高中数学立体几何中的最值问题

高三数学立体几何的基本问题归纳

高三数学立体几何的差不多问题归纳

到了高三时期，同学们就差不多有了十二年的学习体会了，在这漫长的学海生涯中，通过历练和钻研，每个人都有一套专门的总结问题的方法，关于高三立体几何，也有几点总结，在那个地点分享给大伙儿，期望能够有所关心。

立体几何中两个最差不多的问题，一个是求角度，一个是求距离。

1.求角度的问题：一样解法的关键是把所求角放在一个三角形里，最好是直角三角形，如此解三角形就能够了。一样的线线角都能够尝试这种方法，即若角不在三角形里，就注意角的两边，在两边上找到合适的点做出三角形后解此三角形。

求线面角和二面角一样是转化为线线角。那个地点一定要先尝试三垂线定理。个人体会说明至少80%的线面角、二面角题都靠这种方法，极少数情形下，若发觉线面角和面面角能够直截了当转化为线线角(比如求二面角时发觉题目差不多给出一个垂直于两平面的平面C，那么此平面C与那两个平面的交线的夹角确实是二面角)的话就直截了当求。而三垂线定理的核心在于那条和平面垂直的线，若题目中给了一条线垂直于一个平面的话就要专门留心加以利用，若没给就往往需要自己做一条。用三垂线定理能够把所求角转化为线线角并直截了当放到直角三角形里，是求线面角、二面角最常用的方法。

2.距离：记住异面直线的距离常常是没法直截了当求的!公垂线给了能直截了当求，公垂线没给的话可能一天也找不到它在哪里。常用的方法是找一个包含一条直线并与另一直线平行的平面，转化为线面距离，或者面面距离。但线面距离和面面距离有时也不行求，常见的方法是再转化成点面距离，然后用三棱锥三组底与高乘积相等的方法，即体积法能够求出点面距离。

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。现在体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

问题29立体几何中的最值问题

一、考情分析

立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值.

纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．

二、经验分享

1.解决立体几何中的最值问题常见方法有：

(1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法； 有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.

(2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径.

(3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解：如 最小角定理所建立的不等关系等等.

(4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易.

一、与线段长有关的最值问题

【典例1】在直三棱柱ABC­A

1B

1C

1中，底面为直角三角形，

∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC

1＝2，P是BC

1上一动点，如图所示，

则CP＋PA

1的最小值为________．

[解析]PA

1在平面A

1BC

1内，PC在平面BCC

1内，

将其铺平后转化为平面上的问题．铺平平面A

1BC

1，平面BCC

1，

如图所示，计算得A

1B＝AB

1＝210，BC

1＝2.

又A

1C

1＝6，故△A

1BC

1是∠A

1C

1B＝90°的直角三角形．

设P是BC

1上任一点，CP＋PA

1≥A

1C，

即当A

1，P，C三点共线时，CP＋PA

1有最小值．

在△A

1C

1C中，由余弦定理得

A

1C＝62＋22－2×6×2×cos 135°＝52，

故(CP＋PA

1)

min＝52.

【变式练习】

1.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A

1B

1C

1D

1的面对角线A

1B上

存在一点P，使得AP＋D

1P取得最小值，则此最小值为()

A．2 B.6＋22

C．2＋2 D.2＋2

解析：选D将△A

1AB与△A

1BD

1放在同一平面内，如图所示．连接AD

1，

则AD

1为AP＋D

1P的最小值．因为AA

1＝A

1D

1＝1，∠AA

1D

1＝90°＋45°＝135°，

所以由余弦定理得AD

1＝AA21＋A1D21－2×AA1×A1D1×cos 135°

＝

2

＋2.

2．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为

________． 解析：由三视图知三棱锥如图所示，

底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，

PA⊥平面ABC，BC＝27，

PA2＋y2＝102，(27)2＋PA2＝x2，

因此

xy＝x102－[x2－272]

＝x128－x2≤x2＋128－x2

2＝64，当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，

因此xy的最大值是64.

3．已知直三棱柱ABC­A

1B

1C

1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面

1/

31专题03

立体几何中的动点和最值问题

题型一立体几何中的动点问题

1．如图，在棱长为2的正方体

1111ABCDABCD中，M为棱

11AD的中点，下列说法正确的是()

A．直线AC直线BM

B．过点的C的平面MB，则平面截正方体所得的截面周长为325

C．若线段BM上有一动点Q，则Q到直线

1AA的距离的最小值为25

5

D．动点P在侧面

11BCCB及其边界上运动，且APBM，则AP与平面

11BCCB成角正切的取值范围是

255[,]

52

【解答】解：对于A，ACBD，1ACBB，

1BDBBB，BD、1BB平面

11BBDD，

AC平面

11BBDD，BM平面

11BBDD，直线AC与直线BM不垂直，故A错误；

对于B，如图1，取1BB，AB的中点E、F，连接CE、EF、CF．因为BNCE，1EFAB，由三垂线定理得BMCE，BMEF，所以BM平面CEF，

所以截正方体所得的截面为CEF，故周长为141411252，故B错误；

对于C，如图过BM构造平面与1AA平行，

2/31AH即Q到直线

1AA的距离的最小值，255AH，故C正确；对于

D，如图3，取1CC的中点Q，因为

1BMAB，

1BMBQ，

所以BM平面1ABQ，故P点轨迹为

1BQ．

在正方形11BCCB中，当P与Q重合时，BP最大，当

1BPBQ时，BP最小．所以4[,5]

5BP

因为AB平面11BCCB，所以APB为AP与平面

11BCCB所成角，255tan[,]

52ABAPB

BP

则AP与平面11BCCB成角正切的取值范围是255[,]

52，故D正确．

故选：CD．

2．如图，在正方体

1111ABCDABCD中，F是棱

11AD上的动点，下列说法正确的是()

A．对任意动点F，在平面

11ADDA内不存在与平面CBF平行的直线

B．对任意动点F，在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线

3/31C．当点F从