万有引力推导开普勒第三定律

第六讲:万有引力及应用

一、开普勒三定律

1．内容

定律 内容 图示或公式

开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量

2．理解

(1)．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．

(2)．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．

(3)．开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．

二、万有引力定律

1、表达式：F＝Gm1m2r2 例题、下列关于行星绕太阳运动的说法中正确的是( )

A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

B．离太阳越近的行星运动周期越短

C．行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大

D．行星绕太阳运动时，太阳位于行星例题、如图所示，两球间的距离为r0，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )

A.Gm1m2r02 B.Gm1m2r12 2、适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．

三、万有引力与重力的关系

1、考虑天体自转

地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．

(1)在赤道上：GMmR2＝mg＋mω2R.

(2)在两极上：GMmR2＝mg.

(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和．

开普勒第三定律公式

开普勒第三定律是天体运动定律中的一个重要定律，它描述了行星围绕恒星的运动规律。该定律由德国天文学家开普勒于17世纪提出，它被广泛应用于天文学和天体力学的研究中。

定律描述

开普勒第三定律也被称为“开普勒定律之三”或者“行星定律之三”，它的数学描述如下：

T^2 = k * r^3

其中，T表示行星绕恒星一周所需的时间（周期），r表示行星和恒星之间的平均距离（半长轴），k是一个常量。

定律的意义

开普勒第三定律的公式描述了行星运动的周期和距离的关系。通过观测行星绕恒星的周期和距离，我们可以计算出这个恒星和行星系统的质量。这对于研究宇宙中的天体运动和结构非常重要。

开普勒第三定律也为我们认识宇宙的基本规律提供了重要线索。根据这个定律，我们可以推断出其他星系中的恒星和行星的运动规律，进一步探索宇宙的奥秘。

定律的推导

开普勒第三定律的推导过程涉及到牛顿的万有引力定律和二体问题的分析。在此我们给出一个简化的推导：

考虑一个行星绕恒星轨道的二体问题，根据万有引力定律，有如下关系：

F = G * (m1 * m2) / r^2

其中，F是恒星对行星的引力，G是万有引力常量，m1和m2分别是恒星和行星的质量，r是两者之间的距离。

根据牛顿第二定律，可得：

F = m2 * a

其中，a是行星所受到的加速度。

将以上两个方程联立，消去F，我们可以得到：

m2 * a = G * (m1 * m2) / r^2 化简后得到：

a = G * m1 / r^2

上式表示行星绕恒星运动时的加速度大小。

根据牛顿第三定律，行星和恒星之间的引力大小相等，方向相反。因此，行星所受到的向心力等于行星的质量乘以加速度：

F = m2 * a

将之前得到的加速度公式代入，得到：

F = m2 * (G * m1 / r^2)

进一步化简得到：

F = (G * m1 * m2) / r^2

这个等式可以被写成：

万有引力的推导

作者:老司机

摘要

很多中学生以为已知开普勒三大定律就能推导出牛顿万有引力定律,其

实并不是如此.仅仅依靠开普勒三定律是没有办法推导出牛顿万有引力

方程的.为了解开这个误区,今天就让我们一起来探索牛顿万有引力方

程是如何推导出来的吧.233

关键词:万有引力定律,比耐公式,开普勒定律,理论力学,物理拔高,毁梗

用的

1基本物理概念

首先我们要引入角动量L与力矩M这个概念.

定义角动量的表达式:

L=r×p

定义力矩的表达式:

M=r×F

力矩和角动量之间有如下关系:

L=dM

dt

证明:我们已知牛顿第二定律F=ma=mdv

dt,两边同时对牛顿第二定律叉

乘r.得：

r×F=mr×dv

dt

我们知道乘积求导有这样的一个关系:

(ab)󰀃=a󰀃b+ab󰀃,d(ab)

dt=da

dtb+adb

dt

1把这个关系带入之前的式子:

r×F=mr×dv

dt=md(r×v)

dt−mv×dr

dt

我们知道v=dr

dt,所以上式最后一项是mv×dr

dt=mv×v=0

这样我们就得到了关系式L=r×F=d(r×mv)

dt=dM

dt

角动量定理:

L=dM

dt

我们现在知道了角动量和力矩的概念后我们就可以开始去探索如何推导出

牛顿万有引力方程了.

2比耐公式

首先我们先看看在一般的中心力场中的规律.

所谓中心力场,就是满足F=F(r)󰀉r

r这样的力场,比如万有引力只与距

离r有关,我们把这种只与距离有关而与其他无关(比如角度θ,φ)的力场叫做

中心力场.中心力场中运动的物体一定是在一个平面内的轨迹.

图1:中心力场(力心在o点处)

根据牛顿第二定律：

F(r)󰀠r

r=ma=md2󰀠r

dt2

写成x,y分量形式.

md2x

dt2=F(r)x

r

md2y

dt2=F(r)y

r

2把直角坐标和极坐标互化公式x=rcosθ,y=rsinθ带进去.得:

m(d2r

dt2−r(dθ

dt)2)=F(r)(1)

m(rd2θ

dt2+2dr

dtdθ

dt)=0(2)

把(2)式凑全微分,得m1

rd

t(r2dθ

万有引力定律公式详细推导过程

有很多的同学是非常想知道，万有引力定律公式详细推导过程是什幺，

小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！

1 万有引力定律推导公式是什幺根据开普勒的三定律以及牛顿第三定律得

出.

具体如下;F 引= F 向=mw2r＝mv2/r 再由线速度与周期的关系得到

F 引=m(2πr/T)2/r= 4π2mr/T2

F 引=4π2mr/T2= 4π2(r3/T2) m/r2

F 引=4π2km/r2

所以可以得出结论：太阳对行星的引力跟行星的质量成正比,跟行星到太阳

的距离的二次方成反比.

即：F∝m/r2

牛顿根据牛顿第三定律大胆的猜想：既然太阳对行星的引力与行星的质量

成正比,也应该与太阳的质量成正比.

F 引 ∝ Mm/r2

写成等式：F 引= GMm/r2

1 万有引力定律的定义任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。

该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的

化学组成和其间介质种类无关。

万有引力定律是艾萨克·牛顿在 1687 年于《自然哲学的数学原理》上发表

的。

万有引力定律的发现是近代经典物理学发展的必然结果。科学史上普遍认