概率论与数理统计第四章自测题
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概率论与数理统计第四章自测题(总6页)
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时间：120分钟，卷面分值：100分
一、填空题：（每空2分，共12分） 得分
1．设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数XY=，则D(3X-2Y)=
。
2．已知随机变量X~N(0, 2)(>0)，Y在区间[0,3]上服从均匀分布，如果D(X-Y)=2，
则X与Y的相关系数XY= 。
3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数
XY=-1/2，则当a= 时，随机变量aX+Y与Y相互独立。
4．设随机变量X~N(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为1210()200xexfxx，，，，
如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，此时X与Z的相关系数为XZ= 。
5．设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布，随机变量-100010XYXX，，，，，，
则方差D(Y)= 。
6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{X-24} 。
二、单选题：（每题2分，共12分） 得分
1．随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y( )。
(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；
(B)不相关的必要条件，但不是充分条件；
(C)独立的必要条件，但不是充分条件；
(D)独立的充分必要条件。
2．若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 (A) X与Y一定相互独立； (B) X与Y一定不相关；
(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。
3．设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y，V=X-Y，且协方差Cov存在，则U和V必然( )。
(A) 不相关；(B) 相互独立；(C) 不独立；(D) 无法判断。
4．若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是( )。
(A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)D(X-Y)。
5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则
此人所得奖金的数学期望为( )。
(A) 6元； (B) 12元； (C) 元； (D) 9元。
6. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )。
(A)1； (B)12； (C)12； (D)1。
三、判断题：（每题2分，共12分） 得分
1.( )设随机变量X和Y相互独立，且有D(X)=2，D(Y)=3，则有D(5X-2Y)=4。
2.( )设随机变量X，Y，且E(X)=5, E(Y)=3, D(X)=2, D(Y)=3, E(XY)=0，则方差
D(2X-3Y)=35。
3. ( )设随机变量X和Y的联合分布律为
可知X与Y不相互独立，因此X与Y不相关。
4. ( )设随机变量X的概率密度为1,0,2()1,0,2xxexfxex 则X的数学期望为
0011,0,22()11,0,22xxxedxxEXxedxx X
Y -1 1 2
-1
1 1/4 1/4 0
1/4 0
1/4 5. ( )设二维随机变量X与Y的联合概率密度为sinsin,0,,(,)20,xyxyfxy其他，
则数学期望0/2()sinsinsinEXxxydxy。
6. ( )若二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为
01, 01(,)0,xyxyfxy，，其他，
则随机变量X与Y不是不相关，因而X与Y不相互独立。
四、计算题（共34分）
1．(8分)设随机变量, 是相互独立且服从同一分布，已知的分布律为
P{=i}=1/3，i=1, 2, 3，
又设X=max(, )，Y=min(, )，
求(1)随机变量X的数学期望E(X)，(2) X与Y的相关系数XY。 得分
2．(10分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
201, 01(,)0xyxyfxy，，，其他，
(1)判别X与Y是否相互独立是否相关(2)求 D(X+Y)。 得分
3．(8分)设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为
1, 0<<1(,)0yxxfxy，，，其他，
求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，XY。 得分
4. (8分)设随机变量X1, X2, …, Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，
求随机变量Z=min{ X1, X2, …, Xn}的数学期望与方差。 得分
五、应用题（共16分）
1.(8分)某系某班共有n名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，
求恰好拿到自己的学生证的人数X的数学期望与方差。 得分
2. (8分) 设某种商品每周需求量X是服从区间(10, 30)上均匀分布的随机变量，而经销商
店进货数量为区间[10, 30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于
求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 单位商品仅获利300元，求最优进货量。 得分
六、综合题（14分）
设随机变量X1, X2, …, Xn(n>2)为独立同分布，均服从N(0, 1)，记
n11X=Xnii，Yi=Xi-X，i=1, 2, …, n，
(1)求Yi的方差D(Yi)，i=1, 2, …, n；
(2)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1, Yn)；
(3)求P{Y1+Yn0}；
(4)证明Y1与Yn的相关系数为111nYYn。 得分
《概率论与数理统计》第四单元自测题参考答案
一、填空题：
1．；2. 1/4；3. 2；4. -1, 6/4；5. 8/9；6. 1/8。
二、选择题：
1．C；2. B；3. A；4. B；5. C；6. D。
三、判断题：
1．错；2. 错；3. 错；4. 错；5. 错；6. 对。
四、计算题
1．【答】E(X)=22/9，XY=8/19。
【解】X与Y的联合分布律为：
Y
X 1 2 3 P{X=i}
1 1/9 0 1/9
E(X)=22/9，E(Y)=14/9，E(X2)=58/9，E(Y2)=26/9，
E(XY)=4。
2．【答】(1) 不独立，相关。(2)
D(X+Y)=5/36。
【解】 1X03,01,()(,)(2)20,xxfxfxydyxydy其他,，
同理 Y3,01,()(,)20,yyfyfxydx其他,
在0
1035E(X)(,)()212xfxydxdyxxdx，由x与y的对称性知E(Y)=512，
11100021E(XY)(,)(2)()336xxyfxydxdyxdxyxydyxdx，
12222X031E(X)()()E(Y)24xfxdxxxdx，
D(X)=E(X2)-(E(X))2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，
XYCov(X,Y)1ρ011D(X)D(X)，故X与Y相关。
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36。
3．【答】E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6，XY=0。
方法同上例，略。
4.【答】E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。
【解】随机变量X1, X2, …, Xn的分布函数为 1,0,()0,0,zXezFzz
则1,0,()1(1())0,0,nznZXezFzFzz 2
3 0
2/9 1/9
0
2/9 2/9
1/9 3/9
5/9
