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第六节 对数与对数函数[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)．1．对数的概念如果a b＝N (a ＞0且a ≠1)，那么b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c b log c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M n＝n log a M (n ∈R )； ③log a M N＝log a M －log a N .3．对数函数的定义、图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a ＞b .]图2613．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图261，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图像可知y ＝log a (x ＋c )的图像是由y ＝log a x 的图像向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )【导学号：66482059】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．] 5．(2017·杭州二次质检)计算：2log 510＋log 514＝________，2log43＝________.【导学号：66482060】23 [2log 510＋log 514＝log 5⎝⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.](1)设2a ＝5b＝m ，且a ＋b＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100＝________.(1)A (2)－20 [(1)∵2a＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 122·52×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f x ＋，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2)(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－12 33 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×3＝24，故选A.(2)log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.](1)(2016·河南焦作一模)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y＝log a |x |的图像大致是( )A B C D(2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：66482061】(1)B (2)(1，＋∞) [(1)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图像如图所示．故选B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． [变式训练2] (2017·西城区二模)如图262，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图像上，点C 在函数y ＝log 2x 的图像上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( )A ．2B ．3 C. 2 D ．3图262D [由题意知等边△ABC 的边长为2，则由点A 的坐标(m ，n )可得点B 的坐标为(m ＋3，n ＋1)．又A ，B 两点均在函数y ＝log 2x ＋2的图像上，故有⎩⎨⎧log 2m ＋2＝n ，log 2m ＋3＋2＝n ＋1，解得m ＝3，故选D.]☞(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c＜b cD ．c a＞c bB [∵0＜c ＜1，∴当a ＞b ＞1时，log a c ＞log b c ，A 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上递减，又a ＞b ＞0， ∴log c a ＜log c b ，B 项正确；∵0＜c ＜1，∴函数y ＝x c在(0，＋∞)上递增， 又∵a ＞b ＞0，∴a c＞b c，C 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝c x 在(0，＋∞)上递减， 又∵a ＞b ＞0，∴c a＜c b ，D 项错误．] ☞角度2 解简单的对数不等式(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )【导学号：66482062】A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0D [法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有D 正确． 法二：取a ＝2，b ＝3，排除A ，B ，C ，故选D.] ☞角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log a (3－ax )，是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] 假设存在满足条件的实数a .∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝3－ax 在[1,2]上是关于x 的减函数. 3分 又f (x )＝log a (3－ax )在[1,2]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，∴a ＞1，x ∈[1,2]时，u 最小值为3－2a ，7分f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32，10分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 12分 [规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[思想与方法]1．对数值取正、负值的规律当a ＞1且b ＞1或0＜a ＜1且0＜b ＜1时，log a b ＞0； 当a ＞1且0＜b ＜1或0＜a ＜1且b ＞1时，log a b ＜0.2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[易错与防范]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0＜a ＜1与a ＞1两种情况讨论．2．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．。
2.5对数与对数函数1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)：①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式基本公式：log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图像与性质4．反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0. 2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围． 『试一试』1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．『解析』当M ，N 为负数时，不能得到log 2M >log 2N ，而根据函数y ＝log 2x 的单调性可知，当log 2M >log 2N 时，可得M >N . 『答案』必要不充分2．(2014·常州期末)函数f (x )＝log 2(4－x 2)的值域为________．『解析』因为4－x 2∈(0,4』，所以log 2(4－x 2)∈(－∞，2』，故原函数的值域为(－∞，2』． 『答案』(－∞，2』1．对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点 (1)当a >1时，对数函数的图像“上升”； 当0<a <1时，对数函数的图像“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限． 『练一练』1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________． 『答案』(1,0)2．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为________． 『解析』易知log 23>1，log 32，log 52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3 x 与y ＝log 5 x 的图像，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式即得log 32>log 5 2.『答案』c >a >b计算下列各题： (1)lg 37＋lg 70－lg 3－lg 32－lg 9＋1；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 『解析』(1)原式＝lg 37×703－lg 32－2lg 3＋1＝lg 10－lg 3－12＝1－|lg 3－1|＝lg3.(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 ＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. 『备课札记』 『类题通法』对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．『典例』 (1)(2014·南通期末)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________． (2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．『解析』 (1)由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图像上，从而由2＝log 22x 得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎫22x上，从而y C ＝14，于是点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. (2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图像，可知，f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.『答案』 (1)⎝⎛⎭⎫12，14 (2)⎝⎛⎭⎫22，1 『备课札记』『解析』设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )＝log a x 图像的下方即可． 当0<a <1时，显然不成立； 当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图像在f 2(x )＝log a x 的图像下方，只需f 1(2)≤f 2(2)， 即(2－1)2≤log a 2， 又即log a 2≥1.所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2』． 『答案』(1,2』 『类题通法』应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 『针对训练』已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， 0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．『解析』令－12x ＋6＝0，得x ＝12.因为a ，b ，c 互不相等，令a <b <c ，作出f (x )的图像，如图所示．令f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ，则根据图像可得1<a <10，b ＋c ＝2×12＝24，故a ＋b ＋c ∈(25,34)．『答案』(25,34)『典例』 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 『解析』 (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，函数f (x )的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.『备课札记』『类题通法』求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”． 『针对训练』已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．『解析』(1)由a x －1>0得a x >1，当a >1时，x >0； 当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2， 故0<ax 1－1<ax 2－1， ∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)． ∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．『课堂练通考点』1．(2014·深圳第一次调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________.『解析』由题意得，f (－2)＝－f (2)＝－log 3(1＋2)＝－1. 『答案』－12．(2013·广东高考改编)函数y ＝lg x ＋1x －1的定义域是________．『解析』由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，『答案』(－1,1)∪(1，＋∞)3．(2013·苏北四市二调)已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋2，若f ⎝⎛⎭⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为________．『解析』令g (x )＝f (x )－2＝a log 2x －b log 3x ，可得g (x )满足g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－g (x )．所以由g ⎝⎛⎭⎫12 014＝f ⎝⎛⎭⎫12 014－2＝2，得g (2 014)＝－2，所以f (2 014)＝0. 『答案』04．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．『解析』f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2，⇔0≤x ≤1或x >1.『答案』『0，＋∞)5．(2014·南京模拟)若log 2a 1＋a 21＋a <0，则a 的取值范围是________．『解析』当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a>1. ∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a .∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意． 综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 『答案』⎝⎛⎭⎫12，16．(2013·北京高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．『解析』当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x <2，故值域为(0,2)∪(－∞，0』＝(－∞，2)．『答案』(－∞，2)。
2.5 对数与对数函数考情分析本节内容属于高考必考内容，主要考查对数函数的基础知识，以对数的运算法则为依据，考查对数运算，求函数值，对数式与指数式的互化等知识；以考查对数函数的单调性为目的，如比较函数值的大小，解简单的对数不等式等，如2009年高考江苏卷第11题．对数函数还往往作为考查其他章节知识的载体，如与导数结合等．预测在江苏高考中，对数函数的考查仍然会是热点．基础梳理1．对数的概念 (1)对数的定义如果________________，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作_________，其中__叫做对数的底数，___叫做真数．(b a ＝N (a ＞0，a ≠1)，log aN ＝b ，a ，N )(2)两种常见对数2.1．2log =2log a a x x 是否正确？ 提示：不一定正确．log a x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2log a x (x >0)2log a(－x ) (x <0).2．对数函数中底数对函数值有何影响？提示：在同一坐标系内分别作出函数y ＝lg x ，y ＝log 2x ，y ＝log 12x ，y ＝log 110x 的图象，易看出：当a >1时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近x 轴；同样地，当0＜a ＜1时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近y 轴，函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a ＞0，a ≠1)的图象关于x 轴对称．课前热身1．log 89·log 2732＝________.解析：log 89·log 27 32＝log 29log 28·log 232log 227＝2log 233·53log 23＝109.答案：1092．设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则把P 、Q 、R 从小到大排列为____________．解析：1＝log 22＜P ＝log 23＜log 24＝2，0＝log 31＜Q ＝log 32＜log 33＝1， R ＝log 2(log 32)＜log 21＝0，∴R ＜Q ＜P.答案：R ＜Q ＜P3．(高考浙江卷改编)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝________.答案：14．(高考四川卷改编)函数y ＝log 2x 的图象大致是________．答案：③5．(高考湖南卷改编)若log 2a <0，1()12b >，则a ，b 的取值范围是________．解析：由log 2a <0⇒0<a <1，由1()12b >⇒b <0.答案：0<a <1，b <06．函数212log (32)x x -+的递增区间是________．答案：(－∞，1)考点突破考点一 对数式的化简与求值熟练掌握对数的运算法则、对数恒等式以及换底公式，善于正用、逆用、变形用这些公式是解答对数式的化简与求值的关键． 例1 计算：(1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)；(3)lg5·lg8000＋(lg23)2lg600－12lg0.036－12lg0.1【思路点拨】 把式子中的对数化为最简形式，再根据对数的运算性质计算． 【解】 (1)原式＝(lg2)2＋(1＋ lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5 ＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2； (2)原式＝(lg2lg3＋lg2lg9)·(lg3lg4＋lg3lg8)＝(lg2lg3＋lg22lg3)·(lg32lg2＋lg33lg2)＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3；分母＝(lg6＋2)－lg 361000×110＝lg6＋2－lg 6100＝4； ∴原式＝34.【点评】 对数式的有关化简及运算，应熟练掌握对数的运算性质，对有些对数公式及结论的应用要灵活，能结合变形形式，对有关条件或运算形式进行准确地定位，从而得出结果．(1)利用换底公式及log a m N n ＝nm log a N ，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂； (3)利用约分、合并同类项，尽量求出具体值． 变式训练1 计算：(1)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5； (2)已知log a2＝m ，log a3＝n ，求a2m ＋n的值．解：(1)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋ (lg5)2]＋3lg2·lg5 ＝lg10[(lg2＋lg5)2－3lg2·lg5]＋3lg2·lg5＝1.(2)法一：∵log a2＝m ，∴a m ＝2.∵log a3＝n ，∴a n＝3.故a2m ＋n＝(a m )2·a n＝4×3＝12.法二：∵log a2＝m ，log a3＝n ，2log2log 3log 12212aa a m n a a a ++===研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1或0＜a ＜1的两种不同情况．有些看似复杂的问题，借助于函数图象来解决，就显得简单了，这也是数形结合思想的重要体现． 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．例2 当a >1时，函数log a y x =和y ＝(1－a )x 的图象只可能是________．【思路点拨】 利用对函数的性质判断函数图象．【解析】 当a>1时，函数log a y x =的图象只能在①和②中选．又a >1时，y =(1-a )x 为减函数． 【答案】 ②【点评】 图象问题涉及知识面较广，函数的性质几乎都在图象上有所反映，抓住图象的显著特征如单调性、奇偶性、对称性、定义域、值域等来判断，有时还要注意图象的变化趋势以及与x 、y 轴的交点等．变式训练2 在例2中“a >1”改为“0<a <1”，如果如何？解：0<a <1时，log a y x =为减函数；1－a >0，∴y ＝(1－a )x 为增函数，∴③正确．例3 (苏、锡、常、镇四市高三调研)已知函数2()|log |f x x =，正实数m 、n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[2m ，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________. 【思路分析】利用对数函数的图象结合性质判断m 、n 的关系．【解析】 由已知条件可得m ＜1＜n ，且f (m )＝f (1m )＝f (n )，即1m＝n ，∴m 2＜m ＜1，函数f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝2f (m )＝2f (n )＝2log 2n ＝2，解得n ＝2，m ＝12，∴m ＋n ＝52.【答案】 52【名师点评】本题应画出函数的草图，结合函数性质解答．观察图象中的特殊点、区域、单调性等特征，将其转化为代数关系式是关键的一步，在这个过程中要设法利用所需要的有效信息来解决问题．变式训练3 设20.34log 4,log 3,0.3a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：∵20.34log 40,log 3(0,1),0.31a b c -=<=∈=>， ∴a ＜b ＜c . 答案：a ＜b ＜c解决对数函数的综合问题时，要把对数函数的定义域、单调性与函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，要对底数进行分类讨论．例4 比较下列各组数的大小．(1) 32log 3与56log 5； (2)log 1.10.7与log 1.20.7；(3)已知111222log log log b a c <<，比较2,2,2a b c 的大小关系．【思路点拨】 化为同底，利用单调性比较．【解】 (1)∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.(2)法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log 0.71.1>log 0.71.2，∴1log 0.71.1<1log 0.71.2，即由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.法二：作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象．如图所示两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7.(3)∵y ＝log 12x 为减函数，且log 12b <log 12a <log 12c ，∴b >a >c ，而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c.【点评】对数的大小比较，可借助图象来研究，一般先观察正负情况，再利用单调性比较，有时还需借助中间量，如“1”，比较大小．变式训练4 (辽宁大连模拟)若a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 132，d ＝log 213，则a 、b 、c 、d 的大小关系是________．(请用“<”号连接)解析： 2313231log 32,0log 21,log 2log 2,log 3a b c d <=<<=<==-=-∴d <c <b <a . 答案：d <c <b <a例5 (本题满分16分)对于函数212()log (23)f x x ax =-+，(1)若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数在[－1，＋∞)上有意义，求实数a 的取值范围； (4)若函数的值域为(－∞，－1]，求实数a 的所有取值； (5)若函数在(－∞，1]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】 此题共有5个小题，最后所求均是a 的范围，而已知又是常见的关于定义域、值域及函数的性质的条件，概念性很强，需要熟练运用对数函数与二次函数的性质求解，解答本题需要非常准确地理解与掌握函数中的每个概念． 【解】 设u ＝g (x )＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2.1分 (1)∵u >0，对x ∈R 恒成立，∴umin＝3－a 2>0.故a 的取值范围为(－3，3).4分(2)log 12u 的值域为R ⇔u ＝g (x )能取遍(0，＋∞)的一切值，因此u min ＝3－a 2≤0，故a 的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞).7分 (3)函数f (x )在[－1，＋∞)上有意义⇔u ＝g (x )>0对x ∈[－1，＋∞)恒成立， 因此应按g (x )的对称轴x ＝a 分类，则得：⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1g (－1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1Δ＝4a 2－12<0解这两个不等式组得到实数a 的取值范围是(－2分 (4)∵函数f (x )的值域为(－∞，－1]，∴g (x )的值域是[2，＋∞)， 因此要求g (x )能取遍[2，＋∞)的一切值(而且不能多取)． 由于g (x )是连续函数，所以命题等价于[g (x )]min＝3－a 2＝2，故a ＝±1.13分(5)函数在(－∞，1]上是增函数⇔g (x )在(－∞，1]上是减函数，且g (x )>0对x ∈(－∞，1]恒成立，⇔1(1)0a g ≥⎧⎨>⎩，故a 的取值范围为[1,2).16分【点评】 ①此题用同一个函数考查了常见的既是重要的基本问题，又是容易混淆的难点问题．做完后，应注意比较与总结．如函数在某区间上有意义与其定义域是某区间两者之间是有本质的区别．函数在某区间上有意义说明此区间是它的定义域的一个子集，而不一定与定义域相同．②第(1)问与第(2)问也容易混淆．定义域为R 是指函数式对任意x ∈R 都有意义；值域为R ，定义域不一定为R.这要通过分析所给函数的性质来解决，如：y ＝lg x ，x 的取值范围只要包含(0，＋∞)，y 便可取到全体实数．变式训练5 (本题满分12分)已知：f (x )＝lg(a x－b x)(a >1>b >0)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )在其定义域内的单调性；(3)若f (x )在(1，＋∞)内恒为正，试比较a －b 与1的大小． 解：(1)由a x－b x>0，∴(a b )x >1，∵ ab>1，∴x >0，∴f (x )的定义域为(0，＋∞).4分(2) 212112210,10,,,,x x a b ax ax bx bx bx bx >>>>>∴>>->-设22221121110,1,()()0()(0,).10ax bx ax bx ax bx f x f x f x ax bx -∴->->∴>∴->∴+∞-在内是增函数分(3)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，要使f (x )>0，须f (1)≥0，∴a －b ≥1.12分例6 已知函数()log (2)a f x ax =-，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．【思路分析】 由已知可知a ＞0且a ≠1，在[0,1]上f (x )单调递减，等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0.【解】 ∵a ＞0，且a ≠1，设u ＝2－ax ，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时， u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．【名师点评】 (1)求对数型函数的定义域时，真数大于0，底数大于0且不等于1是对数式有意义的条件．(2)求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤 ①确定定义域；②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )， u ＝g (x )；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增同减时，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．(3)与对数函数有关的函数最值(值域)的常用求法除图象法外还有单调性法、换元法、基本不等式法、导数法．变式训练6 已知函数f (x )＝log a (ax －x )(a ＞0，a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若a ＝2，试根据单调性的定义确定函数f (x )的单调性． 解：(1)由ax －x ＞0，得x ＜ax ，∵a ＞0，x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＜a 2x 2⇒x ＞1a 2， ∴f (x )的定义域是(1a2，＋∞)．(2)若a ＝2，则f (x )＝log 2(2x －x )．设x 1＞x 2＞14，则(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝2(x 1－x 2)－(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)[2(x 1＋x 2)－1]＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )为增函数．方法感悟方法技巧1．比较两个对数大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与1比较．2．把原函数变量代换为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是求对数函数的常见题型．在给定条件下，求字母的取值范围也较常见，尤其是与对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜．3．对数函数结合有关的函数性质命题，常常与单调性、图象有关，因而数形结合法是常用的方法．4．解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有： (1)形如log af (x )＝log ag (x )(a >0且a ≠1)的方程，化成f (x )＝g (x )求解．(2)形如f (log ax )＝0的方程，用换元法求解；(3)形如log f (x )g (x )＝c 的方程，化成指数式[f (x )]c＝g (x )求解．失误防范1．由于对数的真数大于0，因而解与对数函数有关的问题，要考虑到真数大于0这一限制条件．2．在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数范围扩大或缩小就容易产生增根或失根，因此解对数方程要注意验根．3．含参数的指数、对数方程在求解时，注意将原方程等价转化为某个混合组，并注意在等价转化的原则下化简、求解，并对参数进行分类讨论．真题透析例 (高考江苏卷)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.【解析】 由已知条件可得A ＝{x |log 2x ≤2}＝(0,4]，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则a ＞4，即得c ＝4.【答案】 4【名师点评】 解与对数函数有关的问题，须考虑对数自身的要求，如真数、底数等，与对数函数相结合的问题，要注意变化的等价性，自变量x 的范围要把握准确．名师预测1．设a ＞1，且m ＝log a(a 2＋1)，n ＝log a(a －1)，p ＝log a(2a )，则m 、n 、p 的大小关系为________．解析：令a ＝2，则m ＝log 25＞2，n ＝log 21＝0，p ＝log 24＝2.答案：m ＞p ＞n2．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2＜3＜4＝22，∴1＜log 23＜2.∴3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 28＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log224＝2－log 224＝2log2 ＝124.答案：1243．已知函数f (x )＝log a|x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)、f (1)、f (3)的大小关系为________．解析：因为f (x )＝log a|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a|x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)． 答案：f (1)＜f (－2)＜f (3)4．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg x ＋11－x，由f (x )＜0，得0＜x ＋11－x＜1，∴－1＜x ＜0.答案：(－1,0)随堂即时巩固1．(高考广东卷改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝________.解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案：log 12x2．(高考全国卷Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：a ＝log 3π>1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝12log 32∈(0，12)，故有a >b >c .答案：a >b >c3．若函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛]1,0[,4)0,1[,41x x xx，则f (log 43)＝________.解析：0<log 43<1，∴f (log 43)＝4log 43＝3. 答案：34．如图所示，若函数f (x )＝a x－1的图象经过点(4,2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是________．解析：由已知将点(4,2)代入y ＝a x －1，∴2＝a 4－1，即a ＝213>1.又1x ＋1是单调递减的，故g (x )递减且过(0,0)点，∴④正确． 答案：④5．(原创题)已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f (12010)＝4，则f (2010)的值为________．解析：设F (x )＝f (x )－2，即F (x )＝a log 2x ＋b log 3x ，则F (1x )＝a log 21x ＋b log 31x＝－(a log 2x＋b log 3x )＝－F (x )，∴F (2010)＝－F (12010)＝－[f (12010)－2]＝－2，即f (2010)－2＝－2，故f (2010)＝0. 答案：06．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4. ∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2. ∴f (x )＝x 2－x ＋2.∴f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x <0或log 2x >1，0<x 2－x ＋2<4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1或x >2，－1<x <2.∴0<x <1.课后作业1．(高考北京卷改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点________．解析：∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴将y ＝lg x 的图象上的点向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再将y ＝lg(x ＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(安徽黄山质检)对于函数f (x )＝lg x 定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.上述结论中正确结论的序号是________．解析：由运算律f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg x 1x 2＝f (x 1x 2)，所以②对；因为f (x )是定义域内的增函数，所以③正确；f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 2，∵x 1＋x 22≥x 1x 2，且x 1≠x 2，∴lg x 1＋x 22>lg x 1x 2，所以④错误． 答案：②③3．(枣庄第一次质检)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为________． 解析：在同一直角坐标系中画出y ＝log 12(3x －2)和y ＝log 2x 这两个函数的图象，由图象可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x (0<x ≤1)log 12(3x －2) (x >1)，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为________．解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，得f (x )＝ln x ，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，故有g (x )＝－ln x ，g (a )＝1⇒ln a ＝－1，所以a ＝1e. 答案：1e5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________． 解析：由log 2x |x |有意义可得x >0，所以，f (2x ＋|x |)＝f (1x )，log 2x |x |＝log 2x ，即有f (1x )＝log 2x ，故f (x )＝log 21x＝－log 2x . 答案：f (x )＝－log 2x ，(x >0)6．(高考辽宁卷改编)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝________.解析：由题意2x 1＋2x 1＝5，①2x 2＋2log 2(x 2－1)＝5，②所以2x 1＝5－2x 1，x 1＝log 2(5－2x 1)，即2x 1＝2log 2(5－2x 1)．令2x 1＝7－2t ，代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1)，∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②式比较得t ＝x 2，于是2x 1＝7－2x 2.∴x 1＋x 2＝T 2. 答案：727．当x ∈[n ，n ＋1)，(n ∈N )时，f (x )＝n －2，则方程f (x )＝log 2x 根的个数是________． 解析：当n ＝0时，x ∈[0,1)，f (x )＝－2；当n ＝1时，x ∈[1,2)，f (x )＝－1；当n ＝2时，x ∈[2,3)，f (x )＝0；当n ＝3时，x ∈[3,4)，f (x )＝1；当n ＝4时，x ∈[4,5)，f (x )＝2；当n ＝5时，x ∈[5,6)，f (x )＝3.答案：28．(福建厦门模拟)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．解析：由题知，a ＝1b ，则f (x )＝(1b)x ＝b －x ，g (x )＝－log b x ，当0<b <1时，f (x )单调递增，g (x )单调递增，②正确；当b >1时，f (x )单调递减，g (x )单调递减．答案：②9．已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与函数y ＝log 3x 及函数y ＝3x 的图象分别交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12＋x 22的值为________．解析：∵y ＝log 3x 与y ＝3x 互为反函数，所以A 与B 两点关于y ＝x 对称，所以x 1＝y 2，y 1＝x 2，∴x 12＋x 22＝x 12＋y 12＝9.答案：910．已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R 且k >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，求k 的取值范围．解：(1)由kx －1x －1>0及k >0得x －1kx －1>0，即(x －1k )(x －1)>0.①当0<k <1时，x <1或x >1k ；②当k ＝1时，x ∈R 且x ≠1；③当k >1时，x <1k 或x >1.综上可得当0<k <1时，函数的定义域为(－∞，1)∪(1k ，＋∞)；当k ≥1时，函数的定义域为(－∞，1k )∪(1，＋∞)．(2)∵f (x )在[10，＋∞)上是增函数，∴10k －110－1>0，∴k >110.又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg(k ＋k －1x －1)，故对任意的x 1，x 2，当10≤x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，即lg(k ＋k －1x 1－1)<lg(k ＋k －1x 2－1)，∴k －1x 1－1<k －1x 2－1，∴(k －1)·(1x 1－1－1x 2－1)<0，又∵1x 1－1>1x 2－1，∴k －1<0，∴k <1.综上可知k ∈(110，1)．11．(天津和平质检)已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并给予证明；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．解：(1)由1＋x1－x >0 ，解得x ∈(－1,1)．(2)f (－x )＝log a 1－x1＋x ＝－f (x )，且x ∈(－1,1)，∴函数y ＝f (x )是奇函数．(3)若a >1，f (x )>0，则1＋x1－x >1，解得0<x <1；若0<a <1，f (x )>0，则0<1＋x1－x <1，解得－1<x <0.12．已知函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1(x －x －1)，其中a >0且a ≠1.(1)对于函数f (x )，当x ∈(－1,1)时，f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的集合；(2)x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．解：令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ，∴f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )，∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )．∵f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，∴f (x )是R 上的奇函数．当a >1时，a a 2－1>0，a x 是增函数，－a －x 是增函数，∴f (x )是R 上的增函数；当0<a <1时，a a 2－1<0，a x 是减函数，－a －x 是减函数，∴f (x )是R 上的增函数．综上所述，a >0且a ≠1时，f (x )是R 上的增函数．(1)由f (1－m )＋f (1－m 2)<0有f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <m 2－1，－1<1－m <1，－1<m 2－1<1.解得m ∈(1，2)．(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴f (x )－4也是R 上的增函数，由x <2，得f (x )<f (2)，∴f (x )－4<f (2)－4，要使f (x )－4的值恒为负数，只需f (2)－4≤0，即aa 2－1(a 2－a －2)－4≤0，解得2－3≤a ≤2＋3，∴a 的取值范围是2－3≤a ≤2＋3且a ≠1.。
