精品教案：排列组合、二项式定理、概率、统计

排列组合、二项式定理与概率统计

概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。

排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。这里的A表示从n个中取出m个的排列数。

二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。

概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。

概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。排列组合、二项式定理等工具 是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。

黄天浩教案 让学习成为一种习惯！

第 1 页 共 7 页 教学目标：掌握概率统计问题的算法。

教学重点：离散型随机变量的分布列，准确运用期望和方差公式，条件概率及相对独立事件、理解n次独立重复实验的模型。

教学难点：条件概率及相对独立事件的概率求法，期望与方差公式运用。

教学过程：

一、排列、组合、二项式定理

1、排列数公式:Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=错误！未找到引用源。，!nnAn.

组合数公式：Cnm=错误！未找到引用源。，01nnnCC.

组合数性质：mnmnnCC；

2、二项式定理：

掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)rnrrrnTCabrn；

例1．已知)(321NnAAAAannnnnn，当n≥2时，求证：

⑴naann11；⑵12311111(1)(1)(1)(1)3naaaan≤

（1）因为)2(A)]!1()1[()!1()!(!A11nknknnnknnknkn，

所以当2n时，nnan1)AAA(21nnnn=)]AA([11111nnnnnnn

111111)AA(1nnnna. 所以naann11．

（2）由（1）得1111nnnnnaaaa，即1111nnnnaaa，

所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234naaaaaaaaaa…nnana)1(1

11(1)!(1)!nann)AAA(112111nnnn)!1(1!1nn…1112!1!

主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙

一、复习策略

排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题．

二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．

概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．

纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右．

排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；

于求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；

基础知识大筛查-排列组合二项式定理、概率与统计

一、概率与分布列

1. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率nmP(A).

2. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A)P(A)P(A)AAP(An21n21.

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件.

注意：i.对立事件的概率和等于1：1)AP(A)AP(P(A)；ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.

如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.

推广：若事件n21,A,,AA相互独立，则)P(A)P(A)P(A)AAP(An21n21.

注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与AB,与B，A与B也都相互独立.

ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.

iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：knkknnP)(1PC(k)P.