立体几何的最值问题

第1页（共4页） 立体几何最值问题求解策略

最值问题一直是高中数学的重点和热点问题，当然，也是历年高考试题都要涉及的题目。在立体几何中，计算几何体的最值往往有两种方法：一是利用函数及重要不等式，二是利用化归转化思想将立体几何中的极值问题转化为平面几何中的极值问题。另外，解决几何体的相切、相接问题的关键是注意两个几何体之间的等量关系。本文举例说明立体几何中的最值问题的求解策略。

一. 利用三角函数求最值

例1. 已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面ABBAAAB11160是∠°的菱形，且平面ABB1A1⊥平面ABC，M是A1B1上的动点。试求使二面角A1—BM—C的平面角最小时的三棱锥M—A1CB的体积。

分析：要使二面角A1—BM—C的平面角最小，必须先构建其平面角，如何构建？如图所示，取AB中点O，在MB上找一点P，因为CO垂直MB，剩下的问题只要使OP垂直于MB即可。这样MB就垂直于平面CPO，则∠OPC就是所求的平面角。在Rt△COP中就转化为求OP的最大值的问题，易发现此时点P即为点B，点M为线段A1B1的中点。

解：取AB中点O，过O作OP⊥BM，垂足为P，连结CP。

∵AB是平面A1B与平面ABC的交线，CO⊥AB，且平面A1B⊥平面ABC

∴CO⊥平面A1B

MBAB平面1，因此COMB

而平面，OPCOPMBOP，∠OPC即为ABMC1的平面角。

在Rt△COP中，tan∠OPCCOOP

CO为定长，∠OPC为最小，即OP为最大。

当且仅当P与B重合时，OP最大，此时M点为A1B1的中点，BM⊥AB。

VVSCOMACBCAMBMB1111312··

解后反思：本题是一道探索性题，确定动点M使所求二面角最小的位置是关键。在求体积的过程中运用了等积变形。 第2页（共4页）

二. 利用均值定理求最值

例2. 在棱长为a的正方体OABC—OABC''''中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。

一、与线段长有关的最值问题

【典例1】在直三棱柱ABC­A

1B

1C

1中，底面为直角三角形，

∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC

1＝2，P是BC

1上一动点，如图所示，

则CP＋PA

1的最小值为________．

[解析]PA

1在平面A

1BC

1内，PC在平面BCC

1内，

将其铺平后转化为平面上的问题．铺平平面A

1BC

1，平面BCC

1，

如图所示，计算得A

1B＝AB

1＝210，BC

1＝2.

又A

1C

1＝6，故△A

1BC

1是∠A

1C

1B＝90°的直角三角形．

设P是BC

1上任一点，CP＋PA

1≥A

1C，

即当A

1，P，C三点共线时，CP＋PA

1有最小值．

在△A

1C

1C中，由余弦定理得

A

1C＝62＋22－2×6×2×cos 135°＝52，

故(CP＋PA

1)

min＝52.

【变式练习】

1.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A

1B

1C

1D

1的面对角线A

1B上

存在一点P，使得AP＋D

1P取得最小值，则此最小值为()

A．2 B.6＋22

C．2＋2 D.2＋2

解析：选D将△A

1AB与△A

1BD

1放在同一平面内，如图所示．连接AD

1，

则AD

1为AP＋D

1P的最小值．因为AA

1＝A

1D

1＝1，∠AA

1D

1＝90°＋45°＝135°，

所以由余弦定理得AD

1＝AA21＋A1D21－2×AA1×A1D1×cos 135°

＝

2

＋2.

2．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为

________． 解析：由三视图知三棱锥如图所示，

底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，

PA⊥平面ABC，BC＝27，

PA2＋y2＝102，(27)2＋PA2＝x2，

因此

xy＝x102－[x2－272]

＝x128－x2≤x2＋128－x2

2＝64，当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，

因此xy的最大值是64.

3．已知直三棱柱ABC­A

1B

1C

1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面

高中数学立体几何中的最值问题

在高中数学的学习中，立体几何一直是一个重点和难点，而其中的最值问题更是让许多同学感到头疼。这类问题往往需要我们综合运用空间想象力、几何知识以及数学方法来求解。接下来，让我们一起深入探讨立体几何中的最值问题。

一、常见类型及解法

1、 距离最值问题

（1）两点间距离最值

在立体几何中，求两点间距离的最值，常常需要我们将空间中的两点转化到同一平面内。例如，在长方体中，求异面直线上两点的最短距离，就需要通过平移将其转化为共面直线，然后利用平面几何中的知识求解。

（2）点到直线距离最值

求点到直线的距离最值时，通常要找到点在直线上的投影。如果直线是某一平面的斜线，那么可以通过作垂线找到投影，再利用勾股定理计算距离。

（3）点到平面距离最值

对于点到平面的距离最值，一般可以利用空间向量法。先求出平面的法向量，然后通过向量的数量积来计算点到平面的距离。 2、 面积最值问题

（1）三角形面积最值

在立体几何中，涉及三角形面积的最值问题，可能需要考虑三角形的边长关系或者角度大小。例如，已知三角形的两边及其夹角，当夹角为直角时，面积最大。

（2）四边形面积最值

对于四边形，如平行四边形，其面积可以表示为底边乘以高。当底边长度固定时，高取得最大值时面积最大；或者当四边形的对角线相互垂直时，面积等于对角线乘积的一半。

3、 体积最值问题

（1）柱体体积最值

对于柱体，如圆柱、棱柱，其体积等于底面积乘以高。当底面积不变时，高最大则体积最大；反之，高最小时体积最小。

（2）锥体体积最值

锥体体积为三分之一底面积乘以高。在求解锥体体积最值时，需要关注底面积和高的变化。

二、例题分析

例 1：在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱

AB、BC 的中点，求点 A1 到直线 EF 的距离。 解：连接 A1C1、C1F、EF，因为 A1C1 平行于 EF，所以点 A1 到直线 EF 的距离等于点 A1 到直线 C1F 的距离。

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高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.

例1 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.

（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

讲解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积

为,2a从而只要算出四棱锥的高就行了.

PB面ABCD,

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，

∠PAB=60°.

而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=3a,

3233331aaaV锥.

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

CEACEDCEAE故,90,是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

.22aADAEOAa

在.0)2)(2(2)2(cos,2222AEOAAEOAAEECAEOAECAEAECAEC中