人教A版高中数学选修2-2提能达标过关：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
- 格式：doc
- 大小：83.00 KB
- 文档页数：6
第一章 1．2.1 几个常用函数的导数
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
提能达标过关
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝cos x，则y′＝sin x
B．若y＝sin x，则y′＝－cos x
C．若y＝1x，则y′＝－1x2
D．若y＝x，则y′＝x2
解析：若y＝cos x，则y′＝－sin x，∴A错；若y＝sin x，则y′＝cos x，∴B错；若y＝1x＝x－1，则y′＝－1·x－2＝－1x2，∴C正确；若y＝x＝，则y′＝12·＝12x，∴D错．
答案：C
2．函数y＝ex在点(0,1)处的切线方程为( )
A．y＝1ex＋1 B．y＝ex＋1
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
解析：∵y′＝ex，∴k＝f′(0)＝e0＝1，
∴切线方程为y－1＝1·(x－0)，即y＝x＋1，故选D.
答案：D
3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.0，π4∪3π4，π
B．[0，π) C.π4，3π4
D.0，π4∪π2，3π4
解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线的倾斜角为α，
∵y′＝(sin x)′＝cos x，
∴k＝y′|x＝x0＝cos x0＝tan α.
∵－1≤cos x0≤1，∴－1≤tan α≤1.
又∵0≤α＜π，∴0≤α≤π4或3π4≤α＜π.
答案：A
4．(2019·定州高三模拟)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
解析：设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cos x，显然k1·k2＝cos
x1·cos x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)＝1x(x>0)，显然k1·k2＝1x1·1x2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝ex>0，显然k1·k2＝ex1·ex2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3x12·3x22＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A.
答案：A
5．已知直线y＝kx与曲线y＝ln x相切，则k的值为( )
A．e B．－e
C.1e D．－1e
解析：∵y＝ln x，∴y′＝1x.设切点为(x0，y0)，则 k＝1x0.由 y0＝kx0，y0＝ln x0，得 x0＝e，y0＝1.∴k＝1e.
答案：C
二、填空题
6．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.
解析：∵f(x)＝10x，∴f′(x)＝10xln 10，
∴f′(1)＝10ln 10.
答案：10ln 10
7．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．
解析：y′＝1xln 2，∴
∴切线方程为y＝1ln 2(x－1)，
令x＝0，得y＝－1ln 2，
令y＝0，得x＝1，
∴S＝12×1×－1ln 2＝12ln 2.
答案：12ln 2
8．(2019·寿光高二月考)设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 018(x)＝________.
解析：由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x.
答案：－sin x
三、解答题
9．(2019·泉州高二月考)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解：不存在．理由如下：
由于y1＝sin x，y2＝cos x， 设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
所以两条曲线在P(x0，y0)处切线的斜率分别为
k1＝y1′|x＝x0＝cos x0，k2＝y2′|x＝x0＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
10．已知函数y＝12x2的图象在点x0，12x02处的切线为l，若l也为函数y＝ln
x(0 证明：函数y＝12x2的导数为y′＝x， 在点x0，12x02处的切线的斜率为k＝x0， 切线方程为y－12x02＝x0(x－x0)， 设切线与y＝ln x相切的切点为(m，ln m)，0 由y＝ln x的导数为y′＝1x， 可得x0＝1m，切线方程为y－ln m＝1m(x－m)， 令x＝0，可得y＝ln m－1＝－12x02， 由0 由m＝1x0，可得12x02－ln x0－1＝0， 令f(x)＝12x2－ln x－1，x>1， ∴f′(x)＝x－1x>0，∴f(x)在(1，＋∞)上递增， 且f(2)＝1－ln 2>0， f(3)＝32－12ln 3－1＝12(1－ln 3)<0， 则有12x02－ln x0－1＝0的根x0∈(3，2)． ∴3 由Ruize收集整理。 感谢您的支持！
