第二章 曲面的表示与曲面论第一节 曲面的显式方程和隐式方程一、由显式方程表示的曲面 设2D R ⊂是有界闭区域, 函数R D f →:连续。
我们称函数f 的图像}),(),,(:),,{()(3D y x y x f z R z y x f G ∈=∈= 为一张曲面，它展布在D 上， 称这个曲面是由显式方程 D y x y x f z ∈=),(),,( 所确定的。
通常用∑表示一个曲面。
二、几种常见的曲面例１ 在空间直角坐标系中，中心在坐标原点、半径为a 、在xy 平面上方的那个半球面(称为上半球面），它的显式方程为222y x a z --=,D y x ∈),(，其中}:),{(222a y x y x D ≤+=，即D 是xy 平面上以原点为中心、半径为a 的圆盘。
显然,下半球面的方程为222y x a z ---=,D y x ∈),(；同样可给出左半球面、右半球面的方程式。
例2 点集}1,0,,:),,{(=++≥z y x z y x z y x 是3R 中的一块等边三角形。
这块曲面有显式表达y x z --=1,D y x ∈),(，其中}1,0,:),{(≤+≥=y x y x y x D 。
例３ 由方程axy z =,2),(R y x ∈,（常数0>a ）,所确定的曲面称为双曲抛物面。
由于这曲面在在xy 平面的上的,第一、第三象限中，在xy 平面的上方，而在第二、第四象限中是在xy 平面的下方，因此在原点)0,0,0(的近旁,曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。
例4 旋转曲面的方程1设在xz 平面上有一条显式曲线)0(),(b x a x f z ≤≤≤=。
如果固定z 轴不动,让xz 平面绕着z 轴旋转 360，那么这一条曲线就扫出一张曲面,称之为旋转曲面∑。
设∑∈),,(z y x ,它在过点),0,0(z 平行于xy 平面的平面上,以),0,0(z 为中心，半径为r 的圆周上()(r f z =），222r y x =+，于是得这个旋转曲面∑的方程为):(),(222222b y x a D y x f z ≤+≤+=。
曲线⎩⎨⎧=≤≤≤=,00),(y b x a x f z称为这个旋转曲面∑的发生线。
为了了解旋转曲面的几何形态，通常看一看发生线的形状就足够了。
例如 曲面222),(,R y x y x z ∈+=,是一个旋转曲面，这是一个圆锥面;它的发生线是直线)0,0(,=≥=y x x z 。
曲面22y x z +=，2),(R y x ∈，是一个旋转抛物面,因为它的发生线是抛物线)0,0(,2=≥=y x x z2 把xz 平面上的曲线),0)()((b x a x f x f z ≤≤≥=绕x 轴旋转一周，那么这条曲线就扫出一张曲面,称之为旋转曲面∑。
设∑∈),,(z y x ,它在过点)0,0,(x 平行于yz 平面的平面上,以)0,0,(x 中心,半径为)(x f 的圆周上。
显然,曲面∑的方程为 222))((x f z y =+， 由此得旋转曲面在z 正方向的方程为22))((y x f z -=，D y x ∈),(,其中D 是旋转曲面在xy 平面的投影区域,b x a x f y x f y x D ≤≤≤≤-=),()(:),{(。
例如 把xz 平面上曲线22x a z -=， 绕x 轴旋转一周，所得旋转曲面方程为2222a z y x =++ 。
三、曲面的隐式表示例如，}0:),,{(2222=-++a z y x z y x 表示中心在原点，半径为a 的球面,这个球面上的点完全可以用方程02222=-++a z y x 的解),,(z y x 来表示。
一般地,设三元函数F 定义在区域3R D ⊂，区域D 中所有满足方程 0),,(=z y x F ， (2） 的点集组成一张曲面,称为由方程（2）所确定的隐式曲面。
例如，01222222=-++c z b y a x 表示椭球面; 0)(222=+-y x z 表示锥面。
四、曲面的切平面和法向量 设D z y x p ∈=),,(0000是隐式曲面(2）上的一点,任意作一条过点0p 的曲面上的曲线Γ,设Γ有参数方程 )(),(),(t z z t y y t x x === 并且参数0t 对应着点0p ，将参数方程的三个分量代入(2），得到一个关于t 的恒等式0))(),(),((≡t z t y t x F ,对上式双方在点0t 处求导， 得到0)()()()()()(000000='∂∂+'∂∂+'∂∂t z p zF t y p y F t x p x F 用向量的内积来表示,上式乃是 ()0)(),(),()(),(),(000000='''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂t z t y t x p z F p y F p x F , 这表明：曲线Γ在点0p 的切向量与向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇)(),(),()(0000p z F p y F p x F p F （３) 垂直，由于Γ是曲面上过点0p 的任一条曲线,而（3)是一个固定的向量，这表明:曲线上过点0p 的任何曲线在点0p 的切线是共面的。
这个平面称为曲面（２）在0p 的切平面,而向量（3）称为曲面(2)在点0p 处的一个法向量,所以，曲面(2)在点0p 处的切平面的方程是0)()()()()()(000000=∂∂-+∂∂-+∂∂-p z F z z p y F y y p x F x x ，(4） 这里),,(z y x 是切平面上的流动坐标。
曲面在一点处的法线方程亦可写出。
例如:考察球面0),,(2222=-++=a z y x z y x F ， 在点),,(000z y x 处，由（3)可得法向量),,(000z y x ，这是一个指向球外的法向量,可以叫做外法向量。
为了求球的切平面方程, 由（4）可得0)()()(000000=-+-+-z z z y y y x x x ， 注意到),,(000z y x 是球面上的点,()2202020az y x =++ 上式又可写作2000a zz yy xx =++;例 考察椭球面01),,(222222=-++=cz b y a x z y x F ，在点),,(0000z y x p =处， 法向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇)(),(),()(0000p z F p y F p x F p F )2,2,2(202020cz b y a x =, 切平面0)()()(020020020=-+-+-z z cz y y b y x x a x , 注意到),,(000z y x 是椭球面上的点， 上式又可写作1202020=++z c z y b y x a x 。
例求曲面ln 2++=上的任意点()000,,x y z ,()0000,0,0x y z >>>处的切平面在3个坐标轴上的截距之和.解：记(),,ln 2F x y z =++-, 则()000,,x y z n ⎛⎫= ⎝，于是过点()000,,x y z 的切平面方程为)))0000x x y y z z -+-+-=，ln 2x y z ++=, 在x ,y ,z 轴上的截距分别为222，222++ln 2=++ ()2ln 2ln 2ln 2=⋅=.1、 梯度的定义、记号、性质 设3R D ⊂为一开集，函数R D f →:连续可微。
向量))(,)(,)((z p f y p f x p f ∂∂∂∂∂∂称为f 在p 的梯度（D p ∈），记为)(p gradf ,即))(,)(,)(()(z p f y p f x p f p gradf ∂∂∂∂∂∂= 。
记算子),,(z y x ∂∂∂∂∂∂=∇，),,(z f y f x f f ∂∂∂∂∂∂=∇ 。
于是梯度有两个表示)(p gradf ，),,(zfy f x f f ∂∂∂∂∂∂=∇ 。
梯度的运算性质是显然可以给出的。
2、方向导数与梯度的关系: 设3R u ∈是一个方向，),,(321u u u u =，1||||=u ,则t p f tu p f p u f t )()(lim )(0-+=∂∂→ 0|)(=+=t dt tu p df321)()()(u zp f u y p f u x p f ∂∂+∂∂+∂∂=u f u zfy f x f ⋅∇=⋅∂∂∂∂∂∂=),,(。
2、 函数沿梯度方向的方向导数取到最大值,即函数沿梯度方向的变化率最大。
实事上 |)()()(||)(|321u zp f u y p f u x p f p u f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂1122222222123()()()[()()()][]f p f p f p u u u x y z∂∂∂≤++++∂∂∂||)(||p gradf =,令||||gradf gradf U =,而||)(||)(p gradf U f p Uf=⋅∇=∂∂,||)(||)()()(p gradf U f p U f-=-⋅∇=-∂∂即得U p f p u f U f ∂∂≤∂∂≤-∂∂)()()(。
（理论含义和实际意义解释。
这也是引入梯度的一个原因。
)3、 梯度的几何意义等值面:称点集},)(:{为常数c c p f D p =∈为数量场f 的c --等值面。
数量场f 的梯度))(,)(,)(()(z p f y p f x p f p gradf ∂∂∂∂∂∂=正是f的等值面的法向量，例如，222),,(z y x z y x f ++=,f 的c -－等值面)0(>c 是球面：c z y x =++222。
二元函数),(y x f z =的等值面c y x f =),(是等高线或水平集。
（树木的年轮;海水(河水）在岸边面上的冲刷水印痕迹;包菜的一层层面;洋葱的一层层面等。
)例 由方程0),(=y x F 所确定的隐函数I x x f y ∈=),(。
在I x x f x F ∈=,0))(,(中对x 求导得0)(='∂∂+∂∂x f y F x F ,0),())(,1(=∂∂∂∂⋅'yFx F x f ，(两向量正交)；))(,1()(x f x r '='正是曲线))(,()(x f x x r =的切向量，),(yFx F ∂∂∂∂曲线))(,()(x f x x r = 的法向量。
切线方程为0),()(),()(000000=∂∂-+∂∂-y x yF y y y x x F x x 。
