中考数学专题突破：证明圆的切线

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

考纲要求:1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．.2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．.基础知识回顾:1.切线一般地，当直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，其中的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点.（1）切线与圆只有一个公共点.2.切线（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.的性质（3）切线垂直于经过切点的半径.（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.3.切线（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.的判定（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用举例:招数一、利用切线进行证明和计算。

【例1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．（1）求证：EF=BF；（2）若DC=4，DE=2，求直径AB的长．【答案】(1)证明见解析；（2）10.【解析】（1）证明：，，，，，，；即直径的长是10．学科@网【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，⊙的半径为2(为坐标原点)，点是直线上的一动点，过点作⊙的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】招数二、添加辅助线法:通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线。

【例3】如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接，，，，，在中，，，，则为圆的切线；【例4】如图，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．解析：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BA C的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．招数三、切线的性质和判定的综合应用。

专题27切线模型【模型1】双切线模型已知如图27-1，点P 为⊙O 外一点，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，根据切线的性质，可证明P AO ∆≌PBO ∆,︒=∠+∠180AOB APB ，PO 垂直平分AB 。

【模型2】割线定理如图27-2，已知在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点P ，点P 在⊙O 外⇒PB PD P A PC ∙=∙。

【证明】如图27-5，连接AD 、BC ，P P ∠=∠，BA ∠=∠∴PDA ∆∽PCB∆∴PCPD PB P A =∴PBPD P A PC ∙=∙【模型3】切割线定理如图27-3，已知在⊙O 中，弦AC 的延长线交⊙O 的切线PB 于P ⇒P A PC PB ∙=2。

【证明】如图27-4，连接AB 、BC ，PBC ∠为⊙O 的弦切角，∴APBC ∠=∠又 PP ∠=∠∴PCB ∆∽PBA∆∴P A PB PB PC =∴P APC PB ∙=2【例1】如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，记切点为A 、B ，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ．若∠ACB ＝62°，则∠APB 等于（）A ．68°B ．64°C ．58°D ．56°【例2】已知：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，4PA cm =，6AB cm =，3CD cm =.则PD =______cm .【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，射线BC 交⊙O 于点D ，E 是劣弧AD 上一点，且BE 平分FBA ∠，过点E 作EF BC ⊥于点F ，延长FE 和BA 的延长线交于点G ．(1)证明：GF 是⊙O 的切线；(2)若2AG =，6GE =，求⊙O 的半径．一、单选题1．如图，AB 是⊙O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MA ＝AO ，MD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交MD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为2，则BC 的长是（）A ．4B ．23C ．22D ．32．如图，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，点C 为优弧AB 上一点，若ACB APB ∠=∠，则ACB ∠的度数为（）A ．67.5︒B ．62︒C ．60︒D ．58︒3．如图，⊙O 的半径为72，BD 是⊙O 的切线，D 为切点，过圆上一点C 作BD 的垂线，垂足为B ，BC ＝3，点A 是优弧CD 的中点，则sin ∠A 的值是（）A ．37B 77C 217D 21二、填空题4．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝50°，则∠ACB 的度数为____________5．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ．若O 的半径为3，5BC =，则PA 的长为______．6．如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点．若60APB ∠=︒，则AOP ∠的大小为______．7．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点．若∠P ＝45°，则∠AOB ＝_____°．8．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且50E ∠=︒，则P ∠的度数为______．9．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，Q 是优弧 AB 上一点，若∠P =40°，则∠Q 的度数是________．三、解答题10．如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切于点D ，与AB 、AC 的延长线分别相切于点E 、F ，连接OB ，OC ．(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．11．如图，已知P，PB分别与⊙O相切于点AB，∠APB＝60°，C为⊙O上一点．(1)如图②求∠ACB的度数；(2)如图②AE为⊙O的直径，AB与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠BAC的度数．12．如图，CD是⊙O的切线，切点为D，点C在直径AB的延长线上．(1)求证：∠CAD＝∠BDC；(2)若tan∠BDC＝23，AC＝3，求CD的长．13．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C．BD PD，垂足为D，连接BC．(1)求证：BC 平分∠PBD ；(2)若4cm PA =，42cm PC =，求⊙O 的半径．14．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 是⊙O 的切线，AC 、CD 是⊙O 的弦，且CD AB ⊥，垂足为E ，连接BD 并延长，交AM 于点P ．(1)求证：CAB APB ∠=∠；(2)若⊙O 的半径5,8r AC ==，求线段PD 的长．15．如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．(1)直线BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；(2)若2CA =，4CD =，求DE 的长．16．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，直线PO 交⊙O 于点D 、E ，交AB 于点C ．(1)求证：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．。

2022中考数学圆综合大题证明切线的两种常用方法类型1直线与圆有交点方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．1．(朝阳中考)如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD交于点C，且CD＝BD.(1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．2．(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．3．(毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．类型2不确定直线与圆是否有公共点方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．【例2】如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC 相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)求线段AC的长．参考答案【例1】 证明：法一：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OB ＝OD ，∴∠BDO ＝∠B.∴∠BDO ＝∠C.∴OD ∥AC.∵DM ⊥AC ，∴DM ⊥OD.∴DM 与⊙O 相切．法二：连接OD ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠CAD.∵DM ⊥AC ，∴∠CAD ＋∠ADM ＝90°.∵OA ＝OD ，∴∠BAD ＝∠ODA.∴∠ODA ＋∠ADM ＝90°.即OD ⊥DM ，∴DM 是⊙O 的切线．1.(1)连接OB ，∵OA ＝OB ，∴∠OAC ＝∠OBC.∵OA ⊥OD ，∴∠AOC ＝90°.∴∠OAC ＋∠OCA ＝90°.∵DC ＝DB ，∴∠DCB ＝∠DBC.∵∠DCB ＝∠ACO ，∴∠ACO ＝∠DBC.∴∠DBC ＋∠OBC ＝90°.∴∠OBD ＝90°.∵点B 是半径OB 的外端，∴BD 与⊙O 相切．(2)设BD ＝x ，则CD ＝x ，OD ＝x ＋1，OB ＝OA ＝3，由勾股定理得：32＋x 2＝(x ＋1)2.解得x ＝4.∴BD ＝4.2.(1)连接BD ，则∠DBE ＝90°.∵四边形BCOE 是平行四边形，∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC ＝12AD ＝1.∴AD ＝2.(2)BC 是⊙O 的切线，理由如下：连接OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD.∴四边形BCDO 是平行四边形．又∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD.∴四边形BCDO 是矩形．∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．3.(1)连接OA ，OD ，∵D 为BE 的下半圆弧的中点，∴∠FOD＝90°.∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠AFC.∵∠AFC＝∠OFD，∴∠CAF＝∠OFD.∵OA＝OD，∴∠ODF＝∠OAF.∵∠FOD＝90°.∴∠OFD＋∠ODF＝90°.∴∠OAF＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°.∴AC与⊙O相切．(2)∵半径R＝5，EF＝3，∴OF＝OE－EF＝5－3＝2.在Rt△ODF中，DF＝52＋22＝29.【例2】法一：连接DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．法二：连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴F在⊙D上，∴AC与⊙D相切．4.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC.∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.∴N在⊙O上．∴CD与⊙O相切．5.(1)证明：过点D作DF⊥AC于F.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，∴EB＝FC.∵AB＝AF，∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC，∴AC＝5＋3＝8.2022年中考数学复习专题---圆中阴影面积计算班级：___________姓名：___________学号：___________1．如图，直线y kx b=+经过点M(1，√3)和点N(1−，3√3)，A、B是此直线与坐标轴的交点．以AB为直径作⊙C，求此圆与y轴围成的阴影部分面积．2．如图，AAAA是⊙OO的直径，CC,DD是圆上两点，且有BD�=CCDD�，连结AADD,AACC，作DDDD⊥AACC的延长线于点DD．(1)求证：DDDD是⊙OO的切线；(2)若AADD=2√3,∠AADDDD=60∘，求阴影部分的面积．（结果保留ππ）3．如图，AAAA是圆OO的直径，AACC⊥AAAA，DD为圆OO上的一点，AACC=DDCC，延长CCDD交AAAA的延长线于点DD.(1)求证：CCDD为圆OO的切线.(2)若OOFF⊥AADD，OOFF=1，30∠=o，求圆中阴影部分的面积.(结果保留ππ)OAF4．如图，⊙OO是等边ΔAAAACC的外接圆，连接AAOO并延长至点PP，且AAAA=AAPP．（1）求证：PPAA是⊙OO的切线；（2）若AAAA=2√3，求图中阴影部分的面积．（结果保留ππ和根号）5．如图，OO为等边△AAAACC的外接圆，DD为直径CCDD延长线上的一点，连接AADD，AADD=AACC．（1）求证：AADD是⊙O的切线；（2）若CCDD=6，求阴影部分的面积．6．如图，AC为圆O的直径，弦AD的延长线与过点C的切线交于点B，E为BC中点，AC= 4√3，BC=4.（1）求证：DE为圆O的切线；（2）求阴影部分面积.7．已知AB是⊙O的直径，点C是圆O上一点，点P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：P A为⊙O的切线；（2）如果OP＝AB＝6，求图中阴影部分面积．8．如图，AAAA为⊙OO的直径，弦CCDD⊥AAAA，垂足为DD，CCDD=4√5，连接OOCC,OODD=2DDAA,FF为圆上一点，过点FF作圆的切线交AAAA的延长线于点GG，连接AAFF,AAFF=AAGG．（1）求⊙OO的半径；（2）求证：AAFF=FFGG；（3）求阴影部分的面积．9．如图，△ABC中，∠C=90º，∠ABC=2∠A，点O在AC上，OA=OB,以O为圆心，OC为半径作圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BC=3，求图中阴影部分的面积．10．如图，在△ABC中，∠CC=60∘，⊙OO是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．(1)求证：PA是⊙OO的切线；(2)若AB=2√3，求图中阴影部分的面积.(结果保留ππ和根号)11．如图，AB为圆O的直径，射线AD交圆O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC(1)求证：CE是圆O的切线(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积12．如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD于G,OG:OC=3:5,AB=8.(1)求⊙O的半径；(2)点E为圆上一点,∠ECD=15º,将弧CE沿弦CE翻折,交CD于点F,求图中阴影部分的面积.13．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝4，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P．（1）求劣弧PC的长（结果保留π）；（2）过点P作PF⊥AC于点F，求阴影部分的面积（结果保留π）.14．如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分∠ADC，AC长10cm．（1）求点O到AB的距离；（2）求阴影部分的面积．15．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA 的延长线交于点E，连接CE，求阴影部分的面积．16．如图，∠APB的平分线过点O，以O点为圆心的圆与PA相切于点C，DE为⊙O的直径．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠CPO＝50°，∠E＝25°，求∠POD；（3）若⊙O的半径为2，CE＝2√3，求阴影部分的面积．17．如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A 关于直线PO对称，已知OA=4，∠POA=60°求：（1）弦AB的长；（2）阴影部分的面积（结果保留π）．18．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD＝1，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．。

切线证明法一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3. DC∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.D ∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP，OCOPOD OC. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △ ∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt △CFG 的外心. ∵OC=OG ， ∴∠3=∠G ， ∵AD ∥BC ， ∴∠G=∠4.∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE ≌△CDE （SAS ）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF. ∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴OD OCOB AC =. ∵OA=OB ，∴ODOCOA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,O∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==21. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解. 以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

中考复习证明圆的切线的两种方法
方法一：直角三角形方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。

首先，连接OA和OB。

由于OA是半径，所以OA⊥AB。

由于AB是切线，所以AB⊥OB。

综上可得：OA⊥AB⊥OB，即OA⊥OB，所以O、A、B三点共线。

由于直角三角形AOB中，AO⊥OB，所以AOB为直角三角形。

根据直角三角形的性质，AOB为直角三角形可推出∠OAB=90°。

所以，∠OAB=90°，即OA⊥AB，证明了AB是圆的切线。

方法二：几何方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。

首先，连接OA和OB。

由于OA是半径，所以OA=OB=r。

根据圆的性质，点A到圆心O的距离为r，即AO=r。

因为AB是切线，所以∠OAB=90°。

又知，O、A、B三点共线，所以∠OBA=∠OAB=90°。

所以，三角形OAB是直角三角形。

由于OAB为直角三角形，可以利用勾股定理得到：AB²=OA²+OB²。

代入已知条件，可得AB²=r²+r²=2r²。

化简得到AB²=2r²，取平方根可得AB=√2r。

所以，AB=√2r，证明了AB是圆的切线。

综上所述，根据直角三角形方法和几何方法可以证明圆的切线。

2023年咸宁市中考数学高频考点突破——圆的计算和证明1．如图，已知CB是O的弦，CD是O的直径，A为CD延长线上一点，BC AB=，BAC∠=︒．30（1）求证：AB是O的切线；∆的面积．（2）若O的半径为2，求CBD2．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，⊙DAB＝⊙B＝30°．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）连接CD，若CD＝5，求AB的长．3．如图所示，直线33y与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC交x轴于=D，交⊙ABO的外接圆⊙M于C，已知⊙COD＝⊙OBC．（1）求证：MC⊙OA；（2）求直线BC的解析式．4．如图，⊙O中，已知半径OC⊙弦AB于H，D为优弧AB上一点．（1）求证：⊙BOC＝2⊙D；（2）若⊙O的半径为10，BC＝5DC交AB于点E，且AD＝DE，求线段AE的长．5．如图，AB 是O 的直径，AE 平分BAF ∠，交O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）30C ∠=︒，O 的半径为2，求阴影部分面积．6．如图，在ABC 中，AB AC =，以底边BC 为直径的O 交两腰于点D ，E ．（1）求证：BD CE =；（2）当ABC 是等边三角形，且4BC =时，求DE 的长．7．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于E ，已知AE ＝1cm ，BE ＝5cm ，⊙DEB ＝30°，求：（1）CD 的弦心距OF 的长；（2）弦CD 的长．8．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接BC ，AC ，点E 是BC 的中点，连结并延长OE 交圆于点D ．（1）求证：OD //AC ．（2）若DE ＝2，BE ＝9．如图，在O 中，AB ，CD 是两条弦，OE AB ⊥，OF CD ⊥，垂足分别为E ，F ．（1）如果AOB COD ∠=∠，那么OE 与OF 相等吗？说明理由；（2）如果OE OF =，那么AB 与CD 相等吗？AOB ∠与COD ∠相等吗？AB 与CD 呢？10．如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊙AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊙BC 于F ，若BD ＝8cm ，AE ＝2cm ，（1）求⊙O 的半径；（2）求O 到弦BC 的距离．11．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点A ，在l 上取一点D 使得DA DC =，线段DC ，AB 的延长线交于点E ．（1）求证：直线DC 是⊙O 的切线；（2）若2BC =，30CAB ∠=︒，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．12．如图，ABC 内接于O ，D 是AC 上一点，30D ∠=︒，75ABC ∠=︒．（1）求证：AB AC =；（2）若O 的半径为3，求BC 的长．13．已知：如图，D 是ABC 外接圆O 上一点，且满足DB DC =，连接AD ．（1）求证：AD 是ABC 的外角EAC ∠的平分线．（2）若30,4CAB BC ∠=︒=，求劣弧CD 的长度．14．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AE 的延长线与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，35CAD ∠=︒，连接BC ．（1）求B ∠的度数；（2）若2AB =，求EC 的长．15．如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是BC 的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．16．已知：在圆O 内，弦AD 与弦BC 交于点,,,G AD CB M N =分别是CB 和AD 的中点，联结,MN OG ．（1）求证：OG MN ⊥；（2）联结,,AC AM CN ，当//CN OG 时，求证：四边形ACNM 为矩形．17．如图，在⊙O 中，直径AB ＝24，点C 、D 在⊙O 上，AB 与CD 交于点E ，CE ＝ED ，OH ⊙BD ，垂足为点H ，DF 交BA 延长线于点F ，⊙CDF ＝2⊙B ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若FD ＝BD ，求图中阴影部分的面积．18．如图，已知在⊙O 中， AB BC CD ＝＝，OC 与AD 相交于点E ．求证：（1）AD ⊙BC（2）四边形BCDE 为菱形．19．如图，在C Rt AB 中，90C ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 在AB 上，DE AE ⊥．O 是Rt ADE △的外接圆，交AC 于点F ．（1）求证：BC 是O 的切线；20．直线MN 交O 于点A 、B 两点，AC 是O 的直径，AD 平分CAM ∠交O 于D ，过D 作DE MN ⊥于E ，若DE =2AE =．（1）O 的半径；（2）圆心О点到AB 距离．参考答案：1．（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接OB ，如图所示，由BC =AB ，利用等边对等角得到一对角相等，由⊙CAB 的度数得出⊙ACB 的度数，再由OC =OB ，利用等边对等角得到一对角相等，确定出⊙CBO ，由外角的性质求出⊙AOB 的度数，在⊙AOB 中，利用三角形的内角和定理求出⊙ABO 为90°，可得出AB 为圆O 的切线；（2）先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD 的长，然后利用勾股定理求出BC 的长，最后根据三角形面积公式求解即可．【解析】解：（1）如图，连接OB ，BDBC AB =，30BCA BAC ∴∠=∠=， CD 是O 的直径，90CBD ∴∠=，=60BDC CBD BCA ∴∠=-∠∠，OB OD =，60OBD ODB ∴∠=∠=，=ABD A ODB ∠+∠∠，⊙==30ABD ODB A ∠∠-∠90OBD ABD ∴∠+∠=，即OB AB ⊥， OB 是O 半径，AB ∴是O 的切线；（2）在Rt BCD ∆中，30BCD ∠=，24CD OC ==，122BD CD ∴==， ⊙22=23BC CD BD -11222BCD S BC BD ∆∴=⋅=⨯⨯【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是90°，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，切线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．（1）见解析；（2）15．【分析】（1）连接OD ，通过计算得到⊙ODB ＝90°，证明直线BD 与⊙O 相切．（2）⊙OCD 是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB 的长．【解析】解：（1）如图，连接OD ，⊙⊙DAB ＝⊙B ＝30°，⊙⊙ADB ＝120°，⊙OA ＝OD ，⊙⊙ODA ＝⊙OAD ＝30°，⊙⊙ODB ＝⊙ADB −⊙ODA ＝120°−30°＝90°．所以直线BD 与⊙O 相切．（2）连接CD ，⊙⊙OAD ＝⊙ODA ＝30°⊙⊙COD ＝⊙OAD ＋⊙ODA ＝30°＋30°＝60°，又⊙OC ＝OD⊙⊙OCD 是等边三角形，即：OC ＝OD ＝CD ＝5＝OA ，⊙⊙ODB ＝90°，⊙B ＝30°，⊙OB＝10，⊙AB＝AO＋OB＝5＋10＝15．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握切线的判定定理、直角三角形的性质是解题的关键．3．（1）见解析；（2）33y x=【分析】（1）利用弧弦角转化得OC AC=，由垂径定理即可得MC⊙OA；（2）由直线33=y与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点坐标，从而得到A、B中点M点坐标，再由勾股定理求出OM，进而求出点C坐标．由B、C两点坐标用待定系数法求直线BC解析式即可．【解析】（1）证明：⊙⊙COD＝⊙OBC，⊙OC AC=，⊙点M是圆心，⊙由垂径定理的推论，得MC⊙OA；（2）解：⊙MC⊙OA，⊙OG＝GA＝12OA，⊙点M是圆心，⊙BM＝AM，⊙GM是⊙AOB的中位线，⊙GM＝12OB，⊙33=+y x x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙当x＝0时，y3y＝0时，x＝3，⊙B（03，A（3，0）⊙OB3OA＝3，⊙MG3OG＝32，连接OM，在Rt⊙OGM中，由勾股定理，得OM3⊙GC333，⊙点C在第三象限，⊙C （32，． 设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ，⊙32b k b =⎨=+⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 直线BC的解析式为：y =【点评】本题主要考查了弧弦角的性质，垂径定理，数形结合求出关键点坐标是解决本题的关键．4．（1）证明见解析；（2）16-【分析】（1）连接OA ，根据半径OC ⊙弦AB 于H ，可得AC BC =，再根据圆周角与圆心角的性质，可证得BOC 2D ∠=∠；（2）连接BD ，根据圆周角定理可得DBA DCA ∠=∠，根据AAS 易证得ADC EDB ≅∠，则有AC EB ==OC ⊙弦AB ，⊙O 的半径为10，得90AHO AHC ∠=∠=︒，10OA OC ==，AH BH =，设OH x =，则有10HC x =-，可得(()22221010x x -=--，可求得6x =，则可得8AH =，根据2AE AB EB AH EB =-=-可求得结果．【解析】解：（1）如图示，连接OA ，⊙半径OC ⊙弦AB 于H ，⊙AC BC =⊙AOC BOC ∠=∠又⊙2AOC D ∠=∠⊙BOC 2D ∠=∠；（2）如图示，连接BD ，则有：DBA DCA ∠=∠，⊙AC BC =，⊙ADC CDB ∠=∠，在ADC △和EDB ∠中DCA DBE ADC EDB AD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙ADC EDB ≅∠()AAS ，⊙AC EB ==⊙OC ⊙弦AB ，⊙O 的半径为10，⊙90AHO AHC ∠=∠=︒，10OA OC ==，AH BH =设OH x =，则10HC x =-，则有(()22221010x x -=--， 解之得：6x =， ⊙8AH ， ⊙22816AE AB EB AH EB =-=-=⨯--【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程，三角形全等的判定与性质等知识，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．5．（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OE ，若要证明CD 是⊙O 的切线，只需证明CD 与OE 垂直，故证明OE //AD 即可；（2）根据含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用可求得CE =形和扇形的面积公式即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OE ， OA OE =，OAE OEA ∴∠=∠，⊙AE 平分BAF ∠，⊙DAE OAE ∠=∠，OEA DAE ∴∠=∠，//OE AD ∴，ADC OEC ∴∠=∠，AD CD ⊥，90ADC ∴∠=︒，⊙90OEC ∠=︒．OE CD ∴⊥，CD ∴是O 的切线；（2）解：30C ∠=︒，2OE =，90OEC ∠=︒，24OC OE ∴==，60COE ∠=︒，2223CE OC OE ∴-∴阴影部分面积OCEOBE S S =△扇形﹣ 21602232360π⋅⨯=⨯⨯ 2233π=．【点评】本题主要考查了切线的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行线的性质，扇形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（1）见解析；（2）23π 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到⊙B =⊙C ，再由弧、弦、圆周角之间的关系证得BD CE =，即可得到结论；（2）连接OD 、OE ，根据等边三角形的性质及圆周角定理求出⊙DOE ，利用弧长公式计算即可．【解析】解：（1）证明：⊙AB AC =，⊙B C ∠=∠，⊙CD BE =，⊙BD CE =，⊙BD CE =；（2）连接OD 、OE ，⊙ABC 是等边三角形，⊙60B C ∠=∠=︒，⊙120COD ∠=︒，120BOE ∠=︒，⊙240COD BOE COE DOE BOD DOE ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，⊙24018060DOE ∠=︒-︒=︒，⊙4BC =，⊙O 的半径为2，⊙DE 的长60221803ππ⨯==． 【点评】本题考查了等腰三角形、等边三角形的性质，弧、弦、圆周角之间的关系，圆周角定理，弧长公式，熟记各性质定理及弧长公式是解题的关键．7．（1）1cm ；（2）cm ．【分析】（1）根据AE 、BE 的长及AB 是直径可求出OE 的长，根据含30°角的直角三角形的性质求出OF 的长即可；（2）连接OD ，根据勾股定理求出DF ，根据垂径定理即可得答案．【解析】（1）⊙AE ＝1cm ，BE ＝5cm ，⊙AB ＝AE +EB ＝6cm ，⊙AB 为⊙O 的直径，⊙OA =12AB =3cm ，⊙OE ＝OA ﹣AE ＝2cm ，⊙OF ⊙CD ，⊙DEB ＝30°，⊙OF ＝12OE ＝12×2＝1cm ；（2）连接OD ，⊙AB=6cm，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙OD=12AB=3cm，在Rt⊙ODF中，DF22OD OF-2231-2cm，⊙OF⊙CD，⊙CD＝2DF＝2cm．【点评】本题考查垂径定理及含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半；垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键．8．（1）见解析；（2）843 3π-【分析】（1）连接OC，利用三线合一和直径所对的圆周角是直角进行求证即可；（2）连接OC，先求出⊙EBO=30°，得到⊙COA=60°，然后利用扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．【解析】解：（1）如图连接OC，⊙OC=OB，点E为BC的中点，⊙OE⊙BC，⊙⊙BEO=90°，⊙AB为圆的直径，⊙⊙ACB=⊙BEO=90°，⊙OD⊙AC；（2）连接OC，设圆的半径为r，则OE=r-2，⊙222OE BE OB +=，⊙()(2222r r -+=，解得4r =， ⊙122OE OB ==， ⊙⊙ABC =30°，⊙⊙COA =60°，由（1）可得BE CE ==，⊙BC = ⊙1==432BOC S OE BC △， ⊙⊙BOC 与⊙AOC 等底同高，⊙=AOC BOC S S =△△⊙26048==3603AOC AOC S S S ππ⨯---△阴影扇形 【点评】本题主要考查了，平行线的判定，三线合一定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形，扇形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．（1）相等，见解析；（2）AB CD =，AOB COD ∠=∠，AB CD =，见解析【分析】（1）求出⊙OEB ＝⊙OFD ＝90°，⊙EOB ＝⊙FOD ，证⊙EOB ⊙⊙FOD ，即可推出OE ＝OF ．（2）证AOE COF △≌△，推出AE CF =，根据垂径定理求出AB ＝CD ，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．【解析】解：（1）解：OE ＝OF ，理由是：⊙OE ⊙AB ，OF ⊙CD ，OA ＝OB ，OC ＝OD ，⊙⊙OEB ＝⊙OFD ＝90°，⊙EOB ＝12⊙AOB ，⊙FOD ＝12⊙COD ，⊙⊙AOB ＝⊙COD ，⊙⊙EOB ＝⊙FOD ，⊙在⊙EOB 和⊙FOD 中，OEB OFD EOB FOD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙⊙EOB ⊙⊙FOD （AAS ），⊙OE ＝OF ．；（2）AB CD =，AOB COD ∠=∠，AB CD =．理由：⊙OE AB ⊥，OF CD ⊥，⊙90AEO CFO ∠=∠=︒，又⊙OE OF =，OA OC =，⊙Rt Rt (HL)AOE COF ≌，⊙AE CF =，⊙OA OB =，OC OD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥， ⊙12AE AB =，12CF CD =， ⊙AB CD =，⊙AOB COD ∠=∠，AB CD =．【点评】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．10．（1）5；（25【分析】（1）连接OB ，设半径为r ，则OE ＝r ﹣2，构建方程即可解决问题．（2）根据S △BCO ＝12BC ⋅OF ＝12OC ⋅BE ，求解即可．【解析】解：（1）连接OB ，设半径为r ，则OE ＝r ﹣2，⊙AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊙AO 于E ，BD ＝8cm ，⊙BE ＝DE ＝4，在Rt ⊙OBE 中，⊙OE 2＋BE 2＝OB 2 ，⊙（r ﹣2）2＋42＝r 2⊙r ＝5（2）⊙r＝5，⊙AC＝10，EC＝8，BE＝DE＝4cm，⊙BC＝cm）⊙OF⊙BC，⊙S△BCO＝12BC⋅OF＝12OC⋅BEOF＝5×4，⊙OF【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟记垂径定理和构造⊙OBE．11．（1）见解析；（2）2 3π【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到⊙DAB＝90°，根据等腰三角形的性质得到⊙DCO ＝⊙DAO＝90°，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到⊙BOC＝2⊙CAB＝60°，根据等边三角形的性质得到OC＝OB＝BC ＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，如图所示：⊙直线l与⊙O相切于点A，⊙⊙DAB＝90°，⊙DA＝DC，OA＝OC，⊙⊙DAC＝⊙DCA，⊙OAC＝⊙OCA，⊙⊙DCA＋⊙ACO＝⊙DAC＋⊙CAO，即⊙DCO＝⊙DAO＝90°，⊙OC⊙CD，⊙直线DC是⊙O的切线；（2）解：⊙⊙CAB ＝30°，⊙⊙BOC ＝2⊙CAB ＝60°，⊙OC ＝OB ，⊙⊙COB 是等边三角形，⊙OC ＝OB ＝BC ＝2， ⊙323==CE OC⊙图中阴影部分的面积＝OCE COB S S -扇形＝216022223=2323603ππ⨯⨯⨯． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（1）见解析；（2）π【分析】（1）由圆周角定理可知30A D ∠=∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）连接OB 、OC ，由同弦所对的圆心角是圆周角的两倍得到260BOC D ∠=∠=︒，再根据弧长公式求解即可.【解析】解：（1）证明：⊙30A D ∠=∠=︒，75ABC ∠=︒，⊙18075ACB A ABC ∠=︒-∠-∠=︒．⊙ACB ABC ．⊙AB AC =．（2）解：连接OB 、OC ．⊙30D ∠=︒，⊙260BOC D ∠=∠=︒．⊙O 的半径为3，⊙BC 的长603π180l π⨯==．【点评】本题主要考查了圆周角定理，同弦所对的圆心角是圆周角的两倍，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.13．（1）见解析；（2）103π【分析】（1）根据圆的内接四边形的性质得⊙EAD=⊙DCB，再根据弦相等得圆周角相等、等弧所对圆周角相等即可得证．（2）根据圆周角定理得到⊙COB=2⊙CAB=60°，⊙CDB=⊙CAB=30°，得到⊙COB为等边三角形，求出OC，⊙COD，根据弧长公式计算．【解析】解：（1）证明：⊙DB=DC，⊙⊙DBC=⊙DCB，⊙⊙DAE是圆内接四边形ABCD的外角，⊙⊙DAE=⊙DCB，⊙⊙DAE=⊙DBC，⊙⊙DBC=⊙DAC，⊙⊙DAE=⊙DAC，⊙AD是⊙ABC的外角⊙EAC的平分线；（2）连接OB，OC，OD，由圆周角定理得，⊙COB=2⊙CAB=60°，⊙CDB=⊙CAB=30°，⊙⊙COB为等边三角形，⊙OC=BC=4，⊙DC=DB，⊙CDB=30°，⊙⊙DCB=75°，⊙⊙DCO=15°，⊙⊙COD=150°，则劣弧CD的长=150410 1803ππ⨯=．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长公式是解题的关键．14．（1）55°；（2）718π．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊙CD，则判断OC⊙AE，所以⊙DAC=⊙OCA，然后利用⊙OCA=⊙OAC得到⊙OAB的度数，即可求解；（2）利用（1）的结论先求得⊙AEO=⊙EAO=70°，再平行线的性质求得⊙COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．【解析】解：（1）连接OC，如图，⊙CD是⊙O的切线，⊙OC⊙CD，⊙AE⊙CD，⊙OC⊙AE，⊙⊙DAC=⊙OCA，⊙OA=OC，⊙CAD=35°，⊙⊙OAC=⊙OCA=⊙CAD=35°，⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙⊙B=90°-⊙OAC=55°；（2）连接OE，OC，如图，由（1）得⊙EAO=⊙OAC+⊙CAD=70°，⊙OA=OE，⊙⊙AEO=⊙EAO=70°，⊙OC⊙AE，⊙⊙COE=⊙AEO=70°，⊙AB=2，则OC=OE=1，⊙EC的长为707 18018018n rπππ==．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．15．（1）见解析；（2）5CE=．【分析】（1）连接OD，由点D是BC的中点得OD⊙BC，由DE//BC得OD⊙DE，由OD是半径可得DE是切线；（2）证明⊙ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论．【解析】解：（1）连接OD交BC于点F，如图，⊙点D是BC的中点，⊙OD⊙BC，⊙DE//BC⊙OD⊙DE⊙OD是O的半径⊙直线DE与O相切；（2）⊙AC是O的直径，且AB=10,⊙⊙ABC=90°，152OC OA AB===⊙OD⊙BC⊙⊙OFC =90°⊙OD //AB45BAC ∠=︒⊙45DOE ∠=︒⊙90ODE ∠=︒⊙45OED ∠=⊙5DE OD OC === 由勾股定理得，52OE = ⊙525CE OE OC =-=．【点评】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．16．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结,OM ON ，由M 、N 分别是CB 和AD 的中点，可得OM ⊙BC ，ON ⊙AD ，由AB CD =， 可得OM ON =，可证()Rt EOP Rt FOP HL ∆∆≌，MG NG MGO NGO =∠=∠，，根据等腰三角形三线合一性质OG MN ⊥;（2）设OG 交MN 于E ，由Rt EOP Rt FOP ∆∆≌，可得MG NG =，可得CMN ANM ∠=∠，1122CM CB AD AN ===，可证CMN ANM ≌可得AM CN =，由CN∥OG ，可得90AMN CNM ∠=∠=︒，由+=180AMN CNM ∠∠︒可得AM∥CN ，可证ACNM 是平行四边形，再由90AMN ∠=︒可证四边形ACNM 是矩形．【解析】证明：（1）连结,OM ON ，⊙M 、N 分别是CB 和AD 的中点，⊙OM ，ON 为弦心距，⊙OM ⊙BC ，ON ⊙AD ，90GMO GNO ∴∠=∠=︒，在O 中，AB CD =，OM ON ∴=，在Rt △OMG 和Rt △ONG 中，OM ON OG OG =⎧⎨=⎩，()Rt GOM Rt GON HL ∴∆∆≌，⊙MG NG MGO NGO =∠=∠，，OG MN ∴⊥;（2）设OG 交MN 于E ， ()Rt GOM Rt GON HL ∆∆≌，⊙MG NG =，⊙GMN GNM ∠=∠，即CMN ANM ∠=∠， 1122CM CB AD AN ===， 在⊙CMN 和⊙ANM 中CM AN CMN ANM MN NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CMN ANM ∴≌，,AM CN AMN CNM ∴=∠=∠，⊙CN∥OG ，90CNM GEM ∴∠=∠=︒，90AMN CNM ∴∠=∠=︒，+90+90=180AMN CNM ∴∠∠=︒︒︒，⊙AM∥CN ，ACNM ∴是平行四边形，90AMN ∠=︒，⊙四边形ACNM 是矩形．【点评】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．17．（1）见解析；（2）24183π+【分析】（1）连接OD ，易证⊙CDF ＝⊙FOD ，根据垂径定理的推论可得AB ⊙CD ，即可得⊙CDO +⊙FOD =90°，所以⊙CDF +⊙COD =90°，由此即可证得DF 是⊙O 的切线；（2）已知FD ＝BD ，根据等腰三角形的性质可得⊙B ＝⊙F ，再由⊙FOD ＝2⊙B ，⊙FOD +⊙F =90°，即可求得⊙B=⊙F =30°，⊙FOD =60°；在Rt⊙ODH 中，⊙ODH =30°，OD =12，可得OH =6，DH =3ODH AOD S S S=+阴影扇形即可求得图中阴影部分的面积．【解析】（1）连接OD ，⊙⊙FOD ＝2⊙B ，⊙CDF ＝2⊙B ，⊙⊙CDF ＝⊙FOD ，，⊙CE ＝ED ，AB 为直径，⊙AB ⊙CD ，⊙⊙CDO +⊙FOD =90°，⊙⊙CDF +⊙CDO =90°，即⊙ODF =90°，⊙DF 是⊙O 的切线；（2）⊙FD ＝BD ，⊙⊙B ＝⊙F ，⊙AB 为直径，AB =24，⊙OD =12，⊙⊙FOD ＝2⊙B ，⊙FOD +⊙F =90°，⊙⊙B=⊙F =30°，⊙FOD =60°，⊙⊙B ＝⊙ODH =30°，在Rt⊙ODH 中，⊙ODH =30°，OD =12，⊙OH =6，DH =⊙2601216243602ODH AOD S S S ππ⨯=+=+⨯⨯=+阴影扇形 【点评】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理，熟练运用相关定理进行证明是解决问题的关键．18．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得⊙ADB =⊙CBD ，根据平行线的判定可得结论； （2）证明⊙DEF ⊙⊙BCF ，得到DE =BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据BC CD =得到BC =CD ，从而证明菱形．【解析】解：（1）连接BD ，⊙AB BC CD ==，⊙⊙ADB =⊙CBD ，⊙AD ⊙BC ；（2）连接CD ，⊙AD ⊙BC ，⊙⊙EDF =⊙CBF ，⊙BC CD =，⊙BC =CD ，⊙BF =DF ，又⊙DFE =⊙BFC ，⊙⊙DEF ⊙⊙BCF （ASA ），⊙四边形BCDE 是平行四边形，又BC =CD ，⊙四边形BCDE 是菱形．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF =DF ．19．（1）见解析；（2）20【分析】（1）连接OE ，由OA =OE ，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE 为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC 与OE 平行，再根据两直线平行同位角相等及⊙C 为直角，得到OE 与BC 垂直，可得出BC 为圆O 的切线；（2）过E 作EG 垂直于OD ，利用AAS 得出⊙ACE ⊙⊙AGE ，得到AC =AG =8，从而可得OG ，利用勾股定理求出EG ，再利用三角形面积公式可得结果．【解析】解：（1）证明：连接OE ，⊙OA =OE ，⊙⊙1=⊙3，⊙AE 平分⊙BAC ，⊙⊙1=⊙2，⊙⊙2=⊙3，⊙OE ⊙AC ，⊙⊙OEB =⊙C =90°，则BC 为圆O 的切线；（2）过E 作EG ⊙AB 于点G ，在⊙ACE 和⊙AGE 中，21C AGE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙ACE ⊙⊙AGE （AAS ），⊙AC =AG =8，⊙圆O 的半径为5，⊙AD =OA +OD =10，⊙OG =3，⊙EG ，⊙⊙ADE 的面积=1110422AD EG ⨯⨯=⨯⨯=20．【点评】此题考查了切线的判定，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，切线的判定方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．20．（1）4；（2）【分析】（1）连接CD ，首先求出AD ，由△ACD ∽△ADE ，得到AD AC AE DA =，即可求出AC 解决问题．（2）作OF ⊥MN 于F ，则四边形ODEF 是矩形，求出OF 即可解决问题．【解析】（1）解：连接CD∵DE MN ⊥∵∠AED ＝90°，DE =AE ＝2，∴AD ===4，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠AED ＝90°，∵AD 平分CAM ∠∴∠CAD ＝∠DAE ，∴△ACD∽△ADE，∴AD AC AE DA=，∴424AC =，∴AC＝8，∴⊙O的半径是4cm．（2）解：连接OD，作OF⊥MN于F，∵∠AED＝90°⊙∠ADE+∠DAE＝90°∵OD＝OA⊙⊙OAD＝⊙ODA，∵AD平分CAM∠∴∠OAD＝∠DAE，∴∠DAE＝⊙ODA，⊙∠ADE+∠ODA＝90°∴∠EDO＝90°∴四边形ODEF是矩形，∴OF＝23DE=∴圆心О点到AB距离为23【点评】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用相似三角形性质解决问题，属于中考常考题型．。

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABCC．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A．B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。

2023年中考数学频考点突破--圆的综合1．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD=CE.（1）求证：OA＝OB；（2）已知AB＝4 √3，OA＝4，求阴影部分的面积.2．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM=∠BAC=α．（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE=53，若⊙O的半径为1，cosα=34，求AG⋅ED的值．3．如图，已知A、B是⊙O上两点，⊙OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊙AB 交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为弧AB̀的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan⊙AFE= 34，BE=BG，EG=3 √10，求⊙O的半径．4．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC=3.（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径.5．如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊙BC，且FE＝FC （CE＜CB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是；（2）将图1中的⊙CEF绕点C按逆时针旋转，使⊙CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②求证：DF＝√2FG．6．如图，已知⊙ABC，AC=3，BC=4，⊙C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.7．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊙l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分⊙DAB；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：⊙DAE=⊙BAF．8．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分⊙ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．9．如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，C是BD的中点，弦CE⊥AB，H是垂足，BD交CE，CA于点F，G．（1）求证：CF=BF=GF；（2）若CD=6，AC=8，求圆O的半径和BD长．10．如图所示，线段AB=1.8cm，作满足下面要求的图形．（1）到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形．（2）到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形．11．如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC 相交于点E，与AC相交于点F，⊙B=⊙BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．12．如图，在⊙ABC中，⊙A＝45°，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，E为⊙O上的一点，连接DE，BE，DE与AB交于点F.（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若F为OA的中点，⊙O的半径为2，求BE的长.13．如图，已知AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D= 2∠CAD．（1）求∠D的大小；（2）若CD=2，求AC的长．14．如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN 于点D、C，DO平分⊙ADC.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）设AD＝4，AB＝x (x > 0)，BC＝y (y > 0). 求y关于x的函数解析式. 15．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊙AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长.16．如图，在⊙ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作AB的垂线交AC的延长线于点F。

2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明1．如图，直线AD 经过⊙O 上的点A ，△ABC 为⊙O 的内接三角形，并且∠CAD ＝∠B.（1）判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠CAD ＝30°，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）2．已知：如图， 是 上一点，半径 的延长线与过点 的直线交于 点，A ⊙O OC AB OC =BC ，． AC =12OB（1）求证： 是 的切线；AB ⊙O （2）若 ， ，求弦 的长．∠ACD =45°OC =2CD 3．如图，内接于圆O ，AB 为直径，与点D ，E 为圆外一点，，与BC 交于△ABC CD ⊥AB EO ⊥AB 点G ，与圆O 交于点F ，连接EC ，且．EG =EC（1）求证：EC 是圆O 的切线；（2）当时，连接CF ，∠ABC =22.5°①求证：；AC =CF ②若，求线段FG 的长．AD =14．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，求△ABC的面积．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE（1）求证:直线DE是⊙O的切线103（2）若BE＝，AC＝6，OA＝2，求图中阴影部分的面积6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；10（3）若CD=1，EF= ，求AF长．7．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且3ME＝1，AM＝2，AE＝．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径．8．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，且PA ＝PB ，点M 是⊙O 外一点，MB 与⊙O 相切于点B ，连接OM ，过点A 作交⊙O 于点C ，连接BC 交OM 于点D ．AC ∥OM（1）求证：MC 是⊙O （2）若，，连接PC ，求PC 的长．OB =152BC ＝129．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的圆O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED=45°．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 半径为6cm ，AE=10cm ，求∠ADE 的正弦值．10．如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径的半圆O ，与斜边AC 交于D ，E 是BC 边上的中点，连结DE ．（1）DE 与半圆O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD 、AB 的长是方程x 2﹣10x+24=0的两个根，求直角边BC 的长．11．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE=3 ，DF=3，求图中阴影部分的面积．312．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DF ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，求证：△BDE △BAD∼（3）若BE ＝，sinB ＝，求AD 的长．523513．如图，已知 内接干 ， 是 的直径， 的平分线交 于点 ，ΔABC ⊙O AB ⊙O ∠CAB BC D 交 于点 ，连接 ，作 ，交 的延长线于点 .⊙O E EB ∠BEF =∠CAE AB F（1）求证： 是 的切线；EF ⊙O （2）若 ， ，求 的半径和 的长.BF =10EF =20⊙O AD 14．如图，在中，，以AC 为直径的分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的△ABC AC =AB ⊙O 延长线上，．2∠BCP =∠BAC（1）求证：CP 是的切线；⊙O （2）若， ，求点B 到线段AC 的距离．BC =6tan∠BCP =1215．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，P 为AB 延长线上一点，∠BCP ＝∠BAC ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，交AB 于点E ，（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：△PEC 是等腰三角形；（3）若AC ＋BC ＝2时，求CD 的长．16．如图，BD 为⊙O 的直径，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=1，ED=2．（1）求证：∠ABC=∠D；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：直线AD与⊙O的位置关系是相切，理由是：作直径AE，连接CE，∵AE为直径，∴∠ACE＝90°，∴∠E+∠EAC＝90°，∵∠B＝∠DAC，∠B＝∠E，∴∠E＝∠DAC，∴∠EAC+∠DAC＝90°，即OA⊥AD，∵OA过O，∴直线AD与⊙O（2）解：连接OC，过O作OF⊥AC于F，则∠OFA＝90，∵∠CAD＝30°，∠DAO＝90°，∴∠OAC＝60°，∵OC＝OA＝1，∴△OAC是等边三角形，∴AC＝OA＝1，∠AOC＝60°，∵OA ＝OC ，OF ⊥AC ，∴AF ＝FC ＝ ，12由勾股定理得：OF ＝，12−(12)2=3∴阴影部分的面积为： 60π×12360−12×1×32=π6−34【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）作直径AE ，连接CE ，求出∠OAD ＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出△OAC 是等边三角形，再分别求出△OAC 和扇形OCA 的面积，即可得出答案.2．【答案】（1）证明：如图，连接OA ；∴OC=BC=AC=OA. ∴△ACO 是等边三角形.∵OC =BC,AC =12OB,∵AC=BC ， ∴∠CAB=∠B ， 又∠OCA 为△ACB 的外角，∴∠O =∠OCA =60∘，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B ， ∴ 又 ∴AB 是∠B =30∘,∠OAC =60∘，∴∠OAB =90∘， 的切线⊙O （2）解：作AE ⊥CD 于点E ， ∴∵∴在Rt △∠O =60∘，∠D =30∘.∠ACD =45∘，AC =OC =2，ACE 中, ∵∴∴∴CE =AE =2；∠D =30∘，AD =22，DE =3AE =6，CD =DE +CE =6+ 2.【知识点】圆周角定理；切线的判定【解析】【分析】（1） 如图，连接OA ，根据题意得出OC =BC =AC =OA . 根据三边相等的三角形是等边三角形得出 △ACO 是等边三角形 ，根据等边三角形的性质得出∠O=∠OCA=60°,根据等边对等角得出 ∠CAB =∠B ， 根据三角形外角的定理得出 ∠OCA =∠CAB +∠B =2∠B ，故∠B=30°,根据角的和差得出∠OAB=90°，故 AB 是 的切线 ；⊙O （2） 作AE ⊥CD 于点E ，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠D=30°,然后根据等腰直角三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系得出CE,DE 的长，进而根据线段的和差即可算出答案。

中考数学专题突破：证明圆的切线方法一：等角代换（☆☆☆☆☆）方法二：利用平行线的性质（☆☆）方法三：证明三角形全等或相似（☆）方法四：算出角度方法五：勾股定理方法一：等距替换（找到一个等于90度的角度）【2021山东潍坊22】如图，ab为半圆o的直径，ac是⊙o的一条弦，d为的中点，作de⊥ac，交ab的延长线于点f，连接da．（1）求证：ef为半圆o的切线；【分析】（1）证明：连接OD，∵ D是的中点，∴∠cad=∠bad，∵oa=od∴∠糟糕的=∠阿多∴∠计算机辅助设计=∠阿多∵判定元件⊥交流电，∴∠e=90°∴∠cad+∠eda=90°，即∠ado+∠eda=90°，∴od⊥ef，∴ef为半圆o的切线；[2022年山东德州20号]如图所示，已知RT△ 美国广播公司，∠ C=90°，D是BC的中点，AC为直径的⊙o交ab于点e．（1）求证：de是⊙o的切线；【分析】（1）证明：连接oe、ec，∵ AC是直径⊙ 哦，∵ AEC=∠ BEC=90°，∵ D是BC的中点，∵ ed=DC=BD，∵ 1 = ∠ 2.∵ OE=OC，∵ 3 = ∠ 4.∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠oed=∠acb，∵∠acb=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线；[2022湖北咸宁]如图所示，在哪里？在ABC，AB？交流电，⊙ O和以ab为直径的边缘bc,ac分别交于d,e两点，过点d作df?ac，垂足为点f.（1）验证：DF是⊙ o；【解析】（1）证明：如图，连接od，作og⊥ac于点g，，∵ob=od，∴∠odb=∠b，和∵ AB=AC，∵ C=∠ B∵ ODB=∠ C∵ DF⊥ 交流电，∵ DFC=90°，∵ ODF=∠ DFC=90°，∵ DF是⊙ o【2021四川泸州】如图，△abc内接于⊙o，bd为⊙o的直径，bd与ac相交于点h，ac的延长线与过点b的直线相交于点e，且∠a=∠ebc．（1）求证：be是⊙o的切线；[答：]（1）证明：连接CD，∵bd是直径，∴∠bcd=90°，即∠d+∠cbd=90°，∵∠a=∠d，∠a=∠ebc，∴∠cbd+∠ebc=90°，∴be⊥bd，∴be是⊙o切线．[2022山东滨州23]如图所示，E点为△ ABC，AE的延长线在点F处与BC相交，并与⊙ ABC交叉⊙ o在D点；连接BD并通过d点做一条直线DM，以便∠ BDM=∠ 数模转换器（1）求证：直线dm是⊙o的切线；A.obmdecf【分析】证明：（1）如图1所示，连接do并延伸交叉点⊙ o至G点，连接BG；∵点e是△abc的内心，∴ad平分∠bac，∴∠bad＝∠dac．[∵∠g＝∠bad，∴∠mdb＝∠g，≓ DG是直径⊙ 哦，⊙ GBD＝90°，⊙ g＋∠ BDG＝90°。

2023九年级数学下册中考专题训练——圆的切线的证明A AM⊙O B⊙O BD⊥AM D BD1. 如图，点是直线与的交点，点在上，垂足为，与⊙O C OC∠AOB∠B=60∘交于点，平分，．AM⊙O(1) 求证：是的切线；DC=2π(2) 若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．AB⊙O AC BD⊙O OE∥AC BC E B 2. 如图，已知是的直径，，是的弦，交于，过点⊙O OE D DC BA F作的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．DC⊙O(1) 求证：是的切线；∠ABC=30∘AB=8CF(2) 若，，求线段的长．△ABC∠B=∠C=30∘O BC O OB3. 如图，中，，点是边上一点，以点为圆心、为半径的圆A BC D经过点，与交于点．AC⊙O(1) 试说明与相切；AC=23(2) 若，求图中阴影部分的面积．ABC⊙O B C D⊙O E BC OE 4. 如图，割线与相交于，两点，为上一点，为弧的中点，BC F DE AC G∠ADG=∠AGD交于，交于，．AD⊙D(1) 求证明：是的切线；∠A=60∘⊙O4ED(2) 若，的半径为，求的长．5. 如图，， 分别是半 的直径和弦， 于点 ，过点 作半 的切线 AB AC ⊙O OD ⊥AC D A ⊙O ， 与 的延长线交于点 ．连接 并延长与 的延长线交于点 ．AP AP OD P PC AB F(1) 求证： 是半 的切线；PC ⊙O (2) 若 ，，求线段 的长．∠CAB =30∘AB =10BF 6. 如图， 是 的直径， 是 上一点， 是 的中点， 为 延长线上一点，AB ⊙O C ⊙O D AC E OD 且 ， 与 交于点 ，与 交于点 ．∠CAE =2∠C AC BD H OE F(1) 求证： 是 的切线．AE ⊙O (2) 若 ，，求直径 的长．DH =9tanC =34AB 7. 如图， 是 的直径， 是 的弦，， 与 的延长线交于点 ，点 AB ⊙O AC ⊙O OD ⊥AB OD AC D 在 上，且 ．E OD CE =DE(1) 求证：直线 是 的切线．CE ⊙O (2) 若 ，，．OA =23AC =3CD =8. 如图， 是的直径，弦 于点 ，点 在直径 的延长线上，AB ⊙O CD ⊥AB E G DF ．∠D =∠G =30∘(1) 求证： 是 的切线．CG ⊙OCD=6GF(2) 若，求的长．AB⊙O AC D BC D EF AC9. 如图，是的直径，是弦，是的中点，过点作垂直于直线，垂E AB F足为，交的延长线于点．EF⊙O(1) 求证：是的切线．B OF⊙O3(2) 若点是的中点，的半径为，求阴影部分面积．PB⊙O B PO⊙O E F B PO BA 10. 如图，切于点，直线交于点，，过点作的垂线，垂D⊙O A AO⊙O C BC AF足为点，交于点，延长交于点，连接，．PA⊙O(1) 求证：直线为的切线；BC=6AD:FD=1:2⊙O(2) 若，，求的半径的长．AC⊙O B⊙O∠ACB=30∘CB D11. 如图，为的直径，为上一点，，延长至点，使得CB=BD D DE⊥AC E CA BE，过点作，垂足在的延长线上，连接．BE⊙O(1) 求证：是的切线；BE=3(2) 当时，求图中阴影部分的面积．AB⊙O AP⊙O A BP⊙O C12. 已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点．∠P=35∘∠ABP(1) 如图①，若，求的度数；D AP CD⊙O(2) 如图②，若为的中点，求证：直线是的切线．Rt△ABC∠C=90∘D AB AD⊙O BC13. 如图，在中，，点在上，以为直径的与相交于点E AE∠BAC，且平分．BC⊙O(1) 求证：是的切线；∠EAB=30∘OD=3(2) 若，，求图中阴影部分的面积．⊙O PA PC PH∠APB⊙O H H 14. 如图，在中，是直径，是弦，平分且与交于点，过作HB⊥PC PC B交的延长线于点．HB⊙O(1) 求证：是的切线；HB=6BC=4⊙O(2) 若，，求的直径．AB⊙O BD⊙O BD C AB=AC AC15. 已知：是的直径，是的弦，延长到点，使，连接，过D DE⊥AC E点作，垂足为．DC=BD(1) 求证：；DE⊙O(2) 求证：为的切线．AB⊙O C⊙O D AB∠BCD=∠A16. 如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且．CD⊙O(1) 求证：是的切线；⊙O3CD=4BD(2) 若的半径为，，求的长．△ABC AC⊙O△ABC∠ABC⊙O17. 如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交D D DE∥AC BC E于点，过点作交的延长线于点．DE⊙O(1) 求证：是的切线．AB=45BC=25DE(2) 若，，求的长．AB O AD∠DBC=∠A18. 如图，是半圆的直径，为弦，．BC O(1) 求证：是半圆的切线；OC∥AD OC BD E BD=6CE=4AD(2) 若，交于，，，求的长．△ABC AO⊥BC O⊙O AC D BE⊥AB 19. 如图，是等边三角形，，垂足为点，与相切于点，交AC E⊙O G F的延长线于点，与相交于，两点．AB⊙O(1) 求证：与相切；ABC8BF(2) 若等边三角形的边长是，求线段的长．AC⊙O BC⊙O P⊙O PB AB 20. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接，，∠PBA=∠C．PB⊙O(1) 求证：是的切线；OP OP∥BC OP=8⊙O22BC(2) 连接，若，且，的半径为，求的长．答案1. 【答案】(1) ，，∵∠B=60∘OB=OC是等边三角形，∴△BOC，∴∠1=∠2=60∘平分，∵OC∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90∘，∴∠OAM=90∘是的切线．∴AM⊙O(2) ，，∵∠3=60∘OA=OC是等边三角形，∴△AOC，∴∠OAC=60∘，∵∠OAM=90∘，∴∠CAD=30∘，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=23∴S阴影=S梯形OADC−S扇形OAC =12(4+2)×23−60⋅π×16360=63−8π3.2. 【答案】(1) 连接，OC，∵OE∥AC，∴∠1=∠ACB是的直径，∵AB⊙O，∴∠1=∠ACB=90∘，由垂径定理得垂直平分，∴OD⊥BC OD BC，∴DB=DC，∴∠DBE=∠DCE又，∵OC=OB，∴∠OBE=∠OCE即，∠DBO=∠OCD为的切线，是半径，∵DB⊙O OB，∴∠DBO=90∘，∴∠OCD =∠DBO =90∘即 ，OC ⊥DC 是 的半径，∵OC ⊙O 是 的切线．∴DC ⊙O (2) 在 中，，Rt △ABC ∠ABC =30∘ ，又 ，∴∠3=60∘OA =OC 是等边三角形，∴△AOC∴∠COF =60∘在 中，，Rt △COF tan∠COF =CF OC ．∴CF =433. 【答案】(1) 连接 ．OA ，∵OA =OB ．∴∠OAB =∠B ，∵∠B =30∘ ．∴∠OAB =30∘ 中：，△ABC ∠B =∠C =30∘ ．∴∠BAC =180∘−∠B−∠C =120∘ ．∴∠OAC =∠BAC−∠OAB =120∘−30∘=90∘ ，∴OA ⊥AC 是 的切线，即 与 相切．∴AC ⊙O AC ⊙O (2) 连接 ．AD ，∵∠C =30∘∠OAC =90∘ ．∴OC =2OA 设 的长度为 ，则 ．OA x OC =2x 在 中，，．△OAC ∠OAC =90∘AC =23根据勾股定理可得：，x 2+(23)2=(2x )2解得：，（不合题意，舍去）．x 1=2x 2=−2 ，∴S △OAC =12×2×23=23，S 扇形OAD =60360×π×22=23π ．∴S 阴影=23−23π答：图中阴影部分的面积为 ．23−23π4. 【答案】(1) 连接 ．OD 为 的中点，∵E BC ，∴OE ⊥BC ，∵OD =OE ，∴∠ODE =∠OED ，∴∠AGD +∠OED =∠EGF +∠OED =90∘ ，∵∠AGD =∠ADG ，即 ，∴∠ADG +∠ODE =90∘OD ⊥AD 是 的切线．∴AD ⊙O (2) 作 于 ．OH ⊥ED H ，∴DE =2DH ，∵∠ADG =∠AGD ，∴AG =AD ，∵∠A =60∘ ，∴∠ADG =60∘，∴∠ODE =30∘ ，∵OD =4 ，∴DH =32OD =23 ．∴DE =2DH =435. 【答案】(1) 连接 ，OC ， 经过圆心 ，∵OD ⊥AC OD O ，∴AD =CD ，∴PA =PC 在 和 中，△OAP △OCP {OA =OC,PA =PC,OP =OP,，∴△OAP ≌△OCP (SSS ) ，∴∠OCP =∠OAP 是 的切线，∵PA ⊙O ．∴∠OAP =90∘，即 ，∴∠OCP =90∘OC ⊥PC 是 的切线．∴PC ⊙O (2) 是直径，∵AB ，∴∠ACB =90∘，∵∠CAB =30∘，∴∠COF =60∘ 是 的切线，，∵PC ⊙O AB =10 ，，∴OC ⊥PF OC =OB =12AB =5 ，∴OF =OC cos∠COF =10 ．∴BF =OF−OB =56. 【答案】(1) 是 的中点，∵D AC ，∴OE ⊥AC ，∴∠AFE =90∘ ，∴∠E +∠EAF =90∘ ，，∵∠AOE =2∠C ∠CAE =2∠C ，∴CAE =∠AOE ，∴∠E +∠AOE =90∘ ，∴∠EAO =90∘ 是 的切线．∴AE ⊙O (2) ，∵∠C =∠B ，∵OD =OB ，∴∠B =∠ODB ，∴ODB =∠C ，∴tanC =tan∠ODB =HF DF =34 设 ，，∴HF =3x DF =4x ，∴DH =5x =9，∴x =95 ，，∴DE =365HF =275 ，，∵∠C =∠FDH ∠DFH =∠CFD ，∴△DFH ∼△CFD ，∴DF CF =FH DF，∴CF =365×365275=485 ，∴AF =CF =485设 ，OA =OD =x，∴OF =x−365 ，∵AF 2+OF 2=OA 2 ，∴(485)2+(x−365)2=x 2解得：，x =10 ，∴OA =10 直径 为 ．∴AB 207. 【答案】(1) 连接 ，OC ，∵OD ⊥AB ，∴∠AOD =90∘ ，∴∠D +∠A =90∘ ，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∵CE =DE ，∴∠ECD =∠D ，∵∠ACO +∠DCE =90∘ ，∴∠OCE =90∘ ，∴OC ⊥CE 直线 是 的切线．∴CE ⊙O (2)5【解析】(2) 连接 ，BC 是 的直径，∵AB ⊙O ，∴∠ACB =90∘ ，∴∠AOD =∠ACB ，∵∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADO，∴AO AC =AD AB ，∴233=AD43 ，∴AD =8 ．∴CD =AD−AC =58. 【答案】(1) 连接 ．OC ，，∵OC =OD ∠D =30∘ ．∴∠OCD =∠D =30∘ ，∵∠G =30∘ ．∴∠DCG =180∘−∠D−∠G =120∘ ．∴∠GCO =∠DCG−∠OCD =90∘ ．∴OC ⊥CG 又 是 的半径．∵OC ⊙O 是 的切线．∴CG ⊙O (2) 是 的直径，，∵AB ⊙O CD ⊥AB ．∴CE =12CD =3 在 中，，，∵Rt △OCE ∠CEO =90∘∠OCE =30∘ ，．∴EO =12CO CO 2=EO 2+CE 2设 ，则 ．EO =x CO =2x ．∴(2x )2=x 2+32解得 （舍负值）．x =±3 ．∴CO =23 ．∴FO =23在 中，△OCG ，，∵∠OCG =90∘∠G =30∘ ．∴GO =2CO =43 ．∴GF =GO−FO =239. 【答案】(1) 连接 ，连接 ，OD AD 点 是 的中点，∵D BC ，∴∠1=∠2 ，∵OA =OD ，∴∠2=∠3即 ，∠1=∠2=∠3 ，∴∠1=∠3 ，∴AE ∥OD ，∵AE ⊥EF ，∴OD ⊥EF 即 是 的切线．EF ⊙O(2) 点是 的中点， 半径为 ，∵B OF ⊙O 3 ，∴BF =OB =3由（）可知 ，1OD ⊥EF 在 中，Rt △ODF ，∵sinF =OD OF =36=12 ，，∴∠F =30∘∠DOF =60∘故S 阴影=S △ODF −S 扇ODB=12OD ⋅DF−60∘360∘π×32=3×332−32π=32(33−π).故阴影面积为：．32(33−π)10. 【答案】(1) 如图，连接 ．OB 是 的切线，∵PB ⊙O ．∴∠PBO =90∘ ， 于 ，∵OA =OB BA ⊥PO D ，．∴AD =BD ∠POA =∠POB 又 ，∵PO =PO ．∴△PAO ≌△PBO ．∴∠PAO =∠PBO =90∘ 直线 为 的切线．∴PA ⊙O (2) ，，，∵OA =OC AD =BD BC =6 ．∴OD =12BC =3设 ．AD =x ，∵AD:FD =1:2 ，．∴FD =2x OA =OF =2x−3在 中，由勾股定理，得 ．Rt △AOD (2x−3)2=x 2+32解之得，，（不合题意，舍去）．x 1=4x 2=0 ，．∴AD =4OA =2x−3=5即 的半径的长 ．⊙O 511. 【答案】(1) 如图所示，连接 ，BO ，∵∠ACB =30∘ ，∴∠OBC =∠OCB =30∘，，∵DE ⊥AC CB =BD 中，，∴Rt △DCE BE =12CD =BC ，∴∠BEC =∠BCE =30∘ 中，，∴△BCE ∠EBC =180∘−∠BEC−∠BCE =120∘ ，∴∠EBO =∠EBC−∠OBC =120∘−30∘=90∘ 是 的切线．∴BE ⊙O (2) 当 时，，BE =3BC =3 为 的直径，∵AC ⊙O ，∴∠ABC =90∘又 ，∵∠ACB =30∘ ，∴AB =tan 30∘×BC =3 ，，∴AC =2AB =23AO =3 ∴S 阴影部分=S 半圆−S Rt △ABC =12π×AO 2−12AB ×BC=12π×3−12×3×3=32π−32 3.12. 【答案】(1) 是 的直径， 是 的切线，∵AB ⊙O AP ⊙O ，∴AB ⊥AP ；∴∠BAP =90∘又 ，∵∠P =35∘ ∴∠ABP =90∘−35∘=55∘(2) 如图，连接 ，，．OC OD AC 是 的直径，∵AB ⊙O （直径所对的圆周角是直角），∴∠ACB =90∘ ；∴∠ACP =90∘又 为 的中点，∵D AP （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；∴AD =CD 在 和 中，△OAD △OCD {OA =OC,OD =OD,AD =CD, ，△OAD ≌△OCD (SSS ) （全等三角形的对应角相等）；∴∠OAD =∠OCD 又 是 的切线， 是切点，∵AP ⊙O A ，∴AB ⊥AP ，∴∠OAD =90∘ ，即直线 是 的切线．∴∠OCD =90∘CD ⊙O13. 【答案】(1) 平分 ，∵AE ∠BAC ，∴∠CAE =∠EAD ，∵OA =OE ，∴∠EAD =∠OEA ，∴∠OEA =∠CAE ，∴OE ∥AC ，∴∠OEB =∠C =90∘ ，∴OE ⊥BC 是 的切线．∴BC ⊙O (2) ，∵∠EAB =30∘ ，∴∠EOD =60∘ ，∴∠OEB =90∘ ，∴∠B =30∘ ，∴OB =2OE =2OD =6 ，∴BE =OB 2−OE 2=33，，∴S △OEB =932S 扇形=3π2 ．∴S 阴影=932−3π214. 【答案】(1) 如图，连接 ．OH 平分 ，∵PH ∠APB ．∴∠HPA =∠HPB ，∵OP =OH ．∴∠OHP =∠HPA ．∴∠HPB =∠OHP ．∴OH ∥BP ，∵BP ⊥BH ．∴OH ⊥BH 是 的切线．∴HB ⊙O (2) 如图，过点 作 ，垂足为 ．O OE ⊥PC E ，，，∵OE ⊥PC OH ⊥BH BP ⊥BH 四边形 是矩形．∴EOHB ，．∴OE =BH =6OH =BE ．∴CE =OH−4 ，∵OE ⊥PC．∴PE =EC =OH−4=OP−4在 中，，．Rt △POE OP 2=PE 2+OE 2 ．∴OP 2=(OP−4)2+36 ．∴OP =132 ．∴AP =2OP =13 的直径是 ．∴⊙O 1315. 【答案】(1) 连接 ，AD 是 的直径，∵AB ⊙O ，∴∠ADB =90∘又 ，∵AB =AC ．∴DC =BD (2) 连接半径 ，OD ，，∵OA =OB CD =BD ，∴OD ∥AC ，∴∠ODE =∠CED 又 ，∵DE ⊥AC ，∴∠CED =90∘ ，即 ，∴∠ODE =90∘OD ⊥DE 是 的切线．∴DE ⊙O 16. 【答案】(1) 连接 ．OC 是 的直径， 是 上一点，∵AB ⊙O C ⊙O ，即 ．∴∠ACB =90∘∠ACO +∠OCB =90∘ ，，∵OA =OC ∠BCD =∠A ，∴∠ACO =∠A =∠BCD ，即 ，∴∠BCD +∠OCB =90∘∠OCD =90∘ 是 的切线．∴CD ⊙O (2) 在 中，，，，Rt △OCD ∠OCD =90∘OC =3CD =4 ，∴OD =OC 2+CD 2=5 ．∴BD =OD−OB =5−3=217. 【答案】(1) 连接 ，OD 是 的直径，∵AC ⊙O，∴∠ABC =90∘ 平分 ，∵BD ∠ABC ，∴∠ABD =45∘ ，∴∠ODE =90∘ ，∵DE ∥AC ，∴∠ODE =∠AOD =90∘ 是 的切线．∴DE ⊙O (2) 在 中，，，Rt △ABC AB =45BC =25 ，∴AC =AB 2+BC 2=10 ，∴OD =5过点 作 ，垂足为 ，C CG ⊥DE G 则四边形 为正方形，ODGC ，∴DG =CG =OD =5 ，∵DE ∥AC ，∴∠CEG =∠ACB ，∴tan∠CEG =tan∠ACB ，即 ，∴CG GE =AB BC 5GE =4525解得：，GE =52 ．∴DE =DG +GE =15218. 【答案】(1) 是半圆 的直径，∵AB O ，∴BD ⊥AD ，∴∠DBA +∠A =90∘ ，∵∠DBC =∠A ，即 ，∴∠DBA +∠DBC =90∘AB ⊥BC 是半圆 的切线．∴BC O (2) ，∵OC ∥AD ，∴∠BEC =∠D =90∘ ，，∵BD ⊥AD BD =6 ，∴BE =DE =3 ，∵∠DBC =∠A ，∴△BCE ∽△BAD ，即 ，∴CE BD =BE AD 46=3AD ．∴AD =4.519. 【答案】(1) 过点 作 ，垂足是 ．O OM ⊥AB M 与 相切于点 ，∵⊙O AC D ，∴OD ⊥AC ，∠ADO =∠AMO =90∘ 是等边三角形，，∵△ABC AO ⊥BC 是 的角平分线，∴OA ∠MAD ，，∵OD ⊥AC OM ⊥AB ．∴OM =OD 与 相切．∴AB ⊙O (2) 过点 作 ，垂足是 ，连接 ．O ON ⊥BE N OF ，，∵AB =AC AO ⊥BC ∴ 是 的中点，O BC ，∴OB =12BC =12×8=4 在直角 中，，，△ABC ∠ABE =90∘∠MBO =60∘ ，∴∠OBN =30∘ ，，，∵ON ⊥BE ∠OBN =30∘OB =4 ，，∴ON =12OB =2BN =42−22=23 ，∵AB ⊥BE ∴四边形 是矩形，OMBN ．∴BN =OM =23 ．∵OF =OM =23由勾股定理得 ．NF =(23)2−22=22 ．∴BF =BN +NF =23+2220. 【答案】(1) 连接 ，如图所示：OB 是 的直径，∵AC ⊙O ，∴∠ABC =90∘ ，∴∠C +∠BAC =90∘ ，∵OA =OB ，∴∠BAC =∠OBA ，∵∠PBA =∠C ，即 ，∴∠PBA +∠OBA =90∘PB ⊥OB 是 的切线．∴PB ⊙O (2) 的半径为 ，∵⊙O 22，，∴OB =22AC =42 ，∵OP ∥BC ，∴∠CBO =∠BOP ，∵OC =OB ，∴∠C =∠CBO ，∴∠C =∠BOP 又 ，∵∠ABC =∠PBO =90∘ ，∴△ABC ∽△PBO ，即 ，∴BC OB =AC OP BC 22=428 ．∴BC =2。