高考数学压轴专题新备战高考《平面解析几何》难题汇编

【高中数学】单元《平面解析几何》知识点归纳

一、选择题

1．已知椭圆221259xy上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于（ ）

A．1 B．3 C．6 D．10

【答案】C

【解析】

由椭圆方程可得225210aa ，由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.故选C．

2．已知抛物线2:6Cxy的焦点为F直线l与抛物线C交于,AB两点，若AB中点的纵坐标为5，则||||AFBF（ ）

A．8 B．11 C．13 D．16

【答案】C

【解析】

【分析】

设点A、B的坐标，利用线段AB中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12yy的值，即可得结果；

【详解】

抛物线2:6Cxy中p＝3，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，

又线段AB中点M的横坐标为122yy5，

∴12yy＝10，

∴|AF|+|BF|＝13；

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．

3．已知直线21ykxk与直线122yx的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（ ）

A．12k B．16k或12k C．62k D．1162k

【答案】D 【解析】

【分析】

联立21122ykxkyx，可解得交点坐标(,)xy，由于直线21ykxk与直线122yx的交点位于第一象限，可得00xy，解得即可．

【详解】

解：联立21122ykxkyx，解得24216121kxkkyk，

Q直线21ykxk与直线122yx的交点位于第一象限，

2402161021kkkk，解得：1162k．

故选：D．

【点睛】

本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．

4．设D为椭圆2215yx上任意一点，A（0，－2），B（0，2），延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为（ ）

A．x2＋（y－2）2＝20 B．x2＋（y－2）2＝5

C．x2＋（y＋2）2＝20 D．x2＋（y＋2）2＝5

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意得25PAPDDADBDA，从而得到点P的轨迹是以点A为圆心，半径为25的圆，进而可得其轨迹方程．

【详解】

由题意得PAPDDADBDA，

又点D为椭圆2215yx上任意一点，且0,2,0,2AB为椭圆的两个焦点，

∴25DBDA， ∴25PA，

∴点P的轨迹是以点A为圆心，半径为25的圆，

∴点P的轨迹方程为22220xy．

故选C．

【点睛】

本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到25PA，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．

5．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16Cxyxy恰好是四叶玫瑰线.

给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4；④方程223221)60(xyxyxy表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )

A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式得224xy，可判断②；224xy和3222216xyxy联立解得222xy可判断①③；由图可判断④.

【详解】

2223222216162xyxyxy，

解得224xy（当且仅当222xy时取等号），则②正确；

将224xy和3222216xyxy联立，解得222xy，

即圆224xy与曲线C相切于点2,2，2,2，2,2，2,2，

则①和③都错误；由0xy，得④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

6．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab)的左，右焦点分别为12,FF，其右支上存在一点M，使得210MFMFuuuuruuur,直线:0lbxay，若直线2//MFl则双曲线C的离心率为（ ）

A．2 B．2 C．5 D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

易得且1MFl，从而l是线段1MF的垂直平分线求出直线1MF的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M坐标，根据勾股定理即可求解离心率.

【详解】

由120MFMFuuuuvuuuuv可得12MFMF易知直线:0lbxay为双曲线的一条渐近线，

可知l的方程为byxa，且1MFl，从而l是线段1MF的垂直平分线，且直线1MF的方程为ayxcb设1MF，与l相交

于点,Nxy.由 ayxcbbyxa得2axcabyc即2,aabNcc，又1,0Fc，由中点坐标公式，得222,.aabMccc由双曲线性质可得122MFMFa①，由12MFMF得222124MFMFc②，①②联立，可得2122MFMFb所以点M的纵坐标为2bc，所以22babcc即2ba所以215.bea

故选：C

【点睛】

本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.

7．直线3ykx与圆22(3)(2)4xy相交于M，N两点，若||23MN．则k的取值范围是（ ）

A．3,04 B．30,4 C．3,03 D．2,03

【答案】A

【解析】

【分析】

可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解

【详解】

如图所示，设弦MN中点为D，圆心C(3,2),330ykxkxyQ

弦心距222|323||31|(1)1kkCDkk，又2||23||33MNDNDN厖?，

由勾股定理可得222222|31|231kDNCNCDk…，2222|31|31|31|1(31)1(43)0041kkkkkkkkk剟剟剟

答案选A

【点睛】

圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。处理过程中，直线需化成一般式

8．已知直线:21110lkxkykR与圆221225xy交于A，B两点，则弦长AB的取值范围是（ ） A．4,10 B．3,5 C．8,10 D．6,10

【答案】D

【解析】

【分析】

由直线21110kxky，得出直线恒过定点1,2P，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.

【详解】

由直线:21110lkxkykR，可得210kxyxy，

又由2010xyxy，解得12xy，即直线恒过定点1,2P，圆心1,2C，

当CPl时弦长最短，此时2222ABCPr，解得min6AB，

再由l经过圆心时弦长最长为直径210r，

所以弦长AB的取值范围是6,10.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

9．若双曲线223mxmy=3的一个焦点是0,2,则m的值是

A．-1 B．1 C．1020 D．102

【答案】A

【解析】

双曲线223mxmy=3的标准方程为22113xymm,

∵焦点在y轴上,∴134mm,且0m,

∴1.m

故选A．

10．在矩形ABCD中，已知3AB，4AD，E是边BC上的点，1EC，EFCD∥，将平面EFDC绕EF旋转90后记为平面，直线AB绕AE旋转一周，则旋转过程中直线AB与平面相交形成的点的轨迹是（ ）

A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．抛物线

【答案】D

【解析】

【分析】

利用圆锥被平面截的轨迹特点求解

【详解】

由题将平面EFDC绕EF旋转90后记为平面，则平面平面ABEF,，又直线AB绕AE旋转一周，则AB直线轨迹为以AE为轴的圆锥，且轴截面为等腰直角三角形，且面AEF始终与面EFDC垂直，即圆锥母线AF平面EFDC 则

则与平面相交形成的点的轨迹是抛物线

故选：D

【点睛】

本题考查立体轨迹，考查圆锥的几何特征，考查空间想象能力，是难题

11．已知椭圆22198xy+=的一个焦点为F，直线220,220xyxy与椭圆分别相交于点A、B、C、D四点，则AFBFCFDF（ ）

A．12 B．642 C．8 D．6

【答案】A