材料力学专项习题练习扭转————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：229 / 13扭 转1. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为d , 外径为D , 内外径之比为22d D α=的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比12/A A 有四种答案：(A) 21α-； (B)423(1)α-； (C)2423[(1)(1)]αα--； (D)4232(1)1αα--。
2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立3. 一内外径之比为/d D α=的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力有四种答案：(A) τ ； (B) ατ； (C) 3(1)ατ-； (D) 4(1)ατ-。
4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。
扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭转角ϕ有四种答案： (A) p T GI r γ=，l r ϕγ=； (B) p ()T l GI γ=，l r ϕγ=； (C) p T GI r γ=，l r ϕγ=； (D) p T GI r γ=，r l ϕγ=。
5. 建立圆轴的扭转切应力公式p T I ρτρ=时，“平面假设”起到的作用有下列四种答案： (A) “平面假设”给出了横截面上内力与应力的关系d A T A τρ=⎰； (B) “平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律； (C) “平面假设”使物理方程得到简化；(D) “平面假设”是建立切应力互等定理的基础。
6. 横截面为三角形的直杆自由扭转时，横截面上三个角点处的切应力 。
M eM e lγϕr30 / 13(A) 必最大； (B) 必最小； (C) 必为零； (D) 数值不定。
7. 图示圆轴AB ，两端固定，在横截面C 处受外力偶矩e M 作用，若已知圆轴直径d ，材料的切变模量G ，截面C 的扭转角ϕ及长度2b a =，则所加的外力偶矩e M ，有四种答案：(A) 43π128d G a ϕ； (B) 43π64d G aϕ；(C) 43π32d G a ϕ； (D) 43π16d G a ϕ。
8. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为2d ，外径为2D ，内外径之比为220.8d D =的空心轴，若两轴的长度、材料、所受扭矩和单位长度扭转角均分别相同，则空心轴与实心轴的重量比21W W = 。
9. 圆轴的极限扭矩是指 扭矩。
对于理想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。
10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。
1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. C 7. B 8. 0.479. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；4/3 10. 横截面翘曲11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。
证：截面切应力 41 03s R R ρρττρ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭截面扭矩 04d 12πd 03Rs s A T A R ρρτρτρρ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰ 证毕。
12. 图示直径为d 的实心圆轴,两端受扭转力偶e M 作用，其材料的切应力和切应变关系可M eCBAabdOs τs τ/3M eM e31 / 13用1/m C τγ=表示，式中C ，m 为由实验测定的已知常数，试证明该轴的扭转切应力计算公式为：1/e (31)/2π()23m 1mm mM m d ρρτ+=+ 证：几何方面 d d xρϕγρ= 物理方面 1/1/d d mmC C x ρϕτγρ⎛⎫== ⎪⎝⎭静力方面 1//21/e 0d d 2πd d md m AM T A C x ρϕρτρρρρ⎛⎫==⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰1//221/0d 2πd d m d m C x ϕρρ+⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰(31)/1/()d 22π(31)d m mmd C m x mϕ+⎛⎫= ⎪+⎝⎭1/e (31)/(31)d d 2π()2mm m M m d x Cm ϕ++⋅⎛⎫=⎪⎝⎭⋅ 所以 1/e (31)/2π()23m 1mm mM m d ρρτ+=+ 证毕。
13. 薄壁圆管扭转时的切应力公式为202πTR τδ=（0R 为圆管的平均半径，δ为壁厚），试证明，当010R δ≥时，该公式的最大误差不超过4.53%。
证：薄壁理论 202πTR τδ=精确扭转理论:0max222200002π22222T R R R R R δτδδδδ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦022020212π4T R R R δδδ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭32 / 13误差 22max 0max max41124R R δτττεδττ+-==-=-+当010R δ≥时， 141001 4.53%145ε+≤-=+ 证毕。
14. 在相同的强度条件下，用内外径之比0.5d D =的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少？解：设空心轴内外直径分别为22,d D ，实心轴直径为1d33412ππ(1)1616T T d D α=- ⇒23411 1.021D d α==- 节省材料22122211(1)121.7%A A D A d α--=-=15. 一端固定的圆轴受集度为m 的均布力偶作用，发生扭转变形，已知材料的许用应力][τ，若要求轴为等强度轴，试确定轴直径沿轴向变化的表达式()d x 。
解：取自由端为x 轴原点,x 轴沿轴线方向,则扭矩方程 ()T x m x = 最大切应力 max 3p ()[]π()()16T x m xW x d x ττ=== 轴径 316()π[]m xd x τ=16. 两段同样直径的实心钢轴，由法兰盘通过六只螺栓连接。
传递功率80 kW P =，转速240 r min n =。
轴的许用切应力为1[]80 MPa τ=， 螺栓的许用切应力为2[]55 MPa τ=。
试(1) 校核轴的强度； (2) 设计螺栓直径。
60φ18060φ33 / 13解：(1) e 9 5493 183 N m PM n==⋅ emax 375MPa []π16M d ττ==< 安全 （2）e S 3 1835 894 N 330.18M F D ===⨯ S22[]π4F d ττ=≤⇒ S2411.7 mm π[]F d τ≥= 17. 图示锥形圆轴，承受外力偶e M 作用，材料的切变模量为G 。
试求两端面间的相对扭转角ϕ。
解： ()2b a d x a x l -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭e04d π()32lM x G d x ϕ=⋅⎰22 e e 433022()1d πG3πlM M l b ab a x Ga b b a a x l ++==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰18. 一半径为R 的实心圆轴，扭转时处于弹塑性状态。
试证明此轴弹性部分的核心半径0r 为 33046/(π)s r R T τ=-式中T 为整个截面上的扭矩，()f τγ=可按理想弹塑性情况下的τγ-图计算。
证： 002233S S S S 0 0 0212πd 2πd ππ36r R r T R r r ρτρρτρρττ⎛⎫=⋅+⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰于是得 330S64πTr R τ=-19. 已知图示空心圆截面杆，材料的应力－应变图及截面尺寸如图示，设12/1/2r r =。
试求此圆截面杆外表面处开始屈服时的扭矩与整M e bM ealr 0Rτsr 1r 2τγOτsγs34 / 13 个截面屈服时的极限扭矩之比。
解：屈服扭矩： 44S P21SS 22π()2I r r T r r ττ-==极限扭矩：21233P s S S 21 2d 2πd π()3r A r T A r r ρττρρτ===-⎰⎰PS1.244T T =20. 已知直径30mm D =的一根实心钢轴扭转后在内部保持一个10mm d =的弹性核，如图示。
若材料为理想弹塑性（应力－应变关系如图），160MPa S τ=。
试求当卸除扭矩后，残余应力是多少？并绘出应力分布图。
解：确定初加之扭矩值：32e P s s 2π2π d 16D d dT T T ττρρρ=+=+⋅⎰ 411210 N mm =⨯⋅弹性卸荷 max 3211.26 MPa π/16TD τ==15 mm ρ=处，15()21116051 MPa τ=-=残 5 mm ρ=处，211570.3 MPa 15τ⨯== 5()16070.389.7 MPa τ=-=残21. 已知直径30 mm D =的一根实心钢轴τss τmax τ=DdγττOs/MPa5190τs =160+τmax =211=(单位:MPa)DdγττOs/MPa35 / 13扭转后在内部保持一个10mm d =的弹性核，如图示。
若材料为理想弹塑性（应力－应变关系如图示），80 GPa G =，扭转屈服应力s 160 MPa τ=，试求当卸除扭矩后，单位杆长的残余扭转角为多少？解：弹性部分单位长度的扭转角ee p0.4 rad/m T GI θ== 弹性卸载单位长度扭转角e 0.176 rad/m θ=残余单位长度扭转角0.4 rad/m 0.176 rad/m 0.224 rad/m 12.8 ()/m θ=-==o 残22. 直径25 mm d =的钢圆杆受轴向拉力60 kN 作用时，在标距0.2 m 的长度内伸长了0.113 mm ，受扭转力偶矩0.15 kN m ⋅作用时，相距0.2 m 两截面的相对扭转角为0.55o ，求钢材的弹性模量E 、切变模量G 和泊松比ν。
解：45.6510llε-∆==⨯, N 122.2 MPa F A σ==则/216 GPa E σε== p 48.89 MPa T W τ==, 4/2π610 rad 180d l γϕ-=⨯=⨯ 解得 81.5 GPa G = 又 2(1)EG ν=+，得0.32ν=23. 设圆轴横截面上的扭矩为T ，试求1/4截面上扭转剪应力的合力大小，方向及作用点。
解：1 剪力大小和方向d d d A ρρθ=， S d d F A τ=π22S 04d sin sin d d 3πd z S ATF F dθτθρρθ-===⎰⎰⎰同理：S 43πy TF d=dT F F F y z π3`242S 2S S =+= 方向与ο45=θ矢径垂直。
