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微积分基本公式 牛顿—莱布尼茨公式

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5-2牛顿-莱布尼兹莱公式

5-2牛顿-莱布尼兹莱公式

例1. 求
1 ( sin x ) 解: x 0 2e 2x 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
原式 lim e
cos2 x
0 0
解: 原式 =
b 0.
c ≠0 , 故 a 1. 又由
～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
d ( x) f (t ) d t f [ ( x)] ( x), dx a ( x) d ( x) d a f (t ) d t f (t ) d t f (t ) d t a dx ( x) dx ( x)
f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
0 f (t ) d t
x
2
0
(0 x )
三、牛顿—莱布尼兹（微积分基本公式）公式：
定理2：
b a
函数 , 则

f ( x )d x F (b) F (a ) .
微积分基本公式。 此公式称为： 牛顿 —莱布尼茨公式。
力
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间上的定积分等于它的 任意一个原函数在区间上的增量.
dF ( x) f ( x)dx
称 F ( x) 为 f ( x) 在
I 的一个原函数.

原函数存在的条件？

原函数如果存在，是否唯一？如不唯一，
则原函数之间的关系是什么？
猜想
若
是
的一个原函数，是否有

验证
b a
ห้องสมุดไป่ตู้
f ( x )d x
1

3.3牛顿——莱布尼兹公式

3.3牛顿——莱布尼兹公式
3.3 牛顿——莱布尼兹公式
3.3.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 间间隔[T1 , T2 ]上t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程 s.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与原函数之 间的联系，它表明，一个连续函数在某一区间上 的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增 量，为定积分计算提供了一个简便的方法. 求定 积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a b 时， a f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立.
解 从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
s v(t )dt (10 5t )dt
0 0 2 2
1 2 2 [10t 5 t ]0 10 2
即在刹车后 汽车需走过10米才能停住
4 4x x dx
2
原式

3
1
(2 x) dx | 2 x | dx
2 1 3 2
3
(2 x)dx ( x 2)dx
1
x 2 x [2 x ]1 [ 2 x]3 2 2 2
2
2
5
例3.21 汽车从开始刹车到停车所需的时间为2秒钟， 刹车后t时刻的速度为 v(t ) 10 5t（米/秒），问从 开始刹车到停车 汽车走了多少距离？
另一方面若已知物体运动的路程s = s(t)，则这
段路程可表示为 s = s(T2 ) s(T1 )

微积分牛顿莱布尼茨公式

微积分牛顿莱布尼茨公式

微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，也称为微积分基本定理或者牛莱公式。

该公式是微积分的重要工具，用于求解定积分和微分方程等问题。

下面我将为您详细介绍和解释这一公式。

牛顿－莱布尼茨公式可以用以下方式表述：设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导（即f'(x)存在），则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为：∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中，∫ 符号表示积分，[a to b] 表示积分的区间，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。

该公式的物理含义是：函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。

让我们来看一个具体的例子来理解牛顿－莱布尼茨公式的应用。

假设有一个函数 f(x) = 2x，在区间 [1, 3] 上。

我们可以求这个函数在该区间上的定积分，即∫[1 to 3] f'(x) dx。

首先，我们需要求出函数f'(x)，即函数f(x)的导数。

对于f(x)=2x，它的导数f'(x)=2接下来，我们将导数 f'(x) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2 dx。

将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x，得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后，我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以，函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿－莱布尼茨公式的应用。

通过求解函数的导数，并将导数代入定积分公式，可以得到函数在给定区间上的定积分值。

当对复杂函数进行定积分时，牛顿－莱布尼茨公式可以极大地简化计算。

我们可以通过求函数的导数来得到原函数，然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。

这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。

需要注意的是，牛顿－莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。

微积分基本公式

微积分基本公式
§5-2
微积分基本公式
一、问题的提出； 二、牛顿－莱布尼茨公式； 三、小结
一、问题的提出
设某物体作直线运动，已知运动速度 v = v(t) 是事件区间[T1,T2]上 的一个连续函数，且v (t) ≥0，求物体在此时间区间上的运动路程。 变速直线运动中路程为
T
另一方面这段路程可表示为
T2
1
v ( t )dt
3 1
arctan 3 arctan( 1)

7 ( ) 3 4 12
例5. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶到某处需要减速停车,设汽车以 等加速度a=-5m/s2刹车, ,问从开始刹车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为t =0,则此时刻汽车速度

361000 3600
时，必须满足函数f (x)在区间[a,b]上连续的条件，否则 公式不一定成立
因此求定积分问题，转化为求原函数的问题.
例3 求 解
2
1
1 dx. x
1 x
当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | ,
2
例4. 计算 解:
1
1 1 dx ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2. x

3 1
dx arctanx 1 x2
已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a x0 x1 x2 xn b
由拉格朗日定理，存在i[xi-1, xi],使
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi

牛顿—莱布尼茨公式

牛顿—莱布尼茨公式

|
x
|,
1 1
x
2
dx x
ln | x | 12 ln1 ln 2 ln 2.
例5
求
3
2 x dx
1
2
3
解 原式= 2 x dx 2 x dx
1
2
2
3
(2 x)dx ( x 2)dx
1
2
[2 9
x
1
1 2
x2 ]21
[1 2
x2
2 x]32
5
22
8
小结
1.积分上限函数
2.
1 1
1
e
x
e
x
dx
;
4. 2 sin x dx . 0
10
练习题解答
1.
2(x2
1
1 x2
)dx
2 x2dx
1
21 1 x2dx
[1 3
x3 ]12
[
1 x
]12
25 6
2.
1 1
1
e
x
e
x
dx
1 d (1 e x ) 1 1 e x
[ln(1 e x )]11
1
1
5.2.1 积分上限函数
1. 积分上限函数的概念
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a,b]上的一点， 考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于
每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以
它在[a, b]上定义了一个函数，

2牛顿莱布尼兹公式

2牛顿莱布尼兹公式

lim ΔG lim f(ξ)
Δx Δx0
Δx0
x 0, x G(x) f(x).
x
sin tdt
例： 求 lim x0
0
x2
.
x
解 lim 0 sin tdt 是( 0)型不定式，用L' Hospital法则及上述定理
x0
x2
0
x
x
lim
x0
sin tdt
(
0
x2
＝lim x0
0
sin tdt)
( x2 )
＝lim x0
sin x 2x
1 2.
推论 如果f (t)连续，a( x), b( x)可导，则
F ( x) b( x) f (t)dt的导数F ( x)为 a( x)
F( x) d b(x) f (t)dt f b( x)b( x) f a( x)a( x) dx a( x)
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a>b时, b f ( x)dx F (b) F (a)仍成立。 a
小结
1.积分上限函数
x
( x) f (t)dt
a
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理：设f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函数
G(x) x f(t)dt在[a, b]上可导，且 a
G(x)[ x f(t)dt] f(x)，(a x b) a y
证 G(x Δx) xΔx f(t)dt a

牛顿-莱布尼茨公式计算曲线的弧长

牛顿-莱布尼茨公式计算曲线的弧长

牛顿-莱布尼茨公式是微积分中一个非常重要的公式，它可以用来计算曲线的弧长。

在学习微积分的过程中，我们经常会遇到需要计算曲线弧长的情况，而牛顿-莱布尼茨公式提供了一个非常便捷和有效的方法。

让我们来看一下牛顿-莱布尼茨公式的表达式：\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]这里，\( L \)代表曲线的弧长，\( f(x) \)代表曲线的函数，\( f'(x) \)代表函数的导数。

公式的核心是利用积分来求曲线的弧长，通过对曲线的微小线段进行求和，从而得到整条曲线的长度。

接下来，让我们以一条简单的曲线\( y = x^2 \)为例来演示牛顿-莱布尼茨公式的计算过程。

我们假设要计算曲线在区间[0, 1]上的弧长。

第一步，我们需要求出函数\( y = x^2 \)的导数\( f'(x) \)，即\( 2x \)。

我们将\( f'(x) \)带入到公式中，得到：\[ L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (2x)^2} dx \]接下来，我们可以利用定积分的性质来求解这个积分。

通过简单的换元和分部积分，我们最终可以得到曲线\( y = x^2 \)在区间[0, 1]上的弧长为\( \frac{\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})}{4} \)。

这个结果非常直观地展现了牛顿-莱布尼茨公式的应用。

不仅如此，牛顿-莱布尼茨公式还可以应用于更加复杂的曲线和函数。

无论是求解圆的弧长、椭圆的弧长，还是一些特殊函数的弧长，牛顿-莱布尼茨公式都能够提供一个通用的计算方法。

牛顿-莱布尼茨公式是微积分中非常重要的一个公式，它可以有效地计算曲线的弧长。

通过对曲线的微小线段进行求和，利用积分来得到整条曲线的长度，这个公式为我们提供了一个非常便捷和实用的工具。

在实际应用中，只要我们掌握了牛顿-莱布尼茨公式的计算方法，并灵活运用积分的性质，就可以轻松地解决曲线弧长的计算问题。

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分

微积分基本公式

微积分基本公式
1
1exdx
0
2
(2x
1
1)dx
[ex ]10
[x2
x]12
e
1．
例 8 计算 4| x 3 | dx ． 0
解
4
3
4
3
4
| x 3| dx | x 3| dx | x 3| dx (x 3)dx (x 3)dx
0
0
3
0
3
1 [(x 2
3)2 ]30
1 [(x 2
1.3 牛顿—莱布尼茨公式
当 x a 时 ， 有 F(a) (a) C ， 因 为 (a) 0 ， 所 以 C F(a) ； 当 x b 时 ， F(b) (b) C F(a) ，所以 (b) F(b) F(a) ，即
b f (x)dx F(b) F(a) ． a
该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数的联系，并且表明：当被积函数的原 函数可以求出时，f (x) 在[a ，b] 上的定积分值等于它的任意一个原函数 F(x) 在区间[a ，b] 上的增量．为了方便把 F(b) F(a) 表示为
解 先要算出从开始刹车到停车所需的时间．当 t 0 时，汽车速度
v0
36
km/h
36 1 000 3 600
m/s
10
m/s
．
刹车后 t 时刻汽车的速度为 v(t) v0 at 10 5t ． 当汽车停止时，速度 v(t) 0 ，代入上式得，t 2 s ．于是从开始刹车到停车汽车所走过的
x x
x
a f (t)dt a f (t)dt
x x
a
a f (t)dt x f (t)dt
xx f (t)dt （积分区间的可加性） x

牛顿布莱尼公式推导

牛顿布莱尼公式推导

1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。

它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。

它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。

牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

微积分公式汇总

微积分公式汇总

f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例1. 求 解: 原式 lim e
x 0 cos2 x
( sin x) 1 2e 2x
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解: 原式 =
b 0.
22 22
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式
c ≠0 , 故 a 1. 又由
～
1. c ,得 2
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例3 设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数
tf (t)dt 0 F (x) x 0 f (t)dt
x
在(0 )内为单调增加函数 证明 因为
x
F (x)
xf (x)0 f (t)dt f (x)0 tf (t)dt (0 f (t)dt)2
( x) lim
( x h) ( x ) lim f ( ) f ( x) h 0 h 0 h
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
注:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d ( x) f (t ) d t f [ ( x)] ( x) dx a ( x) d ( x) d a f (t ) d t f (t ) d t f (t ) d t a dx ( x) dx ( x)

高数微积分牛莱公式

高数微积分牛莱公式
例 8:计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
解：面积 A sin xdx
0

y
cos x 2.
0
o

x
17
1 2 ( n 1) n 例9： lim sin sin sin sin n n n n n n
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
d x 数是 ( x ) a f (t )dt f ( x ) dx
定理2（原函数存在定理）
(a x b)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
另一方面这段路程可表示为积分上限函数如果上限x在区间上任意变动则对于每一个取定的x值定积分有一个对应值所以它在定理1如果积分上限函数的性质定理2原函数存在定理如果上的一个原函数
微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨公式
1
问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
12
F ( x ) ( x ) C

微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式

微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
∑ lim f (ξi )∆xi
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需 先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)

牛顿莱布尼兹公式

牛顿莱布尼兹公式

牛顿莱布尼兹公式
牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

牛顿-莱布尼兹公式，又称为微积分基本定理,其内容是:若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且存在原函数F (x),则f(x)在[a,b]_上可积,且从a到b的定积分(积分号下限为a上限为b) : ff(x)dx=F (b)-F(a)。

牛顿布莱尼茨公式意义：
牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解诀曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。

它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一-定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学
的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。

它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。

牛顿莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从-维推广到多维。

牛顿莱布尼兹公式的适用范围

牛顿莱布尼兹公式的适用范围

牛顿莱布尼兹公式的适用范围：
牛顿莱布尼茨公式适用范围是若函数fx在ab上连续。

且存在原函数Fx，则fx在ab上可积，且∫a到bfxdx等于Fb减Fa，牛顿在1666年写的流数简论中利用运动学描述了这一公式，1677年莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。

牛顿莱布尼茨公式特点
牛顿莱布尼茨公式NewtonLeibnizformula，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系，牛顿莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间ab上的定积分等于它的任意一个原函数在区间ab上的增量。

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法，它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值，牛顿莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁。

牛顿莱布尼茨公式计算定积分例题

牛顿莱布尼茨公式计算定积分例题

牛顿莱布尼茨公式计算定积分例题摘要：一、牛顿-莱布尼茨公式简介二、定积分的计算实例1.实例一：sinx-cosx的定积分2.实例二：x^4的定积分3.实例三：sin(x-1/4)的定积分三、求解定积分的方法小结正文：一、牛顿-莱布尼茨公式简介牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，是微积分学中的一个重要公式。

它的表述为：若函数f(x)在区间[a, b]上可积，函数g(x)在区间[a, b]上可导，且g"(x)≠0，那么∫[a, b]f(x)g(x)dx = f(b)g(b) - f(a)g(a)二、定积分的计算实例1.实例一：sinx-cosx的定积分我们要计算的定积分是：∫(0到π) sinx - cosx dx。

根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以得到：∫(0到π) sinx - cosx dx = (sinπ - sin0) - (c osπ - cos0) = 1 - 0 = 12.实例二：x^4的定积分我们要计算的定积分是：∫(0到1) x^4 dx。

根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以得到：∫(0到1) x^4 dx = (x^5/5)|0到1 = 1^5/5 - 0^5/5 = 1/53.实例三：sin(x-1/4)的定积分我们要计算的定积分是：∫(0到π/2) sin(x-1/4) dx。

根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以得到：∫(0到π/2) sin(x-1/4) dx = (sin(π/2) - sin(-1/4π)) - (sin0 - sin(-1/4π)) = 1 - (-1/√2) = 1 + 1/√2三、求解定积分的方法小结通过以上实例，我们可以看到，利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的过程相对简单。

只需要找到被积函数的原函数，然后根据牛顿-莱布尼茨公式进行计算即可。

在实际计算过程中，可能需要用到一些基本的三角函数和指数函数的性质，以及适当的代换或分部积分方法。

总的来说，牛顿-莱布尼茨公式为我们在微积分中求解定积分提供了一种简洁、高效的方法。

maple 牛顿-莱布尼茨公式

maple 牛顿-莱布尼茨公式

《探寻maple 牛顿-莱布尼茨公式》一、引言maple 牛顿-莱布尼茨公式，作为微积分中的经典公式，是描述求导和积分的关系的重要定理。

它由两位伟大的数学家牛顿和莱布尼茨分别独立发现，并且在实际应用和理论探讨中发挥着重要作用。

本文将从浅入深地探讨maple 牛顿-莱布尼茨公式，希望能为读者深入理解这一数学定理的内涵和应用。

二、maple 牛顿-莱布尼茨公式的基本概念1. maples 的概念在微积分中，maple 是代表一个函数的导数。

它描述了函数在某一点的瞬时变化率，是微积分中非常重要的概念之一。

2. 牛顿-莱布尼茨公式的表达maple 牛顿-莱布尼茨公式由以下表达式所描述：∫(a, b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，∫代表积分，f(x)是函数，F(x)是f(x)的不定积分函数，a和b是积分的上下限。

三、maple 牛顿-莱布尼茨公式的探讨1. 证明方法maple 牛顿-莱布尼茨公式的证明可以通过利用极限的性质，结合微分学和积分学的知识进行推导。

基于导数和积分的定义，可以清晰地展示maple 牛顿-莱布尼茨公式的成立过程。

2. 函数的连续性和可导性maple 牛顿-莱布尼茨公式适用于连续函数和可导函数。

在进行积分操作时，对函数连续性和可导性的要求是必不可少的。

3. 应用场景maple 牛顿-莱布尼茨公式在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。

在物理学中，可以利用maple 牛顿-莱布尼茨公式求解曲线下的面积和质心等问题。

四、个人理解和观点作为一名数学爱好者，我深刻理解maple 牛顿-莱布尼茨公式的重要性和美妙之处。

它不仅揭示了导数和积分之间的奇妙关系，还为我们解决实际问题提供了强大的工具。

maple 牛顿-莱布尼茨公式的深入理解不仅有助于提高数学水平，还能拓展思维，对于培养逻辑思维和解决实际问题具有重要意义。

五、总结本文从maple 牛顿-莱布尼茨公式的基本概念出发，深入探讨了其证明方法、适用条件和应用场景，同时结合个人观点和理解进行了阐述。

高数微积分牛莱公式

高数微积分牛莱公式

另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) ? s(T1 )
? ?
T2 v(t)dt ?
T1
s(T2 ) ?
s(T1 ).
其中 s?(t) ? v(t).
2
一、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点， 考察定积分
x
x
?a f ( x)dx? ?a f (t)dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对 于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
记
?
(x) ?
x
?a
f (t)dt.
积分上限函数
3
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数?
(x)
?
x
?a
f (t)dt在[a, b]上具有导数，且它的导
的一个原函数，则
b
?a
f
( x)dx
?
F (b) ?
F (a).
证 ? 已知F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，
又?
x
? ( x) ? ?a f (t)dt也是 f ( x) 的一个原函数,
? F ( x) ? ? ( x) ? C x ? [a,b]
12
? F (x)? ? (x) ? C
b( x )
a( x)
? ?0 f (t)dt ? ?0 f (t)dt,
F ?( x) ? f ?b( x)?b?( x) ? f ?a( x)?a?( x)
7
?1e ? t2 dt
例1 求 lim cos x .

第二讲 牛顿-莱布尼茨公式

第二讲 牛顿-莱布尼茨公式
第五章 定 积 分
§5-3 牛顿－莱布尼兹公式
牛顿 Newton , lsaac
(1642~1727)
牛顿是他那时代的世界著 名的物理学家、数学家和天文学 家.关于微积分，牛顿总结了已 经由许多人发展了的思想，建立 起系统和成熟的方法，其最重要 的工作是建立了微积分基本定 理，指出微分与积分互为逆运算. 恩格斯在论述微积分产生过程 时说，微积分“是由牛顿和莱布 尼茨大体上完成的，但不是由他 们发明的”.在他写于 1671 年但 直到 1736 年他死后才出版的书 《流数法和无穷级数》中清楚地 陈述了微积分的基本问题.

42 3

5 3
2.
1
2 e2t dt
0
1


1 2
e2t
2
0


1 2
(e1
1)
3.
2 0
x 1 x
2
dx

1 2
21 0 1x2
d(1

x
2
)

1 2
ln(1
x2)
2 0

1 2
(ln 5 ln1)

1 2
ln 5
4.
dx 2 x2
1 x1
2 1
sin x ( cos x)dx

2
2 0
sin xd sin x
sin xd sin x
2

2
s
in
3 2
3
x

2 0

2
s
in
3 2
3
x

2
2 ( 2) 4 . 3 33
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令x b
a f ( x )dx F (b) F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a , b]上的增量.
F ( x ) ( x ) C
x [a , b]
令 xa
a
F (a ) (a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
F ( x ) a f ( t )dt C ,
x
a
x
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
x
2
x

0 x 0
e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
x2
0
(1 cos t 2 )dt x
5 2
.
五、设 f ( x ) 为连续函数，证明:

x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x
t
0
f ( u )du )dt .
六、求函数 f ( x )

x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
2
2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
0 2 1 2 0 1
2
y x
o
1
2
x
原式 x dx xdx x 2dx
2
11 . 2
四、1、0；
1 2、 . 10
5 六、 , 0. 3 3 0 , x 0 1 七、( x ) (1 cos x ) , 0 x . 2 1 , x
b
d x a f ( t )dt f ( x ) dx d b x f ( u)du f ( x ) dx
练习题
一、填空题： 2 b x d 2 1、 e dx =_______ . dx a x d f ( x ))dx __________ . 2、 ( a dx d 2 3 t ln( t 2 1)dt _______ . 3、 dx x 2 x2 , 0 x 1 4、 0 f ( x )dx ____，其中 f ( x ) . 2 x , 1 x 2
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a b 时， f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立. a
b
例4
求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
0
2
解ห้องสมุดไป่ตู้
原式 2 sin x cos x x 0

2
2 2 x 0 x 1 例5 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
t 0 0 y x
dy 定，求 ； dx t2 x u ln udu, d2y 1 ( t 1) ,求 2 ； 2、 设 1 dx y 2 u 2 ln udu, t
d cos x cos( t 2 )dt ； 3、 dx sin x x dx g (1) . 4、设 g ( x ) 0 3 ，求
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当 x 1 时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6.
1 2 0 1
o
1
2
x
例6
求 2 max{ x , x }dx .
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时， 七、设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， x 求 （ x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
八、设 f ( x )在 a , b 上连续且 f ( x ) 0 , x x dt F ( x ) f ( t )dt ,证明： a b f (t ) F ' ( x) 2 ; （1） 、 （2） 、方程 F ( x ) 0 在( a , b ) 内有且仅有一个根 .
解 面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o

x
四、小结
1.积分上限函数 ( x ) f ( t )dt a 2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x ) 3.微积分基本公式
x
a f ( x )dx F (b) F (a )
例7
求
1
2
1 dx . x
解
1 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 dx ln | x |1 ln 1 ln 2 ln 2. 2 x 2
x 例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ] 上与 轴所围 成的平面图形的面积.
练习题答案
一、1、0； 2、 f ( x ) f (a ) ； 3、 3 x ln( x 2 1) ； 5 4、 ； 5、(1) , ； (2)0,0； 6 1 7、45 ; 8、 ； 9、1. 6 6 cos x 1 2 二、1、 ； 2、 ； sin x 1 2t ln t 2 3、(sin x cos x ) cos( sin x ) ； 4、 2 . 5 三、 1、2 ； 2、 ； 3、 1 ； 4、4. 8 3 4
2
1 x
三、计算下列各定积分： 2 1 2 1、 ( x 2 )dx ; 1 x 4 2 0 3x 3x 1 dx ; 3、 1 2 x 1
2、 4、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
2
0
sin x dx .
四、求下列极限：
1
1、 lim
( e dt )
t2
5、设 I 1

cos mx cos nxdx ,

sin mx sin nxdx ，
（1） m n 时， I 1 =__ ,I 2 =_____ ， 、当 （2） m n 时，I 1 =___ ,I 2 =_____ . 、当 6、设 （1） m n 时，I 3 =____ , 、当 （2） m n 时，I 3 =_____ . 、当 7、4
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数，则 a f ( x )dx F (b ) F (a ) .
证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
9
cos mx sin nxdx,
x (1

x )dx _____ .
dx _____ . 8、 1 2 31 x
3
9、lim
x0
x
0
cos t 2 dt x
________ .
二、求导数： 1、 设函数 y y( x ) 由方程 e dt cos tdt 0 所确
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
思考题
设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
a x
x f ( u)du 是 x 的函数还是t 与u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
b
思考题解答
a
x
x f ( t )dt 与 x f ( u)du 都是 的函数