圆锥曲线(椭圆)练习题

第二章圆锥曲线（梳理卷）姓名______班级______考号______考点一、椭圆一、单选题1．已知12,F F 是椭圆22:11612x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，且23PF =，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．4C ．6D ．102．已知,A F 分别为椭圆22221(0)x ya b a b +=>>的左顶点和左焦点，直线y kx =与椭圆交于,B C 两点，若直线CF 交线段AB 于1,3M AM AB =，则椭圆的离心率为（）A B ．12C D 3．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆E 上一点，120PF PF ⋅= 且直线2PF的一个方向向量为3(,，则椭圆E 的离心率为（）A 1B ．2C ．12D ．34．已知椭圆2222:16x y C a a +=-的离心率为2，则椭圆C 的长轴长为（）A ．B ．C ．D ．5．椭圆22195x y +=的左右焦点为1，2F ，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1F 关于P 的对称点为M ，1F 关于2F 的对称点为N ，则1MF N 的周长为（）A ．10B ．14C ．18D ．20二、多选题6．设椭圆22:12516x y C +=的左､右焦点分别为12,,F F P 是C 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．1PF 的最大值为8B ．椭圆C 的离心率45e =C ．12PF F △面积的最大值等于12D ．以线段12F F 为直径的圆与圆22(4)(3)4x y -+-=相切7．椭圆()2222:101x y C m m m+=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C 的短轴长为C ．CD ．2ABF △的周长为88．已知12,F F 分别是椭圆C ：22195x y+=的左､右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A ．12PF F △的周长为10B ．12PF F △面积的最大值为25C ．1PF 的最小值为1D ．椭圆C 的离心率为23三、填空题9．若方程2212516x y m m+=-+表示长轴长为10的椭圆，则实数m 的值为．10．设P 为椭圆22221x y a b+=上任意一点，其中222c a b =-，1F 为它的一个焦点，则1PF 的最大值为，最小值为．考点二、双曲线一、单选题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(),0F c -到其渐近线的距离为12c ，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．C D ．2．过椭圆()22199x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆O ：224x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹方程为（）A ．22145x y -=B ．()221245x y x -=≤-C ．()221245x y x -=≥D ．22145y x -=3．已知动圆P 与圆M ：()2231x y ++=，圆N ：()2239x y -+=均外切，记圆心P 的运动轨迹为曲线C ，则C 的方程为（）A ．2218y x -=B ．()22118y x x -=≤-C ．()22118y x x -=≥D ．2218x y -=4．双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左､右焦点分别为12,F F P 满足12PF PF ⊥，直线l 平分12F PF ∠，过点12,F F 作直线l 的垂线，垂足分别为,A B .设O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A ．B ．C ．10D ．5．设双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的左焦点为F ，O 为坐标原点，P 为双曲线C 右支上的一点，0PF OP PF OF ⋅+⋅= ， FO 在FP，则双曲线C 的离心率为（）AB 1C D二、多选题6．已知点P 在左､右焦点分别为12,F F 的双曲线22:14xC y -=上，1212PF PF +=，则（）A ．渐近线方程为2y x =±BC ．1215cos 16F PF ∠=D ．12PF F S = 7．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，且l 与C 及其渐近线在第二象限的交点分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A ．直线l 的斜率为a b-B ．直线OM 是C 的一条渐近线C ．若13MF QF =，则C D ．若13MF PF =，则C 的渐近线方程为32y x=±三、填空题8．已知双曲线的中心在原点O ，右焦点为(),0F c ，P 是双曲线右支上一点，且OFP △若点P的坐标为(，求此双曲线的渐近线方程.9．已知P 为圆C ：()22536x y -+=上任意一点，()5,0A -．若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则点Q 的轨迹方程为．10．已知(P 在双曲线22214x yb-=上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，三角形12PF F 的内切圆切x 轴于点M ，则2MP MF ⋅的值为．考点三、抛物线一、单选题1．已知点P 在抛物线2:8M y x =上，过点P 作圆()22:41C x y -+=的切线，若切线长为，则点P 到M 的准线的距离为（）A ．5B ．6C ．7D ．2．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过C 上一点P 作圆()2222x y r -+=的两条切线，切点分别为,F A ，若PF PA ⊥，则p =（）A ．12B ．23C ．1D ．433．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为（）A ．2B ．12C ．132D ．1644．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与该抛物线相交于A B ､两点，O 为坐标原点，则OA OB⋅的值是（）A ．2B ．3C ．-2D ．-35．已知抛物线24x y =的焦点为F ，点()1,3B ，若点A 为抛物线上任意一点，当AB AF +取最小值时，点A 的坐标为（）A ．(1,4)B ．(4,1)C ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题6．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线:1l y x =-与C 相交于A B ，两点，则（）A ．2p =B ．4p =C ．8AB =D ．4FA FB ⋅=-7．抛物线2:2C x py =的焦点为F 、P 为其上一动点，当P 运动到(),1t 时，2PF =，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，点M (2，2)，下列结论正确的是（）A ．抛物线的方程为：28x y =B ．抛物线的准线方程为：y =C ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切D ．以M 为中点的弦的直线方程为：y x =三、填空题8．已知直线y =与抛物线2:2(0)C y px p =>在第一象限交于点P ，若点P 到C 的准线的距离为52，则p =.9．抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()2,1M 射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经过抛物线上的另一点B 反射后，平行于入射光线射出，则AB =．10．抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是准线l 上的动点，若点A 在抛物线C 上，且10AF =，则PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为.考点四、直线与圆锥曲线一、单选题1．已知直线l 交抛物线2:18C x y =-于,M N 两点，且MN 的中点为()3,2-，则直线l 的斜率为（）A ．3-B ．16-C ．19D ．13-2．已知直线20kx y k ++=与椭圆22134x y+=相切，则k 的值为（）A ．2B ．12C ．2±D ．12±3．已知离心率为12的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，线段2MF 的中点为N ，射线1F N 与C 交于点A ，若1AF =2AF =（）A ．63-B ．63-C ．123-D ．1234．设O 为坐标原点，直线1l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且与C 交于A B 、两点（点A 在第一象限），min 4AB =，l 为C 的准线，AM l ⊥，垂足为M ，()0,1Q ，则下列说法正确的是（）A ．4p =B ．AM AQ +的最小值为2C ．若3MFO π∠=，则5AB =D ．x 轴上存在一点N ，使AN BN k k +为定值5．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，其中122F F c =，过右焦点2F 的直线l 与双曲线的右支交与A ，B 两点，则下列说法中正确的是（）A ．弦AB 的最小值为22b aB ．若AB m =，则三角形1F AB 的周长24m a +C ．若AB 的中点为M ，且AB 的斜率为k ，则22OMb k k a⋅=D ．若直线AB[)2,e ∈+∞二、多选题6．已知12,F F 为双曲线22:132x y C -=的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，则下列叙述正确的是（）A ．直线1PF 与直线2PF 的斜率之积为32B ．PQ 的最小值为3C ．若PQ =1PFQ △的周长为D ．点P 到两条渐近线的距离之积657．已知点P 是椭圆(222:18x y C a a +=>上的一点，经过原点O 的直线:l y kx =与椭圆C 交于,A B 两点（不同于左、右顶点），且AP AB ⊥，直线PB 与x 轴交于点,M AM 与x 轴垂直，则下列说法正确的是（）A ．记直线BM 的斜率为1k ，则12kk =B ．4a =C ．ABM 面积的最大值为D ．若F 是椭圆C 的左焦点，则491AF BF+的最小值为8三、填空题8．已知双曲线C ：2222x y -=，过点()1,2P 的直线l 与双曲线C 交于M 、N 两点，若P 为线段MN 的中点，则弦长MN =.9．椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接1PF 、2PF ，设12F PF ∠的平分线PQ 交椭圆C 的长轴于点(),0Q m ，则m 的取值范围为．10．已知直线12:l y x =和2:2=-l y x ，过动点M 作两直线的平行线，分别交12l l ､于,A B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第四象限.若平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的面积为3，记动点M 的轨迹为曲线E ，若曲线E 与直线()2y k x =-有且仅有两个交点，则k 的取值范围为.考点五、综合应用1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点4,03F ⎛⎫- ⎪⎝⎭作斜率为32的直线交椭圆C 于,P Q 两点，求弦PQ 中点坐标.2．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，直线4400x y +-=与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点．(1)求12y y 的值；(2)若C 上存在点M ，使MAB △的重心恰为F ，求p 的值及点M 的坐标．3．已知平面直角坐标系内的动点(,)P x y 恒满足：点P 到定点(2,0)F 的距离与它到定直线20x +=的距离相等．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(8,0)M 的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，证明：OA OB ⊥．4．已知椭圆22:14x C y +=.(1)若椭圆C 的左右焦点分别为12,,F F P 为C 的上顶点，求12PF F △的周长；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B ､，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.5．已知双曲线C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P 到左右两个焦点12F F 和距离之差的绝对值为2.(1)求双曲线C 的标准方程;(2)若点Q (0，1)，求PQ 的取值范围;(3)若斜率为k 的直线l 过右焦点2F ，且与C 的右支相交于A 、B 两点，问:在x 轴上是否存在定点M ，使得无论直线l 绕点2F 怎样转动，总有0MA MB ⋅=成立?如果存在，求出定点M 的坐标;如果不存在，请说明理由.。

黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l与C 交于D ，E 两点，且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =(1)若椭圆E过点(，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =.（ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．13．（2024·辽宁沈阳·二模）P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．(1)求B '点轨迹Ω的方程；(2)点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线1y k x =和2y k x =分别与抛物线()2:20C y px p =>相交于不同于原点的A ，B 两点，当OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =(1)求p ；(2)若124k k =-，弦AB 中点为P ，点()2,0M -关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求PMN 的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于16．（2024·湖南·一模）已知双曲线2222:1(1)x y C b a a b-=>>的渐近线方程为y =，C 的半焦距为c ，且44244a b c ++=．(1)求C 的标准方程．(2)若P 为C 上的一点，且P 为圆224x y +=外一点，过P 作圆224x y +=的两条切线12,l l （斜率都存在），1l 与C 交于另一点2,M l 与C 交于另一点N ，证明：（ⅰ）12,l l 的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点A ，使得,M N 关于点A 对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线P 的方程为()()221,,0,,04x y B a C a -=-，其中()()00002,,,0a D x y x a y >≥>是双曲线上一点，直线DB 与双曲线P 的另一个交点为E ，直线DC 与双曲线P的另一个交点为F ，双曲线P 在点,E F 处的两条切线记为121,,l l l 与2l 交于点P ，线段DP 的中点为G ，设直线,DB DC 的斜率分别为12,k k ．(1)证明：12114k k <+≤(2)求GBGC的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+20．（2024·山东·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，设C 的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 的直线与C 于,D E 两点，当直线DE 垂直于x 轴时，ADE V 的面积为92．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)连接AD 和AE 分别交圆22(1)1x y ++=于,M N 两点．（ⅰ）当直线DE 斜率存在时，设直线DE 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，求12k k ；（ⅱ）设ADE V 的面积为1,S AMN △的面积为2S ，求12S S 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2F 到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C上一点(1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，2P 为点1P 关于坐标原点的对称点，过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H ，2H ，是否存在点Q ，满足122QH QH +=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN ，求点P 的坐标；(3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点()11,0F -的直线l 与圆2F ：()22116x y -+=相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过1GF 的中点F 且平行于2EF 的直线交2G F 于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若,A B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为34-；③221λμ+=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点P 是椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF d 为定值，并求出这个定值；(2)12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x =+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．(1)求双曲线1y x=的离心率；(2)已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y x =Γ，直线:30l x -=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B -，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)求()121232k k k k -+的值；(3)设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线C :22y px =的焦点F ，直线l 过F 且交C 于两点M N 、，已知当3MF NF =时，MN (1)求C 的标准方程.(2)令,02p F ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，P 为C 上的一点，直线F P '，FP 分别交C 于另两点A ，B .证明：·1AF PF PF BF '='.(3)过,,A B P 分别作C 的切线123,,l l l ， 3l 与1l 相交于D ，同时与2l 相交于E ，求四边形ABED 面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF 和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S -=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．【答案】(1)2214x y +=；【分析】（1）根据所给条件求出,a b ，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA OB ⊥，列出方程求k 即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意可知22224c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，如图，联立方程2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221440k x +++=，则12122414x x x x k +==+，从而(1212y y kx kx =+()212122k x x x x =+++222414kk-=+，因为,0OA OB OA OB ⊥⋅=，即12120x x y y +=，所以22222424640141414k k k k k --+==+++，解得k =或，经验证知Δ0>，所以k．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，且12AF F的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b ，得椭圆C 的方程；（2）设直线1l ，2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32AB DE =求出DE 和2l 的方程，再求出O 到直线2l 的距离，可求ODE 的面积.【详解】（1）由题意知，222224a c ca b a c ⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）若直线1l 的斜率不存在，则直线2l 的斜率为0，不满足32AB DE =，直线1l 的的斜率为0，则12,,A F F 三点共线，不合题意，所以直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2211044m y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=1221414y y m =-+，()2241.4m AB m +∴===+同理可得()222214141.1144m m DE m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，由32AB DE =，得()()2222414134214m m m m++=⋅++，解得22m =，则43DE =，∴直线2l的方程为y x =，∴坐标原点O 到直线2l的距离为d ==1423ODE S =⨯= 即ODE【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k=-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k =-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k--++，同理可得22284(,44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414ABk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k kk k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,),1,2,2222a b a bEB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎪⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M M M M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=【分析】（1）设点,,P A B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得0032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，结合正方形面积得Γ的方程；（2）设:14l y kx k =+-，,,Q M N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120244x x x x x x --=--，化简得0243kx k+=+，代入直线方程即可0y ，从而求出定直线方程.【详解】（1）设()()()00,,,0,0,P x y A x B y ，由0000222(,0))()333OP OA x y x y ==+=，得0023x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为正方形ABCD 的面积为29AB =，即22009x y +=，所以223())92x +=，整理可得22143x y +=，因此C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）依题意，直线l 存在斜率，设l ：1(4)y k x -=-，即14y kx k =+-，设点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ()102x x x <<，由22143412y kx kx y =+-⎧⎨+=⎩，消y 得2234(14)12x kx k ++-=，即222(34)8(14)4(14)120k x k k x k ++-+--=，由()()()2222Δ64141634143k k k k ⎡⎤=--+--⎣⎦()()()()()22222216144344834483414k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=--+++=+--⎣⎦⎣⎦()()22481282966410k k k k =-++=-++>，k <<所以3k ≠-，可得1228(14)34k k x x k -+=-+，21224(14)1234k x x k --=+，由||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅ ，得||||||||QM EM QN EN =，所以01120244x x x x x x --=--，可得222121201228(14)4(14)124234344()28(14)8()834k k k k k x x x x x k k x x k ⎡⎤---⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦==--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦()()2222232148142432128128648242432824248k k k k k k k k k k k----+-+-+-+==++-+1632242483k kk k++==++，所以()()200143243914333k k k k ky kx k k k k-++-=+-=+=+++，因为00612393333k kx y k k+-+=+=++，所以点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．【答案】(1)24y x =；(2)(.【分析】（1）先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出()221,2R m m +，进而可求,P Q 的坐标，可得直线//QR x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，代入22y px =，可得2220y mpy p --=，所以122y y mp +=，212y y p =-，则()21212222MN x x p m y y p m p p =++=++=+，由题意可知当斜率为1时，1m =，又8MN =，即228p p +=，解得2p =，所以C 的方程为24y x =；（2）由（1）知2p =，直线l 的方程为1x my =+，抛物线方程24y x =，124y y m +=，124y y =-所以R 的纵坐标1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得221x m =+，所以R 的坐标()221,2m m +，易知抛物线的准线为=1x -,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则直线OP 的方程为2m x y =，把2mx y =代入24y x =，得22y my =，即2y m =或0y =，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把2y m =代入2m x y =，得22mx y m ==，所以()2,2Q m m ，因为R 的坐标()221,2m m +，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线//QR x 轴，且222211QR m m m =+-=+，所以MNQ △面积1212MNQ MRQ NRQ S S S QR y y =+=- ，因为()22212121241616y y y y y y m -=+-=+，所以12y y -==，所以()332222112122MNQS m m QR =+⨯=+= ，因为点Q 异于原点，所以0m ≠，所以210m +>，因为3QR ≤，所以13QR <≤，所以3222QR <≤MNQ △面积的取值范围为(.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)221499x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线AB 的方程为()()()11220,,,,x my t m A x y B x y =+>，则()()11,,,0C x y M t -，由24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my t --=，()22Δ1600m t m t =+>⇒+>，所以12124,4y y m y y t +==-，直线BC 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，化简得1221214y y xy y y y y =---，令0y =，得124Q y y x t ==-，所以(),0Q t -因此1OM t OQt==-.（2）因为点Q 的横坐标为1-，由（1）可知，()()1,0,1,0Q M -，设QA 交抛物线于D ，()()()()11221144,,,,,,,A x y B x y C x y D x y -，如图所示又由（1）知，124y y =-，同理可得144y y =，得42y y =-，又()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()22212121214416y y y y x x =⋅==，又()()22111,,1,MB x y MC x y =-=-- ，则()()()221121212111444MB MC x x y y x x x x m ⋅=---=-+++=- ，故2844,9m -=结合0m >，得m =所以直线AB的方程为330,x -=又12163y y -===，则141414221214141412443444AD y y y y y y k y y x x x x y y y y ---======--+--，所以直线AD 的方程为3430x y -+=，设圆心(,0)(11)T s s -<<,因为QM 为AQB ∠的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以333354s s +-=，因为11s -<<，解得19s =，故圆T 的半径33253s r +==，因此圆T 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)23122y x x =-+；(2)0b <或1b >；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线2C 的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PA x y =-- ，(,1)PB x y =-- ，(1,1)PC x y =--，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+--++--+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =-+．（2）由（1）知2131:22C y x x =-+，又31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴平移公式为34116x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫-=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2y x ¢¢=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b --=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ ，2212120x x x x ∴+>，又12x x b =-，2()0b b ∴-+->，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x kx x b +=⎧⎨=-=-⎩，对2y x =求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x -=-，()2222:2N l y x x x x -=-，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧-=-⎪≠⎨-=-⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，R ∴点在定直线=2y -上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E 的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)2213x y -=(2)①⎫⎪⎪⎭；②27π16S >且7π4S ≠【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b 得双曲线方程；（2）①设(),0D t ，由四点共圆可得1AG OH k k ⋅=，根据斜率公式转化为,B C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：b y x a =±，由题条件知：b a =因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，所以双曲线的方程为：2213x y -=.（2）如图，①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()22Δ1230t m =+->时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设π02α<<，则π2AGH α∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为π2α-，πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OH k k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则y =H t ⎛ ⎝，所以OH k=AGABk k==1=((1212t y y t x x ⇒=，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y yt my t my t =++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=+++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅+⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t +-=，解得：t =（舍）或t =故点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭.②直线AG 的方程为(tan y x α=⋅，由①知：t =所以G α⎫⎪⎪⎭.直线OH 方程；1tan y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α>若G ，H 在x 轴下方时，即t an 0α<α<所以tan α>tan α<又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠所以0πα<<，tan α>tan α<tan α≠因为OG ==设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OG R α==所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22125tan tan αα=即tan α=tan α>tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而27π16S >且7π4S ≠.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OHk k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．【答案】(1)y x =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，a ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =.由222+=a b c，得a ，所以E的渐近线的方程为y =（2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，11112OP OQ y +=+设()()3344,,,A x y B x y ， 由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，1AF2p =由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）是，12【分析】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，利用坐标可得曲线C 的方程；（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组可得1221231my y m +=--，122931y y m =-，求得直线AM ：()1111y y x x =++，求得P ，H ，进而可得Q 的坐标，求得FQ 的坐标，直线MN 的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii) 法一：利用（i ）可求得()226113mMN m +=-；QF=()()322329112213m S MN QF m+=⋅=-，进而求得()1212114S S PH x x +=⋅+-，代入运算可求得()()32212291413m S S m++=-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得1218S S PH MN +=⋅，又312S MN QF =⋅，12314PH S S S QF +=，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，则由题意可知：()2222222212444441123y x y x x x y x x x ⎛⎫-+=-⇒-++=-+⇒-= ⎪⎝⎭，故曲线C 的方程为2213y x -=.（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，其中m <<且11x >，21x >()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩，故1221231my y m +=--，122931y y m =-；直线AM ：()1111y y x x =++，当12x =时，()11321y y x =+，故()1131,221y P x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y H x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，Q 为PH 中点，故()()()()1221121212111332211411Q y x y x y y y x x x x +++⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪++++⎝⎭；()()()()()()222212121212293693111333931m m m x x my my m y y m y y m -+-++=++=+++=-2931m =--；（*）()()()()()122112211212221836181133233131m m my x y x y my y my my y y y m m -+++=+++=++==---；故3183492Q m m y =⋅=，即13,22m Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则33,22m FQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线MN 的方向向量(),1a m =，33022m m a FQ ⋅=-+= ，故QF MN ⊥.(ii)法一：12y y -===（**）故()2226113m MN y m +=-=-；QF==又QF MN ⊥，故()()322329112213mSMN QF m+=⋅=-.()12121211111122224S S PQ x HQ x PH x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()222121222311293133113m m m x x m y y m m +-+-+-=++==--；()()()()()()1221121212113332121211y x y x y y PH x x x x +-+=-=++++，()()()()()()12211212123339211211y my y my y y x x x x +-+-==++++，由（*）知()()12291113x x m ++=-，由（**）知12y y -=，故291329m PH -==故()()()3222122231911413413m mS S m m+++=⋅=--，则12312S S S +=.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()()12121111488S S PH x x PH MF NF PH MN +=+-=⋅+=⋅，又312S MN QF =⋅，故12314PH S S S QF +=，又()()12129411P H y y y y x x =++，且由（*）知229993194431P Hm y y m -==--，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由94P Hy y =可得2PK HK FK ⋅=，即PK FK FK HK =，即PKF PFH ∽△△，故PF HF ⊥；又Q 为PH 的中点，故12QF PH =，即1231142PH S S S QF +==.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．。

高中圆锥曲线练习题一、选择题1. 椭圆的标准方程是 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 分别代表什么？A. 长轴和短轴B. 短轴和长轴C. 焦点到椭圆中心的距离D. 椭圆的半长轴和半短轴2. 抛物线 \( y^2 = 4px \) 的准线方程是什么？A. \( x = \frac{p}{2} \)B. \( x = -\frac{p}{2} \)C. \( y = \frac{p}{2} \)D. \( y = -\frac{p}{2} \)3. 双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的渐近线方程是什么？A. \( y = \pm \frac{a}{b}x \)B. \( y = \pm \frac{b}{a}x \)C. \( x = \pm \frac{a}{b}y \)D. \( x = \pm \frac{b}{a}y \)4. 椭圆 \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \) 上的点到原点的最短距离是多少？A. 1B. 2C. 3D. 45. 抛物线 \( y^2 = 12x \) 上的点到直线 \( x = -3 \) 的最短距离是多少？A. 3B. 4C. 6D. 9二、填空题6. 给定椭圆 \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \)，其焦点坐标为________。

7. 双曲线 \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \) 的一条渐近线方程为________。

8. 抛物线 \( x^2 = 4y \) 上的点 \( P(2,1) \) 到其准线的距离为________。

9. 给定椭圆 \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \)，其长轴长度为________。

圆锥曲线-椭圆一．解答题（共28小题）1．求椭圆16x2+25y2=400的长轴长、短轴的长、焦点坐标、离心率、顶点坐标．2．已知曲线9x2+y2=81（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率（2）求与已知曲线共焦点且离心率为的双曲线方程．3．若过椭圆+=1（a＞b＞0）左焦点的直线与它的两个交点及其右焦点构成周长为16的三角形，此椭圆的离心率为0.5，求这个椭圆方程．4．求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点在x轴上，焦距为4，并且经过点P（3，）（2）焦距为8，离心率为0.8．5．已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点A（0，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q 两点，求线段PQ的长（提示：|PQ|=|x1﹣x2|）．6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左顶点为A，上、下顶点分别为B，C．（1）若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；（2）若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离．7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C 的方程．8．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．9．已知椭圆C：+y2=1，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；（Ⅱ）已知P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．10．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长为10，短轴长为8，F1、F2为椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求椭圆的焦点坐标、离心率；（3）求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．11．已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．12．椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2，（1）求椭圆的方程；（2）斜率k≠0的直线l：y=kx﹣2与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，圆C的方程为（x+k）2+（y﹣2）2=25（k∈R）．（1）求椭圆G的焦点坐标与离心率；（2）求△CF1F2的面积．14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+y2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=4．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|x﹣y﹣4|的最小值．15．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）准线方程为x=﹣1的抛物线；（2）离心率为，准线方程为y=±4的椭圆；（3）焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12．16．已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．17．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．（1）求弦AB的长；（2）当直线l 的斜率k=，且直线l′∥l 时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．19．若A（x1，x2），B（y1，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．20．已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．21．已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA ⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若抛物线y2=4x的焦点与椭圆一个焦点重合．（1）求椭圆的标准方程．（2）若直线m椭圆左焦点F1且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|．23．已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．24．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．25．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线L经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线L的方程．26．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN 恒过定点．27．已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点M（，）在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程．28．已知椭圆的长轴为，离心率为．（1）求C的方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求证：直线l与圆E：x2+y2=2相切．圆锥曲线-椭圆参考答案与试题解析一．解答题（共28小题）1．求椭圆16x2+25y2=400的长轴长、短轴的长、焦点坐标、离心率、顶点坐标．【分析】把椭圆方程化为标准方程，然后求解长轴长、短轴的长、焦点坐标、离心率、顶点坐标．【解答】（本小题12分）解：把已知方程椭圆16x2+25y2=400化为标准方程：，这里a=5，b=4，所以c==3因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a=10，2b=8离心率e==．两个焦点分别是F1（﹣3，0），F2（3，0），四个顶点分别是A1（﹣5，0），A1（5，0），B1（0，﹣4），B1（0，4）．【点评】本题考查椭圆标准方程以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．2．已知曲线9x2+y2=81（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率（2）求与已知曲线共焦点且离心率为的双曲线方程．【分析】（1）化椭圆方程为标准方程，然后求解其长轴长，焦点坐标，离心率．（2）利用焦点坐标，结合离心率求解双曲线方程即可．【解答】（10分）解：（1）曲线9x2+y2=81，的标准方程为：，可得a=9，b=3，c==6，所以长轴长为：18，焦点坐标（0，）．（2）与已知曲线共焦点，可得c=6，离心率为，则a=6，则b==6．所求的双曲线方程为：y2﹣x2=36．（5分）【点评】本题考查双曲线方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3．若过椭圆+=1（a＞b＞0）左焦点的直线与它的两个交点及其右焦点构成周长为16的三角形，此椭圆的离心率为0.5，求这个椭圆方程．【分析】设左、右焦点分别为F，F'，两个交点为A，B，由椭圆的定义可得|AF|+|AF'|=|BF|+|BF'|=2a，则4a=16，运用离心率公式可得c=2，求得b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设左、右焦点分别为F，F'，两个交点为A，B，由椭圆的定义可得|AF|+|AF'|=|BF|+|BF'|=2a，即有三角形的周长为4a=16，解得a=4，由e==，解得c=2，b==2，则椭圆的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．4．求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点在x轴上，焦距为4，并且经过点P（3，）（2）焦距为8，离心率为0.8．【分析】（1）设出椭圆方程，利用已知条件化简求解即可．（2）利用椭圆的性质转化求解椭圆方程即可．【解答】解：（1）焦点在x轴上，设椭圆的标准方程，焦距为4，可得a2﹣b2=4，…①，椭圆经过点P（3，），可得：…②，解①②，可以得到b2=32解：①②可得：a2=36，b2=32，所求椭圆方程为：．（2）焦距为8，离心率为0.8．可得c=4，a=5，则b=3，椭圆的标准方程为：或．【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，考查计算能力．5．已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点A（0，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q 两点，求线段PQ的长（提示：|PQ|=|x1﹣x2|）．【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式计算弦长．【解答】解：（1）由题意可知椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为（a ＞b＞0），由题意可知，∴a=3，b=．∴椭圆的标准方程为=1．（2）直线l的方程为y=x+2，联立方程组，得14x2+36x﹣9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴|PQ|=|x1﹣x2|===．【点评】本题考查了椭圆的性质，弦长公式，属于基础题．6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左顶点为A，上、下顶点分别为B，C．（1）若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；（2）若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离．【分析】（1）由题意可得A，B，C的坐标，写出直线BF的方程，再由AC的中点在直线BF上求得a，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由直线BF的斜率可得b，求出a，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆方程求得D的坐标，则点D到椭圆E右准线的距离可求．【解答】解：（1）由题意，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b），又F（﹣1，0），∴c=1，直线BF：y=bx+b．∵M为AC的中点，∴，代入直线BF：y=bx+b，得a=3，由a2=b2+c2=b2+1，得b2=8，∴椭圆E的标准方程是；（2）∵直线BF的斜率为1，则，∴椭圆，又直线BF：y=x+1，联立，解得x=0（舍），或，∵右准线的方程为x=2，∴点D到右准线的距离为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础的计算题．7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C 的方程．【分析】画出图形，结合图形以及椭圆的定义与性质，求出a、b的值，即可写出椭圆的方程．【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c；则离心率e==，∴4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16；∴a=4，∴c=×4=2，∴b2=a2﹣c2=42﹣=8；∴椭圆的方程是．【点评】本题考查了椭圆的定义与简单的几何性质的应用问题，解题时应结合图形进行解答问题，是基础题．8．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．【分析】（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．【解答】解：（1）根据题意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，解得：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．9．已知椭圆C：+y2=1，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；（Ⅱ）已知P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．【分析】（Ⅰ）由椭圆的方程及性质直接求解．（Ⅱ）由椭圆的定义知①，勾股定理，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2②，①2﹣②，得|PF1|•|PF2|即可．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆知a2=2，b2=1，则，故c=1﹣﹣﹣（2分）所以椭圆C的长轴，短轴2b=2，离心率，左焦点F1（﹣1，0）．（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，b=1，c=1．由椭圆的定义知①，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）在Rt△PF1F2中，由勾股定理，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2②，①2﹣②，得2|PF1|•|PF2|=8﹣4=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴|PF 1|•|PF2|=2，∴S=|PF1|•|PF2|=×2=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了椭圆的方程及焦点三角形的面积，属于基础题．10．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长为10，短轴长为8，F1、F2为椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求椭圆的焦点坐标、离心率；（3）求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．【分析】（1）由题意求得椭圆的长半轴和短半轴长，再由椭圆的焦点在y轴上可得椭圆的标准方程；（2）由隐含条件求得c，则椭圆的焦点坐标、离心率可求；（3）由题意求出双曲线的顶点坐标和焦点为坐标，进而得到双曲线的实半轴长和虚半轴长，则双曲线的标准方程可求．【解答】解：（1）由已知2a=10，2b=8，解得a=5，b=4，∵椭圆的焦点在y轴上，∴所求椭圆的标准方程为；（2）由c2=a2﹣b2=9，得c=3．因此椭圆的焦点坐标为F1（0，﹣3），F2（0，3），离心率；（3）由已知，所求双曲线的顶点坐标为（0，﹣3），（0，3），焦点为坐标为（0，﹣5），（0，5），∴双曲线的实半轴长a=3，半焦距c=5，则虚半轴长为b=．又双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为．【点评】本题考查椭圆及双曲线的简单性质，考查了椭圆及双曲线标准方程的求法，是基础题．11．已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．【分析】由题意分别表示出|PF1|=6﹣r，|PF2|=2+r，|PF1|+|PF2|=8＞2，可知P 的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，即可求得P的轨迹方程．【解答】解：设所求点P（x，y），F1（﹣1，0），F2（1，0），动圆半径为r，由题易得|PF1|=6﹣r，|PF2|=2+r，∴|PF1|+|PF2|=8＞2，由点P到两定点F1，F2距离之和为定长8，且大于|F1F2|=2c=2，满足椭圆定义，∴轨迹方程：．动圆圆心P的轨迹方程．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义，属于基础题．12．椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2，（1）求椭圆的方程；（2）斜率k≠0的直线l：y=kx﹣2与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．【分析】（1）设出椭圆的标准方程，由题意得b=2，再由a、b、c之间的关系及|FB|=2，求出a2=12，从而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线l，则点A在线段MN的垂直平分线上，把直线l的方程代入椭圆的方程，转化为关于x的一元二次方程，由题意知判别式大于0，设出M、N的坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，用斜率表示MN的中点P的坐标，求出AP的斜率，由AP⊥MN，斜率之积等于﹣1，求出直线l的斜率【解答】解：（1）依题意，设椭圆方程=1 （a＞b＞0 ），则其右焦点坐标为F（c，0），c=，由|FB|=解得c=2，又∵b=2，∴a2=c2+b2=12，即椭圆方程为．（2）由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，把y=kx﹣2代入椭圆方程．消去y得x2+3（kx﹣2）2=12，即（1+3k2）x2﹣12kx=0由k≠0，得方程的△=（﹣12k）2=144k2＞0，即方程有两个不相等的实数根．设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），则x0=，∴y0=kx0﹣2=，即P（），∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1=，由AP⊥MN，得．∴2+2+6k2=6，解得：k=．∴存在直线l满足题意，直线l的方程y=±x﹣2．【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标注方程，直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，两直线垂直的性质，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属于压轴题．13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，圆C的方程为（x+k）2+（y﹣2）2=25（k∈R）．（1）求椭圆G的焦点坐标与离心率；（2）求△CF1F2的面积．【分析】（1）由椭圆方程，求得a和b，则c2=a2﹣b2，求得c，求得焦点坐标，根据椭圆的离心率公式求得椭圆的离心率；（2）根据圆的方程，求得圆心，根据三角形的面积公式，即可求得△CF1F2的面积．【解答】解：（1）由题意可得：c2=a2﹣b2=16﹣4=12，c=2，…（2分）a=4，所以e==，…（4分）椭圆的焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）；…（6分）（2）由（1）知丨F1F2丨=4，…（7分）圆C：（x+k）2+（y﹣2）2=25（k∈R）的圆心为点C（﹣k，2），…（8分）∴△CF1F2的面积为×2×丨F1F2丨=4．△CF1F2的面积4．…（10分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，圆的标准方程，三角形的面积公式，考查计算能力，属于基础题．14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+y2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=4．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|x﹣y﹣4|的最小值．【分析】（1）根据直线的参数方程，即可求得直线l的直角坐标公式，由椭圆C 的参数方程即可求得曲线C的参数方程；（2）由（1）可得丨x﹣y﹣4丨=丨2cosφ﹣sinφ﹣4丨，根据辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得|x﹣y﹣4|的最小值．【解答】解：（1）由ρcos（θ+）=4，则ρcosθ﹣ρsinθ=4，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，即直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0，由题意可得：椭圆的参数方程（φ为参数），（2）因为点M在椭圆上，则M（2cosφ，sinφ），则丨x﹣y﹣4丨=丨2cosφ﹣sinφ﹣4丨，=丨cos（φ+α）﹣4丨=4﹣cos（φ+α）（tanα=），当cos（φ+α）=1时，|x﹣y﹣4|取最小值，最小值为4﹣，∴|x﹣y﹣4|的最小值为4﹣．【点评】本题考查直线的极坐标方程，椭圆的参数方程，辅助角公式及余弦函数的最值，考查转化思想，属于中档题．15．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）准线方程为x=﹣1的抛物线；（2）离心率为，准线方程为y=±4的椭圆；（3）焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12．【分析】（1）利用抛物线的定义求解抛物线方程；（2）利用椭圆的性质列出方程求解a，b，然后得到椭圆方程．（3）利用双曲线的性质，求出双曲线的实半轴与虚半轴的长，得到双曲线方程．【解答】解：（1）准线方程为x=﹣1的抛物线；可得p=2，所求的抛物线方程为：y2=4x．（2）离心率为，准线方程为y=±4的椭圆；可得，解得a=2，c=1，则b=，所求椭圆方程为：．（3）焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12．可得a=6，，解得b=8，所求的双曲线方程为：．【点评】本题考查椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三种曲线方程的求法，考查计算能力．16．已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．【分析】（1）将点M分别直线方程及椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线m的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k MA+k MB=0，即可求得△MEF为等腰三角形．【解答】解：（1）由直线l：bx﹣ay=0都经过点，则a=2b，将代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，∴椭圆C的方程为；（2）证明：设直线m为：，A（x1，y1），B（x2，y2）联立：，整理得x2+2bx+2b2﹣8=0，∴x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣8，设直线MA，MB的斜率为k MA，k MB，要证△MEF为等腰三角形，只需k MA+k MB=0，由，==0，所以△MEF为等腰三角形．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．17．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．【分析】（1）根据题意，由椭圆的定义分析可得4a=4，又由直线的斜率分析可得b、c的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，解可得N的坐标，由分析可得|QF1|=2|PF1|，按直线的斜率存在与否分2种情况讨论，分析求出m的值，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2=b2+c2，所以b=1，c=1，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y=x+1，联立得，解得，所以，因为，即，所以|QF1|=2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x=my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，则y2=2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O 的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．（1）求弦AB的长；（2）当直线l 的斜率k=，且直线l′∥l 时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．【分析】（1）根据中点坐标公式及向量的坐标运算即可求得x02+y02=5，利用两点之间的距离公式即可求得丨AB丨的长．（2）根据题意求得直线AB的方程，根据x02+y02=5，即可求得A点坐标，代入即可求得a和b的值，求得椭圆的方程，要证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形，只需证直线MA，MB的倾斜角互补即可，也即直线MA，MB的斜率互为相反数．可分别用A，B点坐标表示直线MA，MB的斜率，再计算k1+k2，消去参数，看结果是否为0．若是0，则问题得证．【解答】解：（1）由题意可知：2c=2，c=，设F（，0），A（x0，y0），B （﹣x0，﹣y0），则M（，），N（，﹣），由•==，则x02+y02=5，则丨AB丨=2=2，（2）由直线l的斜率k=时，且l′∥l，则l：y=x，设l′：y=x+m，y0=x0，由x02+y02=5，则A（2，1），由c=，代入椭圆方程解得：a=2，c=，∴椭圆的方程：，联立，整理得x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则k1=，k2=．由x2+2mx+2m2﹣4=0，可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，k1+k2=•=====0．即k1+k2=0．直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查中点坐标公式及向量的坐标运算，韦达定理及直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19．若A（x1，x2），B（y1，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．【分析】（1）设AB的中点为M，则M（1，），由，得=0，即可得k AB=﹣，线段AB的垂直平分线的斜率即可；（2）设直线AB：y=kx+m．由得（1+9k2）x2+18kmx+9m2﹣9=0，x1+x2=﹣=2．⇒9k2+9km+1=0…①；由A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E上位于x轴上方两点，∴k＜0，m＞0…②结合①②得m=（﹣k）+，当且仅当k=﹣时，取等号．【解答】解：（1）设AB的中点为M，则M（1，）由，得=0∴⇒即k AB=﹣，∴线段AB的垂直平分线的斜率为．∴线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=，即9x﹣2y﹣8=0为所求．（2）设直线AB：y=kx+m．由得（1+9k2）x2+18kmx+9m2﹣9=0，x1+x2=﹣=2．⇒9k2+9km+1=0…①∵A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，∴k＜0，m ＞0…②△=（18km）2﹣4（1+9k2）（9m2﹣9）＞0⇒9k2﹣m2+1＞0…③，结合①②得m=（﹣k）+，当且仅当k=﹣时，取等号．此时，k=﹣满足③．∴直线AB在y轴上截距的最小值为．【点评】本题考查了点差法，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．20．已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．【分析】（1）由题意方程求出右焦点坐标，即抛物线焦点坐标，进一步可得抛物线方程；（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得|y1﹣y2|，代入三角形面积公式，利用二次函数求最值；（3）分直线AB的斜率存在与不存在，证明有，可得CA⊥CB，又D为线段AB的中点，则|AB|=2|CD|．【解答】（1）解：由椭圆，得a2=10，b2=9，则c=1．∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ：y2=2px的焦点为（1，0），则，p=2，∴Γ的方程为y2=4x；（2）解：设直线l：x=my+2，联立，得y2﹣4my﹣8=0．则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴==，即△OAB的面积的最小值为；（3）证明：当AB所在直线斜率存在时，设直线方程为y+2=k（x﹣5），即y=kx ﹣5k﹣2．联立，可得ky2﹣4y﹣20k﹣8=0．，．=．===．∵C（1，2），∴，，则=（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）+4=，当AB所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5，联立，可得A（5，﹣），B（5，2），，，有，∴CA⊥CB，又D为线段AB的中点，∴|AB|=2|CD|．【点评】本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查向量垂直与数量积间的关系，是中档题．21．已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA ⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．【分析】（1）利用椭圆的定义，即可求得a的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的方程；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求出椭圆的极坐标方程为ρ2（b2cos2θ+a2sin2θ）=a2b2，设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），运用三角函数的平方关系和诱导公式，以及基本不等式，即可得到．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则|PF1|+|PF2|=2a，则+=+=4=2a，则a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ2（b2cos2θ+a2sin2θ）=a2b2，设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），则|AB|2=|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+=+，=[（b2cos2θ+a2sin2θ）+（b2sin2θ+a2cos2θ）]（+）=（2++）≥，∴|AB|的最小值为．【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查椭圆的极坐标方程的应用，考查三角函数的化简及求值，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若抛物线y2=4x的焦点与椭圆一个焦点重合．（1）求椭圆的标准方程．（2）若直线m椭圆左焦点F1且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|．【分析】（1）根据抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），求出c，再根据离心率求出a，再根据b2=a2﹣c2得：b2=4；问题得以解决，（2）求出直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理和弦长公式即可求出．【解答】解：（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，焦点距为2c∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴c=1，又离心率，则：再由b2=a2﹣c2得：b2=4；所求椭圆标准方程为：，（2）由（1）知，左焦点为F1（﹣1，0），直线m的方程为：y﹣0=1（x+1）即y=x+1联立：消去y得：9x2+10x﹣15=0，则，由弦长公式|AB|=•=•=【点评】本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，直线的点斜式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．23．已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2，P3，P4三点在椭圆C上．把P2，P3代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），与椭圆方程联立，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，得到P2，P3，P4三点在椭圆C上．把P2，P3代入椭圆C，得，得出a2=4，b2=1，由此椭圆C的方程为．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，=﹣1解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，…①∵直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，∴==…②①代入②得：又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．24．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【分析】（1）由题意可知：b=4，根据椭圆离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）由点斜式方程求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得A和B点坐标，利用中点坐标公式，即可求得AB的中点坐标．【解答】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，4），则b=4，椭圆离心率为e===，则a=5，∴C的方程为+=1；（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y=（x﹣3），设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入C的方程，得x2﹣3x﹣8=0，解得：x1=，x2=，∴AB的中点M（x0，y0）坐标x0==，y0==（x1+x1﹣6）=﹣，即中点为（，﹣）．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．25．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线L经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线L的方程．【分析】（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为，求出a，b，即可求椭圆C 的方程；（2）设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆方程，由若可得x1=﹣2x2，利用韦达定理，化简可得，求出k，即可求直线l的方程．。