反数，其余不变；(3)连接B和A的对称点A1，该直线与y轴的交点就是AP+BP值的最小【详解】(1)A(-4，5)，B(-3，1)，C(-1，3)；(2)如图△A1B1C1就是所求的图形；(3)如图所作的点P即为所求．【点睛】本题考查图形的对称，平面直角坐标系，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．23(2023春·福建泉州·七年级统考期末)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在网格中画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；(2)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；(3)在直线m上画一点P，使得△ACP的周长最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据平移的性质分别作出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得△A1B1C1；(2)根据轴对称的性质分别作出点A、B、C关于直线m的对称点A2、B2、C2，再顺次连接即可得△A2B2C2；(3)连接A2C交直线m于点P即可．(1)解：如图，△A1B1C1即为所求.(2)解：如图，△A2B2C2即为所求.(3)解：如图，点P即为所求.由(2)作图可知，点A与点A2是关于直线m的对称点，∴PA=PA2，∴PC+PA=PC+PA2=A2C，∴PC+PA最小，∵△ACP的周长=AC+PC+PA，∴△ACP的周长最小．【点睛】本题考查平移作图，作轴对称图形，利用轴对称求最小值，熟练掌握平移性质、轴对称的性质是解题的关键．24(2023秋·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末)如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．(1)画直线AB和射线CB；(2)连接AC，过点C画直线AB的垂线，垂足为E；(3)在直线AB上找一点P，连接PC、PD，使PC+PD的和最短．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据直线和射线的定义，即可求解；(2)根据垂线的定义，即可求解；(3)根据题意可得：PC+PD≥CD，从而得到当P、C、D三点共线时，PC+PD的和最短，即可求解．(1)解：直线AB和射线CB即为所求，如图所示；(2)如图，直线CE即为所求；(3)连接CD交AB于点P，如图所示，点P即为所求根据题意得：PC+PD≥CD，∴当P、C、D三点共线时，PC+PD的和最短．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段、垂线的定义，熟练掌握直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足是解题的关键．25(2023秋·福建南平·八年级统考期中)如图，在平面直角坐标中，△ABC各顶点都在小方格的顶点上．(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；写出△A1B1C1各顶点坐标A1；B1；C1(2)在y轴上找一点P，使PA+PB1最短，画出P点，并写出P点的坐标．(3)若网格中的最小正方形边长为1，则△A1B1C1的面积等于 .【答案】(1)见详解，A1(-2，-3)；B1(-3，-2)；C1(-1，-1)；(2)见详解，P(0，1)；(3)1.5．【分析】(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用对称点求最短路线的性质得出答案;(3)根据格点求出三角形的面积.【详解】解：(1)如图所示：△A1B1C1为所求作的三角形；(2)如图，点P的坐标为：(0，1)．(3)S△ABC=2×2-12×1×2-12×1×2-12×1×1=1.5【点睛】【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．。

关于将军饮马难题的练习10题
1. 将军饮马难题是著名的逻辑难题之一，以下是10个练题帮助理解和解决这个难题。

2. 题目一：题目一：
- 将军饮马难题描述了将军通过一条连续的河流骑马前行的情景。

- 请阐述将军饮马难题的具体要求和条件。

3. 题目二：题目二：
- 给定一个车辆的行驶速度、将军饮马的速度以及将军饮马的间隔时间，请计算将军饮马时车辆与将军的距离。

4. 题目三：题目三：
- 假设将军饮马的路径有所改变，如何调整速度和时间间隔，才能保持将军和车辆的固定距离？
5. 题目四：题目四：
- 假设将军饮马时遇到突发情况，需要停下来处理，重新上路后可以追上车辆吗？
6. 题目五：题目五：
- 若车辆的速度变化，将军饮马的速度还能保持不变吗？请解释为什么？
7. 题目六：题目六：
- 假设将军饮马的速度变化，车辆的速度保持不变，将军和车辆之间的相对距离如何变化？
8. 题目七：题目七：
- 将军饮马难题中是否有其他影响将军和车辆距离的因素？请列举并解释。

9. 题目八：题目八：
- 假设将军饮马的速度快于车辆的速度，将军和车辆之间的相对距离会怎样变化？
10. 题目九：题目九：
- 将军饮马难题中的数学模型是什么？使用该模型可以解决哪些相关问题？
11. 题目十：题目十：
- 将军饮马难题中是否存在法律或道德层面的问题？请阐述你的观点和理由。

以上是关于将军饮马难题的练习10题，希望能帮助你更好地理解和解决这个难题。

2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总---------将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：1.定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题．2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．3.定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】“化曲为直”题型一：两定一动，偷过敌营。

题型二：两定一动，将军饮马。

例1：如图， AM ⊥EF ，BN ⊥EF ，垂足为M 、N ，MN ＝12m ，AM ＝5m ，BN ＝4m ， P 是EF 上任意一点，则PA ＋PB 的最小值是______m ．分析：这是最基本的将军饮马问题，A ，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A 关于EF 的对称点A ’，根据两点之间，线段最短，连接A ’B ，此时A ’P ＋PB 即为A ’B ，最短．而要求A ’B ，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答：作点A 关于EF 的对称点A ’，过点A ’作A ’C ⊥BN 的延长线于C ．易知A ’M ＝AM ＝NC ＝5m ，BC ＝9m ，A ’C ＝MN ＝12m ，在Rt △A ’BC 中，A ’B ＝15m ，即PA ＋PB 的最小值是15m ．例2：如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12 = 27DB CD CBP E D C B A E D C B AA （3对应练习题1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 。

八年级上册数学最短路径问题（将军饮马）专项练习一、单选题1．已知点M(-4，2)，若点N是y轴上一动点，则M，N两点之间的距离最小值为（）A．-4B．2C．4D．-22．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( )A．10B．4 C．17D．54．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（）A．4 B．2C．4.5 D．5m、(0,2)和(5,3)，则当ABC的周长5．如图，在ABC中，点A、B、C的坐标分别为(,0)最小时，m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（）A．B．C．D．8．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（）A ．6cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm9．如图，直线是一条河，A 、B 是两个新农村定居点．欲在l 上的某点处修建一个水泵站，直接向A 、B 两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在ABC ∆中，10BC =，CD 是ACB ∠的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且ABC ∆的面积为24，则PA PQ +的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．511．在△ABC 中，AB=BC ，点D 在AC 上，BD=6cm ，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，△DEF 周长的最小值为6 cm ，则ABC ∠=( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°12．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，在ABC 中，15A ∠=︒，63AB =，点D ，E 分别在AB ，AC 上运动，连结BE 、ED ，则DE BE +的最小值为________．14．如图，在ABC 中，4AB =，6AC =，7BC =，EF 垂直平分BC ，点D 为直线EF 上的任意一点，则ABD △周长的最小值是__________．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（0，6），点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为_____．16．已知∠AOB=45°，点P 在∠AOB 内部，点P 1与点P 关于OA 对称，点P 2与点P 关于OB 对称，连接P 1P 2交OA 、OB 于E 、F ，若P 1E=12，2，则EF 的长度是_____．17．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB ，CD 分别是两底面的直径．若一只小虫从A 点出发，沿圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________（结果保留根号）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()4,2B ，PQ 是x 轴上的一条动线段，且1PQ =，当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为______.三、解答题19．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）(1)如图，已知点M.N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M.N 的距离相等，且到∠AOB 的两边的距离相等．(2)要在河边修建一个水泵站，分别向张村.李庄送水（如图）． 修在河边l 什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置．20．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点均在格点上，请完成下列各题（用直尺画图）（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆，并直接写出111A B C ∆各顶点坐标． （2）在y 轴上画出点Q ，使QBC ∆的周长最小．21．如图，BA 、BC 是两条公路，在两条公路夹角内部的点P 处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？22．如图，在等边ABC 中，D 是直线BC 上一点，E 是边AC 上一动点，以DE 为边作等边DEF ，连接CF ．（提示：含30的直角三角形三边之比为32）+=；（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE CF CD（2）如图2，若点D在BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；（3）图2中，若3==E从A运动到C停止，求出此过程中点F运动的路径长．ED AC23．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A、与y轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于y轴对称.(1)求△ABC的面积；(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；(3)如图3，点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.参考答案1．C【详解】解：过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短∴点N在y轴上的纵坐标为2，此时二者之间的距离最小值为0-（-4）=4 2．B【详解】解：如图：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，∴当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，3．C【详解】解：如图，它运动的最短路程AB=()22+＝172+214．A【详解】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．5．C【详解】解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，∵B（0，2），∴B′（0，-2），∵C（5，3），∴CH= B′H=5，∴∠CB'H=45°，∴∠BB' A'=45°，∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，∴OB'=OA'=2，则此时A'坐标为（2，0）．m的值为2．6．A【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠ACP =30°，7．D【详解】解：根据题意知，在墙l边上建立一个垃圾站点P，使PA＋PB距离最小，则作A或者B关于l的对称点，然后连接找到点P，则D选项符合要求．故选：D8．D【详解】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝10（cm）．9．D【详解】解：作点A 关于直线l 的对称点A '，然后连接A B '与直线l 交于一点，在这点修建水泵站， 根据轴对称的性质和连点之间线段最短的性质可以证明此事铺设的管道最短．10．C【详解】过点A 作AQ BC '⊥于点Q '，交CD 于点P ，过点P 作PQ AC ⊥，如图所示∵CD 平分ACB ∠，P 、Q 分别是CD 和AC 上的动点∴PQ PQ '=，Q 与Q '关于CD 对称∴此时，()AQ PA PQ '=+最小值∵10BC =，24ABC S ∆= ∴222424105ABC S AQ BC ∆⨯'=== ∴PA PQ +的最小值是245 11．C【详解】作点D 关于AB 的对称点G ，关于BC 的对称点H ，连接GH 交AB 于E ，交BC 于F ，连接BG 、BH ，此时△DEF 的周长最小，由轴对称得：BG=BD=BH=6cm ，∠GBA=∠DBA ，∠HBC=∠DBC ，∵△DEF 的周长=DE+DF+EF=GH=6cm ，∴△BGH 是等边三角形，∴∠GBH=60°， ∴∠ABC=12∠GBH=30°， 12．C【详解】根据题意，所需管道最短，应过点P 或点Q 作对称点，再连接另一点，与直线l 的交点即为水泵站M ，故选项A 、B 、D 均错误，选项C 正确，13．33 【详解】 解：作B 关于AC 的对称点B ′，过B ′作B ′D ⊥AB 交AC 于E ，连接AB ′，此时B ′E +ED =BE +ED 为最小值，此时∠B ′AB =2∠BAC =30°，B ′D =12AB ′=12AB =33， 即BE +ED 的最小值为33， 故答案为：33．14．10【详解】∵EF 垂直平分BC ，∴点B 与点C 关于EF 对称，如图，设AC 与EF 相交于点P ,∴当D 和P 重合时，AD BD +的值最小，最小值等于AC 的长，∵4AB =，6AC =，∴ABD △的周长的最小值是4610AB AC +=+=，故答案为：10．15．92【详解】解：如图，以AP 为边作等边三角形APE ，连接BE ，过点E 作EF ⊥AP 于F ，∵点A 的坐标为（0，6），∴OA ＝6，∵点P 为OA 的中点，∴AP ＝3，∵△AEP 是等边三角形，EF ⊥AP ，∴AF ＝PF ＝32，AE ＝AP ，∠EAP ＝∠BAC ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAP ，在△ABE 和△ACP 中，AE AP BAE CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACP （SAS ），∴BE ＝PC ，∴当BE 有最小值时，PC 有最小值，即BE ⊥x 轴时，BE 有最小值，∴BE 的最小值为OF ＝OP ＋PF ＝3＋32＝92， ∴PC 的最小值为92， 16．56【详解】∵P ，P 1关于直线OA 对称，P 、P 2关于直线OB 对称，∴OP=OP 1=OP 2=2，∠AOP=∠AOP 1，∠BOP=∠BOP 2，∵∠AOB=45°， ∴∠P 1OP 2=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP ）=90°， ∴△P 1OP 2是等腰直角三角形，∴P 1P 2=2212PO P O +=2， 设EF=x ，∵P 1E=12=PE ， ∴PF=P2F=32-x ， 由轴对称可得，∠OPE=∠OP 1E=45°，∠OPF=∠OP 2F=45°，∴∠EPF=90°， ∴PE 2+PF 2=EF 2，即（12）2+（32-x ）2=x 2， 解得x=56． 17．22【详解】将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平，得长方形''AA D D ，取'D D 的中点C ，连接AC ，根据两点之间线段最短可得线段AC 就是小虫爬行的最短路线，如图：根据题意得212π2π2AB =⨯⨯=． 在Rt ABC ∆中，由勾股定理得22222228AC AB BC =+=+=，∴822AC18．()2,0【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E （1，1），作点E 关于x 轴的对称点F （1，-1），连接BF ，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.设最小BF的解析式为y=kx+b，则有142k bk b+=-⎧⎨+=⎩解得12kb=⎧⎨=-⎩∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案为（2，0）.19．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据题意可知只要作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，然后找到这两条线的交点即为所求；（2）作B点关于小河的对称点B′，连接B′A与小河的交点C，点C就是所求．【详解】解：（1）如图所示：作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，这两条线的交点即为所求P 点．（2）作点B关于河岸的对称点B′，连接B′A，交河岸于点C，CA+CB=AB′的长度之和最短，则修在河边l的点C处，可使所用水管最短．20．（1）作图见解析；()3,2A ；()4,3B -；()1,1C -；（2）作图见解析．【分析】（1）首先确定A 、B 、C 三点关于y 轴对称的对称点位置，然后再连接即可； （2）连接C 1B ，与y 轴的交点就是Q 点位置．【详解】解：（1）如图所示：A 1（3，2），B 1（4，-3），C 1（1，-1）；（2）如图所示：Q 即为所求．21．见解析【分析】利用关于直线对称点的性质得出 P 点关于AB 的对称点 P '，以及 P 点关于 CB 的对称点 P "，根据两点直接线段最短，连接 P ' P "即可得出．【详解】解：如图所示：C 、D 点即为所求．22．（1）见解析；（2）CE CF CD +=，理由见解析；（3）843- 【分析】（1）在CD 上截取CH CE =，易证CEH ∆是等边三角形，得出EH EC CH ==，证明()DEH FEC SAS ∆≅∆，得出DH CF =，即可得出结论；（2）过D 作//DG AB ，交AC 的延长线于点G ，由平行线的性质易证60GDC DGC ∠=∠=︒，得出GCD ∆为等边三角形，则DG CD CG ==，证明()EGD FCD SAS ∆≅∆，得出EG FC =，即可得出FC CD CE =+；（3）当点E 与A 重合时，CF 的值最小，最小值23AC ==，当CE CD =时，CF 的值最大，最大值224=+=，当点E 与C 重合时，CF 的值最小，最小值23=，点F 的运动路径从最小值23增大到4，再减小到23，由此可得结论．【详解】解：（1）证明：在CD 上截取CH CE =，如图1所示：ABC ∆是等边三角形，60ECH ∴∠=︒，CEH ∴∆是等边三角形，EH EC CH ∴==，60CEH ∠=︒，DEF ∆是等边三角形，DE FE ∴=，60DEF ∠=︒，60DEH HEF FEC HEF ∴∠+∠=∠+∠=︒，DEH FEC ∴∠=∠，在DEH ∆和FEC ∆中，DE FE DEH FEC EH EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEH FEC SAS ∴∆≅∆，DH CF ∴=，CD CH DH CE CF ∴=+=+，CE CF CD ∴+=．（2）线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC CD CE =+．理由如下： ABC ∆是等边三角形，60A B ∴∠=∠=︒，过D 作//DG AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：//GD AB ，60GDC B ∴∠=∠=︒，60DGC A ∠=∠=︒，60GDC DGC ∴∠=∠=︒，GCD ∴∆为等边三角形，DG CD CG ∴==，60GDC ∠=︒，EDF ∆为等边三角形，ED DF ∴=，60EDF GDC ∠=∠=︒，EDG FDC ∴∠=∠，在EGD ∆和FCD ∆中，ED DF EDG FDC DG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EGD FCD SAS ∴∆≅∆，EG FC ∴=，FC EG CG CE CD CE ∴==+=+．（3）由（2）EGD FCD ∆≅∆，则∠FCD=∠DGC=60°=∠FCE ，∴CF 与BC 的夹角不变，即点F 的运动路径为线段，当点E 与A 重合时，CF 的值最小，最小值AC ==当CE CD =时，∵EF=DF ，∴CF 垂直平分ED ，∴∠CFE=30°， ∴∠CEF=90°，∵EF=ED=AC=∴CF=2=4，∴CF 的最大值为4，当点E 与C 重合时，CF 的值最小，最小值=，∴点F 的运动路径从最小值4，再减小到∴此过程中点F 运动的路径长2(48=-=-．23．（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C 的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；(2) 过E 作EF ⊥x 轴于点F ，延长EA 交y 轴于点H ，证△DEF ≌△BDO ，得出EF ＝OD ＝AF ，有EAF OAH OAB 45∠∠∠===︒，得出∠BAE ＝90°. (3)由已知条件可在线段OA 上任取一点N,再在AE 作关于OF 的对称点N ',当点N 运动时，´ON 最短为点O 到直线AE 的距离.再由OAE 30∠=︒，在直角三角形AO N '中,OM ON O N +=' 即可得解.【详解】解：（1）由已知条件得：AC=12，OB=6∴1126362ABC S =⨯⨯= （2）过E 作EF ⊥x 轴于点F ，延长EA 交y 轴于点H,∵△BDE 是等腰直角三角形，∴DE=DB, ∠BDE=90°, ∴EDF BDO 90∠∠+=︒∵BOD 90∠=︒∴BDO DBO 90∠∠+=︒∴EDF DBO ∠∠=∵EF x ⊥轴，∴DEF BDO ≅∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴EAF OAH OAB 45∠∠∠===︒∴∠BAE ＝90°（3）由已知条件可在线段OA 上任取一点N,再在AE 作关于OF 的对称点N ',当点N 运动时，´ON 最短为点O 到直线AE 的距离,即点O 到直线AE 的垂线段的长，∵OAE 30∠=︒，OA=6，∴OM+ON=3。

初二数学将军饮马练习题1. 填空题(1) 已知数 axis 坐标轴上的点 A(3, 4)，则 A 点的横坐标是___，纵坐标是___。

(2) 设直线上 A 点坐标为 (-2, 5)，直线上 B 点坐标为 (3, 1)，则直线的斜率为 ___。

(3) 已知数直线的斜率为 2，经过点 (3, -1)，则直线的方程为 y = ___。

(4) 设直线 L 过 A(2, -3)、B(-1, 4)两点，则 L 的中点的坐标为(___,___)。

2. 选择题(1) 若直线上两点坐标分别为 A(-1, 3)、B(4, 5)，则直线的斜率为：A. 2B. 1/2C. 1D. -2(2) 若已知直线的斜率为 0.5，且直线过点 (2, 3)，则直线的方程为：A. y = 0.5x + 2B. y = 0.5x - 1C. y = 0.5x + 3D. y = -0.5x- 2(3) 航行 14 公里所需时间为 2 小时，航行了 70 公里所需时间为：A. 14 小时B. 4 小时C. 7 小时D. 100 小时3. 计算题(1) 求平面直角坐标系中两点 A(2, -1)、B(4, 3)之间的距离。

(2) 若点 P(-1, 2)在直线 y = 3x - 1 上，则 P 点到直线的距离为多少？(3) 直线 L 过点 A(2, 3)，斜率为 2。

求直线 L 的方程。

4. 应用题将军饮马是一种古代难题，题目如下：一位将军下令饮马，要求马匹从 A 地出发，沿着弯曲的小径前进，然后返回 A 地，使得马匹在行程中所经过的地点与出发前的次序完全相同。

如果马匹的速度是 a 米每秒，行程的时间是 t 秒，马匹在 t 秒内经过的距离为 S 米，请回答以下问题：(1) 在一段连续的时间内，马匹经过了多少个完整的周期？(2) t 秒内，马匹经过的完整的周期数为 k，求马匹的行程 S 和时间 t 之间的关系式。

(3) 若马匹在行程中共经过了 5 个完整的周期，并且行程距离为3000 米，求马匹速度 a 的值。

最短路径最小值问题专题训练“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛 名的学者，名叫海伦。

有一天，有位罗马将军前來向他求教一个百思不得其解的问题：如 图，将军从A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有很多走法。

问走什么样 的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的冋答。

这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。

河流事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要 遇到这样的问题。

古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走 冤枉路。

我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。

另外，从某种意义上说，一笔 画问题也属于这类问题。

看来最短路线问题在生产、科研和日常牛•活中确实重要且应用广 泛。

这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。

下面我就几个例题来具体分析解决。

【典例探究】将军饮马问题的应用(•梧州)如图,抛物线y=ax2+bx - 4 (aHO)与x轴交于A (4, 0)、B ( - 1, 0)两点，过点A的直线y二・x+4交抛物线于点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时，使ABDE的周长最小，求此时E点坐标；(3)当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A-C-B-D-A上运动吋，是否存在使△ BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先判断出周长最小时BE丄AC,即作点B关于直线AC的对称点F,连接DF,交AC于点E,联立方程组即可；(3)三角形BDE是直角三角形时，由于BD>BG,因此只有ZDBE二90°或ZBDE二90°,两种情况，利用直线垂直求出点E坐标.【解答】解：(1) •・•抛物线y=ax2+bx - 4 (aHO)与x轴交于A (4, 0)、B (- 1, 0)两点,16a+4b- 4=0a~ b- 4二0・・・严，[b二 _ 3・••抛物线解析式为尸/・3%・4,(2)如图1,由(1)得，抛物线解析式为y=x2 - 3x - 4①,・・・D (0,・4),•・•点C是直线y二・x+4②与抛物线的交点，・••联立①②解得，(舍)或(X=_ 2,[尸0 1尸6AC ( - 2, 6),VA (4, 0),・•.直线AC解析式为y= - x+4,•・•直线BF丄AC,且B ( - 1, 0),・・・直线BF解析式为y=x+l,设点F (m, m+1),AG (匹丄，时^),2 2•・•点G在直线AC上,-罗+4罟'111=4,・・・F (4, 5),VD (0, - 4),・•・直线DF解析式为y二2x・4,4・・•直线AC解析式为尸・x+4,・・・直线DF和直线AC的交点E (上殳—),13 13(3) TBD二VI?,由(2)有，点B到线段AC的距离为BG二丄BF二丄X5｛去宝2>BD,2 2 2A ZBED不可能是直角，VB (・ 1, 0), D (0,・4),・•・直线BD解析式为y=・4x+4,V ABDE为直角三角形，・••①ZBDE=90° ,・・・BE丄BD交AC于B,・・・直线BE解析式为y二丄x+丄，4 4•・•点E在直线AC： y二・x+4的图象上，・・・E (3, 1),② ZBDE=90° ,・・・BE丄BD交AC于D,・・・直线BE的解析式为y二丄x・4,4•・・点E在抛物线y=x2・3x・4上，・・・直线BE与抛物线的交点为（0, -4）和（丄色，-里），4 16・・.E （丄色,■里）,4 16即：满足条件的点E的坐标为E （3, 1）或（丄色，・里）.4 16【方法突破】对于这种涉及求线段和的最小值问题或是求在运动过程中三角形的周长的最小的问题通常都属于将军饮马问题.常见模型：在直线同一侧有两个点A,B,在直线上找一点使得所找点与已知A, B两点距离和最小，通常是过其中一个点作已知直线的对称点，然后连接另一点，与直线的交点即为所求的点。

将军饮马问题专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知线段AB及直线l，在直线l上确定一点P，使PA PB最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，∵作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，∵P A+PB=PB′+P A=AB′为最小故选：C．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键．2．如图，等边∵ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）AB ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ∵BC 交于点F ，此时EM ＋CM 的值最小，求出BE 即可．【详解】解：连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ∵BC 交于点F ，∵∵ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∵B 点与C 点关于AD 对称，∵BM ＝CM ，∵EM ＋CM ＝EM ＋BM ＝BE ，此时EM ＋CM 的值最小，∵AC ＝6，AE ＝2，∵EC ＝4，在Rt ∵EFC 中，∵ECF ＝60°，∵FC ＝2，EF ＝在Rt ∵BEF 中，BF ＝4，∵BE ＝故选：C ．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．3．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（）A．4B．4.5C．5.5D．5【答案】D【解析】【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∵点B与点D关于直线AC对称，连接BE，交AC于点N'，连接DN'，∵DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+ EN' BD，则BE的长即为DP+PE的最小值，∵AC是线段BD的垂直平分线，又∵CE=CD-DE=4-1=3，在Rt∵BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∵BE=5，即DP+PE的最小值为5，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．二、填空题4．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【解析】【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∵AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，∵A（0，3），∵A'（0，﹣3），∵B（6，5），5-（-3）=8，6-0=6∵A'B，∵P点到A、B的距离最小值为10，故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离是解题的关键．5．如图，在等边∵ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．【答案】6【解析】【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵∵ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∵点E关于AD的对应点为点F，∵CF就是EP+CP的最小值．∵∵ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∵F是AB的中点，∵CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．6．已知点(1,1)A ，(3,5)B ，在x 轴上的点C ，使得AC BC +最小，则点C 的横坐标为_______． 【答案】43【解析】【分析】作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A 'B ，与x 轴的交点即为点C ，连接AC ，则AC ＋BC 的最小值等于A 'B 的长，利用待定系数法求得直线A 'B 的解析式，即可得到点C 的坐标．【详解】解：如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A 'B ，与x 轴的交点即为点C ， 连接AC ，则AC ＋BC 的最小值等于A 'B 的长，∵A （1，1），∵A '（1，−1），设直线A 'B 的解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0），把A '（1，−1），B （3，5）代入得153k b k b -=+⎧⎨=+⎩， 解得34k b =⎧⎨=-⎩， ∵y ＝3x −4，当y ＝0时，x ＝43， ∵点C 的横坐标为43， 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，一牧童在A 处放羊，牧童的家在B 处，A 、B 距河岸的距离AC 、BD 分别为500m 和700m ，且C 、D 两地相距500m ，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走______m ．【答案】1300【解析】【分析】本题可以把两线段的和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题解决．转化的方法是作A 关于CD 的对称点，求解对称点与B 之间的距离即可．【详解】解：作A 关于CD 的对称点E ，连接BE ，并作BF AC ⊥于点F ．则5007001200EF BD AC m =+=+=，500BF CD m ==．在Rt BEF △中，根据勾股定理得：1300BE 米． 故答案为：1300．【点睛】此题的难点在于确定点P 的位置，能够根据轴对称的知识正确作图．三、解答题8．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,5)A ，(2,1)B ，(6,1)C ．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在x 轴上找一点P ，使PB PC 的值最小（保留作图痕迹），并写出点P 的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析，P 的坐标为(4,0)．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，即可作出111A B C △；（2）作出点B 关于x 轴的对称点B 2，连接B 2C ，交x 轴于P ，点P 即为所求做的点．(1)解：解：（1）如图所示，111A B C △即为ABC 关于y 轴对称的三角形．(2)解：如图所示，点P即为所求做的点，点P的坐标为(4,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点，当∵BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∵BPE=90°，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，再根据两点间线段最短的性质，连接CP交AD于点E，并连接BE，即可得解；（2）因为P 为AB 的中点，要使∵ABC 是等边三角形，则需BC =AB ，根据等腰三角形三线合一的性质，所以CP ∵AB ，即∵BPE =90°．【详解】解：（1）如图，连接CP 交AB 于点E ，则点E 为所求；（2）∵BPE =90° ，理由如下：∵∵BPE =90°∵CP ∵AB ，∵点P 为AB 的中点，∵CP 垂直平分AB∵CA =CB∵AB =AC∵AB =AC =BC∵∵ABC 是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称、两点间线段最短、线段中垂线定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．10．如图，铁路上A 、B 两站相距8km ，C 、D 为两个村庄，AC AB ⊥，BD AB ⊥，垂足分别为A 、B ，已知2km AC =，4km BD =，现在要在铁路AB 上修建一个中转站P ，使得P 到C 、D 两村的距离和最短．请在图中画出P 点的位置，并求出PC PD +的最小值．【答案】图见解析，10cm【解析】【分析】试卷第11页，共11页 根据轴对称求最短路线作出C 点对称点C ′，连接C′D 即可得出P 点位置，再利用勾股定理得出C′D 即为收购站P 到C 、D 两村庄的距离和最小值．【详解】解：作C 点关于AB 的对称点C '，连接C D '与AB 的交点就是P 点过C '作C E DB '⊥的延长线于点E则2BE AC AC '===，8C E AB '==∵6DE BD BE =+=在Rt DEC '中2222268100C D DE C E =+'='=+∵10C D '=∵PC PD +的最小值为10cm ．【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，根据已知得出P 点位置是解题关键．。

专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。

（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。

关于将军饮马难题的练习10题1. 将军饮马难题是一个著名的数学逻辑题。

2. 问题是一个军队将军需要与他的士兵一起通过一条狭窄的通道，但通道上只能容纳两个人，将军必须牵着马过去。

士兵们有不同的移动速度，每个士兵通过通道的时间也各不相同。

3. 下面是10个练题，每个题目都有不同的条件，找到解决方案并计算出通过通道所需要的最少时间。

题目1:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要2分钟，将军过去需要5分钟，马过去需要10分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目2:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要4分钟，将军过去需要6分钟，马过去需要10分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目3:士兵A过去需要5分钟，士兵B过去需要10分钟，将军过去需要20分钟，马过去需要30分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目4:士兵A过去需要3分钟，士兵B过去需要4分钟，士兵C过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目5:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要5分钟，士兵C过去需要10分钟，将军过去需要15分钟，马过去需要20分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目6:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要3分钟，士兵C过去需要6分钟，士兵D过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目7:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要3分钟，士兵C过去需要4分钟，士兵D过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目8:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要2分钟，士兵C过去需要4分钟，士兵D过去需要8分钟，士兵E过去需要16分钟，将军过去需要20分钟，马过去需要30分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目9:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要4分钟，士兵C过去需要6分钟，士兵D过去需要8分钟，士兵E过去需要10分钟，士兵F过去需要12分钟，将军过去需要15分钟，马过去需要20分钟。

最短路径问题（将军饮马）专项训练一、单选题1．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．132．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（ ）A ．7B ．14C ．10D ．不确定3．如图，在等边△ABC 中，AB ＝2，N 为AB 上一点，且AN ＝1，AD ＝3，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM 、MN ，则BM+MN 的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．34．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（）度.A．90 B．95 C．100 D．1057．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15 B．17 C．18 D．208．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD的面积为（）A．13B．23C．43D．839．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是A ．4B ．5C ．6D ．711．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．29B ．21C ．74D ．4512．如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A ．(3213cm +B 85cmC 97cmD 109cm13．如图，ABC ∆是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2314．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，A 、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路l 上选取点P 处建一个服务中心，使P A +PB 最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点A 1处，CA 1与AB 交于点N ，且AN=AC ，则∠A 的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．50°D ．60°17．如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，3BC =，4CA =，AD 平分BAC ∠，点M N 、分别为AD AC 、上的动点，则CM MN +的最小值是（ ）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．518．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（ ）A ．6B ．37C ．27D ．5二、填空题 19．如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，H 是AD 上任意一点．如果10AB AC BC ===，53AD =，那么HE HB +的最小值是 ．20．如图，在ABC 中，10AB AC cm ==，8BC cm =，AB 的垂直平分线交AB 于点M ，交AC 于点N ，在直线MN 上存在一点P ，使P 、B 、C 三点构成的PBC 的周长最小，则PBC 的周长最小值为______．21．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是36，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值____．22．如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.23．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为_____．25．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____．26．如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是________．27．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.28．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线4AD=，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，EB EF+的最小值是______．29．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR 周长最小，则最小周长是_____30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC 的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.32．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．33．某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。

将军饮马模型专题练习——线段和最小值问题【基本模型】直线l表示草原上的一条河流，一骑马将军从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的驻地.他应沿怎样的路线行走，使路程最短？请作出这条最短路线..BA .【模型应用】1.如图，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，求PD + PE的最小值.2.如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上.30AMN,B为弧AN的中点，P是直径MN上—动点，求PA + PB的最小值.3.如图, AB,CD 是半径为5的⊙O 的两条弦， AB=8，CD=6, MN 是直径，AB 丄MN 于点E,CD 丄 MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，求PA+PC 的最小值.4.如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为)3,3(，点C 的坐标为，点P 为斜边OB 上的一个动点，求PA+PC 的最小值.5.如图，在平面直角坐标系中，直线AC ：与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线c bx ax y 2过点A,C ，且与x 轴的另一交点为B ，又点P 是抛物线的对称轴l 上一动点.若△PAC 周长的最小值为41210，求抛物线的解析式.834x y )0,21(6.如图,在 Rt △ABC 中，60,90ABC C ，D 是BC 边上的点，CD = 1,将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，求△PEB 周长的最小值.【基本模型】A 和C 两地在一条河的两岸，将军想要在河上造一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到C 的路线AMNC 最短？请作出这条最短路线.（假设河两岸平行，桥MN 与河岸垂直.）A ..C【模型应用】7.如图，已知直线a ∥b,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=302.试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a ，求 AM+MN+NB 的最小值.。

轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（五大类型）【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】【典例1】如图，A，B两个村庄独自从河流l上安装了两条灌溉管道AD，BE，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．某水务局准备为两村庄在河流l上重新安装一台大型的抽水设备灌溉农田．通过测量，确定在河流l的点P处安装抽水设备，则到两个村庄铺设的管道AP+BP的长度最短，此时测得∠PBE=30°，DE=150m，则AP+BP的最小值为（ ）A．180m B．210m C．240m D．300m【变式1-1】已知点A，点B都在直线/的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是()A．B．C．D．【变式1-2】如图，在正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；(2)连接CC′，直线l与线段CC′的关系是 ；(3)在直线l上确定一点P，使得PB+PC最短（不写作法，保留作图痕迹）．【变式1-3】如图，在小河河岸的同侧，一牧民在A点处放马，现在要到河边去给马饮水，然后再回到点B处．问在何处饮水才能使牧民所走的路程最短？【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】【典例2】如图，△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC的面积为21，AD⊥BC于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，△PBD周长的最小是等于（）A．7B．8C．9D．10【变式2-1】如图，已知△ABC中，AB=4，AC=5，边BC的垂直平分线分别交BC，AC于点E，F，点D为直线EF上一点，则△ABD的周长最小值为（）A．12B．11C．10D．9【变式2-2】如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC 边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（ ）A．8B．3C．6D．4【变式2-3】如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（ ）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】【典例3】如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC的面积为15，则BM+MD 的最小长度为（）A．5B．6C．7D．8【变式3-1】如图，在△ABC中，AB=AC,AD=12，D是BC的中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（ ）A．10B．11C．12D．13【变式3-2】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，且AD=6，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC与PE的和最小是（）A．3B．4C．6D．8【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】【典例4】如图，BD平分∠ABC，S△ABC＝8，AB＝4，E为BC上一动点，在BD上找一点F，使EF+FC的值最小，则这个最小值为( )A．4B．3C．5D．6【变式4-1】如图，在△ABC中，AB=AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边BC的点，点P是MN上任意一点，连接PD、PC，若∠A=40°，则当△PCD周长最小时，∠CPD=（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°【变式4-2】如图，点E 在等边△ABC 的边BC 上，BE =4，射线CD ⊥BC ，垂足为点C ，点P 是射线CD 上一动点，点F 是线段AB 上一动点，当EP +FP 的值最小时，BF =5，则AB 的长为（ ）A ．6B ．7C ．2D ．10【变式4-3】如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，点D 为垂足，E 、F 分别是AD 、AB 上的动点．若AB =6，△ABC 的面积为12，则BE +EF 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式4-4】如图，在△ABC 中，AB =AC =5，S ΔABC =12，AD 是△ABC 的中线，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF +EF 的最小值为（ ）A ．3B ．65C ．125D ．245【变式4-5】△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=8，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别是线段BD、线段AB上的动点，则AE+EF的最小值是()A．4B．3C．8D．16【典例5】在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB=30°，在两条公路之间的点P 处有一个草场，OP=4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是（）．A．4B．6C．8D．12【变式5-1】如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是()A．6B．12C．16D．20【变式5-2】如图，已知∠AOB=α，C是∠AOB内部的一点，且OC=3，点D、E分别是OA、OB上的动点，若△CDE周长的最小值等于3，则α=（）A．45°B．40°C．35°D．30°【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】【典例6】如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．60°B．120°C．90°D．45°【变式6-1】如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）A．100°B．110°C．120°D．130°【变式6-2】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）A．110°B．112°C．114°D．116°【变式6-3】如图所示，在四边ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC和CD上分别找一点M，使得△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为（）A．110°B．120°C．140°D．150°。

13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册一．将军饮马：线段和的最小值例1．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？请你用所学的数学知识在图2中画出．例2．已知x+y＝7，且x，y均为正数，则的最小值是．变式1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，1），点P（x，0）是x轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（）A．3B．C．5D．变式2．如图，正方形ABCD的边长为8，M在CD上，且DM＝2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为（）A．6B．8C．10D．8变式3．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）mC．1000m D．（300+100）m变式4．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．8变式5．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2B．12C．5D．7二．选址造桥例3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．变式1．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．变式2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）三．线段差最大例4．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2B．3C．D．变式1．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．变式2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）A．12cm B．8cmC．6cm D．2cm四．角中对称问题例5．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A．B．C．D．变式1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，求∠AOB的度数．变式2．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2．连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，求则△PMN的周长．变式3．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值课后练习1．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG ⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC 上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则线段CP+EP的最小值为．5．如图，正方形ABCD的边长为6，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．6．如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l ⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是（）A．4B．3C．2D．2+7．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3B．C．D．65．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则当DF+CF之和取最小值时，△DCF的周长为（）A．B．C．D．6．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°7．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC 上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）B．C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）9．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35B．40C．50D．6010．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC 的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．6B．8C．10D．1213．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，AC＝12，若点E，F是AC的三等分点，点P在正方形ABCD的边上从点A开始按逆时针方向运动一周，直至返回点A，则在此过程中PE+PF的最小值为（）A．4B．4C．6D．614．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2B．4C．6D．815．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝100°，求∠AOB．16．如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC 和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数17．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，求PM+MN的最小值18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上且BD＝1，AD＝4，点E、F分别为边AC、AB上的动点，求△DEF的周长的最小值为．19．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，点P为边AB上的一定点，连接CP，CP＝4，M，N分别为边AC和BC上的两动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值为；当△PMN周长的最小值时，∠MPN的度数为．20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N 是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，求PM+PN的最小值.21．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接BE，求△ABE周长的最小值。

初中将军饮马问题题型总结(全)题型一：将军饮马之单动点1.三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()解析：连接PC，由于AB=AC，BD=CD，AD垂直于BC，所以PB=PC。

因此，PB+PE=PC+PE，PE+PC>CE，当P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．2.等边三角形中的将军饮马题目描述：在等边三角形ABC中，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为()解析：连接BE交AD于点P'，AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，P'B=P'C，P'E+P'C=P'E+P'B=BE。

根据两点之间线段最短，点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长。

因此，BE=BC/2-CE/2=3，所以P'E+P'C的最小值为3，故选C．3.等腰三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()解析：连接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，AD垂直于BC，所以S△ABC=1/2×4×AD=16，解得AD=8.EF是线段AC的垂直平分线，所以点C关于直线EF的对称点为点A，MA=MC，AD=AM+MD，因此AD的长为CM+MD的最小值。

且AC6，BM3，因为BM AD，故BM AC，所以BM是AC的中线，故CM3。

又因为AC是菱形的对角线，所以AC平分DAB，即DAM30。

又因为AM MD，所以ADM75。

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。

2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。

3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。

点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。

4.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。

5.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______。

6.如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。

如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上存在一点P，使PA+PB最小，则P点坐标为_______。

7.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。

∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_________。

拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为_________。