数学折叠问题初一

中考数学中的折叠问题探究

中考数学中，经常通过折叠操作类问题考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，题目灵活多变，趣味性强，更为引导学生在数学学习与生活相联系中激发兴趣，体会数学学习的快乐。几何图形的折叠问题，实质上是轴对称问题。解答这类问题的关键是根据轴对称的性质，找准折叠前后的两个全等图形。确定其中对应角相等、对应线段相等。折痕平分线段、平分角等条件。下面分几个类型来探索这类问题的解答思路。

一、折叠求角度类

此类问题往往利用折叠中的对应角相等，再通过邻补角、平行线性质等得到各角度的数量关系。此类问题通常难度较低。

例1.将五边形abcde纸片按如图1的方式折叠，折痕为af，点e，d分别落在e′，d′。已知∠afc=76°，则∠cfd′等于（ ）

a.31° b.28° c.24° d.22°

分析：根据题意，由邻补角的关系求得∠afd=∠afd′=180°-76°=104°，则∠cfd′=104°-76°=28°，故选b。

例2.如图2，把一个长方形纸片沿ef折叠后，点d、c分别落在d′、c′的位置，若∠efb=65°，则∠aed′等于（ ）

a.50° b.55° c.60° d.65°

二、折叠求线段类

此类问题多通过折叠中的全等图形，确定对应线段的等量关系，再运用勾股定理或相似比寻求线段间数量关系，构建方程，从而求解。方程建模思想的应用是解决此类问题的主要思路。

三、折叠求坐标类

此类题目中勾股定理与三角函数的综合运用较多。求坐标一般要通过求线段长来解决。但有些题目中适当运用三角函数比运用相似图形解答会更便捷。

四、折叠求面积类

此类问题的解答一般要借助线段长的求解，但问题的关键是确定所求图形的形状，再求面积；若图形是非规则图形，则要通过其他规则图形的面积关系转化求解。

例5.如图5a，abcd是一矩形纸片，ab=6 cm，ad=8 cm，e是ad上一点，且ae=6 cm。操作：（1）将ab向ae折过去，使ab与ae重合，得折痕af，如图b；（2）将△afb以bf为折痕向右折过去，得图c。则△gfc的面积是（ ）

初中数学--折叠问题专题集锦

【母题】（2012达州中考题）将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上.得到菱形BEDF.若BC＝6，则AB的长为_____.

【变式】将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点B、点D恰好落在对角线AC上.若AD＝3，则菱形AECF的面积为_____.

【变式】如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后.点B恰好与点O重合，若BC＝3.则折痕CE的长为_____.

【变式】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．求EF的长．

【变式】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF＝_____．

【母题】如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，若AB＝6、BC＝8，求BF＝_____，求△BFD的面积＝____；若∠ABF＝40°，则∠ADB＝_____．

【变式】（2009•丰台区一模）如图1，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝34，将矩形纸片沿对角线AC向下翻折，点D落在点D′处，连接B D′，如图2，求线段BD′的长

【母题】如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C′处，折痕EF与BD交于点O，已知AB＝16，AD＝12，求折痕EF的长．

【变式】（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，求∠1、∠2的度数．

（2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C′位置，若AB＝4cm，AD＝12cm，求BE的长度．

【变式】（2011•莱芜）已知矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝3．

操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．

探究：

（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；

折叠问题

1．（2015•深圳模拟）如图，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF的度数是（ ）

A． 50° B． 60° C． 80° D． 100°

2．（2015•泰安模拟）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是（ ）

A． 7.5cm2 B． 5.1cm2 C． 5.2cm2 D． 7.2cm2

3.（2014•济南）如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）

A． （，3） B． （，） C． （2，2） D． （2，4）

4．（2014•泰安）如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（ ）

A．cmB．2cm C．2cm D．3cm

5．（2014•襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）

A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①④

二．填空题（共10小题）

7．（2015•成都模拟）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为

．

8．（2015•大连模拟）如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为

D'C'B'DABCMEFBE'D'ACDEF中考数学中的折叠问题

为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。

例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM、FM为折痕，折叠后的C点落在'BM或'BM的延长线上，那么∠EMF的度数是（ ）

A、85° B、90° C、95° D、100°

分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。

由题意可知：∠BME=∠'EMC，∠CMF=∠'FMC，''180BMCCMC°，又'CM与'BM重合，

则∠EMF=∠'EMC+∠'FMC=''11()18022BMCCMC°= 90°，故选B。

例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E、D分别落在'E、'D。已知∠AFC=76°，则'CFD等于（ ）

A、31° B、28° C、24° D、22°

分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：'AFDAFD180°-76°=104°，则'CFD=104°-76°=28°，故选B。

例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点'A的位置，若OB=5，1tan2BOC，则点'A的坐标为 。

分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。

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