山东省单县一中2024届数学高一上期末联考模拟试题含解析

2023-2024学年山东省高一上册期末数学试题一、单选题1．sin390°的值是（）A ．12B ．2C ．D ．12-【正确答案】A【分析】根据终边相同的角，将390-︒化成30-︒，再利用30︒的三角函数值与sin()α-的公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，得()()1sin 390sin 30360sin 302︒=︒+︒=︒=故选：A．2．“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“2πθ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求θ；必要性判断：应用诱导公式化简()f x 并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当()sin(2)f x x θ=+为偶函数时sin(2)sin(2)x x θθ-=+，则2sin 2cos 0x θ=恒成立，即2k πθπ=+，Z k ∈；当,2πθ=时，()sin(2)cos 22f x x x π=+=为偶函数；综上，“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“2πθ=”的必要不充分条件.故选：B3．已知函数()2222()1mm f x m m x--=--是幂函数，且为偶函数，则实数m =（）A ．2或1-B ．1-C ．4D ．2【正确答案】D【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.【详解】由幂函数的定义知211m m --=，解得1m =-或2m =．又因为()f x 为偶函数，所以指数222m m --为偶数，故只有2m =满足．故选：D ．4．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b【正确答案】C【分析】可以看出0,0,0a b c ><<，直接排除A 、B ，再比较1,1b c >-<-，从而选出正确答案.【详解】可以看出37π是一个锐角，故3sin07a π=>；又4cos cos 72ππ<，故10b -<<；又34tan tan77ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而43274πππ<<，故1c <-；从而得到c b a <<，故选C.比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.5．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案.【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．函数()22sin 2cos f x x x =-+的最大值和最小值分别是（）A ．2,2-B ．52,2-C ．12,2-D ．5,22-【正确答案】B 【分析】，函数可化简为()2152cos 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =,本题转化为函数215222y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,[]1,1t ∈-的最值求解即可.【详解】根据题意()222152sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22f x x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =,则[]1,1t ∈-,因为函数的对称轴为12t =-,所以根据二次函数的图像和性质得:当12t =-时,min 52y =-;当1t =时,max 2y =.故选:B.7．要得到函数214y x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．先向右平移8π个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．先向左平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．先向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．先向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度【正确答案】B根据212148y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22y x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭可判断.【详解】21sin 2148y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭先向左平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到218y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.故选：B.8．已知函数24,0,()(0,1)log (1)1,0a x a x f x a a x x ⎧+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．119,4216⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．119,4216⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【正确答案】C【分析】由log (1)1a y x =++在[0，)∞+上单调递减，得01a <<，由()f x 在R 上单调递减，得114a ≤<，作出函数24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上的大致图象，利用数形结合思想能求出a 的取值范围．【详解】解：由log (1)1a y x =++在[0,)+∞上单调递减，得01a <<，又由24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上单调递减，得204(0)1a f +≥=，解得1a 4≥，所以114a ≤<，作出函数24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上的大致图象，由图象可知，在[0,)+∞上，|()|2f x x =-有且仅有一个解，故在(,0)-∞上，|()|2f x x =-同样有且仅有一个解，当42a >，即12a >时，联立2|4|2x a x +=-，即242x a x +=-，则214(42)0a ∆=--=，解得：916a =，当142a ≤≤时，即1142a ≤≤，由图象可知，符合条件．综上：119,4216a ⎡⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．故选：C ．二、多选题9．已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，④cos y x =，其中周期为π，且在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【正确答案】AC【分析】根据正切函数的性质可判断①正确；根据图象变换分别得到sin y x =、sin y x =、cos y x =的图象，观察图象可判断②不正确、③正确、④不正确.【详解】函数tan y x =的周期为π，且在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故①正确；函数sin y x =不是周期函数，故②不正确；函数sin y x =的周期为π，且在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确；函数cos y x =的周期为2π，故④不正确.故选：AC.10．已知1sin cos 5αα-=，且α为锐角，则下列选项中正确的是（）A ．12sin cos 25αα=B ．7sin cos 5αα+=C ．0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4tan 3α=【正确答案】ABD【分析】根据()2sin cos 12sin cos αααα±=±，并结合α为锐角求解即可.【详解】解：因为1sin cos 5αα-=，所以242sin cos 25αα=，即12sin cos 25αα=所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，因为α为锐角，所以7sin cos 5αα+=，所以43sin ,cos 55αα==，所以4tan 13α=>，所以,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα故选：ABD11．设函数()ln ,0,cos ,30,2x x f x xx π>⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩则（）A ．()f x 的定义域为[)3,∞-+B ．()f x 的值域为[)1,-+∞C ．()f x 的单调递增区间为[)2,-+∞D ．()12f x =的解集为23⎧-⎨⎩【正确答案】AD【分析】A.根据函数的解析式判断；B.分0x >，30x -≤≤，利用对数函数和余弦函数的性质求解判断；C.利用函数的图象判断；D.分0x >，30x -≤≤，令1()2f x =求解判断.【详解】因为函数ln ,0()πcos ,302x x f x xx >⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为[30](0)[3,)∞-⋃+=-+∞，，，故A 正确；当0x >时，()(),f x ∈-∞+∞，当30x -≤≤时，[]()1,1f x ∈-，所以()f x 的值域为[11]()()-⋃-∞+∞=-∞+∞，，，，故B 错误；如图所示：当0x >时，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，当30x -≤≤时，()f x 的单调递增区间为[20]-，，但在[2)∞-+，上不单调，故C 错误；当0x >时，1()ln 2f x x ==，解得x =当30x -≤≤时，π1()cos 22x f x ==，解得23x =-，D 正确.故选：AD ．12．存在实数a 使得函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，则实数m 可以取值为（）A ．14-B ．0C ．14D ．12【正确答案】ABC【分析】把问题转化为22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点，利用换元法求22x x y -=+的最小值，再转化为关于a 的二次函数有根，利用判别式大于等于0求得实数m 的取值范围．【详解】函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，即方程22230x x ma a -+-+-=有唯一根，也就是22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点，令2x t =，则112222x x xx y t t-=+=+=+，由“对勾函数”的单调性可知，当1t =，即0x =时，y 有最小值2，可得232ma a -+=，即210ma a -+=，当0m =时，1a =符合题意，当0m ≠时，则2(1)40m ∆=--，解得14m且0m ≠．综上，实数m 的取值范围是(-∞，1]4．故选：ABC三、填空题13．化简：22(1tan )cos αα+=_____.【正确答案】1【详解】()222222cos sin 1tan cos cos 1cos αααααα++=⋅=，故答案为1.14．已知cos 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，0<α<2π，则sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.【详解】由已知4π<α＋4π<34π，∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭>0，∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3.15．若42log (34)log a b +=a b +的最小值为_____.【正确答案】7+【详解】试题分析：由42log (34)log a b +=34ab a b =+，即304ab a =>-，所以4a >，312477744a ab a a a a +=+=-++≥+=+--4a =+时取等号，所以a b +的最小值为7+1．对数的性质；2．基本不等式．【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．16．已知函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把()f x 的图象向左平移π3个单位长度，纵坐标不变，可得到()g x 的图象，若()()()122120g x g x x x ⋅=>>，则12x x +的最小值为____________．【正确答案】13π12【分析】根据函数图象的平移可得π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而根据()g x 的有界性可知()()122g x g x ==，根据最值点即可由三角函数的性质求解.【详解】有题意得π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于对任意的x ∈R ，()g x ,故根据()()()122120g x g x x x ⋅=>>得()()12g x g x ==()()12g x g x ==若()()12g x g x ==，因此12ππ2ππ,,N,5π5π221212x k x m k m +2，2=+2+=∈+且m k >,因此12122ππN ,πN 5π5ππ121212x x n n x x n n 2+2，，+**+++=∈+=∈，故当1n =时，12x x +取最小值，且最小值为13π12，若()()12g x g x ==123π3π2π5π5π12π,,N,2122x k x m k m ++=∈+2，2=+2且m k >,因此121223ππN 5π5π13π1212,πN 12x x n n x x n n **++=∈+=∈+2+2，，+，故当1n =时，12x x +取最小值，且最小值为25π12，故12x x +取最小值，且最小值为13π12，故13π12四、解答题17．已知集合{}2|560A x x x =--<，集合{}2|6510B x x x =-+≥，集合()(){}|90C x x m x m =---<.（1）求A B ⋂；（2）若A C C = ，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）1|13A B x x ⎧⋂=-<≤⎨⎩或162x ⎫≤<⎬⎭；（2）31m -≤≤-.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 、B ，即可求出A B ⋂；（2）由A C C = ，可知A C ⊆，得到不等式组，解得.【详解】解：（1）{}2|560A x x x =--< ，{}2|6510B x x x =-+≥，()(){}|90C x x m x m =---<{|16}A x x ∴=-<<，1|3B x x ⎧=≤⎨⎩或12x ⎫≥⎬⎭，{|9}C x m x m =<<+1|13A B x x ⎧∴⋂=-<≤⎨⎩或162x ⎫≤<⎬⎭；（2）由A C C = ，得A C ⊆，961m m +≥⎧∴⎨≤-⎩解得31m -≤≤-.本题考查集合的运算，集合与集合之间的关系，属于基础题.18．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边经过点(,3)A a ，4cos 5α=-.(1)求a 和tan α的值；(2)求sin()2sin()233sin()sin()2πααπαπα-++++-的值.【正确答案】(1)4a =-，3tan 4α=-；(2)1115-.【分析】（1）根据三角函数的定义求出a ，进而求出tan α；（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案.【详解】（1）由题意得：4cos 5α==-，解得4a =-，所以3tan 4α=-.（2）原式32sin 2cos tan 211433cos sin 3tan 1534αααααα+-+-+====--+-+--.19．已知函数()2sin(2)6f x x π=+．(1)求()f x 的最小正周期和对称轴；(2)求()f x 在ππ[,]64-上的最大值和最小值．【正确答案】(1)最小正周期为π，对称轴ππZ 62k x k =+∈，(2)最小值为1-，最大值为2【分析】(1)根据周期公式和对称轴公式求解；(2)整体代换，讨论π26x +的取值范围即可求解最值.【详解】（1）()f x 的最小正周期为2ππT ω==，令ππ2π,Z 62x k k +=+∈，可得ππZ 62k x k =+∈，即为对称轴.（2）ππππ2π1π,,2,sin(2)16466326x x x ⎡⎤∈-∴-≤+≤∴-≤+≤⎢⎥⎣⎦,π12sin(2)26x ∴-≤+≤，所以当ππ266x +=-，即π6x =-时()f x 的最小值为1-，当ππ262x +=，即π6x =时()f x 的最大值为2.20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量()/P mg L 与过滤开始后的时间t （小时）的关系为0kt P P e -=.其中0P 为过滤开始时废气的污染物数量，k 为常数.如果过滤开始后经过5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？（2）求污染物减少50%所需要的时间.（计算结果参考数据：ln 20.7=，ln 3 1.1=，ln 5 1.6=）【正确答案】（1）81%；（2）35个小时【分析】（1）由当5t =时，()0110%P P =-，可得()500110%k P P e --=，从而可求出参数1ln 0.95k =-，进而可知，当10t =时，081%P P =；（2）当050%P P =时，可求出ln 0.5ln 25351ln 2ln52ln 3ln 0.95t ==⋅+-.【详解】解：（1）由0kt P P e -=可知，当0=t 时，0P P =；当5t =时，()0110%P P=-.于是有()500110%k P P e --=，解得1ln 0.95k =-，那么1ln 0.950P P e ⎛⎫⎪⎝⎭=，所以，当10t =时，1ln 0.910ln 0.81500081%P P e P e P ⎛⎫⨯⎪⎝⎭===，∴过滤开始后经过10个小时还剩81%的污染物.（2）当050%P P =时，有1ln 0.950050%t P P e ⎛⎫⎪⎝⎭=.解得15lnln 0.5ln 2ln 22553519ln 9ln10ln 2ln 52ln 3ln 0.9ln 510t -===⋅=⋅=-+-∴污染物减少50%所需要的时间为35个小时.本题考查了函数模型的应用，考查了指数方程的求解，考查了对数的运算性质.由已知条件求出参数k 的值是本题的关键.本题的易错点是误把()/P mg L 当成了已消除的污染的数量.21．已知函数()2233()log log 3f x x a x =--，x ∈[13，9].(1)当a =0时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值为-6，求实数a 的值.【正确答案】(1)[]3,1-(2)2-【分析】（1）由题意可得()23()log 3f x x =-，结合定义域，逐步可得函数的值域；（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）当a =0时，()23()log 3f x x =-，x ∈[13，9].∴[]3log 1,2x ∈-，()[]23log 0,4x ∈，∴()[]23()log 33,1f x x =-∈-，∴函数f (x )的值域为[]3,1-；（2）令[]3log 1,2t x =∈-，即函数[]2()23,1,2g t t at t =--∈-的最小值为6-，函数2()23g t t at =--图象的对称轴为t a =，当1a ≤-时，()min ()1226g t g a =-=-=-，解得2a =-；当1a 2-<<时，()2min ()36g t g a a ==--=-，解得a =当2a ≥时，()min ()2146g t g a ==-=-，解得74a =（舍）；综上，实数a 的值为2-22．已知定义域为R 的函数()22x x b n f x b +=--是奇函数，且指数函数x y b =的图象过点(2,4)．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）若方程()23()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合；（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）121()22x x f x +-+=+；（Ⅱ）{}40a a -<<；（Ⅲ）{}0a a ≥.【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到b 的值，再利用奇函数得到()00f =，进而得到n 的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断()f x 的单调性，再利用奇偶性和单调性得到23x x a x +=-，把23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，得到221t a at -≤-，把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，利用二次函数的图像特点求解即可.【详解】（Ⅰ）由指数函数x y b =的图象过点(2,4)，得2b =，所以2()222x x n f x +=-⋅-，又()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，得1n =-，经检验，当1n =-时，符合()()f x f x -=-，所以121()22x x f x +-+=+；（Ⅱ）12111()22221x x x f x +-+==-+++，因为21x y =+在定义域内单调递增，则121xy =+在定义域内单调递减，所以()f x 在定义域内单调递增减，由于()f x 为R 上的奇函数，所以由()23()0f x x f a x ++-+=，可得()()23()f x x f a x f a x +=--+=-，则23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，即()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，则()()4000440204f a a a f a ⎧-><⎧⎪⎪∆>⇒>-⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<>-⎩⎩，所以实数a 的取值集合为{}40a a -<<.（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，由()22(1)0f t a f at -+-≥，得()()221f t a f at -≥-，所以221t a at -≤-，即2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，由题意()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，得0a ≥，所以实数a 的取值范围为.{}0a a ≥关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立是解决本题的关键.。

山东省单县第一中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段性考试数学试卷一、单选题1．已知集合{Z|||1}A x x =∈≤,*{N |12}B x x =∈-≤≤，则A B = （）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,22．已知集合12,Z 3M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，2,Z 3N x x n n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1,Z 3P x x p p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则M ，N ，P 的关系（）A ．M N =P B ．M N P=C ．MN PD ．NPM3．已知函数()28h x x kx =--，在[]5,10上是单调函数，则k 的取值范围是（）A ．(],10-∞B ．[)20,+∞C ．][(),1020,∞∞-+∪D ．∅4．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（）A ．[7,26]-B ．[1,20]-C ．[]4,15D ．[]1,155．已知函数()22,01,0x ax a x f x x x ⎧---<=⎨+≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],0-∞B ．[]1,0-C ．[]1,1-D ．[)0,+∞6．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃7．已知矩形ABCD （AB AD >）的周长为12，把ABC V 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P .当ADP △的面积取最大值时，AB 的长度为（）A ．3B ．C ．D ．48．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =二、多选题9．下列四个命题中的假命题为（）A ．集合{}21x y x =-与集合{}21y y x =-是同一个集合B ．“A B ⋂为空集”是“A 与B 至少一个为空集”的充要条件C ．对于任何两个集合A ，B ，()()A B A B ⊆ 恒成立D ．{}1,2M =，(){}1,2N =，则M N =10．下列说法正确的是（）A ．=y y =B ．函数(21)f x -的定义域为(1,2)-则函数(1)f x -的定义域为(2,4)-C ．关于x 的不等式23208kx kx +-<，使该不等式恒成立的实数k 的取值范围是(3,0)-D ．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a -+<的解集为11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知函数21,2()43,2x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+->⎩，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的单调减区间为(,1][2,)-∞⋃+∞B ．若()f x k =有三个不同实数根1x ，2x ，3x ，则12345x x x <++<C ．若()()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是9(,)4-∞-D ．对任意的1x ，2x (2,)∈+∞，不等式12121()[()()]22x x f f x f x +≥+恒成立三、填空题12．已知幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则(2)f -=．13．函数()2212f x x x =++的最小值为．14．已知定义域为[]5,5-的奇函数()f x 的图像是一条连续不断的曲线．对(]12,0,5x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >，则满足()()()()212144m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为．四、解答题15．已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式2514x x -<-的解集为B ，集合P A B =⋂．(1)设全集R U =，求集合U P ð；(2)设非空集合{}521Q x m x m =+<<-，若“∈”是“x P ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围．16．已知函数()()2213f x mx m x =-++，m ∈R ．(1)已知(){}0A x f x =>，若1A ∉，求实数m 取值范围；(2)若()1f x <的解集是()2,+∞，求()2f x x >的解集；(3)解关于x 的不等式()f x mx ≤．17．已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.18．某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x 米.(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为886360086400a a x +⎛⎫++ ⎪⎝⎭（0a >）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.19．已知函数()y x ϕ=的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是()y a x b ϕ=+-是奇函数，给定函数()61f x x x =-+．(1)求函数()f x 图象的对称中心；(2)用定义判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性：(3)已知函数()g x 的图象关于点()1,1对称，且当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+．若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12,g x f x =求实数m 的取值范围，。

2023-2024学年山东省潍坊市高一上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}N A x y x ==∈，{}4,3,2,1B =，则集合A ，B 的关系是（）A ．B A ⊆B ．A B =C ．B A∈D ．A B⊆【正确答案】A【分析】计算得到{}0,1,2,3,4A =，据此得到集合的关系.【详解】{}{N}0,1,2,3,4A xy x ==∈=∣，{}4,3,2,1B =，故A B =错误；集合B 中元素都是集合A 元素，故B A ⊆正确；A B ，是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故B A ∈错误；集合A 中元素存在不属于集合B 的元素，故A B ⊆错误.故选：A2．函数()()2ln 2f x x x =-的定义域为（）A ．(,0)(2,)-∞+∞B ．(,0][2,)-∞⋃+∞C ．()0,2D ．[]0,2【正确答案】C【分析】根据对数型函数的定义域运算求解.【详解】令220x x ->，解得02x <<，故函数()()2ln 2f x x x =-的定义域为()0,2.故选：C.3．命题“2x ∀>，240x -≠”的否定形式是（）A ．2x ∃>，240x -≠B ．2x ∀≤，240x -=C ．2x ∃>，240x -=D ．2x ∃≤，240x -=【正确答案】C【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为2x ∃>，240x -=.故选：C.4．已知0.13a =，30.3b =，0.2log 3c =，则（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．b a c<<D ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可判断出结果.【详解】3000.10.20.2log 3log 100.30.3133<=<<==< ，c b a ∴<<.故选：B.5．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图1、图2所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样的方法抽取6%的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与A 区被抽取的食品摊位数分别为（）A ．210，24B ．210，27C ．252，24D ．252，27【正确答案】D【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为()1000800100014006%252+++⨯=；A 区抽取的食品摊位数为10006%0.4527⨯⨯=.故选：D.6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【正确答案】C【分析】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，并利用D ，E ，F 构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立，且()()()1,2P D P E a P F ===.恰好能答对两道题为事件DEF DEF DEF ++，且DEF DEF DEF ，，两两互斥，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，整理得()2112a -=，他三道题都答错为事件DEF ，故()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a⎛⎫==--=-=⎪⎝⎭.故选：C.7．定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x <，有()()21f x f x >，且()10f =，则不等式()0f x >的解集是（）A ．()1,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】B【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定()f x 的单调性，结合()()110f f -=-=可得不等式的解集.【详解】 对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x <，有()()21f x f x >，()f x \在()0,∞+上单调递增，又()f x 定义域为R ，()10f =，()f x \在(),0∞-上单调递增，且()()110f f -=-=，()00f =；则当10x -<<或1x >时，()0f x >，即不等式()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．已知函数()11,02ln ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，若函数()()()()24433g x f x t f x t =-+⎤⎦+⎡⎣有七个不同的零点，则实数t 的取值范围是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】先以()f x 为整体分析可得：()34f x =和()f x t =共有7个不同的根，再结合()f x 的图象分析求解.【详解】令()()()()244330g x f x t f x t =-+⎦+⎤⎣=⎡，解得()34f x =或()f x t =，作出函数()y f x =的图象，如图所示，()y f x =与34y =有4个交点，即方程()34f x =有4个不相等的实根，由题意可得：方程()f x t =有3个不相等的实根，即()y f x =与y t =有3个交点，故实数t 的取值范围是{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.故选：D.方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．()4f x x x=+的最小值为4B ．()4f x x x=+无最小值C ．()()3f x x x =-的最大值为94D ．()()3f x x x =-无最大值【正确答案】BC【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB ，当0x >时，44x x +≥=（当且仅当2x =时取等号）；当0x <时，()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（当且仅当2x =-时取等号），()4f x x x∴=+的值域为(][),44,-∞-⋃+∞，无最小值，A 错误，B 正确；对于CD ，()()22393324f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当32x =时，()f x 取得最大值，最大值为94，C 正确，D 错误.故选：BC.10．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递减的是（）A ．y x =B ．||e x y =-C ．12log y x=D ．13y x -=【正确答案】BC【分析】A 选项不满足单调性；D 不满足奇偶性，B 、C 选项均为偶函数且在(0,)+∞上单调递减正确.【详解】y x =在()0,∞+上单调递增，A 选项错误；()e ,)()e (xxf x f x f x =--==-，故||e x y =-为偶函数，当()0,x ∈+∞时e x y =-为单调递减函数，B选项正确；1122()()log ,log ()g g g x x x x x =-==，故12log y x =为偶函数，当()0,x ∈+∞时12log y x =为单调递减函数，C 选项正确；13y x -=是奇函数，D 选项错误.故选：BC11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ，则下列说法正确的是（）A ．123P =B ．259P =C ．12133n n P P +=+D ．点Q 移动4次后恰好位于1C 点的概率为0【正确答案】ABD【分析】根据题意找出Q 在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点Q 在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：23，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：13，所以123P =，故A 选项正确；对于B ：22211533339P =⨯+⨯=，故B 选项正确；对于C ：()1211113333n n n n P P P P +=+-=+，故C 选项错误；对于D ：点Q 由点A 移动到点1C 处至少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点1C ，所以点Q 移动4次后恰好位于1C 点的概率为0.故D 选项正确；故选：ABD.12．已知实数a ，b 满足22a a +=，22log 1b b +=，则（）A ．22a b +=B ．102a <<C ．122a b->D ．5384b <<【正确答案】ACD【分析】构建()22xf x x =+-，根据单调性结合零点存在性定理可得13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再利用指对数互化结合不等式性质、函数单调性分析判断.【详解】对B ：∵22a a +=，则220a a +-=，构建()22xf x x =+-，则()f x 在R 上单调递增，且3413350,202244f f ⎛⎫⎛⎫-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在R 上有且仅有一个零点13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，B 错误；对A ：∵22log 1b b +=，则222log 20b b +-=，令22log t b =，则22t b =，即220t t +-=，∴2lo 2g a t b ==，即22a b =，故22a b +=，A 正确；对D ：∵22a b +=，则253,284a b -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，D 正确；对C ：∵23211224a a ab a ---=-=>->-，且2x y =在R 上单调递增，∴11222a b-->=，C 正确.故选：ACD.方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知一元二次方程22340x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则1211x x +=______．【正确答案】34##0.75【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：1232x x +=-，122x x =-，1212121134x x x x x x +∴+==.故答案为.3414．已知函数1log (2)3a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为______．【正确答案】13,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数存在参数，当log (2)0a x -=时所求出的横纵坐标即是定点坐标．【详解】令log (2)0a x -=，解得3x =，此时13y =，故定点坐标为13,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15．将一组正数1x ，2x ，3x ，…，10x 的平均数和方差分别记为x 与2s ，若10214500i i x ==∑，250s =，则x =______．【正确答案】20【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110i i s x x ==-∑10211105010i i x x =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑，代入数据得，()214500105010x -=，解得20x =.故2016．已知两条直线1l ：1y m =+和2l ：()221y m m =+>-，直线1l ，2l 分别与函数2x y =的图象相交于点A ，B ，点A ，B 在x 轴上的投影分别为C ，D ，当m 变化时，CD 的最小值为______．【正确答案】()2log 2【分析】分别求出直线1l ，2l 与函数2x y =的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求最值.【详解】由1y m =+与函数2x y =相交得21x m =+，解得()2log 1x m =+，所以()()2log 1,0C m +，同理可得()()22log 2,0D m +，所以()()222222log 2log 1log 1m CD m m m +=+-+=+，令()2231211m g m m m m +==++-++，因为1m >-，所以()31221g m m m =++-≥+,当且仅当1m =时取最小值.所以()()22min log 2log 2CD ==所以CD的最小值为()2log 2.故答案为:()2log 2利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题17．设全集U =R ，已知集合{}11A x a x a =-+≤≤+，401x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．(1)若3a =，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){1x x <或}2x ≥；(2)23a ≤≤.【分析】（1）由已知解出集合A ，B ，根据并集的运算即可得出答案；（2）若A B ⋂=∅，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当3a =，{}24A x x =≤≤，由401x x ->-得(4)(1)0x x -->，所以{1B x x =<或}4x >，{1A B x x ∴⋃=<或}2x ≥；（2）已知{}11A x a x a =-+≤≤+，由（1）知{1B x x =<或}4x >，因为A B ⋂=∅，且B ≠∅，∴11a -+≥且14a +≤，解得23a ≤≤，所以实数a 的取值范围为23a ≤≤.18．已知函数()22f x x ax a =-+．(1)若()0f x ≥的解集为R ，求实数a 的取值范围；(2)当3a ≠-时，解关于x 的不等式()()43f x a a x >-+．【正确答案】(1)[]0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在R 上恒成立可得0∆≤，由此可解得结果；（2）将所求不等式化为()()30x x a +->，分别在3a >-和3a <-的情况下解不等式即可.【详解】（1）由题意知：220x ax a -+≥在R 上恒成立，2440a a ∴∆=-≤，解得：01a ≤≤，即实数a 的取值范围为[]0,1.（2）由()()43f x a a x >-+得：()()()23330x a x a x x a +--=+->；当3a >-时，()()30x x a +->的解为3x <-或x a >；当3a <-时，()()30x x a +->的解为x a <或3x >-；综上所述：当3a >-时，不等式的解集为()(),3,a -∞-+∞ ；当3a <-时，不等式的解集为()(),3,a -∞-+∞ .19．受疫情影响2022年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课注意力指数()f t 与听课时间t （单位：min ）之间满足如下关系：()()224,016log 889,1645amt mt n t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，其中0m >，0a >且1a ≠．已知()y f t =在区间[)0,16上的最大值为88，最小值为70，且()y f t =的图象过点()16,86．(1)试求()y f t =的函数关系式；(2)若注意力指数大于等于85时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听课效果最佳？请说明理由．【正确答案】(1)()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)教师在12t ⎡⎤∈-⎣⎦内安排核心内容，能使学生听课效果最佳【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得,,m n a 的值，由此可得()f x ；（2）分别在016t ≤<和1645t ≤≤的情况下，由()85f t ≥可解不等式求得结果.【详解】（1）当[)0,16t ∈时，()()()222412144f t m t t n m t m n =--+=--++，()()()()max min 1214488070f t f m n f t f n ⎧==+=⎪∴⎨===⎪⎩，解得：1870m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩；又()16log 88986a f =+=，log 83a ∴=-，解得：12a =，()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩.（2）当016t ≤<时，令21370858t t -++≥，解得：1216t -≤<；当1645t ≤≤时，令()12log 88985t -+≥，解得：1624t ≤≤；∴教师在12t ⎡⎤∈-⎣⎦内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.20．已知函数()()33log log 39x f x x =⋅，函数()1425x x g x +=-+．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若存在实数[]1,2m Î-，使不等式()()0f x g m -≥成立，求实数x 的取值范围．【正确答案】(1)94-(2)109x <≤或27x ≥【分析】（1）将()f x 化为关于3log x 的二次函数后求最小值；（2）由题意知min ()()f x g m ≥，求得min ()g m 后再解关于3log x 的二次不等式即可.【详解】（1）()()3333()log log (3)log 2log 19x f x x x x =⋅=-+()233log log 2x x =--2319log 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴显然当31log 2x =即x ,min 9()4f x =-，∴()f x 的最小值为94-.（2）因为存在实数[]1,2m Î-，使不等式()()0f x g m -≥成立，所以min ()()f x g m ≥，又()()21421524x x x g x +=-+-=+，所以()()2124m g m -=+，又[]1,2m Î-，显然当0m =时，()()02min 2414g m -=+=，所以有()4f x ≥，即()233log log 24x x --≥，可得()()33log 2log 30x x +-≥，所以3log 2x ≤-或3log 3x ≥，解得109x <≤或27x ≥.故实数x 的取值范围为109x <≤或27x ≥.21．某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组[)55,60，第二组[)60,65，…，第八组[]90,95，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，从下面两个条件中选一个，求事件E 的概率()P E ．①事件E ：[]0,5x y -∈；②事件E ：(]5,15x y -∈．注：如果①②都做，只按第①个计分．【正确答案】(1)0.08；81.8(2)选①：715；选②：815【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E 所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.【详解】（1）第七组的频率为30.0650，所以第六组的频率为()10.0650.00820.0160.0420.060.08--⨯++⨯+=，第八组的频率为0.04，第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为m ，则8085m <<，由850.040.060.080.155m -++⨯=，解得81.8m ≈，故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数81.8.（2）第六组[80,85)的人数为4人，设为,a b ,,c d ，第八组[90,95]的人数为2人，设为,A B ，随机抽取两名学生，则有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad bc bd cd aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况，选①：因事件[]:0,5E x y -∈发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况，故7()15P E =.选②：因事件(]:5,15E x y -∈发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 共8种情况，故8()15P E =.22．已知函数()f x 的定义域为D ，对于给定的正整数k ，若存在[],a b D ⊆，使得函数()f x 满足：函数()f x 在[],a b 上是单调函数且()f x 的最小值为ka ，最大值为kb ，则称函数()f x 是“倍缩函数”，区间[],a b 是函数()f x 的“k 倍值区间”．(1)判断函数()3f x x =是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）(2)证明：函数()ln 3g x x =+存在“2倍值区间”；(3)设函数()2841x h x x =+，10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()h x 存在“k 倍值区间”，求k 的值．【正确答案】(1)是，理由见详解(2)证明见详解(3){}4,5,6,7k ∈【分析】（1）取1,1,1k a b ==-=，结合题意分析说明；（2）根据题意分析可得ln 32x x +=至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析证明；（3）先根据单调性的定义证明()h x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，根据题意分析可得2841x kx x =+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【详解】（1）取1,1,1k a b ==-=，∵()3f x x =在[]1,1-上单调递增，∴()3f x x =在[]1,1-上的最小值为()1f -，最大值为()1f ，且()()()1111,1111f f -=-=⨯-==⨯，故函数()3f x x =是“倍缩函数”.（2）取2k =，∵函数()ln 3g x x =+在[],a b 上单调递增，若函数()ln 3g x x =+存在“2倍值区间”，等价于存在0a b <<，使得ln 32ln 32a a b b +=⎧⎨+=⎩成立，等价于ln 32x x +=至少有两个不相等的实根，等价于()ln 23G x x x =-+至少有两个零点，∵()()()332e 0,110,2ln 210e G G G -=-<=>=-<，且()G x 在定义内连续不断，∴()G x 在区间()()3e ,1,1,2-内均存在零点，故函数()ln 3g x x =+存在“2倍值区间”.（3）对121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，且12x x <，则()()()()()()12121212222212128148841414141x x x x x x h x h x x x x x ---=-=++++，∵12102x x ≤<≤，则221212120,140,410,410x x x x x x -<->+>+>，∴()()120h x h x -<，即()()12h x h x <，故函数()h x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，若函数()h x 存在“k 倍值区间”，即存在*10,2a b k ≤<≤∈N ，使得22841841a ka a b kb b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩成立，即2841x kx x =+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内至少有两个不相等的实根，∵0x =是方程2841x kx x =+的根，则2841k x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦内有实根，若10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则[)284,841x ∈+，即[)4,8k ∈，且*k ∈N ，∴4,5,6,7k =，即{}4,5,6,7k ∈.方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。

2024-2025学年山东省十校高一上学期第一次联合教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=( )A. {x|−1<x<2}B. {x|−1<x≤2}C. {x|0≤x<1}D. {x|0≤x≤2}2.不等式3x−2≤4的解集为( )A. {x|2<x≤114}B. {x|x<2或x≥114}．C. {x|2≤x≤114}D. {x|x≤2或x≥114}．3.命题“∀x∈R，有x2+2x+2≤0”的否定是( )A. ∀x∈R，有x2+2x+2>0B. ∃x∈R，有x2+2x+2≤0C. ∃x∈R，有x2+2x+2>0D. ∀x∈R，有x2+2x+2≥04.一元二次方程ax2+4x−3=0有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( )A. a<0B. a>0C. a<2D. a>15.设实数a，b满足0<b<a<1，则下列不等式一定成立的是( )A. a<bB. ab<b2C. ab <a+1b+1D. a+b<ab+16.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣−2<x<7}，其中a,b,c为常数，则不等式cx2 +bx+a≤0的解集是( )A. {x|−12≤x≤17}B. {x|x≤−17，或x≥12}C. {x|x≤−12，或x≥17}D. {x|−17≤x≤12}7.已知1≤a≤2，3≤b≤5，则下列结论错误的是( )A. 4≤a+b≤7B. 2≤b−a≤3C. 3≤ab≤10D. 15≤ab≤238.已知方程x2+(m−2)x+5−m=0的两根都大于2，则实数m的取值范围是( )A. {m|−5<m≤−4或m≥4}B. {m|−5<m≤−4}C. {m|−5<m<−4}D. {m|−5<m<−4或m>4}二、多选题：本题共3小题，共18分。

山东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，则集合的所有子集个数是（）A．1B．2C．3D．42.若函数，则（）A．B．C．-3D．53.已知直线，不论取何值，该直线恒过的定点是（）A．B．C．D．4.函数的图象大致是（）A．B．C．D．5.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.若实数满足，则的最小值是（）A．B．1C．D．59.如下图所示，在正方体中，下列结论正确的是（）A．直线与直线所成的角是B．直线与平面所成的角是C．二面角的大小是D．直线与平面所成的角是10.设方程的根为，函数的零点为，若，则函数可以是（）A．B．C．D．二、填空题1.若棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为__________．2.若，则__________．3.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题1.已知全集，集合.(Ⅰ)求集合；(Ⅱ)设集合，若，求实数的取值范围.2.在中，点，角的内角平分线所在直线的方程为边上的高所在直线的方程为.(Ⅰ) 求点的坐标；(Ⅱ) 求的面积.3.根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件的销售价格(千元)与时间(天)组成有序数对，点落在下图中的两条线段上，且日销售量(件)与时间 (天)之间的关系是.(Ⅰ) 写出该产品每件销售价格〔千元)与时间 (天)之间的函数关系式；(Ⅱ)在这30天内，哪一天的日销售金额最大?(日销售金额每件产品的销售价格日销售量)4.如下图,是长方形，平面平面，且是的中点.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求三棱锥的体积；（Ⅲ）若点是线段上的一点，且平面平面,求线段的长.5.已知函数(且)是定义在上的奇函数.(Ⅰ)求实数的值；(Ⅱ)证明函数在上是增函数；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围.山东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若集合，则集合的所有子集个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】根据题意，集合的所有子集个数，选2.若函数，则（）A．B．C．-3D．5【答案】D【解析】根据分段函数，得，则，故选3.已知直线，不论取何值，该直线恒过的定点是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线化简为，因为不论取何值，所以即，故直线恒过定点，选点睛：含参直线恒过定点的求法：（1）分离参数法，把含有参数的直线方程改写成，则它表示的所有直线必过定点；（2）特殊值法，把参数赋两个特殊值，联立方程组，解出、的值，即就为直线过的定点。

2023-2024学年山东省山东高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}3,4A =，{}2,4B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,3,4B ．{}1,3,4,5C ．{}1,3,5D ．{}1,2,3,4,5【正确答案】B【分析】先求出{}1,3,5U B =ð，进而求出()U A B ⋃ð.【详解】{}1,3,5U B =ð，故()U A B = ð{}1,3,4,5故选：B 2．函数ln 4x y -=）A ．[]0,4B ．(]0,4C ．[)0,4D ．()0,4【正确答案】D【分析】根据对数的真数部分大于零，分母不等于零，被开方数不小于零列不等式求解.【详解】由已知4000x x ⎧->⎪≥⎨≠，解得04x <<，即函数ln 4x y -=()0,4故选：D.3．下列各式正确的是（）A 2=-B．=C 34()x y =+D ．2122n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】根据幂运算的规则逐项分析即可.【详解】对于A2==-，正确；对于B ，==，错误；对于C ()()133344x yx y =+≠+，错误；对于D ，222n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误；故选：A.4．sin 600︒的值为（）A ．12-B ．12C ．D ．2【正确答案】C【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()sin 600sin 180360sin 602︒=︒⨯+︒=-︒=-.故选：C5．已知角θ的终边经过点()8,3P m --，且4cos 5θ=-，则实数m 的值是（）A ．12B ．932C ．12或12-D ．932或932-【正确答案】A【分析】利用三角函数的定义列方程求解即可.【详解】由三角函数的定义得cos θ405m =->解得12m =故选：A6．设a ，R b ∈，定义运算,,b a ba b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()sin cos f x x x =⊗的最大值是（）A ．1B ．2C ．12D ．0【正确答案】B【分析】根据给定的定义，求出函数()f x 的解析式，再求其最大值作答.【详解】当sin cos x x ≥时，522,Z 44k x k k ππππ+≤≤+∈，当sin cos x x <时，322,Z 44k x k k ππππ-<<+∈因为a ，R b ∈，定义运算,,b a ba b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，而()sin cos f x x x =⊗，因此3sin ,2244(),Z 5cos ,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧-<<+⎪⎪=∈⎨⎪+≤≤+⎪⎩，当322,Z 44k x k k ππππ-<<+∈时，1sin 2x -≤<，当522,Z 44k x k k ππππ+≤≤+∈时，1cos x -≤≤所以函数()f x的值域为[2-，最大值为2.故选：B7．已知某幂函数的图象经过点132,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该幂函数的大致图象是（）A ．B ．C．D．【正确答案】D【分析】设幂函数为()f x x α=，根据函数过点132,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出α，即可得到函数解析式，再根据幂函数的性质判断即可.【详解】解：设幂函数为()f x x α=，由函数过点132,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1324α=，即5222α-=，所以52α=-，解得25α-=，所以()25f x x-=，则函数的定义域为{}|0x x ≠，且()()()2255f x x x f x ---=-==，故()25f x x -=为偶函数，且函数在()0,∞+上单调递减，则函数在(),0∞-上单调递增，故符合题意的为D ；故选：D8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x -为偶函数，且当01x <≤时，()2log 2f x x =，则()()20232022f f +=（）A ．2B ．1C ．1-D ．0【正确答案】C【分析】根据给定的条件，探讨函数()f x 的周期性，再结合函数解析式计算作答.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，且(0)0f =，又()1f x -为偶函数，则()()11[(1)](1)f x f x f x f x -=--=-+=-+，于是得(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期为4的周期函数，当01x <≤时，()2log 2f x x =，则(2023)(45061)(1)(1)1f f f f =⨯-=-=-=-，(2022)(45052)(2)(0)0f f f f =⨯+==-=，所以()()202320221f f +=-.故选：C思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)()()f x f x --＝或()()f x f x -＝是定义域上的恒等式．二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．钝角大于锐角B ．时间经过两个小时，时针转了60°C ．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角D ．若α是第三象限角，则2α是第二象限角或第四象限角【正确答案】AD【分析】利用锐角、钝角范围判断A ；利用正负角的意义判断B ；利用象限角的意义判断CD 作答.【详解】对于A ，因为锐角1(0,2πα∈，钝角2(,)2παπ∈，因此钝角大于锐角，A 正确；对于B ，时间经过两个小时，时针转了60- ，B 不正确；对于C ，当三角形的一个内角为2π时，该角不是第一象限角，也不是第二象限角，C 不正确；对于D ，因为α是第三象限角，即22,Z 2k k k πππαπ-<<-∈，则,Z 224k k k παπππ-<<-∈，当k 为奇数时，2α是第二象限角，当k 为偶数时，2α是第四象限角，D 正确.故选：AD10．已知命题:p x ∃∈R ，210ax x -+=，若p 为真命题，则实数a 的值可以是（）A ．14-B ．0C ．14D ．12【正确答案】ABC【分析】根据条件，可知方程210ax x -+=有实根，分0a =和0a ≠两种情况，求出a 的范围，再结合选项得到a 的值即可.【详解】因为x ∃∈R ，210ax x -+=为真命题，所以方程210ax x -+=有实根.当0a =时，1x =符合题意；当0a ≠时，由方程210ax x -+=有实根，可得2(1)40a ∆=--≥，所以14a ≤.综上，实数a 的值可以是14-，0和14.故选:ABC.11．在斜三角形ABC 中，ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若tan A ，tan B 是方程23610x x -+=的两根，则下列说法正确的是（）A ．tan 3C =B ．ABC 是钝角三角形C ．sin cos B A <D ．cos sin B A<【正确答案】BC【分析】利用韦达定理得到tan tan A B +，tan tan A B ⋅，再根据两角和的正切公式求出()tan A B +，利用诱导公式求出tan C ，即可判断A 、B ，再利用诱导公式及正弦函数的性质判断C 、D.【详解】解：因为tan A ，tan B 是方程23610x x -+=的两根，所以tan tan 2A B +=，1tan tan 3A B ⋅=，所以tan 0A >，tan 0B >，则π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan tan 2tan 311tan tan 13A B A B A B ++===--，所以()()tan tan πtan 30C A B A B =-+=-+=-<⎡⎤⎣⎦，又()0,πC ∈，所以π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即C 为钝角，则ABC 是钝角三角形，故A 错误，B 正确；因为π2A B +<，所以π2A B <-或π2B A <-，所以πsin sin 2A B ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则sin cos A B <，故D 错误；πsin sin 2B A ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即sin cos B A <，故C 正确；故选：BC12．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C ．函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D ．函数())ln f x x =+是圆O 的一个“太极函数”【正确答案】BD【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.【详解】解：对于A 选项，圆O ，其“太极函数”不止1个，故错误；对于B 选项，由于函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，当0x ≥时，()()2f x x x f x -=-+=-，当0x <时，()()2f x x x f x +-==-，故()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩为奇函数，故根据对称性可知函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩为圆O 的一个“太极函数”，故正确；对于C 选项，函数定义域为R ，()()33f x x x f x -=-+=-，也是奇函数，故为圆O 的一个“太极函数”，故错误；对于D 选项，函数定义域为R ，()))()lnln ln x x f x f x ⎛⎫=-==--=-⎪⎭-，故为奇函数，故函数())lnf x x =是圆O 的一个“太极函数”，故正确.故选：BD 三、填空题13．已知扇形的圆心角为5π6，弧长为1，则此扇形的面积为______.【正确答案】35π【分析】先求出半径，再用扇形的面积公式计算即可.【详解】由已知扇形的半径为165π5π6=，则此扇形的面积为163125π5π⨯⨯=故答案为.35π14．已知1ln e a =，1e e b =，1sin ec =，其中e 为自然对数的底数，则实数a ，b ，c 用“>”连接的顺序为______.【正确答案】b c a>>【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质及正弦函数的性质，结合“媒介”数比较大小作答.【详解】因为101e <<，则有1ln ln10e a =<=，10e e e 1b =>=，10sin 0sin sin1sin 1e 2π=<<<=，因此01a c b <<<<，所以b c a >>.故b c a>>15．已知()cos tan 3,090f x x x =︒<<︒，则()sin 40f ︒=______.【正确答案】【分析】由于sin 40cos50︒=︒，将50x =︒代入()cos tan 3f x x =计算即可.【详解】sin 40cos50︒=︒ ，令50x =︒得()cos 50tan1503f ︒=︒=-，即()sin 40f ︒=故16．后疫情时代，人们的健身需求更加多样化和个性化.某健身机构趁机推出线上服务，健身教练进入直播间变身网红，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，线上线下相互赋能，成功吸引新会员留住老会员.据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于2万人时，其线下销售健身卡的利润y （单位：万元）随粉丝量x （单位：万人）的变化情况如下表所示.根据表中数据，我们用函数模型()log a y x m b =++进行拟合，建立y 关于x 的函数解析式.请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为33万人时，线下销售健身卡的利润大约为______万元.x （万人）359y （万元）4373103【正确答案】163##153【分析】根据给定的数表及函数模型，列出方程组，求出函数解析式即可求解作答.【详解】依题意，4log (3)37log (5)310log (9)3aa a mb m b m b ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，消去b 得，(3)50(5)90a m m a m m +=+>⎧⎨+=+>⎩，解得1,2m a =-=，则13b =，因此函数模型为21log (1)3y x =-+，当33x =时，163y =，所以线下销售健身卡的利润大约为163万元.故163四、解答题17．（1）求值：31log 20lg 42lg5π3+++-；（2）若3π2π2α<<+【正确答案】（1）3-；（2）2sin α-【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；（2=同角三角函数的平方关系及三角函数值的符号进行整理化简.【详解】（1）331log 2log 20lg 42lg5π3lg 4lg 25133+++-=++-⨯lg1001322163=+-⨯=+-=-;（2）若3π2π2α<<，则1sin 0,0cos 1αα-<<<<，===1cos 1cos sin sin αααα-+=+1cos 1cos 2sin sin sin ααααα-+=+=---18．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，其最小正周期为2，若01x ≤≤时，()231x f x a =++，且满足()10f =.(1)当34x ≤≤时，求函数()f x 的解析式；(2)请判断函数()y f x =在[]3,4上的单调性（只判断不证明）.【正确答案】(1)()()231343812x x f x x ⨯=-≤≤+；(2)单调递增，理由见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出a 值及函数()f x 在[1,0]-上的解析式，再利用周期求出当34x ≤≤时，()f x 的解析式作答.（2）利用指数函数、反比例函数的单调性，结合复合函数单调性判断作答.【详解】（1）因为01x ≤≤时，()231x f x a =++，且()10f =，则21(1)0312f a a =+=+=+，解得12a =-，有()21312xf x =-+，又函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，则当10x -≤≤时，01x ≤-≤，有()()21231312312x x x f x f x -⨯=-=-=-++，而函数()f x 的最小正周期为2，当34x ≤≤时，140x -≤-≤，()()4423123143123812x x x x f x f x --⨯⨯=-=-=-++，所以当34x ≤≤时，函数()f x 的解析式为()2313812x x f x ⨯=-+.（2）由（1）知，当34x ≤≤时，()231316238122381x x xf x ⨯=-=-++，因为函数381x u =+在[3,4]上单调递增，[]108,162u ∈，函数16232y u =-+在[]108,162u ∈上单调递增，所以函数()y f x =在[]3,4上单调递增.19．已知22ππα-<<，且满足______.请从以下三个条件中选择一个条件补充在前面的横线中，①sin 10α=-；②cos sin 5αα+=；③1tan 3α=-，然后作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求cos sin αα-的值；(2)角β与角α均以x 轴的非负半轴为始边，若角β的终边与角α的终边关于x 轴对称，求sin cos sin cos ββββ+-的值.【正确答案】(1)条件选择见解析，5；(2)2-.【分析】（1）选①，利用同角正余弦平方和为1求出cos α计算作答；选②，利用cos sin αα±与sin cos αα的关系计算作答；选③，由正切求出正余弦值即可作答.（2）求出角β与角α的关系式，再利用诱导公式结合（1）的结论计算作答.【详解】（1）选①，因为22ππα-<<，sin 10α=，则cos 10α==，所以cos sin 5αα-=.选②，由cos sin αα+=212cos sin 5αα+=，解得32cos sin 05αα=-<，因为22ππα-<<，则cos 0α>，必有sin 0α<，所以cos sin αα-选③，因为22ππα-<<，1tan 03α=-<，则02πα-<<，cos 0α>，sin 0α<，由sin 1cos 3αα=-及22cos sin 1αα+=，解得sin 10α=-，cos 10α=，所以cos sin 5αα-=.（2）由（1）知，sin 10α=，cos 10α=，因为角β与角α均以x 轴的非负半轴为始边，若角β的终边与角α的终边关于x 轴对称，则有2,Z k k βαπ+=∈，即2,Z k k βπα=-∈，sin sin ,cos cos βαβα=-=，所以sin cos sin cos cos sin 2sin cos sin cos cos sin 5ββααααββαααα+-+-==-==----+.20．已知函数()2sin cos f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期T ；(2)求函数()f x 的最大值，并求出使该函数取得最大值时的自变量x 的值.【正确答案】(1)πT =(2)最大值12+，5ππ,Z 12x k k =+∈【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式变形化简，然后根据公式2πT ω=可得周期.（2）利用正弦函数的性质可得()f x 的最大值及取最大值时x 的值.【详解】（1）由已知())21πsin cos sin 21cos 2sin 22232f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（2）由（1）()πsin 232f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭得∴函数()f x的最大值为1此时有ππ22π,Z 32x k k -=+∈，即5ππ,Z 12x k k =+∈.21．已知函数()tan 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭02πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)当5,22x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，求不等式()1f x ≥的解集；(2)已知()f m α=()01m <<，求tan α的值.【正确答案】(1)73{42x ππ-≤<-或3}42x ππ-≤<-(2)212m m -【分析】（1）根据函数()f x 的对称中心为(,0)2π，求出ϕ的值，再结合正切函数的性质解不等式()1f x ≥即可；（2）根据条件，求出tan 2α，再由二倍角的正切公式求出tan ϕ的值.【详解】（1）函数()tan 022x f x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,由,22x k k πϕ+=∈Z ,可得2,x k k πϕ=-∈Z ,则()f x 的对称中心为(2,0),k k πϕ-∈Z .因为()f x 的一个对称中心为(,0)2π，所以2,2k k ππϕ-=∈Z ,所以,24k k ππϕ=-∈Z .因为02πϕ-<<，所以4πϕ=-，所以()tan()24x f x π=-.由()1f x ≥，可得tan()124x π-≥，所以,42k x k k ππππ+≤<+∈Z .因为5,22x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以7342x ππ-≤<-或342x ππ-≤<-，所以不等式()1f x ≥的解集为73{42x ππ-≤<-或3}42x ππ-≤<-.（2）由（1）知，()tan()24x f x π=-，因为()(01)f m m α=<<，所以tan tan 24tan()241tan tan 24απαπαπ--=+=tan121tan 2m αα-=+，所以1tan 21m m α+=-，所以2222(1)2tan 112tan 211tan 121m m m m m m ααα+--===+⎛⎫-- ⎪-⎝⎭.22．已知函数()21x f x ax b+=+是定义域上的奇函数，且()12f -=-.(1)令函数()()g x f x m =-，若()g x 在()0,∞+上有两个零点，求实数m 的取值范围；(2)已知函数1z x x =+在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，令()()2212h x x tf x x=+-，()0t <，若对1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12154h x h x -≤，求实数t 的取值范围.【正确答案】(1)m>2；(2)302t -≤<.【分析】（1）根据给定条件，求出函数()f x 的解析式，再利用一元二次方程在()0,∞+上的实根分布求解作答.（2）求出()h x 的解析式，并用z 表示出，结合对勾函数、二次函数性质求出()h x 的最大、最小值，再列式求解作答.【详解】（1）因为函数()21x f x ax b+=+是定义域上的奇函数，且()12f -=-，有()1(1)2f f =--=，则2222b a a b ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪+⎩，解得1,0a b ==，函数()211,0x f x x x x x +==+≠，显然())1(f x x f x x-=--=-，即函数()f x 是定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，则1,0a b ==，()()1x m x g x f x m =-=+-，函数()g x 在()0,∞+上有两个零点，等价于方程210x mx -+=有两个不等的正根12,x x ，于是得21212Δ40010m x x m x x ⎧=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得m>2，所以实数m 的取值范围是m>2.（2）由（1）知2221111()2()()2()2h x x t x x t x x x x x=+-+=+-+-，而1z x x =+，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数1z x x =+在1[,1]2上单调递减，在[1,2]上单调递增，5[2,]2z ∈函数222y z tz =--图象的对称轴0z t =<，因此函数222y z tz =--在5[2,]2z ∈上单调递增，则当2z =，即1x =时，min 42y t =-+，当52z =，即12x =或2x =时，max 1754y t =-+，从而当1x =时，min ()42h x t =-+，当12x =或2x =时，max 17()54h x t =-+，对1x∀，21,2 2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12154h x h x-≤，等价于max min15()()4h x h x-≤，即17155(42)44t t-+--+≤，解得32t≥-，而0t<，即有302t-≤<，所以实数t的取值范围是30 2t-≤<.思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.。

学科网2024届高一数学第一学期期末联考模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定2．在四面体A BCD -中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A CD B --的平面角的余弦值为（ ） A.12B.13C.33D.233．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.72cm πB.92cm πC.112cm πD.132cm π4．已知函数()2121x x f x -+＝，若不等式()()22120f a a m f a --+-<对任意的[]1,4a ∈-均成立，则m 的取值不可能是（） A.9 B.8 C.7D.65．全称量词命题“R x ∀∈，254x x +=”的否定是（ ） A.R x ∃∈，254x x += B.R x ∀∈，254x x ≠+ C.R x ∃∈，254x x ≠+D.以上都不正确6．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θ，空气温度为0C θ，则t 分钟后物体的温度θ（单位：C ）满足：()010kteθθθθ-=+-．若常数0.05k =，空气温度为30C ，某物体的温度从90C 下降到50C ，大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln3 1.1≈） A.16分钟 B.18分钟 C.20分钟D.22分钟7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，当3,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2log 1f x x =+，则()()20212022f f +=（）A.1B.2C.1-D.2-8．直线l 1：x +ay +1＝0与l 2：（a ﹣3）x +2y ﹣5＝0（a ∈R ）互相垂直，则直线l 2的斜率为（ ） A.12B.12-C.1D.﹣19．函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的简图是（ ）A. B.C. D.10．郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（） A.125 B.135 C.165D.17011．设全集U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =≤，则A B =A.{|01}x x ≤<B.{|01}x x <≤C.{|0}x x <D.{|1}x x >12．满足{}{}11,2,3A ⊆的集合A 的个数为（）A.2B.3C.8D.4二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.） 13．在ABC 中，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状一定是___________三角形. 14．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论 ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角； ④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________ 15．若，，则______16．下面有5个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈ ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象⑤函数sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

2024—2025学年上学期高一第一次联合教学质量检测高一数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}11A x x =−<<，{}02Bx x =≤≤，则A B = （ ） A ．{}12x x −<< B ．{}12x x −<≤C ．{}01x x ≤<D ．{}02x x ≤≤ 【答案】B 【详解】因为集合{11A x x =−<<{}02Bx x =≤≤， 把集合,A B 元素的范围表示在数轴上，如图， 可知{}12A B x x ∪=−<≤. 故选：B.2．不等式342x ≤−的解集为（ ） A ．1124x x <≤ B ．{|2x x <或11}4x ≥. C ．1124x x ≤≤ D ．{|2x x ≤或11}4x ≥. 【答案】B【详解】不等式342x ≤−化为：3402x −≥−，即41102x x −≥−， 整理得20(411)(2)0x x x −≠ −−≥ ，解得2x <或114x ≥， 所以不等式342x ≤−的解集为{|2x x <或11}4x ≥. 故选：B 3．命题“x ∀∈R ，有2220x x ++≤”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，有2220x x ++>B ．x ∃∈R ，有2220x x ++≤C ．x ∃∈R ，有2220x x ++>D ．x ∀∈R ，有2220x x ++≥ 【答案】C【详解】由题意可得：命题“x ∀∈R ，有2220x x ++≤”的否定是“x ∃∈R ，有2220x x ++>”.故选：C.4．一元二次方程2430ax x +−=有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ）A ．0a <B ．aa >0C ．2a <D ．1a >【答案】D【详解】因为“一元二次方程2430ax x +−=有一个正根和一个负根”的充要条件是“0Δ1612030a a a ≠ =+> −< ⇒0a >”，所以：“一元二次方程2430ax x +−=有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件是“a m >（0m >）”，即选项D 正确.故选：D5．设实数a ，b 满足01b a <<<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b <B ．2ab b <C ．11a a b b +<+D ．1a b ab +<+【答案】D【详解】对于A ，01b a <<<，得a b >，A 错误；对于B ，因为01b a <<<，所以2()0ab b a b b −=−>，得2ab b >，B 错误； 对于C ，因为01b a <<<，所以1(1)(1)01(1)(1)a a ab b a a b b b b b b b ++−+−−==>+++， 所以11a a b b +>+，C 错误；对于D ，因为01b a <<<，所以110b a −<−<，所以()()()()1110ab a b a b +−+=−−>，所以1a b ab +<+，D 正确.故选：D6．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{27}xx −<<∣，其中,,a b c 为常数，则不等式20cx bx a ++ 的解集是（ ）A ．1127x x −B ．17x x − ，或12xC ．12x x − ，或17xD ．1172x x −【答案】A【详解】关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{27}xx −<<∣， 则0a <，且2,7−是一元二次方程20ax bx c ++=的两根， 于是0,27,27,a b a c a < −+=− −×=解得5,14,0,b a c a a =− =− < 则不等式20cx bx a ++≤化为21450ax ax a −−+≤，即214510x x +−≤，解得12x −≤≤ 所以不等式20cx bx a ++≤的解集是1127x x −≤≤. 故选：A.7．已知12a ≤≤，35b ≤≤，则下列结论错误的是（ ）A ．47a b ≤+≤B ．23b a ≤−≤C ．310ab ≤≤D ．1253a b ≤≤ 【答案】B【详解】对于A ，由12a ≤≤，35b ≤≤，得47a b ≤+≤，A 正确；对于B ，由12a ≤≤，得21a −≤−≤−，而35b ≤≤，则14b a ≤−≤，B 错误；对于C ，由12a ≤≤，35b ≤≤，得310ab ≤≤，C 正确； 对于D ，由35b ≤≤，得11153b ≤≤，而12a ≤≤，则1253a b ≤≤，D 正确.故选：B8．已知方程()2250x m x m +−+−=的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{54m m −<≤−或}4m ≥B ．{}54m m −<≤−C ．{}54m m −<<−D ．{54m m −<<−或}4m >【答案】B 【详解】根据题意，二次函数()()225f x x m x m +−+−的图象与x 轴的两个交点都在2的右侧，根据图象可得()Δ020222f m ≥ > − −>，即()()()2245042250222m m m m m −−−≥ +−+−> − −> ，解得54m −<≤−.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）A ．2024∈RB ．0∈∅C ．∈Z QD ．∅ {}0 【答案】AD【详解】因为2024是实数，因此选项A 正确；因为空间集中没有元素，显然0∈∅不正确，因此选项B 不正确；因为所有的整数都是有理数，因此整数集是有理数集的子集，所以选项C 不正确；因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D 正确，故选：AD10．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．14ab ≤B ．2212a b +≥ C ．221a b +≥D ．114a b+≤ 【答案】AB 【详解】对于A ，0,0a b >> ，2124a b ab + ∴=≤，当且仅当12a b ==时等号成立，故A 正确； 对于B ，C，由2a b +≤，可得()222122a b a b ++≥=，当且仅当12a b ==时等号成立，故B 正确，C 错误；对于D ，0,0a b >> ，1a b +=， ()1111224b a a b a b a b a b ∴+=++=++≥+= ，当且仅当12a b ==时等号成立，故D 错误. 故选：AB.11．定义()()11x y x y ∗=+−，则下列说法正确的是（ ）A ．1332∗=∗B ．对任意的2x >−且111,112x x x≠−∗=++ C ．若对任意实数()(),12333x x a x a −−∗−−≥−−恒成立，则实数a 的取值范围是{13}aa −<<∣ D ．若存在2x ≥，使不等式()()1*2333x a x a −−−−≤−−成立，则实数a 的取值范围72a a ≥是 【答案】ABD【详解】对于A ，()()()()1311134,3213124∗=+×−=−∗=+×−=−，即1332∗=∗，故A 正确； 对于B ，111121*********x x x x x x x x++  ∗=+−=⋅=  ++++++  ，故B 正确； 对于C ，()()()()()()()21231112333333333x a x x a x x a x x a x a a −−∗−−=+−−−−−=−+=+−−≥−− 恒成立，即2(1x +−a ）10x +≥恒成立，则2Δ(1)40a =−−≤，解得13a −≤≤，故C 错误；对于D ，由题可知存在2x ≥，使得()2110x a x +−+≤成立，即11a x x ≥++成立，又min 1712x x ++= ，得a 的取值范围是72a a ≥ ，故D 正确.故选:ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．定义集合A ，B 的一种运算“*”，{}*,,A B p p xy x A y B ==∈∈，若{}1,2,3A =，{}1,2B =，则集合*A B 的所有元素的和 . 【答案】16【详解】∵{}*,,A B p p xy x A y B ==∈∈， {}1,2,3A =，{}1,2B =∴{1,2,3,4,6}A B ∗=， ∴所有元素之和1234616++++=. 故答案为：16.13．满足条件{}{}23201,2,3,4,5,6xx x A −+=⊆⊆∣的集合A 的个数为 . 【答案】16 【详解】解：因为{}{}23201,2xx x −+==∣， 所以{}{}1,21,2,3,4,5,6A ⊆⊆，即集合A 为{}1,2,3,4,5,6的子集，且A 中必包含元素1,2，又因为{}1,2,3,4,5,6的含元素1,2的子集为：{1,2},{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {1,2,4,5}, {1,2,4,6}, {1,2,5,6}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6},共16个.故答案为：1614．若1x >−，则22441x x x +++的最小值为 . 【答案】4【详解】当1x >−时，10x +>，则()222442(1)2221111x x x x x x x ++++==+++++4≥=， 当且仅当()2211x x +=+，即0x =时取等号， 所以22441x x x +++的最小值为4. 故答案为：4四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知集合{30},{11}A xx B x m x m =−<<=−<<+∣∣. (1)若()A B =∅R ，求实数m 的取值范围；(2)若集合A B ∩中仅有一个整数元素，求A B .【答案】(1){}|21m m −≤≤−(2){31}A B xx m ∪=−<<+∣ 【详解】（1）由题意{30},{11}A xx B x m x m =−<<=−<<+∣∣， 知{|3A x x =≤−R或0}x ≥，B ≠∅, 因为()A B ∩=∅R ，故1310m m −≥− +≤ ，解得21m −≤≤−； （2）{30}A xx −<<∣中的整数元素为2,1−−， 而集合A B ∩中仅有一个整数元素，当该整数元素为−2时，1211m m −<−<+≤−，此时32m −<≤−，则{10}A B x m x ∪=−<<∣； 当该整数元素为1−时，2111m m −≤−<−<+，此时10m −≤<，则{31}A B xx m ∪=−<<+∣. 16.（本小题15分）解下列不等式： (1)2111022x x +−≥； (2)()()234350x x −−−+<； (3)31132x x +≤−. 【答案】(1){}|12x x −≤≤(2)∅. (3)1{|7x x ≤或3}x >. 【详解】（1）由题设()()2220221012x x x x x x x +−≥⇒−−=−+≤⇒−≤≤，解集为{}|12x x −≤≤（2）由()()22343510260Δ10010440x x x x −−−+=−+<⇒=−=−<，解集为∅. （3）由()()311623*********x x x x x x x ++−+−−==≤−−−，所以()()713030x x x −−≥ −≠ ，解得：1{|7x x ≤或3}x >. 17.（本小题15分）解答下列各题.(1)若3x >，求43x x +−的最小值. (2)若正数,x y 满足9x y xy +=， ①求xy 的最小值.②求23x y +的最小值.【答案】(1)7；(2)①36；②29+【详解】（1）由题43x x +=−433373x x −++≥=−. 当且仅当433x x −=−，即5x =时取等号； （2）①由9x y xy +=结合基本不等式可得： )960xy x y =+≥=≥，又,x y 为正数，636xy ≥⇒≥，当且仅当9x y =，即2,18x y ==时取等号； ②由9x y xy +=可得911y x+=，则()911832323292929x y x y x y y x y x +=++=++≥+=+当且仅当22183183x y x y y y x=⇒=⇒=，又9x y xy +=，即19,x y +=+时取等号. 18.（本小题17分）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润()p x （单位：万元）与投入的月研发经费x （1540x ≤≤，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，()2189010p x x x =−+−；当投入月研发经费高于36万元时，()0.454p x x =+．对于企业而言，研发利润率()100%p x y x×，是优化企业管理的重要依据之一，y 越大，研发利润率越高，反之越小． (1)求该企业生产此设备的研发利润率y 的最大值以及相应月研发经费x 的值；(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x 的取值范围．【答案】(1)200%，30(2){}|2536x x ≤≤【详解】（1）解：由题意知，当1536x ≤≤时，2189019010810x x y x x x−+−==−−+82≤−=，当且仅当19010x x =，即30x =时取等号； 当3640x <≤时，0.454540.4x y x x +==+， 540.4y x =+ 在(]36,40上单调递减，540.4 1.936y ∴<+=. 又2 1.9> ，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.（2）由（1）可知，此时月研发经费1536x ≤≤， 于是，令190810 1.9y x x=−−+≥，整理得2619000x x −+≤，解得：2536x ≤≤． 因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是{}|2536x x ≤≤． 19.（本小题17分）设函数2()(1)2(R)f x ax a x a a =+−+−∈(1)若2a =−，求()0f x <的解集．(2)若不等式()2f x ≥−对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围；(3)解关于x 的不等式：()1f x a <−．【答案】(1)R (2)1|3a a ≥(3)分类讨论，答案见解析.【详解】（1）解：由函数2()(1)2(R)f x ax a x a a =+−+−∈，若2a =−，可得2()234f x x x =−+−， 又由()0f x <，即不等式22340x x −+−<，即22340x x −+>，因为94240∆−××<，且函数对应的抛物线开口向上，所以不等式22340x x −+>的解集为R ，即()0f x <的解集为R .（2）解：由()2f x ≥−对一切实数x 恒成立，等价于2R,(1)0x ax a x a ∀∈+−+≥恒成立， 当0a =时，不等式可化为0x ≥，不满足题意．当0a ≠，则满足0Δ0a > ≤ ，即203210a a a > +−≥ ，解得13a ≥， 所以a 的取值范围是1|3a a ≥ ．（3）解：依题意，()1f x a <−等价于2(1)10ax a x +−−<，当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{|1}<x x ．当0a >时，不等式可化为(1)(1)0ax x +−<，此时11a −<， 所以不等式的解集为1{|1}x x a −<<．当0a <时，不等式化为(1)(1)0ax x +−<，①当1a =−时，11a−=，不等式的解集为{|1}x x ≠； ②当10a −<<时，11a −>，不等式的解集为1{|1}x x x a >−<或； ③当1a <−时，11a−<，不等式的解集为1{|1}x x x a ><−或； 综上，当1a <−时，原不等式的解集为1{|1}x x x a ><−或；当1a =−时，原不等式的解集为{|1}x x ≠；当10a −<<时，原不等式的解集为1{|1}x x x a>−<或；当0a =时，原不等式的解集为{|1}<x x ；当0a >时，原不等式的解集为1{|1}x x a −<<．。

山东省2024级高一上学期学情诊断联合考试数 学2024.10注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{R,|3U M x x ==£-或}4x >，则U M =ð（ ）A. {|3x x <-或}4x >B. {}|34x x -<£C. {|3x x £-或x ≥4}D. {}|34x x -<<【答案】B【解析】【分析】根据补集的运算求解即可.【详解】因为{R,|3U M x x ==£-或}4x >，所以{}|34U M x x =-<£ð，故选：B2. 已知命题2:R,2p x x "γ，则命题p 的否定是（ ）A. 2R,2x x "Σ B. 2R,2x x $ΣC. 2R,2x x $Î< D. 2R,2x x "Î<【答案】C【解析】【分析】利用全称量词命题的否定判断即得.【详解】命题2:R,2p x x "γ是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题p 的否定是2R,2x x $Î<.故选：C3. 下列各组函数中是同一个函数是（ ）A. ()f x =()2g x = B. ()211x f x x -=+，()1g x x =-C. ()()21N =-Îf n n n ，()()21N g n n n =+Î D. ()f t t =，()g x =【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域和解析式相等，则为同一函数，对选项逐一分析即可.【详解】对于A ，()f x =定义域为R ，()2g x =的定义域为[0,)+¥，所以()f x =()2g x =不是同一个函数，故A 错误；对于B ，()211x f x x -=+的定义域为{|1}x x ¹-，()1g x x =-的定义域为R ，所以()211x f x x -=+与()1g x x =-不是同一个函数，故B 错误；对于C ，()()21N =-Îf n n n 与()()21N g n n n =+Î解析式不同，所以不是同一个函数，故C 错误；对于D ，()f t t =的定义域为R ，()g x =的定义域为R ，且()g x x ==，所以()f t t =与()g x =是同一个函数，故D 正确.故选：D.4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A. 1y x =+ B. 3y x =- C. 1y x = D. ||y x x =【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.【详解】函数1y x =+不是奇函数，故A 不正确；函数3y x =-是奇函数，但不是增函数，故B 不正确；函数1y x =是奇函数，但不是增函数，故C 不正确；||y x x =22,0,0x x x x ì³=í-<î的图象如图：的的所以函数||y x x =22,0,0x x x x ì³=í-<î是奇函数且是增函数.故选：D5. 已知 12,35a b ££££，则下列结论错误的是（ ）A. a b +的取值范围为[]4,7 B. b a -的取值范围为[]2,3C. ab 的取值范围为[]3,10 D. a b 取值范围为152,3éùêúëû【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】因为12a ££，35b ££，所以47a b £+£，21a -£-£-，14b a £-£，所以a b +的取值范围为[]4,7，b a -的取值范围为[]1,4，故A 正确，B 错误；因为12a ££，35b ££，所以310ab ££，11153b ££，1253a b ££，所以ab 的取值范围为[]3,10，a b 的取值范围为152,3éùêúëû，故C 正确，D 正确.故选：B6. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意R x Î均满足：()()241--=+f x f x x ，则函数()f x 解析式为（ ）A. ()413=+f x xB. ()413=-f x xC. ()113=-+f x x D. ()113=--f x x 【答案】A【解析】【分析】利用方程组法求解析式即可.【详解】由()()241--=+f x f x x ①，可得()()241f x f x x --=-+②，①2´+②得：3()43f x x =+，即4()13f x x =+.故选：A .7. 已知实数1a >，则2881a a a-+-（ ）A. 无最大值B. 有最大值4C. 有最小值6D. 有最小值4【答案】B【解析】【分析】对分式变形，利用基本不等式求解即可得出最大值.【详解】由1a >，则10a ->，()221811881118161111a a a a a a a a a a ---+-+æöæö=-=-++-=--++ç÷ç÷----èøèø46-£=，当且仅当111a a -=-，即2a =时等号成立，所以2881a a a-+-有最大值4.故选：B8. 已知定义在区间[2,2]-上的偶函数()f x ，当[0,2]x Î时，满足对任意的12x x ¹，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，若(2)(2)f m f m +<，则实数m 的取值范围为（ ）A. 2(1,3-- B. 2[1,3-- C. (1,0)- D. 2(,)3-¥-【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定函数()f x 的单调性，再结合偶函数的性质求解不等式.【详解】由1212,[0,2],x x x x "ι，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，得函数()f x 在[0,2]上单调递增，又函数()f x 是[2,2]-上的偶函数，则(2)(2)(|2|)(|2|)f m f m f m f m +<Û+<，因此|2||2|2m m +<£，解22m m +<，得23m <-或2m >，解22m £，得11m -££，于是213m -£<-，所以实数m 的取值范围为2[1,3--.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如果关于x 的不等式220x ax b -+>的解集为{}|x x a ¹，那么下列数值中，b 可取到的数为（ ）A. 3- B. 0 C. 1 D. 3【答案】BCD【解析】【分析】利用三个二次的关系，结合判别式建立了,b a 的关系即可求解判断得答案.【详解】因为关于x 的不等式220x ax b -+>的解集为{}|x x a ¹，所以方程220x ax b -+=有相等实根，因此2440a b -=，解得20b a =³，所以b 可取到的数为0，1，3.故选：BCD10. 若0a b <<，且0a b +<，则下列说法正确的是（ ）A. 1a b <- B. 110a b+<C. 22a b > D. (1)(1)0a b --<【答案】AC【解析】【分析】利用不等式性质，逐项判断即可.【详解】对于A ，由0a b +<，0b >，得10a b +<，则1a b<-，A 正确；对于B ，由0a b <<，得0ab <，又0a b +<，则110a b a b ab++=>，B 错误；对于C ，由0a b +<，0b >，得0b a <<-，因此22a b >，C 正确；对于D ，取11,2a b =-=，满足0a b <<且0a b +<，而(1)(1)10a b --=>，D 错误.故选：AC11. 下列说法不正确的是（ ）A. 若函数()f x 定义域为[1,3]，则函数(21)f x +的定义域为[0,1]B. 若定义域为R 的函数()f x 值域为[1,5]，则函数(21)f x +的值域为[0,2]C. []x 表示不超过x 的最大整数，例如，[0.5]1,[1.1]1-=-=. 已知函数()[]f x x =，则函数()[]f x x =为奇函数D. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x Î-¥时，2()3f x x x =-+，则(0,)x Î+¥时，函数解析式为2()3f x x x=-【答案】BCD【解析】【分析】利用复合函数的定义域、值域判断AB ；举例说明判断C ；利用奇函数的定义求出解析式判断D.【详解】对于A ，函数()f x 定义域为[1,3]，则函数(21)f x +中，1213x £+£，解得01x ££，因此函数(21)f x +的定义域为[0,1]，A 正确；对于B ，函数()f x 的定义域为R ，值域为[1,5]，则函数(21)f x +的定义域为R ，值域为[1,5]，B 错误；对于C ，依题意，(0.5)[0.5]1,(0.5)[0.5]0f f -=-=-==，函数()[]f x x =不为奇函数，C 错误；对于D ，R 的奇函数()f x ，当(,0)x Î-¥时，2()3f x x x =-+，故当(0,)x Î+¥时，(,0)x -Î-¥，22()()[()3()]3f x f x x x x x =--=---+-=+，D 错误.故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设P ，Q 为两个非空实数集合，2{}0,P =，6{}1,Q =，定义集合P Q ´中的元素是a b ´，其中a P Î，b Q Î，则集合P Q ´的真子集个数是_________．【答案】7【解析】【分析】根据给定条件，求出集合P Q ´中的元素个数，进而求出其真子集个数.【详解】集合2{}0,P =，6{}1,Q =，依题意，{0,2,12}P Q ´=，所以集合P Q ´的真子集个数是3217-=.故答案为：713. 已知0,0m n >>且3m n +=，则36m n+的最小值为__________.【答案】3+3+【解析】【分析】根据“1”代换，化简整理可得36212n m m n m n +=+++，然后根据基本不等式，求解即可得出答案.【详解】()3612123m n m n m n m n æöæö+=+=++ç÷ç÷èøèø212n m m n =+++33³+=+，当且仅当230,0n m m n m n m n ì=ïï+=íï>>ïî，即0,0m n m n ì=ïï=íï>>ïî时等号成立.所以，36m n+的最小值为3+.故答案为：3+.14. 设函数2()2f x x x =-，()2g x mx =+，若对任意的1[1,2]x Î-，存在0[1,2]x Î-，使得10()()g x f x =，则实数m 的取值范围是___________．【答案】32m £-或3m ³的【解析】【分析】求出函数()f x 在[1,2]-上的值域，再分类讨论求解函数()g x 在[1,2]-上的值域，利用值域的包含关系列式求出范围.【详解】令函数()f x 在[1,2]-上的值域为A ，函数()g x 在[1,2]-上的值域为B ，由对任意的1[1,2]x Î-，存在0[1,2]x Î-，使得10()()g x f x =，得A B Í，函数22()2(1)1f x x x x =-=--在[1,2]-上的值域[1,3]A =-，当0m >时，函数()2g x mx =+在[1,2]-上递增，值域[2,22]B m m =-++，则21223m m -+£-ìí+³î，解得3m ³，因此3m ³；当0m =时，()2g x =，不符合题意，；当0m <时，函数()2g x mx =+在[1,2]-上递减，值域[22,2]B m m =+-+，则22123m m +£-ìí-+³î，解得32m £-，因此32m £-，所以实数m 的取值范围是32m £-或3m ³.故答案为：32m £-或3m ³四､解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知集合11{|}A x a x a =-££+，2{|230}B x x x =--£.（1）当3a =时，求A B U ；（2）若“x A Δ是“x B Δ的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|14}x x -££（2）02a ££【解析】【分析】（1）把3a =代入，解不等式求出集合B ，再利用并集定义求解即得.（2）利用充分不必要条件的定义，结合集合包含关系列式求解即得.【小问1详解】当3a =时，{|24}A x x =££，的由2230x x --£，解得13x -££，则{|13}B x x =-££，所以{|14}B x x A -££È=.【小问2详解】由“x A Δ是“x B Δ的充分不必要条件，得A B ，因为11{|}A x a x a =-££+非空，{|13}B x x =-££，则1113a a -³-ìí+£î（等号不同时成立），解得02a ££，所以实数a 的取值范围是02a ££.16. 二次函数()f x 满足()()121f x f x x +-=-，且()04f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若[]1,2x Î-时，()y f x =的图象恒在y x m =-+图象的上方，试确定实数m 的取值范围．【答案】（1）()224f x x x =-+ （2）15(,4-¥【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）由题意得：24x x m -+>在[]1,2-上恒成立，令2()4g x x x =-+，即[]1,2x Î-时，min ()g x m >，利用单调性求出()g x 的最小值即可求解.【小问1详解】设()2f x ax bx c =++，又()04f =，4c \=，所以()24f x ax bx =++，()()()()221114(4)f x f x a x b x ax bx +-=++++-++222ax ax a bx b ax bx =++++--221ax a b x =++=-，221a a b =ì\í+=-î，解得12a b =ìí=-î，所以()224f x x x =-+.【小问2详解】由题意得224x x x m -+>-+在[]1,2-上恒成立，即24x x m -+>在[]1,2-上恒成立，令2()4g x x x =-+，即[]1,2x Î-时，min ()g x m >，22115()424g x x x x æö=-+=-+ç÷èø，所以()g x 在11,2éù-êúëû上单调递减，在1,22éùêúëû上单调递增，所以min 115()()24g x g ==，所以154m <，所以实数m 的取值范围为15(,)4-¥.17. 吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x 万盒，需投入成本()g x 万元，当产量小于或等于50万盒时，221018009000()x x g x x-+=；当产量大于50万盒时，2()603500g x x x =++.若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式；（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【答案】（1）29000101600,0501403700,50x x y xx x x ì--+<£ï=íï-+->î （2）70万盒，利润最大.【解析】【分析】（1）利用销售收入减去成本，分段求出利润与产量的函数关系式；（2）分别用基本不等式和配方法求两段函数的最大值，得出最大利润及满足的条件.【小问1详解】当产量小于或等于50万盒时，2210180090009000200200101600x x y x x x x-+=--=--+，当产量大于50万盒时，222002006035001403700y x x x x x =----=-+-，故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为29000101600,0501403700,50x x y x x x x ì--+<£ï=íï-+->î.【小问2详解】当050x <£时，900010160016001000y x x =--+£-=，当且仅当900010x x=，即30x =时等号成立.故当30x =时，y 取得最大值1000.当50x >时，221403700(70)1200y x x x =-+-=--+，故当70x =时，y 取得最大值1200.因为10001200<，所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获利润最大.18. 已知函数()24ax b f x x+=-是定义在()2,2-上的奇函数，且()213f =．（1）求实数a 和b 的值；（2）判断函数()f x 在()2,2-上单调性，并证明你的结论；（3）若()()2110f t f t -+-<，求t 的取值范围．【答案】（1）2a =，0b =（2）函数()f x 在()2,2-上是增函数；证明见解析（3）01t <<【解析】【分析】（1）由条件可得()00f =，先求出b 的值，然后根据()213f =，可求出a .（2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可.（3）由条件先将不等式化为()()211f t f t -<-，结合函数的定义域和单调性可得出t 满足的不等式，从而得出答案.【小问1详解】由函数()24ax b f x x +=-是定义在()2,2-上的奇函数，所以()004b f ==得0b =，的又因为()21413a f ==-，所以2a =，经检验，当2a =，0b =时，()f x 是奇函数，所以2a =，0b =【小问2详解】由（1）可知()224x f x x=-，设1222x x -<<<所以()()()()()()2212211212222212122424224444x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----()()()()()()()()2212121212122222121244224444x x x x x x x x x x x x x x -+--+=×=×----因为1222x x -<<<，所以，221212120,40,40,40x x x x x x <---+>>>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()2,2-上是增函数．【小问3详解】由函数()f x 是定义在()2,2-上的奇函数且()()2110f t f t -+-<，则()()()2111f t f t f t -<--=-，所以2221221211t t t t ì-<-<ï-<-<íï-<-î，解得01t <<，所以t 的取值范围是01t <<.19. 定义在R 上的函数()y f x =，对任意,R x y Î都有()()()f x y f x f y +=+，且当x >0时，()0f x >.（1）求证：()f x 为奇函数；（2）求证：()f x 为R 上的增函数；（3）已知(1)2f -=-，解关于x 的不等式2((()))2f ax f x f ax -<-.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据给定等式，利用赋值法，结合奇函数的定义推理即得.（2）根据给定条件，利用增函数的定义推理得证.（3）变形给定不等式，利用函数单调性脱去法则，再分类讨论求解含参不等式即可.【小问1详解】对任意,R x y Î都有()()()f x y f x f y +=+，取0x y ==，则(0)(0)(0)f f f =+，解得(0)0f =，对任意R x Î，令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-，于是()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数.【小问2详解】任意1212,R,x x x x Î<，则210x x ->，而当x >0时，()0f x >，于是21()0f x x ->，21211211()[()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=+->，所以()f x 为R 上的增函数.【小问3详解】由（1）及(1)2f -=-，得(1)2f =，不等式22(()()2((1)()()))f ax f x f ax f ax f f ax f x -<-Û+<+，则2(1)()f ax f ax x +<+，因此21(1)ax a x +<+，整理得(1)(1)0ax x --<，当0a =时，不等式为(1)0x --<，解得1x >；当0a <时，不等式为1(1)0x x a-->，解得1x a<或1x >；当0a >时，不等式为1(1)0x x a --<，若1a =，则不等式2(10)x -<无解，若01a <<，解得11x a <<，若1a >，解得11x a<<，所以当0a <时，原不等式的解集为1{|1}x x x a <>或；当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x >；当01a <<时，原不等式的解集为1{|1}x x a <<；当1a =时，原不等式的解集为Æ；当1a >时，，原不等式的解集为1{|1}x x a <<.。

山东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列四组中表示相等函数的是 ( )A．B．C．D．2.点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为A．B．C．D．3.下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（）A．B．C．D．4.下列式子正确的是（）A．B．C．D．5.三个数，，的大小顺序为（）A．B．C．D．6.为了得到函数的图像，只需把函数的图像( )A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7.方程的根所在区间为（）A．B．C．D．8.函数＋1（a＞0，a≠1）的图象必经过定点（）A．（0，1）B．（2，1）C．（2，2）D．（2，3）9.已知向量、、，且满足＋＋＝，||＝3，||＝4，||＝5，设与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则它们的大小关系是（）A．B．C．D．10.函数（且）的图象为（）11.若，则＝（）A．B．C．D．12.如下图，在△ABC中，设＝，＝，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若＝m ＋n，则（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，则．2.若幂函数的图象经过点（，），则该函数在（0，上是函数（只填单调性）．3.若集合，，则：A∩B＝．4.已知＝(1,2)，＝(-2,k)，若∥(+)，则实数的值为．5.．6.已知一扇形所在圆的半径为10cm，扇形的周长是45cm，那么这个扇形的圆心角为弧度．7.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠，③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠；某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是元.8.已知函数，给出下列四个说法：①若，则，②点是的一个对称中心，③在区间上是增函数，④的图象关于直线对称．其中正确说法的序号是 .(只填写序号)三、解答题1.（本小题满分12分）已知||＝1，||＝；(I)若.＝，求与的夹角；(II)若与的夹角为，求|＋|.2.（本小题满分12分）已知函数，（Ⅰ）确定函数的单调增区间；（Ⅱ）当函数取得最大值时，求自变量的集合．3.（本小题满分12分）已知函数在一个周期内的部分函数图象如图所示，（Ｉ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.4.（本小题满分14分）已知为锐角的三个内角，向量，，且⊥．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求下列函数：的值域．山东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.下列四组中表示相等函数的是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】A.的定义域不同；B.是同一函数；C.的定义域不同；D.的值域不同。

2023-2024学年上学期期末模拟考试01高一数学（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教A 版2019必修第一册全部。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =,集合{}0,3,5M =,{}1,4,5N =,则集合U M N = ð()A ．{}5B ．{}0,3C ．{}0,2,3,5D ．{}0,1,3,4,5【答案】C【详解】全集{}0,1,2,3,4,5U =,集合{}1,4,5N =,则集合{}0,2,3U N =ð,且{}0,3,5M =所以集合{}0,2,3,5U M N ⋃=ð.故选：C2．“0a b >>”是“11a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由0a b >>，得110b a a b ab--=<，即11a b <，但若11a b <，取1,1a b =-=，则0a b >>不成立，所以“0a b >>”是“11a b <”的充分不必要条件；故选:A.3．某同学居住地距离学校1km ，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】该同学从居住地出发，一开始距离学校距离为1km ，排除C 、D ，先跑步3分钟，再买早餐耽搁1分钟，最后步行，速度比跑步要慢一些，所以相对而言，A 选项更合适.故选：A.4．设lg 5a =，0.1e b =，0.12c =，则（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．b a c>>【答案】B【详解】函数0.1y x =在(0,)+∞上单调递增，而e 21>>，因此0.10.10.1e 211>>=，而lg5lg101a =<=，所以b c a >>.故选：B5．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．4.1小时B ．4.2小时C ．4.3小时D ．4.4小时【答案】B【详解】设经过x 小时，血液中的酒精含量为y ，则()0.3125%0.30.75xx y =⨯-=⨯.由0.30.750.09x ⨯≤，得0.750.3x ≤，则lg 0.75lg 0.3x ≤.因为lg 0.750<，则lg 0.3lg310.47715234.184 4.2lg 0.75lg3lg 40.4770.602125x --≥=≈==<--，所以开车前至少要休息4.2小时.故选：B.6．要得到函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数()cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（）A ．向右平移3π个单位长度B ．向左平移3π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度【答案】A【详解】()πsin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()55sin 2sin 2612g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ，5πππ12123-=，所以()g x 的图象向右平移π3得到()f x 的图象.故选：A.7．设函数()()2lg 1f x x =+，则使得()()211f x f x ->+成立的x 的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()(),02,-∞+∞ 【答案】D【详解】因为()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，因为()()211f x f x ->+，所以22211x x ->+，即2241412x x x x +->++，所以2360x x ->，所以0x <或2x >故选：D.8．已知函数()π2sin 1(0)6f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在[]1,7x ∈上恰有3个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．π2π,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2π,2π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．8π3π,217⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．8π4π,217⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【详解】令()π2sin 106f x x ω⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()ππ2π+Z 66x k k ω+=∈或()π5π2π+Z 66x k k ω+=∈，即()2πZ k x k ω=∈或()2π2πZ 3k x k ωω=+∈，因为函数()f x 在[]1,7上恰有3个零点，所以2π12π2π2π112π2π3+72π8π72π8π3+>74π2π372π4π13k k k k k k Z k k k ≥ωωωω≤ωωωωωωωωωω⎧⎪⎧<+≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪∈+≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪+>⎪⎪⎩⎪-<⎩，或，，第一个不等式组解得2π2π2π3118π4π02π8π632177212π4π77k k k k k k ωωωωω>⎧⎪⎪≤+⎪⎪⇒-≤<⇒=≤<⎨≥+⎪⎪⎪<+⎪⎩，，第二个不等式组解得2π2π2π77112π8π67214π2π3k k k k Z k k ωωωωω≤⎧⎪⎪≥+⎪⎪⇒≤<⇒∉∈∅⎨<+⎪⎪⎪>-⎪⎩，所以所求取值范围为8π4π,217⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知幂函数()f x 的图象经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在定义域上为减函数C ．函数()f x 的值域为RD ．当210x x >>时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】AD【详解】设幂函数为()f x xα=将12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得122α=，故1α=-，所以()1f x x =，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为()1()f x xf x =--=-，故函数为奇函数，故A 正确；函数()1f x x=在()(),0,0,-∞+∞上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B 错误；显然()f x 的值域为(,0)(0,)-∞+∞ ，故C 错误；当210x x >>时，()()()()21212121212121212121211120222222f x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x ++-++⎛⎫-=-=-=> ⎪+++⎝⎭，即满足1212()()(22f x f x x x f ++>，故D 正确故选：AD10．对于实数,,a b c ，下列说法正确的是（）A ．若0a b <<，则11a b <B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0a b >>，则2ab a <D ．若c a b >>，a bc a c b<--【答案】BC【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0a b ->->，所以110a b <-<-，所以11a b>，故A 错误；对于B ，因为22ac bc >，所以0c ≠，20c >，所以a b >，故B 正确；对于C ，因为0a b >>，所以0ab <，20a >，所以2ab a <，故C 正确；对于D ，取5,4,1c a b ===，满足c a b >>，而411454514a b c a c b ==>==----，故D 错误.故选：BC.11．已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列四个结论中，正确的有（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于直线π8x =对称C ．函数()f x 的图象关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 在π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】AD【详解】函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 选项正确；由()ππ2πZ 42x k k -=+∈，解得函数()f x 的图象的对称轴方程为()3ππZ 82k x k =+∈，当0k =时，得函数()f x 的图象关于直线3π8x =对称，BC 选项错误；π3π,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,422x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是正弦函数的单调递增区间，所以函数()f x 在π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 选项正确.故选：AD12．已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递增区间为(][),01,-∞+∞B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点【答案】CD【详解】作出函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象，如图所示：对于A ，由图象可得()y f x =的单调递增区间为(][),0,1,∞∞-+，故A 不正确；对于B ，因为()f x a =有三个不等实根，即()y f x =与y a =有三个不同交点，所以(0a ∈,2]，故B 不正确；对于C ，则题意可知：120x -<≤，2223log log x x -=，所以231x x =，所以1231(2x x x x =∈-,0]，故C 正确；对于D ，令()f x t =，则有()y f t =，令0y =，则有2t =-或1t =，当2t =-时，即()2f x =-，即22x +=-，解得4x =-；当1t =时，即()1f x =，所以21x +=或2|log |1x =，解得=1x -，或12x =或2x =，所以()y f t =共有4个零点，即()(())g x f f x =有4个零点，故D 正确．故选：CD ．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若“x ∃∈R ，使得2210x mx -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是．【答案】2,2⎡⎣-【详解】因为“x ∃∈R ，使得2210x mx -+<”是假命题，所以“x ∀∈R ，使得2210x mx -+≥”是真命题，所以280m ∆=-≤，解得22,2m ⎡⎤∈-⎣⎦，故答案为:2,2⎡⎣-.14．若0x >，0y >，且111x y+=，则4x y +的最小值为．【答案】9【详解】由于0x >，0y >，且111x y+=，则()114441459x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3x =，32y =时取等号．故4x y +的最小值为9．故答案为：9．15．若函数()f x 满足()()f x f x λλλ++=，则称函数()f x 为“λ类期函数”．已知函数()g x 为“－2类期函数”，且曲线()y g x =恒过点P ，则点P 的坐标为．【答案】2,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭【详解】由题可知，()()222g x g x +--=-，令22x x =--得，23x =-，故22233g g ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，213g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以曲线()y g x =恒过点2,13P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：2,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知函数()()2lg 1,165,0x x f x x x x ⎧--<-⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数2()[()]()5g x f x bf x =-+有7个零点，则实数b 的取值范围是．【答案】(6,)+∞【详解】函数()f x 的图象如下图所示：令()f x t =，函数2()[()]()5g x f x bf x =-+可化为25y t bt =-+，函数2()[()]()5g x f x bf x =-+有7个零点，等价于方程2()[()]()50g x f x bf x =-+=有7个不相等的实根，当0=t 时，2[()]()50f x bf x -+=可有三个不相等的实根，当(0,5]∈t 时，2[()]()50f x bf x -+=可有四个不相等的实根，当(5,)t ∈+∞时，2[()]()50f x bf x -+=可有三个不相等的实根，设250t bt -+=的两根为12,t t ，且12t t <，若120,(0,5]t t =∈，方程250t bt -+=无零根，不符合题意，若12(0,5),(5,)t t ∈∈+∞，()25y g t t bt ==-+，由题意可知：()()()2Δ2000506525550b g b g b ⎧=-->⎪=>⇒>⎨⎪=-+<⎩，若125,(5,)t t =∈+∞，则有255506b b -+=⇒=，此时2650t t -+=，这时21t =，显然不满足2(5,)t ∈+∞，综上所述：实数b 的取值范围是(6,)+∞，故答案为：(6,)+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知全集U =R ，集合502x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{}11,B x a x a a =-<<+∈R .(1)当2a =时，求()()U U A B ⋂痧；(2)若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【详解】（1）因为{}50252x A xx x x ⎧⎫-=≤=<≤⎨⎬-⎩⎭，当2a =时，{}13B x x =<<，因为全集U =R ，则{2U A x x =≤ð或}5x >，{1U B x x =≤ð或}3x ≥，因此，()(){1U U A B x x ⋂=≤痧或}5x >.（2）易知集合{}11,B x a x a a =-<<+∈R 为非空集合，因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则BA ，所以，1215a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得34a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是{}34a a ≤≤.18．已知()723sin ,sin 105ααβ=+=，其中ππ0,,,022αβ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求β；(2)求()sin 2αβ-．【详解】（1）因为ππ0,,,022αβ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,22αβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又因为()3sin 5αβ+=，且0,2⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭παβ，所以()4cos 5αβ+=．因为sin α，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=则()()()sin sin sin cos cossin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455=-=，又因为π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以π4β=-．（2）由（1）可得2cos 10α=，π4β=-，因为7227sin22sin cos 2101025ααα==⨯⨯=，则224cos212sin 25αα=-=-，所以()sin 2sin2cos cos2sin αβαβαβ-=-7242525⎛⎛⎫=-⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭19．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =+.(1)求函数()f x 在R 上的解析式；(2)若函数()f x 在区间[1,1]m --单调递增，求实数m 的取值范围.【详解】（1）解：设0x >，则0x -<，所以()22f x x x -=-，因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()22f x f x x x =--=-+，又因函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，所以函数()f x 在R 上的解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩.（2）解：作出函数()y f x =的图象，如图所示，由函数图象可知，()y f x =在[]1,1-上单调递增，要使函数()y f x =在区间[1,1]m --上单调递增，则满足11111m m ->-⎧⎨-<-≤⎩，解得02m <≤，所以实数m 的取值范围为(]0,2.20．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)当π5π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值．【详解】（1）因为()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ，由正弦函数的单调性可令()πππ2π22πZ 262k x k k -+≤-≤+∈，解之得πππ,π63x k k ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，即()f x 的单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当π5π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,663x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的单调性可知：当ππ266x -=，即π6x =时，()f x 取得最小值ππ2sin 166f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值ππ2sin 232f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当π5π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为2，最小值为1.21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()253,0250,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）．(1)求单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；(2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【详解】（1）依题意可得，()()()275330,021********,251x x x f x W x x x x x x⎧+-≤≤⎪=-=⎨-<≤⎪+⎩，所以()27530225,0275030,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩.（2）当02x ≤≤时，2()753022,5f x x x =-+图象开口向上，对称轴为15x =，所以函数2()753022,5f x x x =-+在10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，1,25⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，所以max ()(2)465f x f ==；当25x <≤时，75025()30780(1)78048011x f x x x x x =-=-++≤-=++，当且仅当2511x x=++，即4x =时取得等号，因为465480<，所以当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元.22．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.(1)令()π3g x f x ⎛=+⎫ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性；(2)是否存在实数m 满足对任意[]11,1x ∈-，任意2x ∈R ，使()()1111244225x x x x m f x --++-+≥成立.若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由.【详解】（1）()f x 的最小正周期为2ππ,0,π,2ωωω>∴=∴=.函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，πππ,π,66k k k ϕϕ∴+==-∈Z .ππ,26ϕϕ<∴=-，()()πππ2sin 2,2sin 22cos2632f x x g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易得()g x 定义域为R ，()()()2cos 22cos2,g x x x g x -=-==∴ 函数()g x 为偶函数.（2）由（1）可知()()2max π2sin 2,26f x x f x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴实数m 满足对任意[]11,1x ∈-，任意2x ∈R ，使得()()1111244225x x x x m f x --++-+≥成立即()1111442252x x x x m --++-+≥成立令()111144225x x x x y m --=++-+，设1122x x t --=，那么()111122442222x x x x t --+=-+=+[]1331,1,,22x t ⎡⎤∈-∴∈-⎢⎥⎣⎦，可等价转化为：250t mt ++>在33,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立.令()25h t t mt =++，其图象对称轴33,,222m t t ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，∴①当322m -≤-时，即min 32933,()0242m m h t h ⎛⎫≥=-=-> ⎪⎝⎭，解得2936m ≤<；②当33222m -<-<，即33m -<<时，2min ()5024m m h t h ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，解得33m -<<；③当322m ≤-，即3m ≤-时，min 3293()0242m h t h ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，解得2936m -<≤-；综上可得，存在m ，且m 的取值范围是2929,66⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：函数不等式恒成立的一些结论：（1）12,x A x B ∀∈∀∈，12()()f x g x >恒成立min max ()()x g x f ⇔>；（2）12,x A x B ∃∈∀∈，12()()f x g x >恒成立max max ()()f x g x ⇔>；（3）12,x A x B ∀∈∃∈，12()()f x g x >恒成立min min ()()f x g x ⇔>；。

2024-2025学年山东省名校考试联盟高一上学期10月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“x为自然数”是“2x+1为自然数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知集合M={x∈Z||x|≤2},N={x|−2≤x<0}，则M∩N=( )A. {−1}B. {−2,1,2}C. {−2,−1}D. {−2}3.已知命题p:∀x∈R,|x|>0；命题q:∃x>0,x2=x，则( )A. p和q都是真命题B. ¬p和q都是真命题C. p和¬q都是真命题D. ¬p和¬q都是真命题4.下列不等式中成立的是( )A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若a>b>0，则a2>b2C. 若a<b<0，则a2<ab<b2D. 若a<b<0，则1a <1b5.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|x∈A}，则∁A(A∩B)=( )A. {1,4}B. {3,4}C. {1,2,3}D. {2,3,5}6.如果0<a<b，那么下列不等式正确的是( )A. ab<a+b2<a<b B. a<ab<a+b2<bC. ab<a<a+b2<b D. a<a+b2<ab<b7.正确表示图中阴影部分的是( )A. (∁U A)∪BB. (∁U A)∪(∁U B)C. ∁U(A∪B)D. ∁U(A∩B)8.若a>0,b>0，则1a +ab2+2b的最小值为()．A. 2B. 22C. 4D. 6二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

山东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知则A．B．C．D．2.与集合表示同一集合的是A．B．C．D．3.棱长为1的正方体的外接球的表面积为A．B．C．D．4.下列选项中可以作为函数的图象的是（A）（B）（C）（D）5.过点且与直线垂直的直线方程为A．B．C．D．6.函数，则函数的定义域为A．B．C．D．7.设是两不同直线，是两不同平面，则下列命题错误的是A．若,∥,则B．若，，∥，则∥C．若∥，∥则∥D．若，∥，，则8.函数在区间单调递增，则实数的取值范围为A．B．C．D．9.，则A．B．C．D．10.，则的大小关系为A．B．C．D．11.对于映射,其中,已知中0的原象是1，则1的原象是A．B．C．或中的一个D．不确定12.设是函数的零点，若有，则的值满足A．B．C．D．的符号不确定二、填空题1.直线与直线平行，则的值为_______________.2.一正多面体其三视图如图所示，该正多面体的体积为___________.3._____________.4.刘女士于2008年用60万买了一套商品房，如果每年增值10%，则2012年该商品房的价值为_____________万元.(结果保留3个有效数字)三、解答题1.(本小题满分12分)已知全集,,.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求.2.(本小题满分12分)已知函数满足.（Ⅰ）求的解析式及其定义域；（Ⅱ）写出的单调区间并证明.3. (本小题满分12分)已知的三个顶点.（Ⅰ）求边所在直线方程；（Ⅱ）边上中线的方程为，且,求的值.4. (本小题满分12分)如图，四棱锥的底面是菱形，，面，是的中点, 是的中点.（Ⅰ）求证：面⊥面；（Ⅱ）求证：∥面.5.(本小题满分12分)已知函数.（Ⅰ）若为偶函数，求的值；（Ⅱ）若在上有最小值9，求的值.6. (本小题满分14分)某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第天()的销售价格(单位：元)为，第天的销售量为，已知该商品成本为每件25元.（Ⅰ）写出销售额关于第天的函数关系式；（Ⅱ）求该商品第7天的利润；（Ⅲ）该商品第几天的利润最大？并求出最大利润.山东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知则A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可知，，所以.【考点】本小题主要考查集合的运算.点评：列举法表示的集合的运算，可以借助韦恩图辅助解决；描述法表示的集合的运算，可以借助数轴辅助解决.2.与集合表示同一集合的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，该集合表示的是的解，所以与它表示同一集合的是.【考点】本小题主要考查集合的表示.点评：对于集合，要弄清楚集合中的元素是什么，是数还是点，本小题中的集合还可以写成.3.棱长为1的正方体的外接球的表面积为A．B．C．D．【答案】C【解析】棱长为1的正方体的体对角线的长度是它的外接球的球直径，所以球半径为，所以球的表面积为【考点】本小题主要考查正方体的外接球，球的表面积.点评：解决本小题的关键是根据正方体的体对角线的长度是它的外接球的球直径求出球的半径.4.下列选项中可以作为函数的图象的是（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】以替换，可得，函数是偶函数，所以函数的图象关于轴对称.【考点】本小题主要考查函数的奇偶性和图象.点评：解决判断函数的图象的问题，一般都根据函数的性质（奇偶性、周期性、对称性等）进行判断.5.过点且与直线垂直的直线方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两直线垂直，则斜率乘积等于-1，所以与直线垂直的直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线方程为，即.【考点】本小题主要考查直线的关系，和直线的方程.点评：两条直线垂直，则斜率乘积等于-1，但是还要注意如果一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在，则这两条直线也垂直.6.函数，则函数的定义域为A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，即函数的定义域为，所以，即函数的定义域为.【考点】本小题主要考查函数的定义域.点评：本小题也可以先求的解析式，再令解析式有意义进行求解.7.设是两不同直线，是两不同平面，则下列命题错误的是A．若,∥,则B．若，，∥，则∥C．若∥，∥则∥D．若，∥，，则【答案】C【解析】当相交时，只要平行与的交线也能得到∥，∥，所以C不正确.【考点】本小题主要考查空间直线、平面间的位置关系.点评：要解决此类问题，需要充分发挥空间想象能力，也要紧扣判定定理和性质定理，定理中要求的条件缺一不可.8.函数在区间单调递增，则实数的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的图象是开口向上的抛物线，以为对称轴，在上单调递增，因为在区间单调递增，所以【考点】本小题主要考查二次函数的单调性.点评：二次函数的单调性是经常考查的内容，二次函数的图象是抛物线，以为对称轴，要结合图象数形结合解决问题.9.，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，，所以【考点】本小题主要考查分段函数的求值.点评：解决分段函数求值问题，看清自变量所属的区间，依次代入求值即可.10.，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的单调性可知，，所以.【考点】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性.点评：解决此类比较大小的问题，要充分灵活的利用指数函数和对数函数的单调性，有时还要借助0或1等作为中间量进行比较.11.对于映射,其中,已知中0的原象是1，则1的原象是A．B．C．或中的一个D．不确定【答案】A【解析】根据映射的定义可知，因为中0的原象是1，所以1的原象是2和3.【考点】本小题主要考查映射的定义.点评：映射要求集合A中的任一元素在集合B中有唯一的元素和它对应，所以1的原象必须是2和3.12.设是函数的零点，若有，则的值满足A．B．C．D．的符号不确定【答案】C【解析】在同一坐标系中画出函数和的图象，它们的交点的横坐标即为，从图象上可以看出，如果，则，所以.【考点】本小题主要考查函数的零点，函数的图象.点评：此类问题直接求解时求不出来的，要画出图象，数形结合解决问题，还要注意灵活转化.二、填空题1.直线与直线平行，则的值为_______________.【答案】【解析】因为直线与直线平行，所以，解得的值为.【考点】本小题主要考查两条直线平行的应用.点评：本小题也可以先表示出斜率，再利用斜率相等求解，但是不要忘记考虑斜率不存在的情况.2.一正多面体其三视图如图所示，该正多面体的体积为___________.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为1，所以该正三棱柱的体积为【考点】本小题主要考查三视图，体积计算.点评：解决与三视图有关的问题，关键是根据三视图正确还原几何体.3._____________.【答案】【解析】【考点】本小题主要考查指数和对数的混合运算.点评：进行指数对数的混合运算，要灵活充分地利用指数和对数的运算性质进行计算.4.刘女士于2008年用60万买了一套商品房，如果每年增值10%，则2012年该商品房的价值为_____________万元.(结果保留3个有效数字)【答案】【解析】根据题意可得，2012年该商品房的价值为【考点】本小题主要考查指数函数的综合应用.点评：应用函数解决实际问题的关键是读懂题意，根据题意正确列出函数解析式，将实际问题转化为熟悉的数学问题解决.三、解答题1.(本小题满分12分)已知全集,,.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题意可知，……2分，……4分所以. ……6分（Ⅱ）因为，……9分所以. ……12分【考点】本小题主要考查集合的运算.点评：求解集合的运算的题目，要借助数轴辅助解决问题.2.(本小题满分12分)已知函数满足.（Ⅰ）求的解析式及其定义域；（Ⅱ）写出的单调区间并证明.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）函数在区间单调递减,用函数单调性的定义证明即可.【解析】（Ⅰ）令，……2分则，……4分∴，∴. ……6分（Ⅱ）函数在区间单调递减. ……7分设，，……8分， ------10分当时，∴；同理，当时，，∴函数在区间单调递减. ……12分【考点】本小题主要考查函数的解析式，单调性.点评：换元法求函数的解析式时，要注意换元前后自变量的取值范围是否发生了变化；利用定义证明函数的单调性时，要严格按照取值——作差——变形——判号——结论几个步骤进行，变形要变的彻底.3.(本小题满分12分)已知的三个顶点.（Ⅰ）求边所在直线方程；（Ⅱ）边上中线的方程为，且,求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）根据两点间的斜率公式可知，……2分根据直线的点斜式方程有，∴边所在直线方程为. ……4分（Ⅱ），……5分，，……6分∴，或，……8分所以或，……10分【考点】本小题主要考查直线方程的求解和应用.点评：求解直线方程时，要灵活运用直线方程的五种形式，更要注意各自的适用范围和限制条件；另外，点到直线的距离公式在解题时经常用到，要灵活应用.4.(本小题满分12分)如图，四棱锥的底面是菱形，，面，是的中点, 是的中点.（Ⅰ）求证：面⊥面；（Ⅱ）求证：∥面.【答案】（Ⅰ）先由为正三角形得出，再由面证出，进而由面面垂直的判定定理可证结论（Ⅱ）先由∥且证出∥，再由线面平行的判定定理可证结论.【解析】（Ⅰ）∵底面是菱形，，∴为正三角形，是的中点, ，，……2分面,，∴，……4分∴，∵,∴面⊥面. ……6分（Ⅱ）取的中点，连结，，……8分∵是中点，∴∥且∴与平行且相等，∴∥, ……10分∵,∴∥面. ……12分【考点】本小题主要考查面面垂直和线面平行的证明.点评：此类问题，主要是考查学生的空间想象能力和对定理的掌握，解决此类问题，要紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中的条件要一一列举出来，缺一不可.5.(本小题满分12分)已知函数.（Ⅰ）若为偶函数，求的值；（Ⅱ）若在上有最小值9，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）由题意可知，因为函数为偶函数，所以二次函数函数的对称轴为，……2分∴. ……4分（Ⅱ）,对称轴,当即时，，; ……6分当即时，，无解; ……8分当即时，，; ……10分【考点】本小题主要考查函数的性质和二次函数在闭区间上的最值问题.点评：函数的性质通常在解题过程中经常用到，要灵活应用；解决二次函数在闭区间上的最值问题时，主要是根据对称轴进行分类讨论，讨论时要借助二次函数的图象，还要保证分类要不重不漏.6.(本小题满分14分)某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第天()的销售价格(单位：元)为，第天的销售量为，已知该商品成本为每件25元.（Ⅰ）写出销售额关于第天的函数关系式；（Ⅱ）求该商品第7天的利润；（Ⅲ）该商品第几天的利润最大？并求出最大利润.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）元（Ⅲ）第6天利润最大，最大利润为1050元【解析】（Ⅰ）根据题意可知销售额关于第天的函数关系式为：……5分（Ⅱ），所以商品第7天的利润为元. ……8分（Ⅲ）设该商品的利润为,……11分当时，,当时，,当时，,∴第6天利润最大，最大利润为1050元. ……14分【考点】本小题主要考查分段函数在实际问题中的应用.点评：本小题是应用函数知识解决实际问题，解题关键是根据题意，选择合适的数学模型，写成函数解析式，将实际问题转化为熟悉的数学问题解决,另外还要注意实际问题本身所含的定义域.。

山东省重点中学2024学年高三数学第一学期期末联考模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i2．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）A ．当8n =时，该命题不成立B ．当8n =时，该命题成立C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立3．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元4．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．325．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c ,0）（c ＞0）5线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为5 ）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=6．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年7．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．8．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则AB =（ ）A ．[-1,0]B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞9．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+=10．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列11．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．15412．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年度第一学期联考高一数学试题7.若31323221,51,21⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a ,则a ，b ，c 的大小关系是()A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c8.若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,0-B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

12．对任意两个实数,a b ，定义{},,min ,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若()22f x x =-，()2g x x =，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（）A ．函数()F x 是偶函数B ．方程()0F x =有三个解C ．函数()F x 在区间[1,1]-上单调递增D ．函数()F x 最大值为1三、填空题：本题共4小题，前三小题每小题5分，第四小题第一个空2分，第二个空3分，共20分。

16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()22f x x ax a =-++，其中a ∈R ．（1）当1a =时，(1)f -=__________；（2）若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17.（10分）已知集合{|24}A x x =≤<，{|3782}B x x x =-≥-，求(1)A∩B，A∪B.(2)R ()A B ⋃ð,()A BR ð18.（12分）计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

山东省单县单州一中2024-2025学年高一上学期第二次调研测试数学试卷一、单选题1．已知集合()(){}{}N 12|,|702A x x x B x x =∈+-≤=≤，则A B ⋂为（）A ．{}1,0,1,0-B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．若,R a b ∈，则下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b ≠，则22a b ≠C ．若a b <，则22a b <D ．若a b >，则22a b >3．已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（）A ．()22f x x x=+B ．()268f x x x =++C ．()24f x x x=+D ．()286f x x x =++4．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 50110250种植成本Q150108150根据上表数据，函数①Q at b =+，②2Q at bt c =++，③t Q a b =⋅，④log b Q a t =．能够描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系是（）A ．①B ．②C ．③D ．④5．已知0x >，则423x x--的最大值是（）．A ．2+B ．2-C ．2-D ．2-6．已知()2lg 2lg lg x y x y -=+，则x y=（）A ．18B ．1C ．4D ．1或47．4:4x y p xy +>⎧⎨>⎩是2:2x q y >⎧⎨>⎩的（）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知0m n >≥且631m n m n+=+-，则3m n +的最小值为（）A ．12B ．C ．27D ．二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若集合{}1,0,1M =-，则满足条件M N M ⋃=的集合N 的个数为8B ．若命题:p x 和y 都是有理数，命题:q x y +是有理数，则p 是q 的必要不充分条件C ．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0D ．若集合{}10A x ax =+=，{}1,1B =-且A B ⊆，则1a =±或010．若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．1xy >11．设()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意0,0x y >>，都有()()()xf f x f y y=-，且当1x >时，()0f x <，又1()24f =.则（）A ．()10f =B ．()f x 在(0,)+∞上为增函数；C ．()()()f xy f x f y =+D ．()(5)2f x f x +-≥-解集为{|01x x <≤或45}x ≤<三、填空题12．若命题“存在R x ∈，2390ax ax -+≤”为假命题，则实数a 的取值范围是13．若11x y -<<<，则x y -的取值范围是．14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数[],y x x =∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.11, 1.1 2.⎡⎤=-=-⎣⎦则点集{}22(,)|[][]1P x y x y =+=所表示的平面区域的面积是.四、解答题15．设集合2{|60}P x x x =--<，{|23}Q x a x a =≤≤+，其中a ∈R ．(1)若1a =，求集合R P Q I ð；(2)若P Q P = ，求a 的取值范围．16．已知关于x 的不等式2250ax bx a +-+<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．(1)求实数a ，b 的值；(2)若0m >，0n >，且1am bn +=，求1n m n+的最小值．17．已知函数()212xxb f x -=+(R x ∈，b 为常数)是奇函数，(1)求b 的值；(2)判断()f x 的单调性并证明；(3)若对任意R t ∈，关于t 的不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．18．已知函数21()23,(R),[,3],3f x x ax a x ∈=-+∈(1)求函数()f x 的最小值()h a ；(2)记函数()f x 的最小值为()h a ，是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①3m n >>；②[,],()a n m h a ∈∀的取值范围是22[,]?n m 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．19．设函数1,12()1,23x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩,()()g x f x ax =-，[1,3]x ∈，其中a ∈R ，记函数()g x 的最大值减去最小值的差为()h a ．(1)求函数()h a 的解析式；(2)画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值．五、填空题20．已知集合{}|52,Z S s s n n ==-∈，{}|108,Z T t t n n ==+∈，则S T ⋃=21．“等式()()22120x y -++=成立”是“等式()()120x y -+=成立”的条件六、解答题22．设集合{}{}2|60,|23P x x x Q x a x a =--<=≤≤+，其中a ∈R ，(1)若1a =，求集合P Q ⋂R ð.(2)若P Q P = ，求a 的取值范围.七、填空题23．若“12m x m m -<+<”是“1012x +<<”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为.24．若111123a b +=++则ab a b ++的最小值为25．已知0a b >>，则()264a b a b +-的最小值为；。

山东省单县第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的有是（）A ．若函数()f x 为奇函数，则()00f =；B ．函数()11f x x =-在()(),11,-∞+∞ 上是单调减函数；C ．若函数()21y f x =+的定义域为[]2,3，则函数()f x 的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；D ．将()2y f x =的图像向右平移12个单位，可得()21y f x =-的图像2．函数()()()()123e ,3log 7,3x xf x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为（）A ．()()ln2e,416,+∞B ．()()ln2e,34,+∞C ．()()ln2,33,+∞D ．()()3ln2e,3log 4,+∞ 3．函数2y x =+）A ．2,3∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．25,24∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．2,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．25,24∞⎛⎤- ⎥⎝⎦4．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G GL L D =，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg 20.3010=）A ．71B ．72C ．73D ．745．存在函数()f x 使得对任意x ∈R 都有()f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则函数()g x 可能为（）A ．()1ex g x -=B ．()22g x x x=-C ．()32g x x x =-D ．()e ex xg x -=+6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若a ∀，[)0,b ∞∈+，且a b ≠，都有()()0af a bf b a b-<-成立，则不等式()()212210f t t f t t ⎛⎫---> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．()11,0,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭7．已知函数()()2log 1a f x x ax =-+在区间1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值或最小值，则实数a 的取值范围为（）A ．1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,11,44⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭D ．()1,11,24⎛⎫⎪⎝⎭8．已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．()f x 是偶函数C ．若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D ．若()()111g f -=，则()()202420242f g +=二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．若lg 3m =，lg2n =，则52log 181m n n+=-B ．函数()f x x =与()g t =表示同一个函数C ．若2log 3a =，则63log 91a a =+D ．若114a a -+=，则11224a a -+=±10．计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y （单位：KB ）与计算机开机后使用的时间t （单位：min ）的关系式为32t y =⨯，则下列说法中正确的是（）A ．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB B ．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等C ．计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1D ．计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6KB ，9KB ，18KB 所经过的时间分别是1t ，2t ，3t ，则123t t t +=11．已知函数()21f x x ax =-+，()ln g x x =-.若{}max ,m n 表示m ，n 中的最大者，设函数()()(){}()max ,0h x f x g x x =>，则下列结论正确的是（）A ．若()h x 没有零点，则a 的取值范围为(),2-∞B ．若()h x 只有1个零点，则a 的取值集合为{}2C ．若()h x 有2个零点，则a 的取值范围为()2,+∞D ．a ∀∈R ，()0h x ≥三、填空题12．已知函数()()2ln ,11272,1a a x x f x a x a x +≥⎧=⎨-+-<⎩，对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则实数a 的取值范围为．13．已知函数()()ln 1e axf x bx =+-是偶函数，e 是自然对数的底数，e 2.71828≈，则的最小值为．14．若点P ，Q 关于原点对称，且均在函数()y f x =的图象上，则称(),P Q 是函数()y f x =的一个“匹配点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 视为同一个“匹配点对”）.已知()2ln ,0,0xx xf x a x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩恰有两个“匹配点对”，则a 的取值范围是.四、解答题15．“函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()()22x m x n ϕϕ+-=”．若定义在R 上函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，且当[]0,1x ∈时，()21f x x ax a =-++．(1)求()()13f f -+的值；(2)设函数()22xg x x=-．（i ）函数()g x 的图像关于点(,)m n 对称，求,m n 的值．（ii ）若对任意[]10,2x ∈，总存在242,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．16．已知函数e 1()ex x f x -=．(1)求函数(2)(),[0,1]y f x f x x =-∈的值域；(2)若不等式(2)()f x kf x ≤在x ∈R 上恒成立，求k 的取值范围；(3)当22[ln ,ln ](0)x a b a b ∈-->>时，函数()()1g x mf x =+的值域为[23,23]a b --，求正数m 的取值范围．17．已知1F ，2F 分别为椭圆:C ()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点，且椭圆经过点()2,0和点()1,e ，其中e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆C 的方程；(2)若倾斜角为30︒的直线l 经过点2F ，且与C 交于M ，N 两点（M 点在N 点的上方），求22||||MF NF 的值.18．如图，MN MA ⊥，MN NB ⊥，垂足分别为M ，N ，异面直线MA ，NB 所成角为π3，2MN =，点P ，点Q 分别是直线MA ，NB 上的动点，且4PQ =，设线段PQ 的中点为R .(1)求异面直线MN 与PQ 所成的角；(2)求MR 的取值范围；(3)求四面体MNPQ 的体积的最大值.19．对于任意*N n ∈，向量列{}n a 满足1n n a a d +-= .(1)若103a =- （，），11d =（，），求n a 的最小值及此时的n a .(2)若()n n n a x y = ，，(,)d s t =，其中n x ，n y ，s ，R t ∈，若对任意*N n ∈，120n x x x +++≠ ，设函数f x x x =（），记()()()1212n nf x f x f x F n x x x +++=+++ （），试判断()F n 的符号并证明你的结论.(3)记1(0,0)a = ，0d ≠，n n c a = ，对于任意*N m ∈，记123m Sm c c c c =+++ （），若存在实数1c =和2，使得等式123123m m Sm c c c c c c c c c c c c =+++=-+-+-+- （）成立，且有()507S m =成立，试求m 的最小值.。