(完整word版)流体力学习题及答案-第五章

- 1 - 第五章 势流理论

5-1流速为u0=10m/s沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。已知驻点位于(0，-5)，试求：

(1)点涡的强度；(2) (0,5)点的流速以及通过驻点的流线方程。

答：（1）求点涡的强度：

设点涡的强度为，则均匀流的速度势和流函数分别为：

xu01，yu01；

点涡的速度势和流函数为：

xyarctg22，ryxln2)ln(221222；

因此，流动的速度势和流函数为：

2cos20021ruxyarctgxu，

ryuyxyuln2sin)ln(202122021；

则速度分布为：

2202yxyuyxu，

222yxxxyv；

由于)5,0(为驻点，代入上式第一式中则得到：

0)5(052220u，

整理得到：

100100u。

（2）求)5,0(点的速度：

将100代入到速度分布中，得到：

222222050102100102yxyyxyyxyuu， - 2 - 2222225021002yxxyxxyxxv；

将0x、5y代入上述速度分布函数，得到：

201010505501022u（m/s），

05005022v（m/s）；

（3）求通过)5,0(点的流线方程：

由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程C，则流线方程为：

Cyxyu21220)ln(2；

将0x、5y代入，得到：

5ln5050)50ln(21005102122C；

则过该点的流线方程为：

5ln5050)ln(2100102122yxy，

整理得到：

5ln55)ln(52122yxy

5-2 平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为θ1=20m3/s，点汇位于（2,0）点，其流量为θ2=40m3/s，已知流体密度为ρ=1.8kg/m3，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0,1）和（1,1）的流速和压力。

答：（1）求)0,0(、)1,0(和)1,1(点的速度：

点源的速度势为：2212122111ln41ln2yxmyxm，

点汇的速度势为：2212122222ln42ln2yxmyxm；

22222121222112yxxmyxxmxxxu， - 3 - 222221212212yxymyxymyyyv；

①将0x、0y代入，并注意到11m及22m，得到)0,0(点的速度为：

2024021220221202020201010221222221mmmmu，

00200201002222221mmv；

其合速度为：

2022)0,0(vuV（m/s）。

②将0x、1y代入，得到)1,0(点的速度为：

13240522202125222112020211010221222221mmmmu，

124051220211201211012222221mmv；

其合速度为：

1701132222)1,0(vuV（m/s）。

③将1x、1y代入，得到)1,1(点的速度为：

14240212205222125212121211111221222221mmmmu，

824021220511211211112222221mmv；

其合速度为：

2608142222)1,1(vuV（m/s）。

（2）设)0,0(、)1,0(和)1,1(点的压力分别为0p、1p和2p，且由题意知00p，则由伯努利方程： - 4 - 2)1,0(12)0,0(02121VpVp，

2)1,1(22)0,0(02121VpVp

因此可得：

218.114.3115115170202121222222)1,0(2)0,0(1VVp（N/m2），

8.128.114.37070260202121222222)1,1(2)0,0(2VVp（N/m2）。

5-3 直径为2m的圆柱体在水下深度为H=10m以水平速度 u0=10m/s运动。试求（1）A、B、C、D四点的绝对压力；（2）若圆柱体运动的同时还绕本身轴线以角速度60r/min转动，试决定驻点的位置以及B、D两点的速度和压力。此时若水深增至100m，求产生空泡时的速度（注：温度为15°时，水的饱和蒸汽压力为2.332×103N/m2）。

答：（1）求A、B、C、D四点的绝对压力：

设A、B、C、D四点的绝对压力分别为Ap、Bp、Cp和Dp，相对压力分别为0Ap、0Bp、0Cp和0Dp；并注意到其压力系数分别为1、-3、1和-3，则：

A点的绝对压力：

)/(104.24910100.12111081.9100.110013.1212123233520200mNuCgHpuCpppAapAAA

)/(106.3910100.121311081.9100.110013.1212123233520200mNuCRHgpuCpppBapBBB

)/(104.24910100.12111081.9100.110013.1212123233520200mNuCgHpuCpppCapCCC - 5 - )/(102.5910100.121311081.9100.110013.1212123233520200mNuCRHgpuCpppDapDDD

（2）求驻点位置和B、D点的速度和压力：

圆柱半径1R（m），旋转角速度60（rad/s）；

因此漩涡强度为：

220222cRRdRldv；

柱面上Rr处，速度分布为：

0rv，

Ruv2sin20；

① 在驻点（A、C点）0v，即：

02sin20Ru

将1R、100u和22代入上式，得到：

314.010sin，

则：

314.0arcsin1，314.0arcsin2；

② 在B点，2，则速度为：

28.2628.6201222sin1022sin220Ruv（m/s）；

压力系数为：

91.5110222sin212sin212220RuCp；

相对压力为：

52320010955.210100.12191.521uCpppBB（N/m2）；

其中B点静水压力为： - 6 - 18959011081.9100.110013.1)(350RHgppaB（N/m2），

则B点处绝对压力为：

10591029550018959021200uCpppBB（N/m2）；

③ 在D点，2，则速度为：

72.1328.6201222sin1022sin220Ruv（m/s）；

压力系数为：

882.0110222sin212sin212220RuCp；

相对压力为：

4410010100.121882.02123200uCpppDD（N/m2）；

其中D点静水压力为：

20921011081.9100.110013.1)(350RHgppaD（N/m2），

则D点处绝对压力为：

1651104410020921021200uCpppDD（N/m2）；

（3） 由于B点的压力系数最低，首先在B点发生空泡；当水深增至100m时，B点的静水压力为：

1072490110081.9100.110013.1)(350RHgppaB（N/m2），

压力系数为：

202220221110222sin212sin21uRuCp；

绝对压力为：

20021uCpppBB

B点发生空泡的临界值为cBpp，且由给定条件知310332.2cp（N/m2）；代入上式得到：

202002002212121uupuCppBpBc， - 7 - 将上式整理得到关于0u的一元二次方程：

0020CBuAu

其中系数：

3A，

8B，

9.210023321072490100.1214.34243202cBppC；

解得：

61.22675.16014.3869.2100348820u（m/s）。

即当61.220u（m/s）时将发生空泡。

5-4写出下列流动的复势，（1）u=U0cosa，v=U0sina；（2）强度为m，位于（a，0）点的平面点源；（3）强度为Γ位于原点的点涡；（4）强度为M，方向为a，位于原点的平面偶极。

答：（1）cos0uu，sin0uv：

yuxudyudxuvdyudxsincossincos0000，

yuxudyudxuudyvdxcossincossin0000；

izzeuizuziuzuiyxiuiyxuxiuyuyiuxuyuxuiyuxuyxiyxzW00000000000000sincos sincos sincos sinsincoscos cossinsincos ,,