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西农大信号与系统第三章概论

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信号与系统第三章5、6

信号与系统第三章5、6

j y ( )
│H(j)│幅频特性
= E ( j ) H ( j ) e j[e ( ) ( )]
()相频特性
2）LTI 系统的频域分析举例
例1 y( t ) 4 y( t ) 3 y( t ) e( t ) e(t ), ：
H ( j )
求 H ( j )及 h( t )。
K
（a）低通滤波器
（c）带通滤波器
（b）高通滤波器
（d）带阻滤波器 几种理想滤波器的幅频特性
常用的理想化的系统模型 阻带：被抑制的频率范围
截止频率：滤波器的边界频率
通带：允许通过的频率范围
1、理想低通滤波器( ILPE)的频率特性
e(t )
理想低通滤波器
y (t )
常用的理想化的系统模型
理想低通滤波器的频率响应H( j)
当激励信号为虚指数信号时,系统的零状态响应仍为同频 率的虚指数信号,其幅度和相位由系统函数H( j)确定。
4）LTI 系统对正弦信号的稳态响应
1 j0 t (e e j0t ) 2 yzs (t ) H ( j0 ) cos[0 t (0 )] e( t ) cos 0 ( t )
() | H(j) |

1
0. 5
y( t ) 2 2cos(5t ) 2 2sin 5t 2
5
10

-10
-5
0

-
e( t ) cos 0 ( t ) yzs ( t ) H ( j0 ) cos[0 t (0 )] (3 191)
3.8.2 无失真传输条件 系统加工处理信号时 a)非线性失真 (有意进行) b) 线性失真 (不希望发生) 1、失真的概念及系统产生失真的原因 (1) 无失真的概念

信号与系统 第三章(第5-7讲)

信号与系统 第三章(第5-7讲)

第三章连续信号的正交分解§3-1 引言线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。

在上一章所述的时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。

然而，很多信号的特性与频率有着很重要的关系，因此研究信号在频域中的特性可以得到许多极具实用价值的结论，它在工程中也具有很重要的意义。

故此，从本章开始，我们就是研究这方面的问题。

在本章中，我们研究任何将信号分解成与频率有关的函数的叠加。

即在频域中，将信号分解为一系列与频率有关的正弦函数的和（或积分）。

然后，再研究如何通过系统对正弦信号的响应求解系统对原信号的响应。

类似上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。

2） 求解系统对各个正弦子信号的响应(这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍)。

3） 将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。

本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。

§3-2 信号在正交函数集中的分解信号的分解，在某种意义上与矢量的分解有相似之处。

为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。

一、矢量的分解1、矢量的定义：具有大小和方向的量叫做矢量。

2、矢量运算：加，矢量点乘（结果是标量），矢量叉乘。

3、矢量的分解：1） 矢量的单矢量基的分解：A 在1A 上的分量为A 在1A 上的投影：E +=11A A c其中，E 为误差矢量。

而A 在1A 上的垂直投影11c A 的模11A c ：11111A A Acos θA Acos θA AA ∙===1c ，从几何或者解析角度，都可以得到使误差E 最小的系数为：1112111A A A AA A A ∙∙=∙=c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。

其它投影情况下误差E 不为最小，见上图。

信号系统习题解答khdaw

信号系统习题解答khdaw
1-1 题 1-1 图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是 非周期信号？哪些是有始信号？
kh da
(c)
后
答 案
解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、 (b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题 1-2 图示信号 f( t )，试画出下列信号的波形。 [提示：f( 2t )表示将 f( t )波形 t 压缩，f( )表示将 f( t )波形展宽。] 2
可见
即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。
18 若有线性时不变系统的方程为 1-8
w.
若在非零 f( t )作用下其响应 y (t ) = 1 − e − t ，试求方程
ww
的响应。 故响应
解 因为 f( t ) → y (t ) = 1 − e − t ，由线性关系，则 2 f (t ) → 2 y (t ) = 2(1 − e − t )
且
y (t ) = ∫ x (t )dt ,
故有
x(t ) = y ′(t )
1-5 已知某系统的输入 f( t )与输出 y( t )的关系为 y( t ) = | f( t )|，试判定该系统是否为线 性时不变系统？
解 设 T 为系统的运算子，则可以表示为
不失一般性，设 f( t ) = f1( t ) + f2( t )，则
6
w.
网
uC du +C C R dt
co m
由于
yzi ( 0+ ) = A1 = 1
−2A1 + A2 = 2 所以
A2 = 4
故有
y zi (t ) = (1 + 4t )e −2t ,

信号与系统概论

信号与系统概论

其中 K为振幅， 正弦信号的周期
是角频率， 称 为初相位。
T ， 其2中 是1 频率。
与指数f 信号相似，正弦信号对时间的f 微分
或积分仍是正弦信号
若信号有有限功率，则称为功率有限信号。 能量有限信号一定是功率有限信号；反之， 则未必。
例如：正弦信号是功率有限信号，却是能量 无限信号。
能量信号和功率信号的判断方法
判断能量信号和功率信号的方法：
先计算信号能量，若为有限值则为能量信号，同 时也必是功率信号；否则，计算信号功率，若为 有限值则为功率信号；若上述两者均不符合，则 信号既不是能量信号，也不是功率信号。
信号时间变量运算的物理意义
信号的折叠变换，就是将“未来”与“过去”互 换，这显然是不能用硬件实现的，所以并无实际 意义，但它具有理论意义。
信号的时移变换用时移器(也称延时器)实现 ，当 t0＞0时，延时器为因果系统，是可以用硬件实现 的；当t0＜0时，延时器是非因果系统， 此时的 延时器变成为预测器。
f (t) f1 (t nT )
n
二、周期信号与非周期信号
非周期信号可以认为是周期为无穷大的周期信 号；
常见的非周期信号是有限持续时间（finite duration）信号，即仅在一有限时间区间内存 在的信号，如图1-1(a) 所示。图1-1(b)是无限 持续时间的非周期信号。
判断周期信号的方法
时段总能量 t2 p(t)dt
平均功率 t1
t2 t1
1 R
v
2
(t
)dt
1
t2 t1
t2 t1
p(t)dt
1 t2 t1
t2 t1
1 R
v2
(t
)dt

信号与系统PPT 第三章 傅利叶变换

信号与系统PPT 第三章 傅利叶变换

bn an
)
2
(n 1,3,5)
f
(t)
2E
n1,3,5
1 n
sin
n1t
2E
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51
)
或
2E
f (t)
n1,3,5
1 n
cos(n1t
2
)
Fn
1 2 (an
jbn
)
j
bn 2
jE
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
f (t) jE e j1t jE e j31t jE e j1t jE e j31t
5
51 31 1 1 31 51
0 1 31 51
n
n 1 31
0
51
51 31 1
2
1
31 51
2
2
3.1.4 波形的对称性与傅里叶级数的关系
已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)
是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶 级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也 将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整 周期对称；另一类是对半周期对称。
那么这个正交函数集也就不完备。
1,cos1t,cos 21t,cos n1t,, sin1t,sin21t,sinn1t,
包含正、 余弦函数的三角函数集是最重要的完
备正交函数集。 它具有以下优点：
(1) 三角函数是基本函数； (2) 用三角函数表示信号， 建立了时间与频率两个基本物理量之
间的联系； (3) 单频三角函数是简谐信号,简谐信号容易产生、传输、 处理； (4) 三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信

西农大 2010—2011学年第1学期《信号与系统》课程B 卷答案

西农大 2010—2011学年第1学期《信号与系统》课程B 卷答案

第 1 页 共 7 页西北农林科技大学本科课程考试试题（卷） 2010—2011学年第1学期《操作系统》课程 B 卷答案专业班级：计算机08 命题教师：方勇 审题教师： 学生姓名： 学号： 考试成绩：一、单项选择题（每小题3分，共30分） 得分： 分 1．离散信号f 1（k ）和f 2（k ）的图形如下图所示，设y （k ）= f 1（k ）* f 2（k ），则y （4）等于___D_______。

（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）32. 已知时域信号f(t)的最高频率2=m ω rad/s,则对f(2t)进行均匀抽样的抽样间隔最大值T s 为_______B_______。

(A)2/πs (B)4/π s (C)π s (D)π2 s3．已知信号 f(t) 的波形如图所示，则 f(t-1)u(t-1) 的表达式为 B（A ）u(t-3) （B ）u(t-1) – u(t-3) （C ）u(t) – u(t-3) （D ）u(t-1) – u(t+3)4．周期信号f(t)如图所示，其傅里叶级数系数的特点是 A（k ）（k ）第7题图第3题图第 2 页 共 7 页（A ）只有正弦项 （B ）只有余弦项（C ）既有正弦项，又有直流项 （D ）既有余弦项，又有直流项 5．若矩形脉冲信号的宽度变窄，则它的有效频带宽度 A（A ）变宽 （B ）变窄（C ）不变 （D ）无法确定二、简答题（每小题5分，共20分） 得分： 分 1．冲激函数 δ(t) 是怎样定义的? 其频谱有何特征? 答：δ(0) = +∞ δ(t) = 0, t≠0()1t dt δ+∞-∞=⎰其频谱恒为一常数（或为一直线）。

2．周期矩形脉冲信号的频谱有何特征？其谱线间隔、谱线包络的第一零点与时域各参数（周期、脉宽）有何关系？答：频谱为一个离散的sinc 函数。

谱线间隔为 2π//T0（T0为周期）。

谱线包络的第一零点位于2π//T1（T1为脉宽）。

西农大 2011—2012学年第1学期《信号与系统》课程 A 卷答案

第 1 页 共 5 页西北农林科技大学本科课程《信号与系统》考试试卷A 卷参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1. C ；2. A ；3. A ；4. D ；5. A ；6. C ；7. D ；8. B ；9. B ；10. B二、填空题（每空2分，共10分） 1. 11；2. 2sin t ；3. 0；4. 1，50三、证明题（10分） 证明：以下5行推导，每行2分。

2**22|[]|[][] 1[]()21()[]21()()21|()|2n n j j n n j j n n j j j x n x n x n x n X e e d X e x n e d X e X e d X e d πππππππππππ∞∞*=-∞=-∞*∞ΩΩ-=-∞∞ΩΩ-=-∞ΩΩ-Ω=⎡⎤=Ω⎢⎥⎣⎦=Ω=Ω=Ω∑∑∑⎰∑⎰⎰⎰四、简答题（每小题3分，共15分）1. 答：当采用连续时间傅里叶级数有限项部分和近似连续信号时，（1分） 在信号的不连续点处附近，部分和会偏离原信号，（1分）其峰值与部分和的项数几乎无关，过冲是不连续点处高度的9%。

（1分）2. 答：时域卷积定理：时域卷积对应频域相乘或x(t)*y(t) ⇔ X(w)Y(w)。

（2分） 频域卷积定理：频域卷积对应时域相乘或X(w)*Y(w) ⇔ 2πx(t)y(t)。

（1分）第 2 页 共 5 页3．答：零输入时系统的响应称为零输入响应；（2分）零初始状态时系统的响应称为零状态响应。

（1分）4．答：DFT ：离散傅立叶变换。

（2分）1(2/)0[][],0,1,2,1N j k N n n X k x n e k N π--===-∑ （1分）5. 答：时域连续，则频域非周期；时域离散，则频域周期。

（2分） 时域周期，则频域离散；时域非周期，则频域连续。

（1分）五、计算题（共35分）1. 解：（1）以下3行每行给1分11223314[]2cos(), 8;42818[]sin(), 16;821612[]2cos(), 4;2624x n n N x n n N x n n N ππππππππππ==⇒===⇒==-+=⇒= （2）因为123,,N N N 皆为有理数，故该函数为周期函数。

信号与系统第3章(陈后金)4

y[k] = 0
k
k < 0时, RN [n]与RN [kn]图形没有相遇
0 k N 1时，重合区间为[0，k]
N1 < k 2N 2时，
y[k ] 1 k 1
n பைடு நூலகம்0
重合区间为[k (N1) ，N1]
RN[k]*RN[k] N

y[k ]
n k ( N 1)
y[k]
y[k ] a k n
n 0
1 k
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
RN[k] 或 RN[k]
1 k 0
RN[-n] 1 n
N- 1
n
-(N-1)
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
4201??kx3541??kh1422?????kkkkxddd利用位移特性1422khkkkkhkx?????ddd1422?????khkhkh12262615741???khkxky冲激响应表示的系统特性级联系统的冲激响应并联系统的冲激响应因果系统稳定系统一级联系统的冲激响应h1txtztyth2t1thtxtz?212ththtxthtzty??根据卷积积分的结合律性质有2121ththtxththtxty??ht一级联系统的冲激响应结论
例4 计算 x[k ] k u[k ] 与 h[k ] k u[k ]
的卷积和。
解:
k u[k ] * k u[k ]

n


n u[n] k n u[k n]
k 1 k 1 k 0 u[k ] k k <0 ( k 1) a u[k ]

《信号与系统》第03章


ak [ ∫ e j ( k − n )ω0t dt ]
0
T
由此可得
1 T − jnω0t an = ∫ x(t )e dt T 0
(3.36)
该式给出了确定系数的关系式。 若
∫
T
表示在任何一个T区间上的积分，则可表示为
1 an = T
∫
T
x ( t ) e − jn ω 0 t d t
（3.37)
+ a− k e
− jkω0 t
]
再利用
ak * = a− k 的关系,可得
∞
x ( t ) = a 0 + ∑ [ a k e jk ω 0 t + a k ∗ e − jk ω 0 t ]
k =1
x = a − jb
(3.30)
注意到上式括号内的两项互为共轭,所以有
x ( t ) = a 0 + ∑ 2 ℜ e a k e jk ω 0 t
k = ±2
一次谐波分量； 这两项频率都是基波频率的两倍，因此合起来称为二次谐 波分量。
k 依此类推，
= ± N 的项就称为N次谐波分量。
将连续时间周期信号表示为成谐波关系的复指数信号的线性组合，这就是连续 时间傅里叶级数。由于这种形式的傅里叶级数是以复指数函数为基底的,所以也 称为指数形式的傅里叶级数。 *表示共轭a-j b 与a +j b
x (t ) =
k = −∞
∑
+∞
ake
jk ω 0 t
=
k = −∞
∑
+∞
ake
jk ( 2 π / T ) t
（3.25)
那么，x (t)也一定是以T为周期的。这表明完全可以用成谐波关系的复指数信号 的线性组合来表示连续时间周期性信号。 式中， k = 0 这一项是一个常数，因而称直流分量；

刘泉《信号与系统》 第三章


15:46:31
WHUT
5


本章讨论的路线： 傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号频谱的概 念； 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里 叶分析方法的应用。 对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里 叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形 式。 最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽 样定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。
n 1
15:46:31
c0 d 0 a0 2 2 其中 cn d n a n bn bn an , n arctg n arctg an bn WHUT
10
3、傅里叶级数展开的充分条件
傅里叶级数存在的充分条件： 周期信号f(t)须满足“狄利克雷”(Dirichlet)条件，即
20
例如：奇谐函数 f (t )
E 2
T1 2 T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
0
E 2
t
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
f (t )
T 1 2
0
E 2
t

T1 2
0
E 2
T1 2
t
cos( w1t )
WHUT
sin( 2w1t )
f (t )
E
其傅里叶级数三角展开式中 仅含直流项和余弦项， 其傅里叶级数指数展开式中 F ( n1 )为实函数。

T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
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3.2 离散时间系统的差分方程
5. 差分方程的解法 ●递推法； ●经典法； ●零输入、零状态响应法。
差分方程的解法
A. 递推法（迭代法） 例 y[n]-1/2y[n-1]=x[n] ，y[-1]=C, x[n]=kδ[n]，求y[n]。 解： y[0]=x[0]+1/2y[-1]= kδ[0]+1/2C = k+1/2C y[1]=x[1]+1/2y[0]= k•0 +1/2(k+1/2C) =(1/2)2 C+1/2k y[2]=x[2]+1/2y[1]= k•0 +1/2((1/2)2 C+1/2k) =(1/2) 3C+(1/2)2 k …… y[n]=(1/2)n+1 C + (1/2)n k n≥0.
1 aT
1 aT
y[n]
y[n]
T
●二阶导数与二阶差分：
d 2y(t) d (dy(t)) dt 2 dt dt tnT
T
y[n] T
T
y[n]
y[n T
1]
y[n] y[n 1] T2
( y[n] y[n 1]) ( y[n 1] y[n 2]) T2
y[n] 2 y[n 1] y[n 2] T2
3.1 引言
1. 离散时间系统的图形描述
x[n]
已知
系统 h[n]
差分方程
y[n]
x(t)
系统
y(t)
h(t)
连续时间系统
求解
—对x[n]进行预定的加工、处理、变换或传输，而成为另一离散函数y[n]的设备 （软、硬件），装置的集合。
3.1 引言
2. 离散时间系统的数学模型（差分方程）
N
M
aky[n k] brx[n r]
Signals & Systems
第三章离散时间系统的时域分析 Prof. Yong Fang
College of Information Engineering, NAFU, Shaanxi Yangling
内容
• 3.1 引言 • 3.2 离散时间系统的差分方程 • 3.3 LTI离散时间系统的零输入响应 • 3.4 用抽样序列表示任意序列 • 3.5 单位抽样响应 • 3.6 LTI离散时间系统的零状态响应 卷积和 • 3.7 用单位抽样响应表示系统的性质 • 3.8 反卷积及其应用
●前向差分方程和后向差分方程可互相转化，通常用后向差分方程。
例： 把上式的n换成n+1可得
y[n] ay[n 1] x[n]
y[n 1] ay[n] x[n 1]
3.2 离散时间系统的差分方程
4. 差分方程的初始条件（方程的唯一解）
●后向差分方程的初始条件：
y[-1], y[-2], …, y[-N]；
(4.1-1)
对于因果系统，<0，x[n]=0，则有n<0, y[n]=0,
——〉y[-1] = y[-2], …, y[-N]=0. (4.1-2)
●前向差分方程的初始条件：
y[N-1]，y[N-2]，…，y[0]； (4.1-3)
对于因果系统，把(4.1-2)式的各序号都加 N 得：
y[N-1] = y[N-2] = … = y[0] = 0 (4.2-4)
k 0
r0
对照：连续时间系统的数学模型（微分方程）
3.1 引言
3. 离散时间系统的分析方法 时域分析法： ●差分方程法 ●卷积和 频域分析法： ●频域分析法（FFT----第五章) ●复频域分析法（Z变换----第八章）
3.2 离散时间系统的差分方程
1. 微分方程的差分方程近似 利用计算机对微分方程进行数值解时，常需要把微分方程离散化：
• 前向差分： y[n 1] y[n] y[n]
• 通常差分方程的输出（解）不仅与现在的输入有关而且还跟过去的输 出有关（初态影响）
2. 实际问题的差分方程描述 一些实际问题本身就具有离散性，因此，只能用差分方程表示。 例：由雷达，计算机构成的飞机导航系统
t=n-1
t=n
x[n-1] 、y[n-1]
把一阶微分方程
dy(t) ay(t) x(t), a 0 离散化， dt
令 x[n]=x[nT] <—— 离散化 —— x(t) y[n]=y[nT] <—— 离散化 —— y(t) , T 是抽样间隔，n=0,1,2…。
●一阶导数与一阶差分：
dy(t) lim y(t) y(t t)
dt t0
t
y[nT ] y[nT T ] T
y[n] y[n 1] T
y[n]
即
T
dy(t) y[n] y[n] y[n 1]
dt
T
T
一阶差分： y[n] y[n] y[n 1]
y[n-1]
则，上面微分方程可化为
y[n] aTy[n] Ty[n]
或 y[n] 1 y[n 1] T x[n]
dt 3
T3
2y[n] 2y[n 1] T3
y[n] 3y[n 1] 3y[n 2] y[n 3] T3
3y[n] 2y[n] 2y[n 1] y[n] 3y[n 1] 3y[n 2] y[n 3]
●高阶后差分：
my[n] m1y[n] m1y[n 1]
注意： • 抽样间隔T越小差分方程的解越接近微分方程的解；
x[n] 、y[n]
y[n–1]表示飞机(n–1)时刻的实际高度，x[n]表示飞机n时刻的计算高度。
飞机第n秒上升的高度y[n] 应与差 (x[n] – y[n–1]) 成正比，
即 y[n]-y[n-1]=A(x[n]-y[n-1]) 或 y[n]+(A-1)y[n-1]=Ax[n]
3. 差分方程的形式 A. 后向差分方程：
① N 阶递归差分方程：
N
M
aky[n k] brx[n r]
k 0
r 0
或
N
y[n]
ak y[n r]
M
br x[n r]
a k1 0
a r0 0
② N 阶非递归差分方程：
y[n] M bk x[n r] a r0 0 ● ①式为有反馈系统。实际应用中常描述无限冲激响应滤波器（IIR滤波器）
2y[n] T2
即 d 2y(t) 2y[n] y[n] y[n 1] y[n] 2y[n 1] y[n 2]
dt 2
T2
T2
T2
二阶差分：
2y[n] y[n] y[n 1] y[n] 2y[n] y[n 2]
●三阶导数与二阶差分：
三阶差分：
d 3y(t) 3y[n]
● ②式为无反馈系统。实际应用中常描述有限冲激响应滤波器（FIR滤波器）
3.2 离散时间系统的差分方程
3. 差分方程的形式
B. 前向差分方程
N
M
ak y[n k ] brx[n r]
k 0
r 0
注意：●差分方程各项序值如果同时加减同一个数，差分方程所描述的输入— 输出关系不变，形式虽不一样其实质是一样的 。