2021届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练13函数模型及其应用文

1 / 8 2021届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练13函数模型及其应用文

[基础巩固]

一、选择题

1．物价上涨是当前的要紧话题，专门是菜价，我国某部门为尽快实现稳固菜价，提出四种绿色运输方案．据推测，这四种方案均能在规定的时刻T内完成推测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时刻t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时刻的运输量)逐步提高的是(

)

[解析] 由运输效率(单位时刻的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐步增大，故函数的图象应一直是下凹的．

[答案] B

2．(2020·河南洛阳期中)已知某种动物繁育量y(只)与时刻x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们进展到( )

A．100只 B．200只

C．300只 D．400只

[解析] 由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log39＝200.

[答案] B

3．(2021·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每通过5730年衰减为原先的一半，那个时刻称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一样的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一样的放射性探测器探测不到，则它通过的“半衰期\”个数至少是( )

A．8 B．9

C．10 D．11

[解析] 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则通过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为12n，由12n<11000得n≥10.因此，若探测不到碳14含量，则至少通过了10个“半衰2 / 8 期”．故选C.

[答案] C

4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得的一组实验数据如下表所示：

x 1.99 3 4 5.1

6.12

y 1.5 4.04 7.5 12

18.01

现预备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )

A．y＝2x－2 B．y＝12x

C．y＝log2x D．y＝12(x2－1)

[解析] 直线是平均分布的，故选项A不符合要求；指数函数y＝12x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y＝log2x的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中的函数，差不多符合要求．

[答案] D

5．(2021·湖南、衡阳、长郡中学等十三校联考)某公司为鼓舞创新，打算逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.3)( )

A．2020年 B．2021年

C．2020年 D．2021年

[解析] 设开始超过200万元的年份是n，则130×(1＋12%)n－2021>200，化简得(n－2021)lg1.12>lg2－lg1.3，因此n－2021>lg2－lg1.3lg1.12＝3.8，因此n＝2020，因此开始超过200万元的年份是2020年，故选C.

[答案] C

6．国家规定个人稿费纳税方法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则那个人应得稿费(扣税前)为( )

A．2800元 B．3000元

C．3800元 D．3818元

[解析] 设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 3 / 8 y＝ 0， 0≤x≤800，x－800×14%， 8004000.

假如稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，因此稿费应在800～4000元之间，∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.

[答案] C

二、填空题

7.(2021·江西六校联考)A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 km/h，B的速度是16 km/h，通过________小时，AB间的距离最短．

[解析] 设通过x h，A，B相距为y km，

则y＝145－40x2＋16x20≤x≤298，求得函数的最小值时x的值为258.

[答案] 258

8．(2021·北京海淀一模)某购物网站在2020年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还能够再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为__________．

[解析] 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额许多于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，因此最少需要下的订单张数为3张．

[答案] 3

9．某食品的保鲜时刻t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t＝ 64，x≤0，2kx＋6，x>0且该食品在4℃的保鲜时刻是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻变化如图所示．给出以下四个结论： 4 / 8

①该食品在6℃的保鲜时刻是8小时；②当x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时刻t随着x增大而逐步减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时刻内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时刻．

其中，所有正确结论的序号是__________．

[解析] ∵食品的保鲜时刻t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t＝ 64，x≤02kx＋6，x>0且该食品在4℃的保鲜时刻是16小时．∴24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－12，∴t＝ 64，x≤02－12x＋6 ，x>0当x＝6时，t＝8.①该食品在6℃的保鲜时刻是8小时，正确；②当x∈[－6,0]时，保鲜时刻恒为64小时，当x∈(0,6]时，该食品的保鲜时刻t随着x增大而逐步减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，现在保鲜时刻不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时刻内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时刻，故正确．故正确的结论的序号为①④.

[答案] ①④

三、解答题

10．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时刻t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，同时m>0)．

(1)假如m＝2，求通过多少时刻，物体的温度为5摄氏度；

(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范畴．

[解] (1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝22t＋12t，

当θ＝5时，2t＋12t＝52，令2t＝x≥1，则x＋1x＝52， 5 / 8 即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝12(舍去)，

现在t＝1.因此通过1分钟，物体的温度为5摄氏度．

(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立．

亦m·2t＋22t≥2恒成立，亦即m≥212t－122t恒成立．

令12t＝x，则0

由于x－x2≤14，∴m≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范畴是12，＋∞.

[能力提升]

11．(2021·陕西西安模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现预备拟定一函数用于依照当月评判分数x(正常情形0≤x≤100，且教职工平均月评判分数在50分左右，若有突出奉献能够高于100分)运算当月绩效工资y元．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )

A．y＝(x－50)2＋500

B．y＝10x25 ＋500

C．y＝11000(x－50)3＋625

D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]

[解析] 由题意知，函数应满足单调递增，且先慢后快，在x＝50左右增长缓慢，最小值为500，A是先减后增，不符合要求；B由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C是由y＝x3通过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选C.

[答案] C

12．(2021·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时刻t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．依照上述函数模型和实验数据，能够得到最佳加工时刻为( ) 6 / 8

A．3.50分钟 B．3.75分钟

C．4.00分钟 D．4.25分钟

[解析] 依照图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得 0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a＋5b＋c，消去c化简得 7a＋b＝0.1，9a＋b＝－0.3，

解得 a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.因此p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－15t2－152t＋22516＋4516－2＝－15t－1542＋1316，因此当t＝154＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时刻为3.75分钟．

[答案] B

13．一个容器装有细沙a cm3，细沙镇定器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－b t(cm3)，通过8 min后发觉容器内还有一半的沙子，则再通过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

[解析] 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝12a，

∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，

即y＝ae－b t＝18a，e－b t＝18＝(e－8b)3＝e－24b，

则t＝24，因此再通过16 min.

[答案] 16

14．为了在夏季降温顺冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建筑隔热层．某