排列组合二项式定理概率基础知识点+思维导图练习

排列、组合与二项式定理

1.两个计数原理

（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n

类方式，在第1类方式中有

1m

种

不同的方法，在第2类方式中有

2m

种不同的方法，......，在第n

类方式中有

nm

种不同的

方法，那么完成这件事共有

nmmmN...

21种不同的方法.

（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n

个步骤，做第1步有

1m

种

不同的方法，做第2步有

2m

种不同的方法，......，做第n

步有

nm

种不同的方法，那么完

成这件事共有

nmmmN

21种不同的方法.

（3）两个计数原理的区别

分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，

分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.

2.排列

（1）排列的定义：一般地，从n

个不同元素中取出)(nmm

个元素，按照一定的顺序排成

一列，叫做从n

个不同元素中取出m

个元素的一个排列.

（2）排列数的定义：一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素的所有排列的个数，

叫做从n

个不同元素中取出m

个元素的排列数，用符号m

nA

表示.（3）排列数公式：)1()2)(1(

)!(!



mnnnn

mnn

Am

n

.

特别地：①（全排列）.123)2)(1(!nnnnAn

n②.1!0

3.组合

（1）组合的定义：一般地，从n

个不同元素中取出)(nmm

个元素并成一组，叫做从n

个

不同元素中取出m

个元素的一个组合.

（2）组合数的定义：一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素的所有组合的个数，

叫做从n

个不同元素中取出m

个元素的组合数，用符号m

nC

表示.（3）组合数公式：



121

!

!!!m

m

n

n

m

mnnnnm

An

C

Ammnm





.

特别地：01

nC

.

（4）组合数的性质：①mn

nm

nCC



；②1

1

m

nm

nm

nCCC

；③1

1

k

nk

nnCkC

数学二项式定理知识点

二项式定理是李斯特等人发现的最实用的定理之一，主要用于描述一些具有概率性质的问题，它根据事件A、B分别发生n次和m次，它们同时发生r次的概率之间的一种关系。事件A、B可以表示投掷一次骰子、投掷两次骰子，扔掷一次硬币、扔掷两次硬币等不确定的事件。

二项式定理可以说明：事件A、B发生r次的概率可以表示为：

其中nCr表示从n个无序的不同元素中任取r个元素，并且按顺序排列起来所组成组合的个数。

特别的，当n=1时，二项式定理可以用下式表示：pA+pB=1，其中pA、pB分别代表对应事件发生的概率。例如，投掷一次硬币的事件A和B分别是“正面”和“反面”发生的概率，则pA+pB=1，其中pA=pB=0.5。

二项式定理是概率统计中的重要定理，它的特点是可以解决一次(或多次)不确定事件发生次数的问题，即多次试验的随机变量(如抛硬币)。在实际应用中，它也可以用来处理一次事件内容有n种可能情况，其中r种发生情况出现的概率，以及多个事件发生概率的关系等问题。

二项式定理可以也可以用来解决医学、金融等实际问题，例如药物副作用、金融期权等。在医学上，它可用来表示某种药物给患者发作的概率reg=pA*pB*...，这就是某种长期服用的药物发作的情况；在金融上，它可以用来研究一定期限内可以购买某种期权的概率，即根据资本金额，在期限内获利的概率，即reg=pA*pB*...，可以表示投资者在某段期间获取获利的概率。

排列定义：从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素（被取出的元素

各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。

排列数定义； 从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素的所有排列的

个数 A m

n

公式 A m

n = n! 规定 0！=1

(n  m)! 3，组合

n n1n n n 排列组合、二项式定理总结复习

1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）

分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的

方法

2，排列

组合定义 从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合

组合数 从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素的所有组合个数

m

n

m = n!

n m!(n  m)!

性质 Cm = Cnm Cm  Cm  Cm1

排列组合题型总结

一． 直接法

1 .特殊元素法

例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 C

C （1） 数字 1 不排在个位和千位

（2） 数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。

分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择 A2 ，其余 2 位有四个可供选择 A2 ，由乘法原理：

5 4

A2 A2 =240

5 4

2．特殊位置法

（2）当 1 在千位时余下三位有 A3 =60，1 不在千位时，千位有 A1 种选法，个位有 A1 种，余下

5 4 4

的有 A2 ，共有 A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252

4 4 4 4

二 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法

A4  2 A3  A2 =252

.

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排列与组合

一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕

1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.

二、排列与组合

〔1〕排列

定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。 排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。全排列数公式可写成.

〔主要用于化简、证明等〕

（二）组合

定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示

组合数公式：

.

变式：

组合数的两个性质：1、

三、二项式定理

1、二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)(.

展开式具有以下特点：

① 项数：共有1n项；

② 系数：依次为组合数;,,,,,,210nnrnnnnCCCCC

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.

2、二项展开式的通项.

nba)（展开式中的第1r项为：),0(1ZrnrbaCTrrnrnr.

3、二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

②二项展开式的中间项二项式系数最大.

I. 当n是偶数时，中间项是第12n项，它的二项式系数2nnC最大；

II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21n项和第121n项，它们的二项式系数2121nnnnCC最大.