轴对称
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轴对称
主讲：黄冈中学教师 李烦
一、轴对称图形与轴对称
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．
注：轴对称图形是对某一个图形而言的，轴对称是对两个图形而言的．
二、线段的垂直平分线
1、定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线．
由定义知：
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
3、判定：
①利用定义．
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）
三、例题讲解
例1、如图，AB=CD，AC与BD的垂直平分线EF、EG交于点E．求证：∠ABE=∠CDE．
证明： ∵EF、EG分别是AC、BD的垂直平分线，
∴AE=CE，BE=DE．
在△ABE和△CDE中，
∴△ABE≌△CDE（SSS），
∴∠ABE=∠CDE．
例2、如图，ED垂直平分AB，且AC=5，BC=8，求△AEC的周长．
解：
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴△AEC的周长＝AE＋EC＋CA=BE＋EC＋CA=BC＋CA=13．
变式：如图，若PM、QN分别垂直平分AB、AC，BC=10．试求△APQ的周长．
解：
∵PM、QN分别垂直平分AB、AC，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴△APQ的周长=AP＋PQ＋AQ=BP＋PQ＋CQ=BC=10．
思考：若∠BAC=100°，则∠PAQ=___________．
分析：
∵∠BAC=100°，∴∠B＋∠C=80°，
∴∠BAP＋∠CAQ=80°，∴∠PAQ=20°．
例3、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线上，DE交AC于F．求证：E在AF的垂直平分线上．
证明：
过E作EH⊥AC于H．
∵EG垂直平分BD，
∴EB＝ED，∠4＝∠5＝90°，
在Rt△EBG和Rt△EDG中，
∴Rt△EBG≌Rt△EDG（HL），
∴∠B=∠3，
∵ EH⊥AC,∠ACB=90°,B、C、D三点共线，
∴EH∥BD
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2.
在Rt△AEH和Rt△FEH中，
∴△AEH≌△FEH（ASA）
∴EA=EF
即E在AF的垂直平分线上．
总结：
证明点在线段的垂直平分线上，除了可以证明该点到线段两端点距离相等，还可证明垂足是线段中点，比如此题还可以证明AH=FH．
变式：如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．求证：OP是EF的垂直平分线．
证明：
∵OP平分∠AOB，
∴∠1=∠2．
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEO=∠PFO=90°．
在△OEP和△OFP中，
∴△OEP≌△OFP（AAS），
∴OE=OF，PE=PF，
即OP是EF的垂直平分线．
总结：
此题给出的是垂直平分线的一种证明方法，证明O、P两点都在EF的垂直平分线上，而过两点的直线有且只有一条，则OP是EF的垂直平分线．
例4、如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．求证：BM=CN．
证明：
连DB、DC．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC．
又AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN，∠DMB=∠DNC=90°．
在Rt△DBM和Rt△DCN中，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM=CN．
思考：如何证明AM=AN=(AB＋AC)呢？
