初中数学：折叠问题

折叠模型

1、全等

1.1 边相等

1. 如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ．

2. 如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF＝ ．

3. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4√6，则FD的长为 ．

4. 折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝ ．

5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E是边AD上的一个动点，将△ABE沿BE进行折叠，点A的对应点为A′．若点A′刚好落在线段CD的垂直平分线上，连接AA′，则DE的长为( )

A．2√3 B．4√3 C．10﹣2√3 D．6﹣4√3

6. 如图，正方形纸片ABCD边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，AB上，将纸片沿直线GH对折，当顶点A与线段EF的三等分点重合时，AH的长为 ．

7. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．

(1) 判断四边形BFDG的形状，并说明理由；

(2) 若AB=3，AD=4，求FG的长．

8. 如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与DC相交于G点，且OE＝OD．

(1)求证：AP＝DG；

(2)求AP的长度．

9. 如图，矩形ABCD中，BC＝3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点(不与A，B重合)，设BE＝t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE＝ (用含t的代数式表示)．

10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接CE、DF，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H，求𝐻𝐺𝐻𝐶的值．

11. 如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，若点E是CD中点，则BG：CG＝ ．

12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为( )

A．13 B．152 C．272 D．12

13. 在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在线段AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE=35a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为 ．

1.2 角相等

15. 如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝a(0°＜a＜180°)，则∠ACB的度数为( )

A．45° B．a﹣45° C．12a D．90°−12a

16. 如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，如果BC＝2，那么线段BE的长度为 ．

17. 如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝ °．

18. 如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在CD边上的点F处，如果∠EFC＝65°，那么∠BAE＝ °．

19. 将一张矩形纸片ABCD沿直线EF折成如图所示的形状，若∠HED＝50°，则∠EFG＝ ．

20. 如图，矩形ABCD，∠DAC＝65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′等于( )

A．25° B．30° C．35° D．40°

21. 如图(1)，将三角形纸片ABC沿DE折叠．

(1)如图(2)，点A落在四边形BCDE内部，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？

(2)如图(3)，点A落在四边形BCDE外部，∠A、∠1、∠2之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由．

22. 如图(1)所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图(2)，再沿BF折叠成图(3)，继续沿EF折叠成图(4)，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图(1)中∠DEF的度数是 ．

2、垂直平分

23. 如图，AD是△ABC的中线，∠ACD＝90°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，AC＝3， DC＝4，那么线段BE的长度为 ．

24. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝ ．

25. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长度是 ．

3、折叠得角分线

26. 如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )

A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE

27. 平行四边形ABCD的边CD上有一点E点，将平行四边形沿AE翻折D点恰好落在边AB上，CB=5，则DE长度为多少？

28. (1) 如图1，将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．

①判断EG与EH是否相等，并说明理由．

②判断GH是否平分∠AGE，并说明理由．

(2) 如图2，如果将(1) 中的已知条件改为折叠三角形纸片ABC，其它条件不变．

①判断EG与EH是否相等，并说明理由．

②判断GH是否平分∠AGE，如果平分，请说明理由；如果不平分，请用等式表示∠EGH，∠AGH与∠C的数量关系，并说明理由．

4、二次折叠

29. 如图，将正方形ABCD的边AD和边BC折叠，使点C与点D重合于正方形内部一点O，已知点O到边CD的距离为a，则点O到边AB的距离为 ．(用a的代数式表示)

30. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝ ．

31. 如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为 ．

32. 如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，CD⊥AB于点D．F，G分别是线段AD，BD上的点，H，Ⅰ分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处．当FG＝EG时，AF的长是 ．

33. 如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若10BC，=22GH，则EH的长为( )

A．2 B．2 C．5 D．32

34. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b(a＜b)．将纸片任意翻折(如图2)，折痕为PQ．(P在BC上)，使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM所在直线重合(如图3)折痕为MN．

(1) 猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明；

(2) 若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，MN间的距离有何变化？请说明理由；

(3) 若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°(如图4)，每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？

5、折叠与特殊角

35. 如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( )

A．12 B．15 C．18 D．21

36. 如图，矩形ABCD的面积为36，BE平分∠ABD，交AD于E，沿BE将△ABE折叠，点A的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F处，则△ABE的面积为 ．

37. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF折叠，点B落在AD上的点G处，EG⊥AC．

(1)∠BEF＝ ，∠BFG＝ ．

(2)若AB＝6√2，求FG的长．

38. 如图，在边长为√3+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为 ．