西农大信号与系统第三章概论

第三章连续信号的正交分解§3-1 引言线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。

在上一章所述的时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。

然而，很多信号的特性与频率有着很重要的关系，因此研究信号在频域中的特性可以得到许多极具实用价值的结论，它在工程中也具有很重要的意义。

故此，从本章开始，我们就是研究这方面的问题。

在本章中，我们研究任何将信号分解成与频率有关的函数的叠加。

即在频域中，将信号分解为一系列与频率有关的正弦函数的和（或积分）。

然后，再研究如何通过系统对正弦信号的响应求解系统对原信号的响应。

类似上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。

2） 求解系统对各个正弦子信号的响应(这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍)。

3） 将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。

本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。

§3-2 信号在正交函数集中的分解信号的分解，在某种意义上与矢量的分解有相似之处。

为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。

一、矢量的分解1、矢量的定义：具有大小和方向的量叫做矢量。

2、矢量运算：加，矢量点乘（结果是标量），矢量叉乘。

3、矢量的分解：1） 矢量的单矢量基的分解：A 在1A 上的分量为A 在1A 上的投影：E +=11A A c其中，E 为误差矢量。

而A 在1A 上的垂直投影11c A 的模11A c ：11111A A Acos θA Acos θA AA ∙===1c ，从几何或者解析角度，都可以得到使误差E 最小的系数为：1112111A A A AA A A ∙∙=∙=c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。

其它投影情况下误差E 不为最小，见上图。

第 1 页 共 7 页西北农林科技大学本科课程考试试题（卷） 2010—2011学年第1学期《操作系统》课程 B 卷答案专业班级：计算机08 命题教师：方勇 审题教师： 学生姓名： 学号： 考试成绩：一、单项选择题（每小题3分，共30分） 得分： 分 1．离散信号f 1（k ）和f 2（k ）的图形如下图所示，设y （k ）= f 1（k ）* f 2（k ），则y （4）等于___D_______。

（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）32. 已知时域信号f(t)的最高频率2=m ω rad/s,则对f(2t)进行均匀抽样的抽样间隔最大值T s 为_______B_______。

(A)2/πs (B)4/π s (C)π s (D)π2 s3．已知信号 f(t) 的波形如图所示，则 f(t-1)u(t-1) 的表达式为 B（A ）u(t-3) （B ）u(t-1) – u(t-3) （C ）u(t) – u(t-3) （D ）u(t-1) – u(t+3)4．周期信号f(t)如图所示，其傅里叶级数系数的特点是 A（k ）（k ）第7题图第3题图第 2 页 共 7 页（A ）只有正弦项 （B ）只有余弦项（C ）既有正弦项，又有直流项 （D ）既有余弦项，又有直流项 5．若矩形脉冲信号的宽度变窄，则它的有效频带宽度 A（A ）变宽 （B ）变窄（C ）不变 （D ）无法确定二、简答题（每小题5分，共20分） 得分： 分 1．冲激函数 δ(t) 是怎样定义的? 其频谱有何特征? 答：δ(0) = +∞ δ(t) = 0, t≠0()1t dt δ+∞-∞=⎰其频谱恒为一常数（或为一直线）。

2．周期矩形脉冲信号的频谱有何特征？其谱线间隔、谱线包络的第一零点与时域各参数（周期、脉宽）有何关系？答：频谱为一个离散的sinc 函数。

谱线间隔为 2π//T0（T0为周期）。

谱线包络的第一零点位于2π//T1（T1为脉宽）。

第 1 页 共 5 页西北农林科技大学本科课程《信号与系统》考试试卷A 卷参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1. C ；2. A ；3. A ；4. D ；5. A ；6. C ；7. D ；8. B ；9. B ；10. B二、填空题（每空2分，共10分） 1. 11；2. 2sin t ；3. 0；4. 1，50三、证明题（10分） 证明：以下5行推导，每行2分。

2**22|[]|[][] 1[]()21()[]21()()21|()|2n n j j n n j j n n j j j x n x n x n x n X e e d X e x n e d X e X e d X e d πππππππππππ∞∞*=-∞=-∞*∞ΩΩ-=-∞∞ΩΩ-=-∞ΩΩ-Ω=⎡⎤=Ω⎢⎥⎣⎦=Ω=Ω=Ω∑∑∑⎰∑⎰⎰⎰四、简答题（每小题3分，共15分）1. 答：当采用连续时间傅里叶级数有限项部分和近似连续信号时，（1分） 在信号的不连续点处附近，部分和会偏离原信号，（1分）其峰值与部分和的项数几乎无关，过冲是不连续点处高度的9%。

（1分）2. 答：时域卷积定理：时域卷积对应频域相乘或x(t)*y(t) ⇔ X(w)Y(w)。

（2分） 频域卷积定理：频域卷积对应时域相乘或X(w)*Y(w) ⇔ 2πx(t)y(t)。

（1分）第 2 页 共 5 页3．答：零输入时系统的响应称为零输入响应；（2分）零初始状态时系统的响应称为零状态响应。

（1分）4．答：DFT ：离散傅立叶变换。

（2分）1(2/)0[][],0,1,2,1N j k N n n X k x n e k N π--===-∑ （1分）5. 答：时域连续，则频域非周期；时域离散，则频域周期。

（2分） 时域周期，则频域离散；时域非周期，则频域连续。

（1分）五、计算题（共35分）1. 解：（1）以下3行每行给1分11223314[]2cos(), 8;42818[]sin(), 16;821612[]2cos(), 4;2624x n n N x n n N x n n N ππππππππππ==⇒===⇒==-+=⇒= （2）因为123,,N N N 皆为有理数，故该函数为周期函数。

《信号与系统》目录第一章引论 (2)第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析 (2)一．普通信号 (2)二、冲激信号 (3)三.卷积 (3)四.电路元件的运算模型 (4)五.连续时间系统时域分析 (4)六.系统的特征方程 (4)七.系统的冲激响应和单位养殖响应 (5)八.基本离散信号 (5)九.离散信号的性质 (5)十.信号的分解 (6)第四章.连续时间信号与系统频域分析 (6)一.周期信号的频谱分析 (6)二.非周期信号的傅里叶变换（备注） (7)三.非周期信号的傅里叶变换 (7)四.无失真传输 (10)五.滤波 (10)六.抽样与抽样恢复 (10)第五章.离散时间信号与时域分析 (11)一.离散傅里叶级数（DFT） (11)二.离散时间傅里叶变换DTFT (12)第六章.连续时间信号与时域系统分析 (13)一.拉氏变换定义 (13)二.拉氏反变换 (14)三.拉氏变换的性质 (14)第七章Z变换 (17)一.Z变换的定义 (17)二.Z变换和傅氏变换及拉氏变换的关系 (17)三.Z反变换 (18)四.由零极点图确定傅氏变换的几何求值法 (18)五.Z变换性质 (18)H z的应用 (20)六.系统函数()七．数字滤波器 (20)第八章.系统函数与状态变量分析 (20)一.零极点和系统稳定性、因果性 (20)二.信号流图 (21)三.系统模拟 (21)四.连续系统离散化 (21)五.状态方程与输出方程 (22)六.状态方程的建立 (22)七.状态方程和输出方程的解法 (22)八.状态方程判断和系统的稳定性、可控性、可测性 (23)第一章引论⎪⎩状态变量系统模型第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析一．普通信号二、冲激信号三.卷积四.电路元件的运算模型五.连续时间系统时域分析六.系统的特征方程七.系统的冲激响应和单位养殖响应八.基本离散信号九.离散信号的性质十.信号的分解○1直流分量与交流分量 ○2奇分量与偶分量()()D A f t f f t =+常数平均是为零()()()e o f t f t f t =+1()[()()]21()[()()]2e o f t f t f t f t f t f t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t e h t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰ 点测法： ()()j t y t e H j ωω=⋅2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t Ttf t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑ 系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t ey t ∞Ω=-∞Ω=∑二.非周期信号的傅里叶变换（备注）三.非周期信号的傅里叶变换 1.连续傅里叶变换性质3.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线4. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ：2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波六.抽样与抽样恢复第五章.离散时间信号与时域分析一.离散傅里叶级数（DFT ） 1.信号0j n e Ω基本特征信号0j neΩ 周 期 性：00()02j n N j nm eeNπΩ+ΩΩ=⇒=时有理数时具有周期性 基波频率：2N mπΩ=基波周期：02()N m π=Ω 2.信号0j t e ω与0j n e Ω之间的差别3.DFS 系数与IDFS 变换对4.离散傅里叶级数的性质二.离散时间傅里叶变换DTFT1. 离散时间傅里叶变换DTFT○1非周期信号：11()()0x n n N x n n N ⎧≤=⎨>⎩21()()21()()j nj nn x n X e d X x n e N ππΩ∞-Ω=-∞⎧=ΩΩ⎪⎪⎨⎪Ω=⎪⎩⎰∑离散时间傅里叶变换 应用条件：()n x n ∞=-∞<∞∑ ○2周期信号： 2()2()k n X a k N ππδ∞=-∞Ω=Ω-∑ 112()1()N jk n Nk n N a x n eN π-=-=∑2.离散时间傅里叶变换性质第六章.连续时间信号与时域系统分析一.拉氏变换定义二.拉氏反变换三.拉氏变换的性质1.拉氏变换的性质2.拉氏变换的性质备注3.双边拉氏变换4.双边拉氏变换对与双边Z变换对5.复频域分析6.拉氏变换和傅氏变换的关系第七章 Z 变换一.Z 变换的定义z[()]()()j e nj nnn n x n eex n zX z σσ+Ω∞∞=-Ω-=-∞=-∞⋅−−−−→=∑∑令 ()()n n X z x n z ∞-=-∞=∑二.Z 变换和傅氏变换及拉氏变换的关系三.Z 反变换围线积分与极点留数法 11()()2n cx n X z z dz jπ-=⎰ 围线c 是在()X z 的收敛域内环绕z 平面原点逆时针旋转的一条封闭曲线 1()[()c ]n x n X z z -=⋅∑在围线内的极点上的留数 0z 是一阶极点： 0110Re [()][()]()n n z z s X z z X z z z z --=⋅=⋅-0z 是s 阶极点：1111111Re [()][()()](1)!s n n s s z zd s X z z X z z z z s dz ----=⎧⎫⋅=⋅-⎨⎬-⎩⎭ 0n <时， '111()()2n c x n X p dp j pπ--=⎰ 四.由零极点图确定傅氏变换的几何求值法11()()()Mrr Nkk z q X z z z ==-=-∏∏ 当1z =时，即j z e Ω=时11()()()Mj r j r N j k k eq X e e z ΩΩ=Ω=-=-∏∏=()()j j X e eφΩΩ 令rkj j r r j j k k e q A e e z B eϕθΩΩ⎧-=⎨-=⎩ 于是11()Mrj r Nkk A X e BΩ===∏∏ 11()M Nr k r k φϕθ==Ω=-∏∏注意：1在0z =处加入或除去零点，不会使幅度特性发生变化，而只影响相位变化。

西北工业大学《827信号与系统》重难点解析第1讲第一章信号与系统的基本概念一、信号的主要分类(1)连续时间信号：自变量的取值是连续的离散时间信号：自变量的取值是离散的(2)周期信号：具有周期性，且是无始无终信号非周期信号：不具有周期性(3)因果信号：t＜0时，f( t) ＝0；t＞0时，f( t) ≠0的信号非因果信号：t＞0时，f( t) ＝0的信号(4)功率信号：平均功率为有限值，能量趋近于无穷；能量信号：平均功率为0，能量为有限值的信号注意：(1)两个连续周期信号的和不一定是周期信号，只有当这两个信号的周期比为有理数时，该信号才是周期信号，且周期为原信号周期的最小公倍数；(2)直流信号和有界的周期信号均为功率信号；阶跃信号和有始周期信号也是功率信号；有界的非周期信号均为能量信号；无界的周期信号和无界的非周期信号均为非功率非能量信号。

一个信号只能是功率信号和能量信号两者之一，不会两者都是，但可以两者都不是，也就是非周期非能量信号。

【例1】判断下列各信号是否为周期信号后，若为周期信号，求出其周期。

(1)f( t) ＝cos8t－sin12t(2)f(k) ＝cos k＋2sin2πk解：(1) T1＝＝T2＝＝由于＝，故f( t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数，即T＝(2) cos k为周期信号，N1＝＝842π2π故f(k)为周期信号，为N1和N2的最小公倍数，即N＝8个间隔2cos2πk为周期信号，N2＝＝1三、δ(t )和 δ′( t ) 函数的性质【例 2】 (3t －2)[ δ(t ) ＋ δ(t －2) ]dtt 2 －2t ＋ 3) δ＇( t －2)dt(3t －2) δ(t －2)dt＝ －2 ＋ (3 ×2 －2) ＝ 2(2) 原式 ＝ － ( t 2 ＋ 3 －2t ) ＇ t ＝2 ＝ － (2t －2) t ＝2 ＝ －2四、系统的分类(1)线性系统：同时满足齐次性和叠加性的系统 非线性系统：不能同时满足以上两个条件的系统 (2)时不变系统：满足时不变的系统 时变系统：不满足时不变的系统(3)因果系统：响应不产生激励之前的系统 非因果系统：响应产生于激励之前的系统(4)稳定系统：系统的激励有界，响应也有界的系统 非稳定系统：系统的激励有界，响应无界的系统【例 3】 已知系统：a ：y ( t ) ＝2f ( t ) ＋3 b ：y ( t ) ＝f (2t ) c ：y ( t ) ＝f ( －t ) d ：y ( t ) ＝tf ( t ) 试判断上述哪些系统满足下列条件： (1)不是线性系统的是： (2)不是稳定系统的是： (3)不是时不变系统的是： (4)不是因果系统的是：解：(1) a (2)d (3)b ，c ，d (4)b ，c五、线性时不变系统的性质f ( t ) →y ( t )，f 1 ( t ) →y 1 ( t )，f 2 ( t ) →y 2 ( t )， A 1，A 2，A 为任意常数，常见性质如下： 1．齐次性：Af ( t ) →Ay ( t )2．叠加性：f 1 ( t ) ＋f 2 ( t ) →y 1 ( t ) ＋y 2 ( t )5 555西北工业大学《827 信号与系统》重难点解析3．线性：A 1f 1 ( t ) ＋A 2f 2 ( t ) →A 1 y 1 ( t ) ＋A 2 y 2 ( t ) 4．时不变性：f ( t －τ) →y ( t －τ) 5．微分性：→6．积分性：)d τ→)d τ【例 4】 一阶系统的初始状态为 y (0 － )，激励与响应分别为f ( t )，y ( t ) 。