牛顿莱布尼茨公式的详细证明

牛顿莱布尼公式牛顿 - 莱布尼茨公式学习资料。

一、公式内容。

1. 公式表达式。

- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。

- 这里F(x)满足F^′(x)=f(x)。

例如，对于函数f(x) = 2x，其一个原函数F(x)=x^2，那么∫_1^22xdx=x^2big_1^2=2^2 - 1^2=3。

二、公式的意义。

1. 计算定积分的有力工具。

- 在牛顿 - 莱布尼茨公式出现之前，计算定积分是非常复杂的事情。

例如，对于∫_a^bx^2dx，如果按照定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）来计算，过程十分繁琐。

而牛顿 - 莱布尼茨公式将定积分的计算转化为求原函数在区间端点的值的差，大大简化了定积分的计算过程。

2. 建立了导数与定积分之间的联系。

- 导数表示函数的变化率，定积分表示函数在区间上的累积效应。

牛顿 - 莱布尼茨公式表明这两种看似不同的概念实际上有着紧密的联系。

它是微积分基本定理的重要组成部分，体现了微分和积分这一对矛盾的相互转化关系。

三、公式的使用条件。

1. 函数的连续性。

- 函数f(x)在区间[a,b]上必须连续。

如果函数在区间内有间断点，那么直接使用牛顿 - 莱布尼茨公式可能会得到错误的结果。

例如，对于函数f(x)=(1)/(x)在区间[ - 1,1]上，x = 0是其间断点，不能直接用牛顿 - 莱布尼茨公式计算∫_-1^1(1)/(x)dx。

2. 原函数的存在性。

- 需要找到f(x)在区间[a,b]上的一个原函数F(x)。

有些函数的原函数不能用初等函数表示，如f(x)=e^-x^{2}，虽然它在任何区间[a,b]上连续，但它的原函数不能用我们常见的初等函数表示，这就给使用牛顿 - 莱布尼茨公式带来了一定的困难。

我们可以用数值方法或者其他特殊的函数表示方法来处理这类问题。

四、公式的证明（简单理解）1. 从定积分的定义出发。

数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第九章 定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式定理9.1：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且⎰ba f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布尼茨公式，常写成：⎰ba f (x)dx=F(x)ba .证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}，在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得F(b)-F(a)=∑=-n1i 1-i i )]x (F )x ([F =i n1i i x △)η(F ∑='=i n1i i x △)η(f ∑=.∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n1i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n1i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n1i i i x △)η(f )ξ(f ∑=-<a b ε-·∑=n 1i i x △=ε. 由定积分定义，得⎰b a f (x)dx=F(a)-F(b).例1：利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： (1)⎰ba n x dx(n 为正整数)；(2)⎰ba x e dx ； (3)⎰ba 2xdx(0<a<b)； (4)⎰π0sinx dx ；(5)⎰202x -4x dx.解：(1)∵∫x ndx =1n x 1n +++C ，∴⎰b a nx dx=b a1n 1n x ++=1n a b 1n 1n +-++.(2)∵∫e x dx =e x+C ，∴⎰ba x e dx=e x ba =eb -e a .(3)∵∫2x dx =-x 1+C ，∴⎰b a 2xdx =-bax 1=-b 1-(-a 1)=a 1-b1.(4)∵∫sin xdx=-cosx+C ，∴⎰π0sinx dx=-cosx ba =-cos π-(-cos0)=2.(5)∵∫2x -4x dx=-32)x -(431+C ，∴⎰202x -4x dx=-232)x -(431=38.例2：利用定积分求极限：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++++→2n 12n 11n 1lim ∞n.解：原式=n 1ni 11lim n1i ∞n⋅+∑=→=⎰+10x 1dx =ln(1+x)10=ln2. 注：和式n 1ni 11n1i ⋅+∑=是函数f(x)=x 11+在[0,1]上的一个积分和，这里所取的是等分分割，△x i =n 1，ξi =n i∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n in 1-i , i=1,2,…,n.习题1、计算下列定积分：(1)⎰+103)(2x dx ；(2)⎰+1022x 1x -1dx ； (3)⎰2e e xlnx dx ；(4)⎰10-xx 2e -e dx ；(5)⎰32x tan πdx ；(6)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+94x 1x dx ；(7)⎰+40x 1dx ；(8)⎰e e 12x )(ln x 1dx. 解：(1)⎰+103)(2x dx=(x 2+3x)10=4.(2)⎰+1022x 1x -1dx=(2arctanx-x)1=2π-1. (3)⎰2e exlnxdx=lnlnx 2e e=ln2-ln1=ln2.(4)⎰10-x x 2e -e dx=21(e x +e -x )10=21(e+e -1-2).(5)⎰302x tan πdx=(tanx-x)|30π=3-3π.(6)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+94x 1x dx=|943x 2x 32⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(18+6)-(316+4)=344. (7)令t =x ，则⎰+4x1dx =⎰+4t12tdt=2(t-ln|1+t|)|20=4-2ln3. (8)⎰ee 12x )(ln x 1dx=31(lnx)3|ee1=32.2、利用定积分求极限： (1))n 21(n 1lim334∞n +⋯++→；(2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋯++++→222∞n n)n (12)n (11)n (1n lim ； (3)⎪⎭⎫⎝⎛+⋯++++→2222∞n2n 12n 11n 1n lim ；(4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋯++→n)1(n sin n2sin nsin n 1lim ∞nπππ. 解：(1)原式=n 1n i lim n1i 3∞n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=→=⎰103x dx=4x 41=41.(2)原式=n 1n i 11lim n1i 2∞n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=→=⎰+102)x 1(1dx=-x 11+10=21.(3)原式=n1n i 11lim n1i 2∞n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=→=⎰+102x 11dx=arcttan 10=4π. (4)原式=n n 1)-(i sin lim 1n1i ∞nπππ⋅∑=→=⎰ππx sin 1dx=-cosx1ππ=π2.3、证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ’(x)=f(x)，则有：⎰ba f (x)dx=F(a)-F(b).证：设除有限个点：y 1,y 2,…,y m 外有F ’(x)=f(x).对[a,b]上的任一分割T ’，T={a=x 0,x 1,…,x n =b}是分割T ’添加分点y 1,y 2,…,y m 后所得到的分割. 在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得F(b)-F(a)=∑=-n1i 1-i i )]x (F )x ([F =i n1i i x △)η(F ∑='=i n1i i x △)η(f ∑=.∵f 在[a,b]上可积，∴f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 于是， 当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n1i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n1i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n1i i i x △)η(f )ξ(f ∑=-<a b ε-·∑=n 1i i x △=ε. 由定积分定义，得⎰b a f (x)dx=F(a)-F(b).。

⽜顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些⽜顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭⽰了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

那么，⽜顿布莱尼茨公式是什么呢？下⾯⼩编整理了⼀些相关信息，供⼤家参考！⽜顿布莱尼茨公式⽜顿-莱布尼兹公式,⼜称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了⼀个完善、令⼈满意的⽅法.⽜顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个⼩区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很⼩时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)⽜顿布莱尼茨公式意义⽜顿-莱布尼茨公式的发现，使⼈们找到了解决曲线的长度，曲线围成的⾯积和曲⾯围成的体积这些问题的⼀般⽅法。

它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或⼀定精度的近似值。

⽜顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之⼀。

它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为⼀门真正的学科。

⽜顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主⼲，利⽤⽜顿⼀莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第⼀中值定理和积分型余项的泰勒公式。

牛顿奈布尼兹公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式，它将导数和积分联系在一起，为计算复杂函数的导数提供了一种便捷的方法。

这个公式是由牛顿和莱布尼茨分别独立发现的，被认为是微积分的基石之一。

牛顿-莱布尼茨公式可以用以下形式表达：∫(a到b) f(x) dx = F(b) - F(a)其中，f(x)是函数f的原函数，F(x)是f(x)的一个不定积分。

公式的右边表示函数在区间[a, b]上的定积分，也可以理解为函数在a和b 处的原函数值之差。

牛顿-莱布尼茨公式的证明相对复杂，需要借助于一些数学分析的工具和概念。

简单来说，这个公式的核心思想是将函数的变化率和积分联系在一起。

导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，积分则表示函数在一段区间上的累积变化量。

牛顿-莱布尼茨公式通过将这两个概念联系在一起，使得我们可以通过积分来计算导数。

利用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以更方便地计算一些复杂函数的导数。

以一个简单的例子来说明，假设我们要计算函数f(x) = x^2的导数。

根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以先找到函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算F(x)在某一点的导数即可。

对于f(x) = x^2来说，F(x) = (1/3)x^3就是它的一个原函数。

那么根据牛顿-莱布尼茨公式，f(x)的导数就是F(x)的导数，即f'(x) = d/dx((1/3)x^3) = x^2。

牛顿-莱布尼茨公式在实际应用中有着广泛的用途。

它不仅仅用于计算导数，还可以用于计算一些其他与导数相关的量，比如曲线的斜率、函数的平均值等。

通过将函数的积分和导数联系在一起，牛顿-莱布尼茨公式为我们提供了一种更加便捷和直观的方法来处理微积分问题。

总结一下，牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要工具，它将导数和积分联系在一起，为我们提供了一种更加便捷和直观的方法来计算函数的导数。

这个公式的应用范围广泛，可以用于解决各种微积分相关的问题。

牛顿—莱布尼茨公式● 前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。

公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。

证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。

所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)● 定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间∆x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。

由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为∆S i =f(εi ) ∆x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限即： 性质1：证明⎰bac dx = C(b-a)，其中C 为常数.几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数.设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=∆=-+-++-=-=-∑⎰0()()()()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x∆→''=='''∴=-=-=+∆-'∴==∆Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==∆∑⎰即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ∆|为半径的区间,使得K(x+x ∆)=K(x)∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即: F(x)-G(x)=C性质3：如果f(x)≤g(x),则设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0.即相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=C证明：运用零点定理:设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0设x1,x2∈[a,b],且x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中m<C<M则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0即: g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点ε∈(x1,x2),有g(ε)=0= f(ε)-C => f(ε)=CPs: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显 的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x 轴上方），一个小于0(在x 轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x 轴有一个交点。

莱布尼茨公式的证明与应用莱布尼茨公式是微积分中的一项重要定理，它可以用于求解复杂函数的导数。

本文将介绍莱布尼茨公式的证明过程，并探讨其在数学和物理领域的应用。

一、莱布尼茨公式的证明莱布尼茨公式可以表达为：\[ (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k f^{(k)}g^{(n-k)} \]其中，\( (fg)^{(n)} \) 表示函数 \( fg \) 的第 \( n \) 阶导数，\( f^{(k)} \) 表示函数 \( f \) 的第 \( k \) 阶导数，\( g^{(n-k)} \) 表示函数 \( g \) 的第\( (n-k) \) 阶导数，\( C_n^k \) 表示组合数。

证明过程如下：设 \( F(x) = (fg)^{(n)} \)，则根据导数的定义，有：\[ F(x) = (fg)^{(n)} = \lim_{h \to 0} \frac{(fg)(x+h) - (fg)(x)}{h^n} \]展开 \( (fg)(x+h) \) 并应用二项式定理可得：\[ F(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h^n} \]利用极限的性质和导数的定义，将 \( f(x+h) \) 和 \( g(x+h) \) 展开为泰勒级数，得：\[ F(x) = \lim_{h \to 0} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x)}{k!} \cdot \frac{g^{(n-k)}(x)}{(n-k)!} \cdot h^{n} \]化简上述极限式，我们可以得到莱布尼茨公式的证明。

二、莱布尼茨公式的应用莱布尼茨公式在数学和物理领域有广泛的应用。

下面将介绍其在几个具体的应用场景中的应用。

1. 多项式求导莱布尼茨公式可以方便地求解多项式的高阶导数。

对于一个多项式\( f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \)，我们可以应用莱布尼茨公式进行求导，从而得到任意阶的导数。