2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版课时达标检测(十四) 导数与函数的单调性 Word版含解析

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专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 第六章 数 列

第一节 数列的概念与简单表示

本节主要包括2个知识点： 1.数列的通项公式； 2.数列的性质.

突破点(一) 数列的通项公式

[基本知识]

1．数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．

2．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．数列的递推公式

如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．

4．Sn与an的关系

已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，这个关系式对任意数列均成立．

[基本能力]

1．判断题

(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．( )

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )

(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝12an－1，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．( )

(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )

答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×

2．填空题

(1)已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，则数列{an}的一个通项公式为________． 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集

专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 答案：an＝2n－1(n∈N*)

(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2an＋3，则a2＝________.

答案：15

1 第二节 导数与函数的单调性

[最新考纲] 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．

函数的单调性与导数的关系

条件

结论

函数y＝f(x)在

区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内单调递增

f′(x)＜0 f(x)在(a，b)内单调递减

f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数

[常用结论]

1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.( )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )

(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√

二、教材改编

1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )

A．在区间(－3,1)上f(x)是增函数

B．在区间(1,3)上f(x)是减函数

C．在区间(4,5)上f(x)是增函数

D．在区间(3,5)上f(x)是增函数

C [由图像可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，故f(x)在(4,5)上是增函数．] 2 2．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )

A．先增后减 B．先减后增

C．增函数 D．减函数

D [因为f′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立，

所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.]

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专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 课时达标检测（三十八） 空间向量及其运算和空间位置关系

[小题常考题点——准解快解]

1．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( )

A．9 B．－9

C．－3 D．3

解析：选B 由题意设c＝xa＋yb，则(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴ 2x－y＝7，x＋2y＝6，－3x＋3y＝λ，解得λ＝－9.

2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )

A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α斜交

解析：选B ∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α.

3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE―→·AF―→的值为( )

A．a2 B.12a2

C.14a2 D.34a2

解析：选C AE―→·AF―→＝12(AB―→＋AC―→)·12AD―→＝14(AB―→·AD―→＋AC―→·AD―→)＝14(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝14a2.

4.如图所示，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB―→＝a，AD―→＝b，AA1―→＝c，则下列向量中与BM―→相等的向量是( )

A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c

C．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c

解析：选A BM―→＝BB1―→＋B1M―→＝AA1―→＋12(AD―→－AB―→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.

5．(2018·云南模拟)已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为( ) 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集

课时达标检测（三十） 数列的综合问题

[小题常考题点——准解快解]

1．(2018·安徽六安一中月考)已知数列{an}的通项公式为an＝5－n，其前n项和为Sn，将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn.若存在m∈N*，使对任意n∈N*，Sn≤Tm＋λ恒成立，则实数λ的取值范围是( )

A．[2，＋∞) B．(3，＋∞)

C．[3，＋∞) D．(2，＋∞)

解析：选D 依题意得Sn＝4＋5－nn2＝n9－n2，根据二次函数的性质，n＝4,5时，Sn取得最大值为10.另外，根据通项公式得数列{an}的前4项为a1＝4，a2＝3，a3＝2，a4＝1，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列．所以数列{bn}中，b1＝4，公比q＝12，所以Tn＝41－12n1－12＝81－12n，所以4≤Tn<8.因为存在m∈N*，对任意n∈N*，Sn≤Tm＋λ恒成立，所以10<8＋λ，所以λ>2.故选D.

2．(2018·北京景山学校段测)已知数列{an}满足a1＝1，P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，如果函数f(n)＝1n＋a1＋1n＋a2＋…＋1n＋an(n∈N*，n≥2)，那么函数f(n)的最小值为( )

A.13 B．14

C.712 D．512

解析：选C 将点P的坐标代入直线方程，得an＋1－an＝1，所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝n，所以f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n，f(n＋1)＝1n＋2＋1n＋3＋…＋1n＋n＋2，所以f(n＋1)－f(n)＝1n＋n＋1＋1n＋n＋2－1n＋1>12n＋2＋12n＋2－1n＋1＝0，所以f(n)单调递增，故f(n)的最小值为f(2)＝712，故选C.

3．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是( )