2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十三) 导数的概念及运算 Word版含解析

课时达标检测（十三） 导数的概念及运算

[小题对点练——点点落实]

对点练(一) 导数的运算

1．(2018·泉州质检)设函数f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)，则f′(x)＝( )

A．3x2＋3kx＋k2 B．x2＋2kx＋2k2

C．3x2＋6kx＋2k2 D．3x2＋6kx＋k2

解析：选C 法一：f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)，

f′(x)＝(x＋k)(x＋2k)＋x[(x＋k)(x＋2k)]′＝(x＋k)·(x＋2k)＋x(x＋2k)＋x(x＋k)＝3x2＋6kx＋2k2，故选C.

法二：因为f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)＝x3＋3kx2＋2k2x，所以f′(x)＝3x2＋6kx＋2k2，故选C.

2．(2018·泰安一模)给出下列结论：

①若y＝log2x，则y′＝1xln 2；②若y＝－1x，则y′＝12xx；③若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；④若y＝ax(a>0)，则y′＝axln a．其中正确的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选D 根据求导公式可知①正确；若y＝－1x＝－x12，则y′＝12x32＝12xx，所以②正确；若f(x)＝1x2，则f′(x)＝－2x－3，所以f′(3)＝－227，所以③正确；若y＝ax(a>0)，则y′＝axln a，所以④正确．因此正确的结论个数是4，故选D.

3．若函数y＝xm的导函数为y′＝6x5，则m＝( )

A．4 B．5

C．6 D．7

解析：选C 因为y＝xm，所以y′＝mxm－1，与y′＝6x5相比较，可得m＝6.

4．已知函数f(x)＝xex(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝(

)

A.1＋xex B.1－xex

C．1＋x D．1－x

解析：选B 函数f(x)＝xex，则其导函数f′(x)＝ex－xexe2x＝1－xex，故选B. 5．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)<0的解集为( )

A．(0，＋∞) B．(0,2)

C．(0,2)∪(－∞，－1) D．(2，＋∞)

解析：选B 函数f(x)＝x2－2x－4ln x的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－2x－4x，由f′(x)＝2x2－2x－4x<0，得0

6．(2018·信阳模拟)已知函数f(x)＝aex＋x，若1

A.0，1e B．(0,1)

C．(1,2) D．(2,3)

解析：选B 根据题意，f(x)＝aex＋x，则f′(x)＝(aex)′＋x′＝aex＋1，则f′(0)＝a＋1，若1

对点练(二) 导数的几何意义

1．(2018·安徽八校联考)函数f(x)＝tan x2在π2，fπ2处的切线的倾斜角α为( )

A.π6 B.π4

C.π3 D.π2

解析：选B f′(x)＝sin x2cos x2′＝12cos2 x2，得切线斜率k＝tan α＝f′π2＝1，故α＝π4，选B.

2．若函数f(x)＝x3－x＋3的图象在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为( )

A．(1,3) B．(－1,3)

C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)

解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，即3x2－1＝2⇒x＝1或－1，又f(1)＝3，f(－1)＝3，所以P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1,3)或(－1,3)．

3．(2018·福州质检)过点(－1,1)与曲线f(x)＝x3－x2－2x＋1相切的直线有( )

A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

解析：选C 设切点P(a，a3－a2－2a＋1)，由f′(x)＝3x2－2x－2，当a≠－1时，可得切线的斜率k＝3a2－2a－2＝a3－a2－2a＋1－1a－－1，所以(3a2－2a－2)(a＋1)＝a3－a2－2a，即(3a2－2a－2)(a＋1)＝a(a－2)(a＋1)，所以a＝1，此时k＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．

4．(2018·重庆一模)已知直线y＝a与函数f(x)＝13x3－x2－3x＋1的图象相切，则实数a的值为( )

A．－26或83 B．－1或3

C．8或－83 D．－8或83

解析：选D 令f′(x)＝x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，∵f(－1)＝83，f(3)＝－8，∴a＝83或－8.

5．(2018·临川一模)函数f(x)＝x＋ln xx的图象在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )

A.12 B.14

C.32 D.54

解析：选B 因为f(x)＝x＋ln xx，f′(x)＝1＋1－ln xx2，所以f(1)＝1，f′(1)＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)．令x＝0，可得y＝－1；令y＝0，可得x＝12.故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选B.

6．(2018·成都诊断)若曲线y＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )

A.－12，＋∞ B.－12，＋∞

C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)

解析：选D 由题意知，函数y＝ln x＋ax2的定义域为(0，＋∞)，y′＝1x＋2ax＝2ax2＋1x≥0恒成立，即2ax2＋1≥0，a≥－12x2恒成立，又在定义域内，－12x2∈(－∞，0)，所以实数a的取值范围是[0，＋∞)．

7．(2017·柳州二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，F(x)＝f′xex，若F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，则函数f(x)的最小值是( )

A．2 B．1

C．0 D．－1

解析：选C ∵f′(x)＝2x＋b，∴F(x)＝2x＋bex，F′(x)＝2－2x－bex，又F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，∴ F′0＝－2，F0＝c，得 b＝c，b＝4，∴f(x)＝(x＋2)2≥0，f(x)min＝0.

8．(2018·唐山模拟)已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝ln x，则下列说法中正确的为( )

A．f(x)，g(x)的图象在点(1,0)处有公切线

B．存在f(x)的图象的某条切线与g(x)的图象的某条切线平行

C．f(x)，g(x)的图象有且只有一个交点

D．f(x)，g(x)的图象有且只有三个交点

解析：选B 对于A，f(x)的图象在点(1,0)处的切线为y＝2x－2，函数g(x)的图象在点(1,0)处的切线为y＝x－1，故A错误；对于B，函数g(x)的图象在(1,0)处的切线为y＝x－1，设函数f(x)的图象在点(a，b)处的切线与y＝x－1平行，则f′(a)＝2a＝1，a＝12，故b＝ 122－1＝－34，即g(x)的图象在(1,0)处的切线与f(x)的图象在12，－34处的切线平行，B正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有两个交点，C，D错误．故选B.

9．(2018·包头一模)已知函数f(x)＝x3＋ax＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.

解析：函数f(x)＝x3＋ax＋1的导数为f′(x)＝3x2＋a，f′(1)＝3＋a，又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－a－2＝(3＋a)(x－1)，因为切线经过点(2,7)，所以7－a－2＝(3＋a)(2－1)，解得a＝1.

答案：1 [大题综合练——迁移贯通]

1．(2018·兰州双基过关考试)定义在实数集上的函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝13x3－2x＋m.

(1)求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；

(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[－4,4]恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)∵f(x)＝x2＋x，∴f(1)＝2.

∵f′(x)＝2x＋1，∴f′(1)＝3.

∴所求切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.

(2)令h(x)＝g(x)－f(x)＝13x3－x2－3x＋m，

则h′(x)＝(x－3)(x＋1)．

∴当－4≤x≤－1时，h′(x)≥0；

当－1＜x≤3时，h′(x)≤0；

当3＜x≤4时，h′(x)＞0.

要使f(x)≥g(x)恒成立，即h(x)max≤0，

由上知h(x)的最大值在x＝－1或x＝4处取得，

而h(－1)＝m＋53，h(4)＝m－203，

∴h(x)的最大值为m＋53，∴m＋53≤0，即m≤－53.

∴实数m的取值范围为－∞，－53.

2．(2018·青岛期末)设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3，当x＝2时，y＝12.

又因为f′(x)＝a＋bx2， 所以 2a－b2＝12，a＋b4＝74.解得 a＝1，b＝3，所以f(x)＝x－3x.

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，

即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．

令x＝0，得y＝－6x0，所以切线与直线x＝0的交点坐标为0，－6x0.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝12－6x0 |2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.

3．已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

(3)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．

解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，

则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，

则由题意，及(1)可知， k≥－1，－1k≥－1，

解得－1≤k＜0或k≥1，

故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，