现代控制理论第三章PPT

第三部分 现代控制理论习题详解 第三章 线性控制系统的能控性和能观性

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第三章 线性控制系统的能控性和能观性

3-3-1 判断下列系统的状态能控性。

010 10

（ 1） A 10 1

B ( 2) A 0 0 1 , B 01

10 0 243

11

1 1 0 0 0

3 10 1 1

（ 3） A

0 1 0 0 1 0 3 0 , B0 0 ( 4) A B

0 0 1 0 1 0 01 2 0

0 0 0 1 1

【解】：

(1)

11 U c B AB 1 1 , rankU c n 2 ，所以系统完全能控。 c 0 1 c

(2)

1 0 0 1

2 U c B AB A2B

0 1 1 1

1 1 1 7

前三列已经可使 rankU c n 3 ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算） 。 （3）

A 为约旦标准型， 且第一个约旦块对应的 B 阵最后一行元素全为零， 所以系统不完全 能控。

（4）

A 阵为约旦标准型的特殊结构特征， 所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控 性。

同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。 可以求一下能控判别阵。

3-3-2 判断下列系统的输出能控性。

0 1 21 3 12

23 B AB A2B A3B 2 3

Uc 1 1 1

2 1

3 1 1 1 1

2 3

1 1 1 1 rankU c 2 ，所以系统不完全能控。 第三部分 现代控制理论习题详解 第三章 线性控制系统的能控性和能观性

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3 1 0 1 1

0 1 0 0 x 0 3 0x 0 0u

x 0 0 1x 0u (1) 0 0 1 2 0 (2)

6 11 6 1 1 01

2-4. 用三种方法计算以下矩阵指数函数Ate

（1）0140A （2）1141A

解：（1）①约旦标准型

特征方程为：21||404IA，求得 122,2ii

求得变换矩阵： 1122Tii，12124iTi

于是：

2122222222222001120122240111122441122itAtitititititititititititeeTTeieiiieeeieieieieee

②拉氏反变换法

11222221411441444441111224422221111222222sSIAssssssssssisisisisiisisisisi

于是： 2222112222111122441122ititititAtititititeeieieeLSIAieieee

③凯莱哈密顿定理

特征方程为：21||404IA，求得 122,2ii。

根据定理有：

121122012212222211222111242214titittititititititieeeiiieeeeeieie

所以

第3章习题参考答案：

3-1 (1)1101 0221rank[]2 rank[]2cocoQQQQ

能控，能观测

(2) 1979818100139155153 rank[]3

201618139153ccQQ

100210123 rank[]3 3812913363550141ooQQ

能控，能观测

(3) 根据能控/能观测判别准则二知，系统能控，但不能观测

(4) 00()()1ttMb

1001d()(t)()()dtttttMAMM

0101000101()() rank[]21()()01d()()()()0d()01 rank[]2()0ccoottttttttttttttQMMQNcNNANNQQN

能控但不能观测

(5) 02()()ttetteMb

1000d()(t)()()0dttttMAMM

0120100010()() rank[]20()()1d()()()()13d()1 rank[]2()13tccttttootettettettttetteteQMMQNcNNANNQQN

能观测但不能控

3-2 (1) 矩阵A为约当标准形，对应于唯一特征值12共有3个约当块。系统完全能控的充要条件是矩阵B中对应于三个约当小块的末行为行线性无关。基此，不管待定参数a和b取何值，必有

1rank2431anb

11122121112121112122()()()()101,11001iAHtQQAHtQQHtQRHtQRARAABARARC

111111122122221122()(s)1()(s)()(s)1()(s)11iiHsRQARsHsRQHsRQARsHsRQARsARs

思考：当Q1由H2罐底部流入

1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(sssssW,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图

解：sssssssssW31233310)3(4)3)(2()1(6)(22 432143214321313310411100000020000300013xxxxyuxxxxxxxx

1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）

(2)

32121321321110021357213311201214xxxyyuxxxxxx（2）

解：A的特征方程 0)3)(1(311212142AI

1,332,1

当31时，3121113121113311201214pppppp

解之得 113121ppp 令111p 得

1113121111pppP