大思政背景下高等数学教学方法探究——以《定积分的概念》为例

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １９职业本科教育背景下高等数学课堂教学探究职业本科教育背景下高等数学课堂教学探究㊀㊀㊀ 以 定积分的概念 为例Һ王㊀燕㊀（西安汽车职业大学，陕西㊀西安㊀７１０６００）㊀㊀ʌ摘要ɔ课程是职业本科教育最重要的元素，课堂教学是学生素质养成和能力培养最重要的途径．高等数学作为一门通识课，课时多㊁战线长，教师应该在讲授教学内容的同时，积极探究能够提高教学效率㊁有利于学生能力发展的教学方式．基于此，文章以职业本科高等数学课程中 定积分的概念 的教学为例，依据教学理论和学习理论展开了相关的教学设计，通过启发㊁类比㊁归纳㊁总结引导学生学习知识，在教学设计中体现了职业本科课堂教学中以学生为中心和主体的理念，在传授学生数学知识的同时，起到德育作用．ʌ关键词ɔ职业本科；高等数学；定积分概念；教学设计ʌ基金项目ɔ２０２２年度西安汽车职业大学校级教育教学改革重点研究项目，项目编号：２０２２ＪＧ００２，课题名称： 课程思政 视域下高等数学教学探究；陕西省职业技术教育学会２０２３年度教育教学改革研究课题，课题编号：２０２３ＳＺＸ２３９，课题名称：职业本科‘线性代数“课程思政教学设计与实践．数学类课程是高校各专业学生都要学习的公共基础课程，旨在培养学生的逻辑思维及分析问题㊁解决问题的能力．其知识体系中有很多抽象的概念，对于其内涵和外延，教师讲起来抽象，学生理解起来也很困难．传统的教学方法大多单纯讲授知识，过于理论化，与其他专业课程结合得不够紧密，相对比较枯燥乏味，学生学习的主动性也较弱，导致学习效率低㊁效果差．那么如何使数学教育教学生动有趣，从而提高学生学习的主动性和学习效果呢？现在许多教师逐渐尝试将思想政治教育工作融入数学课堂，将知识传授㊁能力培养与价值引领相统一，使得数学教学与思想教育协调同步，相得益彰．以学生为主体，将数学教学与思政教育相结合，就像是洒向数学教学这块土地上的雨露与阳光，滋润一颗颗职业本科的 幼苗 茁壮成长．一㊁教学分析（一）内容分析第一，通过学习 定积分的概念 体会定积分思想，启发学生发挥创新思维， 积 聚力量．第二，在讲授 定积分的概念 的过程中，嵌入 持之以恒，积极进取 的人生观，告诉学生要积极对待人生，厚积薄发，永攀高峰，每天进步一点点，为实现梦想而努力．（二）教学背景定积分的概念 是学习定积分的基础，它上承导数和不定积分，下启重积分㊁曲面积分和曲线积分．该节课的学习为后面讨论定积分的性质㊁计算和应用奠定了基础．只要是一个连续量连续变化的 积累 问题，例如变力的冲量㊁电量㊁变力沿直线做功㊁变速直线运动路程等，都可以归结为这种特殊和式的极限进行计算．（三）学情分析本节课的授课对象是职业本科一年级学生，虽然学生在高中学习了与定积分有关的一些知识，但只是初步认识，并未进行系统的学习与运用，并未涉及一些复杂的概念和计算．因此，学生在学习本部分内容时，依然存在一定的困难，并不具备独立自主求解定积分相关题目的能力．具体有如下表现：第一，学生已经有了基础，在前面已经学习了导数㊁微分㊁不定积分相关内容，本节课是对前面内容的延伸；第二，对于数学课来说，单纯的理论教学学生接受程度较低，注意力也无法长时间集中，在教学中引入故事㊁实例等能够增强教学效果；第三，很多学生并不理解抽象的概念㊁定理，只会机械做题．因此，教师应引导学生分析问题，培养其解决问题的能力．二㊁教学目标（一）知识目标了解定积分的来源㊁理解 定积分的概念 ㊁会用㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １９定积分定义求定积分．（二）能力目标第一，通过求解曲边梯形面积，学会用 分割㊁近似代替㊁求和㊁取极限 的方法分析问题和解决问题，提高逻辑思维能力；第二，深切感受 以直代曲 逼近 的相关思想，在学习的过程中掌握极限的思想方法，在实际生活中善于利用此方法思考和解决遇到的问题，增强创新意识．（三）情感目标第一，不同问题有着不同的解决方法，也蕴含着不同的数学内涵，在整个解决实际问题的过程中，学生要认识到数学和实际生活之间的联系，发自内心欣赏数学之美；第二，通过学习，培养学生积极向上的心态，使其拥有正确的人生观㊁世界观㊁价值观．三㊁教学重㊁难点教学重点：深刻理解 定积分的概念 ，了解唯物主义思想以及辩证法．教学难点：引导学生认识定积分重要数学思想的具体形成过程及对人生成长的影响．四㊁课堂组织与实施（一）教学方法问题教学法 和 讲授法 结合使用，采用 启发式 和 互动式 相结合的教学模式，以多媒体工具为辅助，引导学生思考定义的构建过程及方法的形成过程，体会数学之美，感受数学之用．（二）情境展示首先开始 定积分定义的两个引例 内容的学习．教师用多媒体播放了我国某处农田的航拍视频，对于视频中形状规则的农田面积，可以用公式求解；对于视频中形状不规则农田的面积求解问题，可以转化为求解曲边梯形面积的问题．（三）教学设计任务一：引入课程实现方法：通过讲解我国古代相关数学故事㊁历史故事㊁人物故事等，引出定积分的来源，循序渐进地引导学生对定积分的学习产生兴趣．设计意图：在枯燥的数学教学中讲解数学文化相关知识，不仅可以激发学生的学习兴趣，而且可以实施德育．在引入课程的同时，激发学生内心的崇拜之情，树立榜样的力量，让学生深切地感受我国数学文化成就，培养文化自信．任务二：面积求法探讨实现方法：用投影仪呈现与本节课内容相关的图片或视频，引导学生学习㊁思考㊁讨论．设计意图：联系实际，引出曲边梯形面积求解问题，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，启发学生思考．通过类比图形面积的求法，让学生经历从特殊到一般㊁从具体到抽象的数学探究过程．任务三：几何引例 求曲边梯形面积设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上非负连续，求由曲线ｙ＝ｆ（ｘ），直线ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ以及ｘ轴所围成的曲边梯形的面积．实现方法：对于求曲边梯形面积的难点 曲边，教师引导学生利用ｙ＝ｆ（ｘ）的连续性，用直线来代替上面的曲边：将大的曲边梯形分割为小的曲边梯形，用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积（教师用课件动态演示），让学生观察到分割得越精细，两者面积越接近，然后让学生分组讨论求曲边梯形面积的思路，最终得出结果：所求的面积实际上是对一个特定结构进行计算的和式求极限．设计意图：建构求解曲边梯形面积的步骤（分割 近似 求和 取极限），求解过程中用到了分而治之的思想．教师利用具体的几何图形进行演示，让学生可以直观地了解到相关数学思想的形成过程．在讲解过程中，对于有限向无限㊁直与曲的转化过程，教师可着重演示，以启发学生的辩证唯物主义哲学思想，同时培养学生的总结㊁归纳能力．具体方法及目标：（１）分割（化整为零）：将区间［ａ，ｂ］分割成ｎ个小区间，这样大的曲边梯形就被分割成了ｎ个小曲边梯形．为什么会进行这样的操作呢？这其实可以类比为人们将难以达成的大目标拆分为多个简单的小目标去完成的过程．每完成一个小目标，学生都会体验到成功的乐趣，这将激励学生继续完成其他目标，培养学生不屈不挠的精神．故事启发： 曹冲称象无法直接去称一整头大象的重量时，曹冲就用等量石头来代替．先 化整为零 （将大象的体重用很多块石头的质量代替），再 积零为整 （石头的总质量就是大象的体重）．借此让学生认识到：要达成人生目标，就要 化整为零 积零为整 ，一步一个脚印．（２）近似（以直代曲）：用第ｉ个小矩形的面积近似代替第ｉ个小曲边梯形的面积．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １９故事启发：数码照片放大后，是由一块块的小正方形构成的，为什么会这样呢？教师在这里向学生介绍了刘徽的割圆术：为了求出圆周率，这位古代的数学家应用 以直代曲 以不变代变 及 无限逼近 的思想方法创造了割圆术，体现了曲与直的辩证统一思想．（３）求和（积零为整）：将ｎ个小矩形的面积加起来，就可以近似求出曲边梯形的面积．故事启发：这一环节，教师想到了 积少成多，集腋成裘 不积小流无以成江河，不积跬步无以至千里 ．从这种思想出发，还可以延伸到 勿以善小而不为，勿以恶小而为之 ．教师可以借此引导学生树立正确的人生观㊁价值观．（４）取极限：和式的极限如果存在，就是曲边梯形的面积．故事启发：手机像素越高，图片越清晰，如果探究者精益求精，将大曲边梯形进行无限细密的划分，那么所有小矩形的面积之和就可看成大曲边梯形的面积，这个无限细密的划分就对应于 取极限 的步骤．这正是 有限和无限对立统一 的辩证观．任务四：物理引例 求变速直线运动的路程某物体做变速直线运动，速度函数ｖ（ｔ）是时间间隔［ａ，ｂ］上关于ｔ的连续函数，并且ｖ（ｔ）ȡ０，求时间间隔［ａ，ｂ］内物体经过的路程．实现方法：通过 分割㊁近似㊁求和㊁取极限 可以计算出变速直线运动的路程．任务五：由以上两个引例抽象出定积分的定义实现方法：寻找两个引例的共性 解决问题的步骤相同㊁表达式结构相同．摒除不同的背景，就可以提炼出 定积分的概念 ．设计意图：通过学习，学生对于本部分内容的印象更加深刻，理解也更加充分．生活中的经验㊁故事㊁思想品质可归结为 定积分的概念 涉及的 化整为零㊁以直代曲㊁积零为整㊁无限细分 的数学思想，进而提炼出 以退求进 从有限到无限，量变到质变，近似到精确 的哲学思想，借此让学生意识到：遇到问题时，若直接解决有困难，可转变思想，先解决接近或容易解决的问题，然后分析求解方法，逐步解题．探寻解题方法的过程才是令人难忘的．教师应充分挖掘教学内容中的素质教育素材，增强课程的趣味性和吸引力，寓教于乐，丰富学生的精神世界，才能升华课堂教学，展现数学课程的 科学 和 人文 价值．结㊀语上述教学过程以学生为中心，不仅让学生对数学之美有深切的感受，还实现了教学育人的目标．教学过程中，教师引入曹冲称象的案例，在与 定积分的概念 中求不规则图形的面积紧密联系的同时，鼓励学生努力动脑，创新思维，启发学生每天进步一点，为自己的梦想奋斗㊁为中国梦奋斗．在以后的教学中，教师应秉承 以学生为中心 的教学理念，积极创新教学方式，提高学生的课堂参与程度，将学生的思想教育与价值观培养润物细无声地融入课堂教学之中．ʌ参考文献ɔ［１］杨波，崔艳丽．课程思政视域下高职数学教学设计案例研究 以定积分的概念课程为例［Ｊ］．高教学刊，２０２２，８（３０）：１８４－１８７．［２］雷艳玲．基于数学学科核心素养的课堂教学实践 以定积分概念为例［Ｊ］．科技风，２０２１（３５）：２８－３０．［３］缪烨红．课程思政理念下定积分概念的教学设计［Ｊ］．佳木斯职业学院学报，２０２１，３７（１２）：１１２－１１４．［４］张媛．高职定积分及其应用教学中课程思政的融入［Ｊ］．郑州铁路职业技术学院学报，２０２１，３３（０３）：８０－８２．［５］葛邵飞．将思政元素融入高等数学课堂教学实践研究 以定积分的概念为例［Ｊ］．知识文库，２０２１（１７）：１２１－１２３．［６］范慧玲，曹鸣宇，袁玉萍，等．‘高等数学“课堂教学中融入课程思政案例 以‘定积分的概念“为例［Ｊ］．科技资讯，２０２１，１９（０８）：１５８－１６０．［７］夏正喜．渗透思想政治教育的定积分概念教学设计［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（１７）：５．［８］熊炳忠．高等数学课程思政教学的实践与探索［Ｊ］．现代商贸工业，２０２２，４３（２２）：２３５－２３７．［９］孙蕾，朱健民，苏芳．课程思政下高等数学教学案例的设计与实践［Ｊ］．大学数学，２０２２，３８（０４）：１０４－１０９．［１０］宋云，裘国永．基于案例教学思想的高等数学 课程思政 教学探究［Ｊ］．数学学习与研究，２０２２（２０）：８０－８２．［１１］姜黎鑫．高等数学课程蕴含思政教学的探究与实践［Ｊ］．湖北开放职业学院学报，２０２２，３５（０８）：７６－７８．［１２］石会芳．将数学精神融入高职数学课程思政教学的探索［Ｊ］．职业技术，２０２０，１９（１２）：４１－４６．。

大思政背景下高等数学教学方法探究——以《定积分的概念》为例武警警官学院基础部摘要：本文以《定积分的概念》为例，在政治教育、思想教育、道德教育、人文素质教育“四位一体”的“大思政”背景下，将“高数”与“思政”教育有机结合，让学生真正感受到高等数学课程的“温度”，从而提高学生的学习兴趣，真正地把课程思政的目标落到实处。

关键词：大思政高等数学教学；定积分的概念高等数学在高校是一门重要的基础学科，以传播数学知识理论和客观理论，培养学生严谨的逻辑思维和顽强的科学精神为主要目的。

高等数学的概念、定理有着“高度的抽象性”、“严密的逻辑性”和“广泛的应用性”等特点，它的内容里隐含着丰富的可对学生进行思想政治教育的素材，需要教师能够充分发掘和灵活的运用，高等数学课程教学与思想政治教育有机的结合，既可丰富课程教学内容，又能提高学生的思想觉悟。

在以往的教学中教师侧重于知识点的传播，且长期受专业思维的制约，对思政知识的认识不深刻，即使是进行思政教育也常常出现生硬的植入，对思政教育的融入时机、场合把握不好，方法老套单一，在传授数学知识的过程中不能系统科学的找准切入点，错失思政教育的好时机，思政的教学效果不明显。

而现在我们所提到的思想政治教育是指政治教育、思想教育、道德教育、人文素质教育“四位一体”的“大思政”教育，思想政治水平的提升不能光靠单一的理论来说教，要提升它的亲和力和针对性，满足学生成长发展和需求。

在高等数学课堂教学中融入“大思政”应坚持以“传授知识与引领价值”相结合的原则为基础，进一步挖掘其内在哲理、价值等，在课堂上作用于学生，恰当的融入社会主义核心价值观、中国优秀传统文化教育、中国特色社会主义“四个自信”、科学素养等某个或多个方面，春风化雨，润物无声，入脑入心，让学生不仅在掌握课程的基本理论知识的同时，也深刻理解专业知识发展的背景和其中所含有的数学思想与方法，并将其内化于心，感受数学之美，引发更多的人文家国情怀。

高职院校《高等数学》课程思政教学案例探析—以《定积分的概念》为例摘要：《高等数学》是大多数高职工科专业的基础课程，覆盖面广，在教学过程中融入思政元素显得尤为重要。

本文以定积分的概念为例，分析如何在高等数学课程中有效地进行课程思政，实现高等数学课程的德育功能，有助于学生树立正确的三观。

关键词：高等数学、课程思政、定积分的概念基金资助：张家界航空工业职业技术学院“课程思政”研究项目（编号：ZHKT2019-SZ38）一、实施背景1、课程背景《高等学校课程思政建设指导纲要》中指出，理学、工学类专业课程，要在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。

对于高职工科的大多数专业而言，高等数学是其大一年级所必修的基础课。

该课程以知识点多为基本特征，是一门逻辑性强和比较抽象的学科。

其能否学好关系着学生后续各科专业课的学习，其抽象的思维也影响着后续的学习和工作的发展。

在高等数学课堂教学中融入课程思政元素，不仅可以提高学生的课堂主动参与度，而且可以培养学生探索新知、追求真理、勇攀高峰的责任感和使命感，培养学生精益求精的大国工匠精神。

对学生树立正确世界观、价值观和人生观具有非常重要的意义。

2、学生背景随着国家对职业教育的重视程度越来越高，高职院校招生规模的不断扩大，其生源类别越来越广泛，录取到的学生都是基础知识比较差的，尤其体现在数学方面。

在这种情行下，学生开始接触高等数学，就觉得很难，很多数学概念难以理解，学起来难以跟上教学进度，慢慢的在学习过程中就会产生畏难情绪，甚至会产生厌学的情况。

所以需要教师积极探索新的教学模式，提高学生的学习兴趣，并提高学生的学习效果。

3、案例背景本文以定积分的概念为例，在讲解定积分概念时，通过求解曲边梯形的面积，四个步骤即分割、近似、求和、取极限，从而给出定积分的定义。

在探究概念中体现了逼近、以直代曲等数学方法，在求解过程中体现了由整体到局部、从量变到质变、特殊到一般的辩证转化关系，从有限到无限，培养了学生哲学的辩证主义思想。

将思政元素融入高等数学课堂教学实践研究——以定积分的概念为例葛邵飞文章以高等数学定积分概念教学设计为例，探讨将思政元素融入高等数学课堂教学的方法，同时使用“雨课堂”教学APP等信息化技术手段让学生在数学学习过程中化解难点，理解重点，构建“线上线下全过程育人”新型教学模式，达到“立德树人”的教学目的。

从而提高课堂灵活性，增加学生学习的趣味性。

本文首先通过讲述微积分学思想在中国历史上的前世今生发展情况，增强学生对中国传统数学理论和传统数学文化的自信心。

然后在讲述概念中渗透引导学生对人生过程的反思，帮助学生树立正确的认识问题和处理问题的方法。

最后在总结时再次点出中国优秀文化的伟大之处，同时对学生提出希望和要求。

“课程思政”是完善“三全育人”的重要措施。

实施“课程思政”不是哪一门课程的事，是每一门课程都要进行的，是落实“立德树人”的根本要求，是所有教师的职责。

“课程思政”应以课堂教学为切入点，深入挖掘课程中的思政元素，在专业知识和技能教学中穿插将思政元素巧妙地融入其中，学生在学习专业知识和技能的同时接受思想教育。

中华民族有非常优秀文化，尤其是数学文化的发展促进了历史发展。

把数学文化与“课程思政”有机地融合在一起，在讲每一章的导入时，先介绍知识的产生背景，介绍一些数学文化故事。

结合我们自身的工作经验和对数学学科的深刻认识，从“认识和传播数学文化”、“诱发对数学之美的探索”、“阐释数学哲学与人生价值”等角度，真正做到“知识传授与价值引领要相结合”进行育人。

数学课程思政的内容为：培养学生严谨科学态度，崇尚理性精神，提升数学审美，砥砺家国情怀。

1 教材分析本课取自“十二五”职业教育国家规划教材，由高等教育出版社出版候风波主编的《高等数学》第六章第一节“定积分的概念”。

它是在学生学习了极限、微分和不定积分的基础上进行学习的，学生已经有一定计算基础，通过本节学习还为后续学习面积和体积求解方法建立理论基础，同时本节定积分的学习也为学生理解研究专业课相关知识起到铺垫作用。

第21课定积分的概念背景导入（10 min）【教师】讲述积分学产生的历史背景，微分学和积分学之间的联系【学生】聆听、了解通过背景导入，吸引学生关注，调动学生的主观能动性讲授新课（33 min）【教师】引入课题在实际问题中，我们经常会遇到某些非均匀量的求和问题，如计算不规则图形的面积和体积、变速直线运动的路程、非匀质物体的质量、变力所做的功等，虽然它们各自的意义不同，但这些问题的解决都可归结为“无限细分，无限求和”的过程．先看下面两个实例．【教师】通过讲解两个引例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程），引出定积分的概念曲边梯形的面积设()y f x=在闭区间[]a b，上连续，且()0f x，则由曲线()y f x=、直线x a x b==，及x轴所围成的平面图形，称为曲边梯形，如图5-1所示．试求此曲边梯形的面积．如何计算曲边梯形的面积呢？由于曲边梯形的高()f x在区间[]a b，上是连续变化的，因此在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变．将区间[]a b，划分为许多小区间，曲边梯形也相应地被划分成许多小曲边梯形．如果在每个小区间上用其中某一点的高近似代替同一区间上小曲边梯形的变高，那么每个小曲边梯形就可以近似看成小矩形．以这些小矩形的面积作为小曲边梯形面积的近似值，并将区间[]a b，无限细分下去，使每个小区间的长度都趋于0，这时所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积．根据上面的分析，可按下面的步骤计算曲边梯形的面积．1）分割任取分点011n na x x x x b-=<<⋅⋅⋅<<=把区间[]a b，任意分成n个小区间，即0112231[][][][]n nx x x x x x x x-⋅⋅⋅，，，，，，，，，每个小区间的长度为1(12)i i ix x x i n-∆=-=⋅⋅⋅，，，．相应地，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积为(12)iS i n∆=⋅⋅⋅，，，．2）近似代替从实际实例引出定积分的概念，从具体到抽象地讲解定积分的概念引例1图5-1对于第i 个小曲边梯形，在小区间1[]i i x x -，上任取一点i ξ，得到以区间1[]i i x x -，的长i x ∆为底，以()i f ξ为高的小矩形（见图5-2），用小矩形的面积()i i f ξx ∆近似代替小曲边梯形的面积i S ∆，即()(12)i i i S f ξx i n ∆≈∆=⋅⋅⋅，，，．图5-23）求和将n 个小矩形的面积加起来，便得到曲边梯形面积的近似值，即1211221()()()()nn n n i ii S S S S f ξx f ξx f ξx f ξx =∆+∆+⋅⋅⋅+∆≈∆+∆+⋅⋅+∆=∆=⋅∑．4）取极限当分点个数n 无限增大，且小区间长度的最大值1max{}i i nλx =∆趋近于0时，上述和式的极限便是曲边梯形的面积，即1lim ()ni i i S f x λξ→==∆∑．变速直线运动的路程设一物体做变速直线运动，其速度是时间t 的连续函数()v v t =，求物体在时间段12[]T T ，内所经过的路程S ．我们知道，匀速直线运动的路程公式是S vt =，现设物体的运动速度v 是随时间连续变化的，因此不能直接用此公式计算路程，但可以采用以下方法计算．1）分割任取分点10112n n T t t t t T -=<<⋅⋅⋅<<=，把12[]T T ，分成n 个小时间段0112[][]t t t t ⋅⋅⋅，，，，，11[][]i i n n t t t t --⋅⋅⋅，，，，，第i个小区间的长度为1(12)i i i t t t i n -∆=-=⋅⋅⋅，，，，相应的路程被分成了n 个小路程，记作(12)i S i n ∆=⋅⋅⋅，，，．2）近似代替在每个小时间段上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程，即在小时间段1[]i i t t -，上任取一时刻引例 2{1max i nt ∆的精确值，即．从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不个子区间[i x -1)i i ξx ，得相应的函数值并作和式1()ni i i f ξx =∆∑max{}i x ∆，若λ在区间[]a b ，上]上的定积分，记作(b f x ⎰其中，⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，区间[]a b ，称为积分区间，a b ，分别称为积分下限与积分上限．利用定义计算定积分120d x x ⎰．解 （1）分割：用分点01101n n x x x x -=<<<<=，把区间[01]，分成n 等份，那么分点为(12)i ix i n n==，，，，每个小区间的长度为 1i x n∆=． （2）近似代替：取每个区间的右端点(12)i ii n nξ==，，，，于是小曲边梯形的面积为2231()(12)i i i i iS f x i n n n nξ⎛⎫∆≈∆=== ⎪⎝⎭，，，．（3）求和：曲边梯形面积S 的近似值为22331111()n nn i i i i i i S f x i n n ξ===≈∆==∑∑∑311111(1)(21)1266n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （4）取极限：因为1i x nλ=∆=，当0λ→时，n →∞，所以120011111d lim ()lim 1263ni i n i S x x f x n n λξ→→∞=⎛⎫⎛⎫==∆=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰．【教师】借助实际案例（图形、物理的变速直线运动），讲解定积分的几何意义和实际应用从曲边梯形面积的计算可以看出：例1（1）若在[]a b ，上，()0f x ，则定积分()d baf x x ⎰表示由曲线()f x 、直线x a =，x b =及x 轴所围成曲边梯形的面积A ，即()d ba f x x A =⎰，如图5-3所示．（2）若在[]a b ，上，()0f x ，则()d baf x x A =-⎰，如图5-4所示．图5-3 图5-4（3）若在[]a b ，上，()f x 有正有负，即()f x 的图像某些部分在x 轴上方，某些部分在x 轴下方，则定积分()d b af x x ⎰表示x 轴上方图形的面积与x 轴下方图形的面积之差，即123()d baf x x A A A =-+⎰，如图5-5所示．图5-5利用上述结论计算ππsin d x x -⎰．解 因为被积函数sin y x =是奇函数，且积分区间[ππ]-，是对称区间，由上述结论可知ππsin d 0x x -=⎰．用定积分表示如图5-8所示阴影部分的面积．（1） （2）图5-8解 （1）被积函数2y x =在区间[]a b ，上连续，且有()0f x ，由定积分的几何意义可得阴影部分的面积2d ba A x x =⎰．（2）被积函数2()(1)1f x x =--在区间[12]-，上连续，且在[10]-，上()0f x ，在[02]，上()0f x ，由定积分的几何意义可得阴影部分的面积2221[(1)1]d [(1)1]d A x x x x -=-----⎰⎰．（例4、例5详见教材）【学生】理解定积分的定义和几何意义，掌握定积分的计算方法和在实际中的应用课堂测验（10 min ） ☞教师在文旌课堂APP 或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。

课程思政教学视角下高等数学教学改革与实践——以定积分概念教学为例发布时间：2022-04-23T01:26:18.961Z 来源：《中国教师》2021年34期作者：翟维红[导读] 高等数学是高职院校的一门重要的基础课程，高等数学开设的目的是培养学生初步的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力翟维红天津海运职业学院，天津市 300350摘要：高等数学是高职院校的一门重要的基础课程，高等数学开设的目的是培养学生初步的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力；课程思政是综合素质教育的重要内容，如何在高等数学教学中融入适当的课程思政，充分发挥课程思政的作用值得数学教师深深思考。

本文分析了学生学习现状，提出在高等数学教学中融入课程思政的策略，尝试在教学中融入课程思政的方法，以达到促进学生综合素质的提升的目的。

关键词：定积分课程思政综合素质一、引言高等数学是高职院校以讲授微积分为主的一门重要的基础课程，通过微积分使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，培养学生初步的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。

然而由于高职学生生源的多元性，学生存在着水平参差不齐、基础和能力差异性明显等特点，在学习上有很大困难。

通过问卷调查发现，大部分学生有想学好数学的愿望，但由于高等数学的抽象性和学生自身基础的薄弱性，使得学生对数学概念的理解不透彻、所涉及的知识点印象不深刻、对其中蕴含的数学思想方法领悟不深、对相关数学史及数学家的趣闻轶事了解不够、对数学概念、定理的来源和历史发展情况知之甚少。

同时，刚步入大学校园的学生思想基础不够稳定，价值观容易发生波动。

习近平总书记在高校思想工作会议上强调了立德树人的重要性，思想教育工作应贯穿于教学的全过程。

故此，根据高等数学学科性质特点，在不改变原来课程内容和重点的基础上，要精心设计思政的教学内容和教学环节，并结合课程教学实际内容，明确思政元素的融入点，力争将课程思政内容潜移默化地融入高等数学的课堂之中。

高等数学教学中融入思政元素的案例研究——以定积分的定义为例发布时间：2021-09-27T04:22:53.919Z 来源：《中国教师》2021年10月作者：陈杏莉[导读] 以定积分的定义教学为例，将教学内容分解为工作任务，提炼思政教育元素，寻找切入点，将思政教育元素融入知识点，让学生在完成工作任务的过程中实践思政教育，通过考核手段和学生自评、互评方式评价思政学习效果。

陈杏莉苏州工业职业技术学院江苏苏州 215104【摘要】以定积分的定义教学为例，将教学内容分解为工作任务，提炼思政教育元素，寻找切入点，将思政教育元素融入知识点，让学生在完成工作任务的过程中实践思政教育，通过考核手段和学生自评、互评方式评价思政学习效果。

【关键词】高等数学课程思政案例研究中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2021）10-009-02 A case research of integrating ideological and political elements in higher mathematics teaching ——Take the definition of definite integrals as an example Chen xing-li （Department of Architectural Engineering and Art，Suzhou Institute of Industrial Technology，Suzhou 215104，China) Abstract:Taking the definition teaching of definite integrals as an example, the teaching content is decomposed into work tasks, the ideological and political education elements are refined, the breakthrough point is found, the ideological and political education elements are integrated into knowledge points, so that students can practice ideological and political education in the process of completing work tasks, and the ideological and political learning effects are evaluated by means of assessment, self-evaluation and mutual evaluation. Key words：advanced mathematics；ideological and political education；case teaching引言习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上指出：“要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面，让学生成为德才兼备、全面发展的人才”[1]。

浅谈如何在高等数学中融入思政教育作者：翟丽丽罗东风章树玲董艳罗宁白梅花赵馨来源：《科技资讯》2020年第12期摘; 要：在学生的教育中加入思政元素是对当今教育改革的积极探索。

而高等数学课程在与思政想结合的过程中具有天然优势，思政中含有丰富的思政教育资源，高等数学的有些问题本身就蕴含了深刻的哲学思想。

本文以定积分概念的讲授为例，在引入概念时分析了定积分的定义产生的过程中所蕴含的数学思想和哲学思想，并且在高等数学授课中通过适当融入数学在实际生活中的应用问题，做到了激发学生的学习积极性，并解决了将高等数学与思想教育相结合的问题。

关键词：高等数学; 定积分; 思政教育中图分类号：G642 ; ;文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）04（c）-0234-02《高等数学》含有丰富的思政教育资源：在学习的过程中，可以介绍相关人物以及历史背景，激发学生对课程的学习兴趣，降低学生对数学的畏难情绪;可以对数学史的发展进行介绍，让学生掌握数学发展的规律，体会数学家求真务实的态度，从而提高学习积极性;还可以适当引入数学悖论，让学生认清问题的本质，激发学习的兴趣;也可以适当讲解数学在实际生活中的应用，这样就避免课程因理论性强、内容多、知识点难而学起来枯燥。

下面以定积分概念的讲述为例，在高等数学的授课过程中结合实际生活并融入思政元素。

1; 定积分概念的引入我们每天都在使用校园网，可以直接查询到消耗的上网流量，那如果告诉你某个时间段内校园网的网速v（t）=et（mb/s），如图1所示，你能求出单位时间内消耗的流量Φ吗？可以看出所求Φ即为图中曲边梯形的面积，要求出这个曲边梯形的面积就需要用到定积分的知识。

其实在1700多年前，我国古代数学家刘徽提出的“割圆术”，用圆的内接正多边形面积近似代替圆，求出正多边形的面积代替圆的面积，他求出3072边形的面积，得出圆周率约为3.1416，这一方法使此后千年中国圆周率计算在世界上处于领先的水平。

现代商贸工业Modern Business Trade Industry2024年第6期基金项目:伊犁师范大学校级教改项目(YSYB2022103)㊂作者简介:胡芳芳(1994-),女,硕士,讲师,研究方向:微分方程理论与应用;张永(1995-),男,硕士,讲师,研究方向:非线性泛函分析及其应用(通信作者)㊂高等数学教学中课程思政的探索与思考以定积分的概念为例胡芳芳1,2㊀张㊀永1,2(1.伊犁师范大学数学与统计学院,新疆伊宁835000;2.伊犁师范大学应用数学研究所,新疆伊宁835000)摘㊀要:在大思政的背景下,各高校教师积极探索将思政元素融入高等数学课程教学中,如何将高等数学课程教学探索的结果和积累的经验稳落地㊁见实效,作出更加优化教学设计,既是课程思政建设的基本要求,也是高等数学教学内涵提升的必然选择㊂本文以定积分概念为例,挖掘定积分概念蕴含的思政元素,阐述教学设计思路,给出在教学过程中怎样具体实施课程思政㊂关键词:高等数学;课程思政;立德树人;定积分中图分类号:G4㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀doi:10.19311/ki.1672-3198.2024.06.0690㊀引言课程思政是高校贯彻立德育人要求的关键环节,落实立德树人根本任务的重要举措,是完善全员全程全方位 传道授业解惑 的立德树人过程㊂2020年教育部印发‘高等学校课程思政建设指导纲要“,强调高校思政教育工作,要充分发挥思想政治课之外的其他各类各门课程在 铸魂育人 作用㊂在大思政的背景下,各高校教师积极探索将思政元素融入高等数学课程教学中,并取得一些成果,如何将高等数学课程教学探索的结果和积累的经验稳落地㊁见实效,从而作出更加的优化教学设计,这既是课程思政建设的基本要求,也是高等数学教学内涵提升的必然选择㊂本文以案例研究为基础,以解决问题为导向,以高等数学课程为依托,将问题驱动法㊁教师引导法和讲授法相互结合进行教学设计,调动学生充分融入课堂教学,结合数学家的精神感染力量,讲好数学家的故事,从培育科学思维和职业素养的角度入手,学习踏踏实实的探索精神,树立文化自信和认同感,激励学生自豪感和使命感,增强爱国情怀,有效提升解决实际问题的能力㊂本文将高等数学与课程思政相结合,其教学方法㊁设计思路具有普适性,适合在各高校高等数学课程中进行尝试,具有广泛的参考意义㊂1㊀教学设计思路教师在授课过程中将课程思政融入定积分的概念,创造数学情境,以此来发现问题,提出问题,以解决课程基本问题的主要思想为主线㊂首先,通过播放赛里木湖的风景,介绍赛里木湖的由来,并从不规则的湖面,引出不规则图形的面积计算问题,结合新疆历史㊁生态环境,进一步增强学生的环保意识和保护环境的责任感㊂将不规则图形面积的计算问题转化为曲边梯形面积的计算问题,借助刘徽 割圆术 的思想,启发学生寻找思路,在领会其中所蕴含的数学思想的同时,激发学生民族自豪感㊂其次,用画板动画演示对曲边梯形无限分割,无限逼近的过程,重点演示 直与曲的转化,有限向无限的转化 思想,渗透 以直代曲 的数学思想,带领学生归纳总结定积分的定义,并给出定义中的符号说明,启发学生感受定义所蕴含的辩证唯物主义的哲学思想㊂随后,引导学生运用所学理论知识解决课前提出的实例问题,增强学生的分析能力及运用所学知识解决实际问题的能力,激励学生为今后我国的科学㊁社会㊁经济的发展作出贡献㊂最后,对本节课进行及时的总结和反思,引领学生课后继续深度思考,真正把所学的理论知识运用到生活实践中,达到数学生活化㊂2㊀教学过程2.1㊀案例欣赏,问题导入首先播放赛里木湖视频,简单介绍赛里木湖的形成过程及历史文化:赛里木湖由于海拔㊁地形㊁气候等因素造就了它的独特魅力,如今的赛里木湖景区有珍稀濒危和重大科研价值的关键动植物种类多达184种,实现了人与自然的和谐共存,由于丰富的人文资源和动植物资源,培养学生保护生态环境意识,树立人与自然和谐共处理念,激发学生学习兴趣㊂随后,借助测量不规则的赛里木湖湖面面积问题,引出计算不规则图形面积问㊃012㊃2024年第6期现代商贸工业Modern Business Trade Industry题,培养学生善于观察㊁勤于思考的能力㊂2.2㊀引导转化,建立模型在我们生活中大到测量各省占地面积,小到测量湖面面积,那对于这样不规则图形的面积计算问题该如何解决?以赛里木湖规划图为例,先让学生通过观察独立思考,对于这样不规则的湖面,以我们目前掌握的方法无法直接进行求解,引导学生用水平和垂直的直线对湖面进行分割,分割后得到若干规则图形(可求面积)和带有曲边的不规则图形(引入曲边梯形定义),将分割过程以动画的形式展示并将靠近岸边的不规则图形抽象到平面直角坐标系中,湖的边界就是曲线,带领学生从图形上直观的认识由x =a ,x =b ,x 轴,以及曲线y =f (x )(其中函数y =f (x )在区间[a ,b ]上非负㊁连续)所围成的类似于梯形的图形称为曲边梯形,此过程将生活中的实际问题化为一个数学问题并建立数学模型:求解一个曲边梯形的面积㊂实际问题抽象为数学模型的过程如图1所示㊂图1㊀对于图1中曲边梯形面积的计算,根据实际问题来建立数学模型,对数学模型来进行求解,从而解决实际问题,在此过程中培养学生的洞察力和想象力,提升学生运用数学方法解决实际问题的能力,促使学生的数学能力和其他能力协同发展㊂2.3㊀分析模型,形成概念要想解决靠近岸边的不规则图形的面积问题,引导学生回顾刘徽 割圆术 的基本思想,就是说分割越细,误差就越小,无限细分就能逐步接近圆周率的实际值㊂刘徽首创 割圆术 的方法,可以说他是中国古代极限思想的杰出代表,对中国古代数学的发展研究作出了重要贡献,激发学生爱国热情㊂如今正处于数据互联网时代,尤其是未来在人工智能这一领域的赛道中,鼓励学生要有迎难而上㊁敢为人先的探索精神和刨根问底㊁严谨治学的求实精神㊂必须要坚持显性教育与隐性教育相统一㊁课程与思政有机结合,这是实现立德树人㊁育人育才有机结合的关键环节,这样才能达到更好地教学效果㊂接着借助多媒体演示割圆术的过程,如图2所示㊂图2㊀接下来借鉴 割圆术 思想,引导学生自行发现 以直代曲 方法,从而增强学生自主学习和探索信心㊂到目前,我们所求面积的图形多为直边图形,例如:三角形㊁矩形等,但是对于这样的曲边梯形,它面积的精确值是无法直接求解的,但可以先求它的近似值,如何来求近似值呢?引导学生不妨以矩形面积来近似代替曲边梯形面积,上方空白区域是误差,当用两个矩形面积来近似代替时,误差减小了,如果用四个矩形面积代替呢,误差更小了,受此启发,当矩形的个数越来越多时,其面积之和与曲边梯形的面积越来越接近,如果无限分割下去呢?所得矩形面积之和的极限就为曲边梯形的面积㊂在整个过程中,借助极限思想,带领学生体会用有限来研究无限的哲学思想,从 不变 认识 变 ,从直线形认识曲线形,从近似认识精确,在授课过程中将理论知识与唯物辩证法相结合,培养学生在掌握理论知识的同时,学会用唯物辩证法的原理分析和解决实际问题,过程如图3㊂图3㊀通过上述分析,计算曲边梯形的面积所采用的分析思路和求解方法分为四步,称为积分 四步曲 :第一步分割:取分点x i ɪ[a ,b ](i =0,1,2, ,n ):a =x 0<x 1<x 2< <x i -1<x i < <x n =b ,将底边对应区间[a ,b ]分成n 个小区间[x i -1,x i ],其长度依次记为Δx i =x i -x i -1,(i =0,1,2, ,n )㊂第二步近似:在[x i -1,x i ]上任取一点ξi ,并以底为[x i -1,x i ]㊁高为f (ξi )的矩形近似代替第i 个小曲边梯形(i =0,1,2, ,n ),从而整不大曲边格形面积的近似值为ðn i =1f (ξi )㊃Δxi,显然,区间分划愈细,则该梯形面积近似值的精度愈高㊂第三步求和:将这n 个小矩形面积求和得到整个曲㊃112㊃现代商贸工业Modern Business Trade Industry2024年第6期边梯形面积的近似值,需要特别注意的是这里得到的仍然是近似值㊂第四步取极限:记λ=max 1 i nΔx i {},令λң0,此即意味着对区间[a ,b ]的分割无限加密(此时必有n ңɕ).于是,我们便将其极限值lim n ңɕðni =1f (ξi )㊃Δx i 定义为曲边梯形的面积㊂综上所述,需要特别注意的是每一次的分割均是有限分割,恰恰是用无限次的有限分割最终达到了无限细分,其中每一次的有限分割都要保证分割㊁取点任意,帮助学生形成良好的学习习惯和严谨态度㊂取极限的过程体现了数学的严谨性,分析λ的含义,循序渐进借助图形帮助学生理解极限的思想,并将极限思想上升到哲学领域,即量变到质变㊂告诉学生只有脚踏实地,持续不断努力,才能实现质的飞跃,到达胜利彼岸㊂下面带领学生再来分析一个物理学问题,求物体从T 1时刻做变速直线运动至T 2时刻,所经过的路程s ,对于变速直线运动这样一个不恒定量的求解,仍然运用积分 四步曲 求解数学模型,通过上述两个问题分析,可以看到:一个是物理学问题,一个是几何学问题,所得的结论也具有共同特征:均为乘积的和的极限,通过概括总结上述共性得到定积分的定义,从而培养学生逻辑推理能力和知识迁移能力㊂着重强调积分 四步曲 的重要性,为后续学习重积分㊁曲线积分奠定扎实的基础㊂随后,为了帮助学生更好地理解和掌握定积分的定义,对定积分的符号进行说明,加深学生对定积分概念的理解,掌握定积分的几何意义,逐渐形成正确的数学观㊂通过PPT 对符号进行说明,如下图4㊂图4㊀2.4㊀应用理论,解决问题分析完定义,带领学生回到课前一开始提出的问题:如何计算赛里木湖的湖面面积㊂进一步引导学生思考定积分还可以解决生活中哪些实际问题?让学生积极参与到课堂教学中,了解所学知识的应用领域,帮助学生树立学以致用的意识㊂通过解决实际案例,培养学生数学建模能力,让学生在具体实践中感知自己对知识的掌握度,培养学生学以致用的能力,进一步对定积分的概念加以巩固和理解㊂作为教师要善于用生活事例丰富课堂,调动学生自主参与探究,引导学生将生活与学习联系起来,让学生感受生活中存在的数学,达到学以致用的目的㊂应该把自己的学业和职业目标与国家的发展目标紧密结合起来,提高自身能力,以便更好地为国家的发展作出贡献㊂2.5㊀揭示本质,落脚思政图5㊀2.6㊀继续探索,课后延伸通过学习定积分的概念,解决课堂中提出的实际问题㊂课后让学生以小组为单位收集定积分在实际生活中应用案例,例如:火箭发射所做的功㊁ 蛟龙 号载人潜水器在水下的压强㊁北斗卫星所受的地球引力等,与重大科技相联系,激励学生勇于探索科技领域,培养勇于献身科研的精神,并通过数学建模方法解决,增强团队合作能力㊂3㊀结束语本文以定积分的概念为例,将概念的讲解与课程思政元素的融入具体化,通过创设求 赛里木湖的湖面面积 问题情景,培养学生人与自然和谐共处的环保意识;通过计算曲边梯形的面积,培养学生 细分入微㊁以直代曲㊁积零为整㊁抛光磨平 的思维方式,掌握定积分的实质;通过分析解决生活中的实际案例问题,培养学生知识应用能力㊁抽象归纳能力和数学建模能力㊂参考文献[1]习近平.把思想政治工作贯穿教育教学全程开创我国高等教育事业发展新局面[N ].人民日报,2016-12-09(01).[2]韩宪洲.深刻认识 课程思政 的时代价值[EB /OL ].(2019-08-18)[2021-10-01].[3]教育部关于印发‘高等学校课程思政建设指导纲要“的通知[Z ].2020-05-28.[4]刘建军.课程思政:内涵㊁特点与路径[J ].教育研究,2020,(9):28-33.[5]邓雪松.课程思政背景下高职院校数学教学的思政教育融入[J ].山西财经大学学报,2022,44(S2):191-193.[6]童新安,任铭,周会娟,等.高等数学课程教学中融入课程思政的路径[J ].西部素质教育,2023,9(10):39-42.[7]张鹏.高等数学教学中思政元素的挖掘策略[J ].教育理论与实践,2023,43(18):48-50.㊃212㊃。