2018届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测理科数学试题

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、单选题1．【2018黑龙江大庆高三二模】已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 2【答案】A点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．2．【2018广东惠州高三4月模拟】已知F是抛物线2x4y=的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为() 0,1-，则PFPA的最小值是（）A.14 B. 12C. 22D. 3【答案】C设切点()2,P a a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为1222a a a⋅==. ∴1a =，则()2,1P . ∴2PM =， 22PA =∴2sin 2PM PAM PA∠==故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.3．【2018河南郑州高三二模】如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为( )A. 23B. 42C. 12D. 52 【答案】A【点睛】当抛物线方程为22(p>0)y px =，，过焦点的直线l 与抛物线交于,P Q ，则有112F PF Q P+=，抛物线的极坐标方程为1cos p ρθ=-，所以1PF ρ== 1cos pθ-，()21cos 1cos p p QF ρθπθ===-++，所以112F PF Q P+=，即证。

大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数学（理科）参考答案1-12题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B DCCABDAABCD13. 60 14. 2 15.323π16. 22-117.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知981S =，根据等差数列性质可知：95199(4)81S a a d ==+=，所以149a d +=. …………1分 因为11a =，所以2d =， …………2分 所以21n a n =-. …………3分所以15[log 1]0b ==， …………4分145[log 27]2b ==， …………5分 615[log 121]2b ==. …………6分（Ⅱ）当12n ≤≤时，13n a ≤≤（*n a N ∈），5[log ]0n n b a ==,共2项；…………7分当312n ≤≤时，523n a ≤≤，5[log ]1n n b a ==，共10项； …………8分当1362n ≤≤时，15123n a ≤≤，5[log ]2n n b a ==，共50项； …………9分 当63200n ≤≤时，125399n a ≤≤，5[log ]3n n b a ==，共138项. ………10分所以数列{}n b 的前200项和为201015021383524⨯+⨯+⨯+⨯=. …………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由列联表得：2235(157103)175 2.571817251068K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯． ………… 2分由于2.57 2.706<，所以没有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关．………… 4分（2）X 可取值0，1，2，3． ………… 5分343101(0)30C P X C ===， ………… 6分21463103(1)10C C P X C ===， ………… 7分12463101(2)2C C P X C ===， ………… 8分363101(3)6C P X C ===， ………… 9分所以X 的分布列为X 0 1 2 3P130 310 12 16………… 10分这3人中使用国产手机的人数X 的数学期望为13119()01233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………… 12分 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：由题意可知，22222222BM AB AM =+=+=，22222222CM CD DM =+=+=,4BC =， …………2分所以，在△BCM 中，222BC BM CM =+，所以CM BM ⊥； ………… 3分 因为平面ABM ⊥平面BCDM 且BM 是交线，CM ⊂平面BCDM ………… 5分 所以CM ⊥平面ABM ，因为AB ⊂平面ABM ，所以AB CM ⊥ ………… 6分解：（Ⅱ）设BM 中点为O ,BC 中点为N ,连接ON 所以//ON MC ，所以ON ABM ⊥平面. 所以ON BM ON AO ⊥⊥，. 因为AB AM =，所以AO ⊥BM以O 为坐标原点，分别以OB ON OA 、、所在直线为x 轴、y轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图 ………… 7分 则(0,0,2)A 、(2,22,0)C -、(2,0,0)B 、()2,0,0M -， 从而(22,22,0)CB =-，(2,22,2)CA =-，(0,22,0)CM =-.NO BCDMAxyz设)1z y x n ，，（=为平面ABC 的法向量，则110200n CA x y z x y n CB ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩，可以取11,1,1)n =（ ………… 9分设)(2z y x n ，，=为平面ACM的法向量，则2202000n CA x y z y n CM ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩可以取2(1,01n =-，） ………… 11分 因此，021=⋅n n ，有21n n ⊥，即平面ABC ⊥平面ACM，故二面角B AC M --的大小为90︒. ………… 12分20（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得321442c aab ⎧=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， ………… 1分 又222a b c =+，解得21a b ==，. ………… 2分所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………… 4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为()0y kx mm =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=， ………… 5分()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，则()2121222418,1414m kmx x x x k k--+==++， …………6分 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ………… 8分因为212k k k =，所以()221212212121212k x x km x x m y y k k k x x x x +++===，即22228014k m m k-+=+， ………… 10分 又0m ≠，所以214k =， ………… 11分 又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率k 为定值12-. ………… 12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为()()()2ln 1f x x a x a R =+-∈，函数定义域为：{}0x x > ()212212(1)ax ax f x a x x x-+'=+-=， ………… 1分令2()221g x ax ax =-+，由0a <可知，2480a a ->，从而()0g x =有两个不同解. …………2分令()0f x '=，则11121022x a =--<，21121022x a=+-> ………… 3分当()20,x x ∈时，()0f x '>；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<， ………… 4分所以函数()y f x =的单调递增区间为1120,122a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1121+22a ⎛⎫+-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，. ………… 5分（Ⅱ）由题意得，当1x ≥时，ln 220x x e ax a e +-+-≥恒成立. 令()ln 22xh x x e ax a e =+-+-，求导得()12xh x e a x'=+-， ………… 6分 设()12x x e a x ϕ=+-，则()21x x e xϕ'=-， 因为1x ≥，所以21,1x e e x≥≤，所以'()0x ϕ>，所以()x ϕ在[)1+∞，上单调递增，即()h x '在[)1+∞，上单调递增，所以()()112h x h e a ''≥=+- ………… 8分 ①当12ea +≤时，()0h x '≥， 此时，()ln 22x hx x e ax a e =+-+-在[)1,+∞上单调递增，而()10h =，所以()0h x ≥恒成立，满足题意. ………… 9分②当12ea +>时，()1120h e a '=+-<，而()1ln 2220ln 2h a a a a'=+->， 根据零点存在性定理可知，存在()01,ln 2x a ∈，使得()00h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()hx 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以有()()010h x h <=，这与()0hx ≥恒成立矛盾， ………… 11分所以实数a 的取值范围为1,2e +⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ………… 12分 22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，22tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，………… 1分 圆1C 的普通方程为22480x y x y +--=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得，24cos 8sin 0ρρθρθ--=，所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+； ………… 3分2C 的平面直角坐标系方程为33y x =； ………… 5分 （Ⅱ）分别将,36ππθθ==代入1C 的极坐标方程4cos 8sin ρθθ=+得：1243ρ=+， ………… 6分 2423ρ=+， ………… 7分则OMN ∆的面积为()()11sin 243423sin 8532236OMN S OM ON MON ππ∆⎛⎫=⋅∠=⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭,所以OMN ∆的面积为853+. ………… 10分 23.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意知，需解不等式125x x ++-≥.当1x <-时，上式化为215x -+≥，解得2x ≤-； ………… 1分 当12x -≤≤时，上式化为35≥，无解； ………… 2分当2x >时，①式化为215x -≥，解得3x ≥. ………… 3分 所以()5f x ≥的解集为{}23x x x ≤-≥或. ………… 5分 （Ⅱ）当[0,2]x ∈时，()3f x =， ………… 6分则当[0,2]x ∈，23x x a --≤恒成立.设2()g x x x a =--，则()g x 在[]0,2上的最大值为(2)2g a =-. ………… 8分 所以(2)3g ≤，即23a -≤，得1a ≥-. ………… 9分 所以实数a 的取值范围为[1,)-+∞. ………… 10分。

黑龙江省哈尔滨2018届高考二模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．4﹣iD ．4+i2．设a=（sin17°+cos17°），b=2cos 213°﹣1，c=．则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a3．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞x 2；q ：“ab＞1“是“a＞1，b ＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．￢p ∧qC ．p ∧￢qD ．￢p ∧￢q4．设变量x ，y 满足约束条件：，则z=|x ﹣2y+1|的取值范围为（ ）A ．[0，4]B ．[0，3]C ．[3，4]D ．[1，3]5．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+1）=f （﹣x ），当x ∈（0，]时，f （x ）=（1﹣x ），则f （x ）在区间（1，）内是（ ）A ．减函数且f （x ）＞0B ．减函数且f （x ）＜0C ．增函数且f （x ）＞0D ．增函数且f （x ）＜06．执行右面的程序框图，如果输出的a 值大于2017，那么判断框内的条件为（ ）A ．k ＜9？B ．k ≥9？C ．k ＜10？D ．k ≥11？7．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2011=﹣2011，a 1012=3，则S 2017等于（ ） A ．1009B ．﹣2017C ．2017D ．﹣10098．现有语文书第一二三册，数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数（ ） A ．144 B ．288 C ．216 D ．3609．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．210．已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且的最大值是（）A．B．C．D．11．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（）A．B．C．D．12．已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0二、填空题（本大题共4小题，每题5分.）13．已知f（x）=3cosx﹣4sinx，x∈[0，π]，则f（x）的值域为．14．在二项式（x2+）5的展开式中，含x项的系数是a，则x﹣1dx= ．15．如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD面积是．16．已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是（写出所以正确命题的编号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n }满足，（n ∈N +）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n }的前n 项和S n ，求证：．18．（12分）哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛，经过层层筛选，最后五名同学进入了总决赛．在进行笔答题知识竞赛中，最后一个大题是选做题，要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答，假设这5位选手选做每一题的可能性均为． （Ⅰ）求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率．（Ⅱ）设这5位选手中选做第1题的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠A BC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20．（12分）己知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5的两个交点之间的距离为4．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0，1]时，求|AB|•|CD|的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f （1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意x∈（，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=，Tn=1+2[g（）+g（）+g（）+…+g（）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有+++…+＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O，A两点．（Ⅰ）求直线OA的斜率；（Ⅱ）过O点作OA的垂线分别交两圆于点B，C，求|BC|．23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，；（Ⅱ）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．黑龙江省哈尔滨2018届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】A8：复数求模．【分析】化简复数z，写出z的共轭复数即可．【解答】解：复数=|i+1|+i2016•i=+i=2+i，∴复数z的共轭复数为=2﹣i．故选：A．【点评】本题考查了复数的化简与共轭复数的应用问题，是基础题．2．设a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°﹣1，c=．则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦．【分析】利用条件以及两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式，化简a、b、c，再利用正弦函数的单调性判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵a=（sin17°+cos17°）=sin17°cos45°+cos17°sin45°=sin62°，b=2cos213°﹣1=cos26°=sin64°，c=sin60°=，再根据函数y=sinx在（0°，90°）上单调递增，∴b＞a＞c，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角的余弦公式，诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题．3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】命题p：是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等．q：由“a＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a=10，b=．进而判断出结论．【解答】解：命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等．q：由“a＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a=10，b=．∴“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的必要不充分条件，是假命题．∴下列命题为真命题的是￢p∧（￢q），故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．设变量x，y满足约束条件：，则z=|x﹣2y+1|的取值范围为（）A．[0，4] B．[0，3] C．[3，4] D．[1，3]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，在平面直角坐标系中画出直线x﹣2y+1=0，由图可知，当x ﹣2y+1≥0时，当直线平移至B函数t=x﹣2y+1有最小值﹣4；当x﹣2y+1＜0时，当直线平移至A函数t=x﹣2y+1有最大值3，取绝对值后再取并集得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），联立，解得B（﹣1，2），作出直线x﹣2y+1=0如图，由图可知，当x﹣2y+1≥0时，当直线平移至B函数t=x﹣2y+1有最小值﹣4；当x﹣2y+1＜0时，当直线平移至A函数t=x﹣2y+1有最大值3．∴z=|x﹣2y+1|的取值范围为[0，4]．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解；因为定义在R上的奇函数满足f（x+1）=f（﹣x），所以f（x+1）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以函数的周期是2，则f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，设x∈（﹣1，﹣），则x+1∈（0，），又当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），所以f（x+1）=（﹣x），由f（x+1）=f（﹣x）得，f（﹣x）=（﹣x），所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x），由x∈（﹣1，﹣）得，f（x）=﹣（﹣x）在（﹣1，﹣）上是减函数，且f（x）＜f （﹣1）=0，所以则f（x）在区间（1，）内是减函数且f（x）＜0，故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．6．执行右面的程序框图，如果输出的a值大于2017，那么判断框内的条件为（）A．k＜9？B．k≥9？C．k＜10？D．k≥11？【考点】EF：程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框内的条件．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=1，a=1，满足条件，执行循环体，a=6，k=3 满足条件，执行循环体，a=33，k=5 满足条件，执行循环体，a=170，k=7 满足条件，执行循环体，a=857，k=9 满足条件，执行循环体，a=4294，k=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出a 的值为4294． 可得判断框内的条件为：k ＜10？ 故选：C ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．7．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2011=﹣2011，a 1012=3，则S 2017等于（ ） A ．1009B ．﹣2017C ．2017D ．﹣1009【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列{a n }，S 2011=﹣2011，可得S 2011=﹣2011==2011a 1006，再利用求和公式与性质即可得出．【解答】解：由等差数列{a n }，S 2011=﹣2011，∴S 2011=﹣2011==2011a 1006，∴a 1006=﹣1，a 1012=3，则S 2017===2017．故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．现有语文书第一二三册，数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数（ ） A ．144 B ．288 C ．216 D ．360【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：1、若语文第一册排在3本数学书之间，分3步进行分析：①、将三本数学书分为1﹣2的两组，将两组全排列，②、将语文第一册安排在数学书的两组之间，③、将3本数学书和语文第一册看成一个整体，与语文第二、三册全排列，2、若语文第一册不排在三本数学书之间，也需要分3步进行分析：①、安排语文第二、三册，将其全排列即可，②、安排3本数学书，先将将三本数学书分为1﹣2的两组，再在语文书的3个空位中，任选2个，安排2组数学书，③、安排语文第一册，分别求出每一步的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：1、若语文第一册排在3本数学书之间，分3步进行分析：1=3种分组方法，考虑2本一组的顺序，有2种情况，①、将三本数学书分为1﹣2的两组，有C32=2种顺序，将两组全排列，有A2②、将语文第一册安排在数学书的两组之间，有1种情况，3=6种情况，③、将3本数学书和语文第一册看成一个整体，与语文第二、三册全排列，有A3此时不同的排法有3×2×2×6=72种排法；2、若语文第一册不排在三本数学书之间，分3步进行分析：2=2种顺序，排好后有3个空位可用，①、将语文第二、三册全排列，有A21=3种分组方法，②、将三本数学书分为1﹣2的两组，有C3考虑2本一组的顺序，有2种情况，2=6种情况，在3个空位中，任选2个，安排2组数学书，有A3则数学书的安排有3×2×6=36种情况，③、数学书和2本语文书排好后，除去2端，有3个空位可选，1=3种情况，在3个空位中，任选1个，安排语文第一册，有C3此时不同的排列方法有2×36×3=216种；综合可得：不同的排列方法有72+216=288种；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，关键是分析题意，确定分步分析的步骤．9．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．2【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为，即可求出它的体积．【解答】解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为；•h=×2=．所以，该棱锥的体积为V=S底面积故选：B．【点评】本题考查了利用三视图求体积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．10．已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且的最大值是（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P的坐标为（cosθ，sinθ），求出点B的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到x+y=sin（θ+φ）+，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案【解答】解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则△ABC外接圆的方程为x2+y2=2.52，设P的坐标为（cosθ，sinθ），过点B作BD垂直x轴，∵sinA=，AB=3∴BD=ABsinA=，AD=AB•cosA=×3=，∴OD=AO﹣AD=2.5﹣=，∴B（﹣，），∵A（﹣，0），C（，0）∴=（，），=（5，0），=（cosθ+，sinθ）∵=x+y∴（cosθ+，sinθ）=x（，）+y（5，0）=（x+5y， x）∴cosθ+=x+5y，sinθ=x，∴y=cosθ﹣sinθ+，x=sinθ，∴x+y=cosθ+sinθ+=sin（θ+φ）+，其中sinφ=，cosφ=，当sin（θ+φ）=1时，x+y有最大值，最大值为+=，故选：B【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．11．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意画出图形，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，可得四棱锥的体积，再利用比例关系结合等积法求出多面体ABCDEF的体积，作出得到四棱锥P﹣DCFE的体积，由测度比为体积比得答案．【解答】解：如图，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，∴．∵PE=2EA，PF=2FB，∴EF∥AB，则EF∥平面ABCD，且F到平面ABCD的距离为，∴，， =．则多面体ABCDEF的体积为．∴．∴M在平面EFCD上方的概率是．故选：B．【点评】本题考查几何概型，考查多面体体积的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．12．已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0【考点】2H：全称命题．【分析】先利用导数求出函数f（x）的最小值，再转化为函数f（x）≥0恒成立，构造函数设g（a）=e2a﹣1+a，再利用导数求出a的值，问题的得以解决【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x=，函数有最小值，最小值为f（）=e2a﹣1+a∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，设g（a）=e2a﹣1+a，∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，令g′（a）=0，解得a=当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增∴g（a）＜g（）=0，∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a=时取等号，存在唯一的实数a=，使得对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，当a≠时，f（x）＜0，故C错误故选：C【点评】本题考查了利用导数函数恒成立的问题，关键构造函数g（a），属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每题5分.）13．已知f（x）=3cosx﹣4sinx，x∈[0，π]，则f（x）的值域为[﹣5，3] ．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据x∈[0，π]，结合三角函数的性质可得值域．【解答】解：f（x）=3cosx﹣4sinx=5sin（x+θ），其中sinθ=＞0，cosθ=＜0，∴，∵x∈[0，π]，∴x+θ∈（，2π）当x+θ=，则f（x）取得最小值为﹣5，当x=0，则f（x）取得最大值为3，答案为：[﹣5，3]．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．14．在二项式（x2+）5的展开式中，含x项的系数是a，则x﹣1dx= ln10 ．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据二项式的展开式中，含x项的系数是a，求出a的值．根据定积分公式求解定积分即可．【解答】解：二项式为，，由通项公式可得：Tr+1=∵含x项，∴r=3，∴含x项的系数为=10．即a=10．那么==lnx|=ln10．故答案为：ln10．【点评】本题主要考查二项式定理通项公式的应用，和定积分的计算．属于基础题．15．如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD 面积是 10．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】连结BD ，根据余弦定理列出方程解出cosA （或cosC ），进而给出sinA ，sinC ，代入面积公式即可【解答】解：连结BD ，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB •ADcosA=61﹣60cosA ， 在△BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2﹣2BC •CDcosC=41﹣40cosC ． ∴61﹣60cosA=41﹣40cosC ， ∵A+C=180°， ∴cosA=﹣cosC ．∴cosA=．∴sinA=sinC=．∴四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △BCD =AB ×AD ×sinA+BC ×CD ×sinC=6×5×+×4×5×=10故答案为：10【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．16．已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是①②（写出所以正确命题的编号）【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆心M（﹣cosθ，sinθ）到直线的距离d==≤1，由此能求出结果．【解答】解：∵圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1恒过定点O（0，0）直线l：y=kx也恒过定点O（0，0），∴①正确；圆心M（﹣cosθ，sinθ）圆心到直线的距离d==≤1，∴对任意实数k和θ，直线l和圆M的关系是相交或者相切，∴②正确，③④都错误．故答案为：①②．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）}满足，17．（12分）（2017•香坊区校级二模）已知数列{an）．（n∈N+}的通项公式；（Ⅰ）求数列{an（Ⅱ）设，数列{b n }的前n 项和S n ，求证：．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】（I ）数列{a n }满足，（n ∈N +）．n ≥2时，a 1+3a 2+ (3)﹣2a n ﹣1=，相减可得：3n ﹣1a n =，可得a n ．n=1时，a 1=．（II），b 1=．n≥2时，b n ==．利用裂项求和方法与数列的单调性即可得出．【解答】（I ）解：数列{a n }满足，（n ∈N +）．∴n ≥2时，a 1+3a 2+…+3n ﹣2a n ﹣1=，相减可得：3n ﹣1a n =，∴a n =．n=1时，a 1=．综上可得：a n =．（II ）证明：，∴b 1==．n ≥2时，b n ==．∴S n =+++…+=+＜．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•香坊区校级二模）哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛，经过层层筛选，最后五名同学进入了总决赛．在进行笔答题知识竞赛中，最后一个大题是选做题，要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答，假设这5位选手选做每一题的可能性均为．（Ⅰ）求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率．（Ⅱ）设这5位选手中选做第1题的人数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件的概率公式，求出甲、乙2名学生选做同一道题的概率；（Ⅱ）确定X的取值，求出相应的概率，即可求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“甲选做第1题”，事件B表示“乙选做第1题”，则“甲选做第2题”为，“乙选做第2题”为；∴甲、乙2位选手选做同一道题的事件为“AB+”，且事件A、B相互独立；∴P（AB+）=P（A）P（B）+P（）P（）=×+（1﹣）×（1﹣）=；（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B（5，）；∴P（X=k）=••=•，k=0，1，2，3，4，5；∴变量X的分布列为：X的数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=（或EX=np=5×=）．【点评】本题考查了概率知识的运用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望计算问题，是中档题．19．（12分）（2017•香坊区校级二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE；（2）建立空间坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，则AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3，∴AB2=AC2+BC2，得BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）．=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1）．设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，取x=1，得=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量．∴cosθ===．∵0≤λ≤，∴当λ=0时，cosθ有最小值，当λ=时，cosθ有最大值．∴cosθ∈[]．【点评】本题考查平面与平垂直的证明，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的余弦值，是中档题．20．（12分）（2017•香坊区校级二模）己知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5的两个交点之间的距离为4．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0，1]时，求|AB|•|CD|的取值范围．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用圆C1：x2+y2=5与抛物线C2：x2=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m），即可求m的值及抛物线C2的方程；（Ⅱ）直线的方程为y=kx+1，分别于抛物线、圆的方程联立，求出|AB|，|CD|，利用k∈[0，1]时，即可求|AB|•|CD|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5在第一象限内的交点为R（2，m），∴4+m2=5，∵m＞0，∴m=1，将（2，1）代入x2=2py，可得p=2；（Ⅱ）抛物线C1的方程为x2=4y．直线的方程为y=kx+1，联立x2=4y可得x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4联立x2+y2=5可得（1+k2）x2+2kx﹣4=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=﹣，x3x4=﹣，∴|AB|=•=4（1+k2），|CD|=，∴|AB||CD|=4=×，∵k∈[0，1]，∴k2∈[0，1]，∴|AB||CD|∈[16，24]．【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2015•龙岩一模）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意x∈（，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=，Tn=1+2[g（）+g（）+g（）+…+g（）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有+++…+＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导数，利用条件列出方程，即可求实数a的值；（Ⅱ）转化条件为对恒成立，即对恒成立，构造函数，求出t（x）最小，即可得到实数m的取值范围．（Ⅲ）通过，推出，化简，推出T=n．然后求解n，取n=2m（m∈N*），利用放缩法推出≥，当m趋向于+∞时，趋向于+∞．然后说明结果．【解答】解：（Ⅰ） =依题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．得：，∴a=0，（Ⅱ）对任意的，（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立．等价于xe x﹣m（2x﹣1）≥0对恒成立，即对恒成立令，则m≤t（x）最小∵由t′（x）=0得：x=1或（舍去）当时，t′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0∴t（x）在上递减，在（1，+∞）上递增=t（1）=e，∴t（x）最小∴m≤e．（Ⅲ）=，，∴，因此有由，得2T n =2+2[1+1+…+1]=2+2（n ﹣1）=2n ，∴T n =n ．，取n=2m （m ∈N *），则==，当m 趋向于+∞时，趋向于+∞．所以，不存在正常数M ，对任意给定的正整数n （n ≥2），都有成立．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，构造法以及数列求和，放缩法的应用，难度大，考查知识面广．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22．（10分）（2017•香坊区校级二模）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O ，A 两点． （Ⅰ）求直线OA 的斜率；（Ⅱ）过O 点作OA 的垂线分别交两圆于点B ，C ，求|BC|． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由由，得2cosθ=sinθ，化简即可得出k OA ．（Ⅱ）设A 的极角为θ，tanθ=2，则sinθ=，cosθ=，把B （ρ1，θ﹣）代入ρ=2cosθ得ρ1．把C （ρ2，θ+）代入ρ=sinθ得ρ2，利用|BC|=ρ1+ρ2，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由，得2cosθ=sinθ，tanθ=2，∴k OA =2．（Ⅱ）设A 的极角为θ，tanθ=2，则sinθ=，cosθ=，则B （ρ1，θ﹣），代入ρ=2cosθ得ρ1=2cos （θ﹣）=2sinθ=，C （ρ2，θ+），代代入ρ=sinθ得ρ2=sin （θ+）=cosθ=，∴|BC|=ρ1+ρ2=．【点评】本题考查了极坐标方程的应用、斜率计算、弦长计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2017•香坊区校级二模）已知函数f （x ）=|x ﹣1|． （Ⅰ）解不等式：f （x ）+f （x ﹣1）≤2，；（Ⅱ）若a ＞0，求证：f （ax ）﹣af （x ）≤f （a ）．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a ＞0时，求得f （ax ）﹣af （x ）=|ax ﹣1|﹣|a ﹣ax|，利用绝对值不等式的性质可得|ax ﹣1|﹣|a ﹣ax|≤|ax ﹣1+a ﹣ax|=f （a ），从而可证结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=|x ﹣1|，不等式：f （x ）+f （x ﹣1）≤2，即|x ﹣1|+|x ﹣2|≤2，∴①，或②，或③，解①求得≤x ＜1，解②求得 1≤x ≤2，解③求得2＜x ≤．综合可得，不等式的解集为{x|≤x ≤}．（Ⅱ）证明：若a ＞0，则f （ax ）﹣af （x ）=|ax ﹣1|﹣a|x ﹣1|=|ax ﹣1|﹣|ax ﹣a|≤|（ax ﹣1）﹣（ax ﹣a ）|=|a ﹣1|=f （a ）， 即f （ax ）﹣af （x ）≤f （a ）成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，掌握双绝对值不等式的性质，通过分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。

大庆实验中学2018届高三上学期第二次月考数学（理）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题的说法错误的是（ ）A ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++>则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．B ．“1x =”是”2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．“22ac bc <”是”a b <”的必要不充分条件．D ．命题”若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：”若1x ≠，则2320x x -+≠”． 2．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．32 C ．53 D ．853．已知函数1(x)42x x f a +=--没有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．(,0]-∞C ．[0,)+∞D ．(,1]-∞-4．设()f x 存在导函数且满足0(1)(12)lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线的斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1D ．25．已知数列{},{},{}n n n a b c ，以下两个命题：①若{},{},{}n n n n n n a b b c a c +++都是递增数列，则{},{},{}n n n a b c 都是递增数列； ②若{},{},{}n n n n n n a b b c a c +++都是等差数列，则{},{},{}n n n a b c 都是等差数列； 下列判断正确的是（ ） A ．①②都是真命题B ．①②都是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．426+B ．46+C ．422+D ．42+7．若110a b<<，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b > B ．111()()22b a >> C ．2b aa b+< D ．b a ae be >8．如果圆22()()8x a y a -+-=上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B ．（﹣3，3）C ．[﹣1，1]D ．[﹣3，﹣1]∪[1，3]9．杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则511a a +的值为（ ）A ．528B ．1020C ．1038D ．1040 10．有以下三种说法，其中正确的是 ( )①若直线a 与平面α相交，则α内不存在与a 平行的直线；②若直线b //平面α，直线a 与直线b 垂直，则直线a 不可能与α平行； ③直线,a b 满足a ∥b ，则a 平行于经过b 的任何平面. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①11．以O 为中心，12,F F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2 B C D ．412．已知(),()ln x f x e g x x ==，若()g(s)f t =，则当s t -取得最小值时，()f t 所在区间是（ ） A ．(ln 2,1) B ．1(,ln 2)2 C ．11(,)3eD ．11(,)2e二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．如果复数1()1bib R i+∈+的实部和虚部互为相反数，则b 等于 ．14．若向量,a b vv 满足a v=2b v=2，|4a b -vv，则向量,a b vv 的夹角为__．15．已知抛物线216y x =，焦点为F ，(8,2)A 为平面上的一定点，P 为抛物线上的一动点，则||||PA PF +的最小值为_______________。

大庆实验中学高三上学期第二次月考数学(理)试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 下列命题的说法错误的是（）A. 对于命题则.B. “”是””的充分不必要条件.C. “”是””的必要不充分条件.D. 命题”若，则”的逆否命题为：”若，则”.【答案】C故选C2. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.3. 已知函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令得∴时，函数有零点∵函数没有零点∴故选A4. 设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（）A. ﹣1B. ﹣2C. 1D. 2【答案】A【解析】在点处的切线的斜率为 ,故选A.5. 已知数列，以下两个命题：①若都是递增数列，则都是递增数列；②若都是等差数列，则都是等差数列；下列判断正确的是（）A. ①②都是真命题B. ①②都是假命题C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题【答案】D【解析】对于①，不妨设，，，所以都是递增数列，但不是递增数列，故①是假命题；对于②，都是等差数列，不妨设公差分别为，，，则，，，所以，，，所以若都是等差数列，则都是等差数列，故②是真命题故选D6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是三棱锥，全面积为考点：锥体的全面积7. 若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：若，则：，此时：.本题选择D选项.8. 如果圆上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是（）A. （﹣3，﹣1）∪（1，3）B. （﹣3，3）C. [﹣1，1]D. [﹣3，﹣1]∪[1，3]【答案】D【解析】到原点的距离为的点的轨迹为圆，因此所求问题转化为圆与圆相交有两个交点，两圆的圆心半径分别为，，所以，解不等式得的取值范围是，选A.9. 杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为（）A. 528B. 1020C. 1038D. 1040【答案】D【解析】第一行数字之和为第二行数字之和为第三行数字之和为第四行数字之和为…第行数字之和为∴故选D10. 有以下三种说法，其中正确的是( )①若直线与平面相交，则内不存在与平行的直线；②若直线//平面，直线与直线垂直，则直线不可能与平行；③直线满足∥，则平行于经过的任何平面.A. ①②B. ①③C. ②③D. ①【答案】D【解析】对于①，若直线与平面相交，，则内不存在与平行的直线，是真命题，故①正确；对于②，若直线//平面，直线与直线垂直，则直线可能与平行，故②错误；对于③，若直线满足∥，则直线与直线可能共面，故③错误.故选D11. 以为中心，为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】延长与椭圆交于，如图所示：∵与互相平分∴四边形是平行四边形∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和∴∵，，，∴∴∴故选C点睛：本题考查了椭圆的离心率的求解问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，此类问题解答中熟记椭圆的几何性质和合理转化条件是解答的关键.12. 已知，若，则当取得最小值时，所在区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，即∴，∴令，则∵递增，递减∴存在唯一使得，则时，，，时，，∴，即取最小值时，根据零点存在定理验证的根的范围：当时，当，∴故选B点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二.填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 如果复数的实部和虚部互为相反数，则等于_____.【答案】0【解析】∵又∵复数的实部和虚部互为相反数∴∴14. 若向量满足=2=2，||=2，则向量的夹角为__.【答案】【解析】∵∴，∵∴，即∴，即∴∴与的夹角为故答案为15. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为_______________。

2018年黑龙江省哈师大附中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(★)设集合A={x|x 2-x-2＜0}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|-1＜x＜4}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}3．(★★)等比数列{a n}中，a 3=-2，a 11=-8，则a 7=（）A．-4B．4C．±4D．-54．(★)已知向量，，若，则t=（）A．0B．C．-2D．-35．(★★)执行如图的程序框图，若输出T的值为，则“？”处可填（ ）A ．n ＜6B ．n ＜5C ．n ＜4D ．n ＜36．(★★)将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）A ．240B ．480C ．720D ．9607．(★★★)函数 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．(★★)《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A ．B ．8πC ．6πD ．9．(★★)F 1，F 2是双曲线的左右焦点，过F 1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ，B 两点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）B ．D ．A．C．10．(★★)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若α∩β=m，n∥α，n∥β，则m∥nD．若α⊥β，且α∩β=m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β11．(★★)甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则（）A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖12．(★★★)已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程有唯一实数解，则k值所在的范围是（）A．（3，4）B．（4，5）C．（5，6）D．（6，7）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．(★★)设随机变量X～B（6，），则P（X=3）= ．14．(★★★)已知递增的等差数列{a n}的前三项和为-6，前三项积为10，则前10项和S10= ．15．(★★)函数在闭区间上的最小值是．16．(★★★)设抛物线y 2=2x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比= ．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(★★★)已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若（a-c）（sinA+sinC）=b（sinA-sinB）．（1）求角C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．18．(★★★)经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9～1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06～1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12～1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？19．(★★★★)如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面为菱形，∠BAD=120°，AB=2，E，F为CD，AA 1中点．（1）求证：DF∥平面B 1AE；（2）若AA 1⊥底面ABCD，且直线AD 1与平面B 1AE所成线面角的正弦值为，求AA 1的长．20．(★★★★★)椭圆C：的左、右焦点分别为F 1（-1，0）、F 2（1，0），若椭圆过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B为椭圆的左、右顶点，P（x 0，y 0）（y 0≠0）为椭圆上一动点，设直线AP，BP分别交直线l：x=6于点M，N，判断线段MN为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．(★★★)已知函数f（x）=x-alnx-1，曲线y=f（x）在（1，0）处的切线经过点（e，0）．（1）证明：f（x）≥0；（2）若当x∈[1，+∞）时，，求p的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★★★)在直角坐标坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为（θ为参数），曲线C 2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C 1的异于极点的交点为A，与曲线C 2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★★★)设函数f（x）=|2x-1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c=m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．。

2020届黑龙江省大庆市高三年级第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{}2|0B x x x =->，则下列结论正确的是（ ） A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A【解析】先计算{}10B x x x =><或，计算{|0}A B x x =<I ，{|11}A B x x x =><U 或对比选项得到答案.【详解】{}{}2010B x x x x x x =-=><或，则{|0}A B x x =<I ，{|11}A B x x x =><U 或对比选项知：A 正确 故选：A 【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题.2．若复数z 满足()12i z i -=，则z z ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】C【解析】计算得到211iz i i==-+-，再计算z z ⋅得到答案. 【详解】()()()()212121111i i i i z i z i i i i +-=∴===-+--+，故()()112z z i i ⋅=-+--= 故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算和共轭复数，意在考查学生的计算能力. 3．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-” ③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥” ④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件 其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】依次判断每个选项的正误得到：p ，q 均为假命题或一真一假，①错误；根据否命题和命题否定的定义知②③正确；根据大角对大边知④正确，得到答案. 【详解】①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题或一真一假，①错误；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”， ②正确； ③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥”， ③正确； ④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件A B >，则a b >故sin sin A B >；sin sin A B >，则a b >故A B >，④正确故选：C 【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及且命题，否命题，命题的否定，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.4．已知||2a =r，向量a r 在向量b r 上的投影为，则a r 与b r的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】根据投影定义得到cos a α=r cos 2α=-，计算得到答案.【详解】设夹角为α，则a r 在向量b r上的投影为5cos 2cos cos 26a παααα===-=r 故选：D 【点睛】本题考查了向量的投影和向量夹角，意在考查学生对于向量知识的掌握情况.5．函数的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由可得f(x)为奇函数，再由，＞0，可判断出函数图像，可得答案. 【详解】 解：由题意得：，故f(x)为奇函数，故B 、C 项不符合题意，又，＞0，故D 项不符合题意， 故选A. 【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，根据函数的性质来判读图像是解题的关键.6．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,m αββ⊥⊥，则//m α； B ．若//,m n m α⊥，则n α⊥； C ．若,//,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥； D ．若//,,m m n βααβ⊂⋂=，则//m n【答案】D【解析】在A 中，则//m α或m α⊂；在B 中，则n 与α相交、平行或n α⊂；在C 中，则α与β相交或平行；由线面平行的性质定理得//m n ． 【详解】由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若αβ⊥，m β⊥，则//m α或m α⊂，故A 错误；在B 中，若//m α，n m ⊥，则n 与α相交、平行或n α⊂，故B 错误； 在C 中，若m α⊥，//n β，m n ⊥，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若//m β，m α⊂，n αβ⋂=，则由线面平行的性质定理得//m n ，故D 正确．故选D 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7．已知各项均不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】A【解析】化简得到27704a a =-，计算得到74a =，再利用等比数列的性质得到21137b b a ⋅=得到答案.【详解】各项均不为0的等差数列{}n a ，223711777240204a a a a a a -+=∴=∴-=221137716b b b a ⋅===故选：A 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，意在考查学生对于数列性质的综合应用. 8．某组合体的三视图如图所示，外轮廓均是边长为2的正方形，三视图中的曲线均为14圆周，则该组合体的体积为（ ）A ．283π-B ．483π-C ．246π-D ．242π-【答案】B【解析】根据题意知：几何体为边长为2的正方体除去八个四八分之一半径为1的球形成的几何体，计算体积得到答案. 【详解】 根据三视图知：几何体为边长为2的正方体除去八个八分之一半径为1的球形成的几何体故3442833V ππ=-=- 故选：B 【点睛】本题考查了三视图和几何体体积，判断几何体的形状是解题的关键.9．函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =-对称 D ．关于直线7π12x =对称 【答案】C【解析】根据函数()f x 的最小正周期为π，求出ω，向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，求出ϕ，可得出()f x 的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案. 【详解】根据三角函数的图象与性质2||Tπω=，可得||2ω=，因为0>ω，所以2ω= 所以()sin(2)f x x ϕ=+ 设()f x 的图象向左平移6π个单位后得到的函数为()g x 则()sin 2sin 2263g x x x ϕππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦若()g x 为奇函数，则(0)0g =,故3k πϕπ+=(k Z ∈)，即(),3k k Z πϕπ=-+∈因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由23x k ππ-=,(k Z ∈)解得62k x ππ=+,所以()f x 关于点,062k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭,(k Z ∈)对称A 项，不存在整数k ，使得76212k πππ+=，故A 项错误；B 项，不存在整数k ，使得6212k πππ+=-，故B 项错误；由232x k πππ-=+(k Z ∈)解得5122k x ππ=+,所以()f x 关于直线5122k x ππ=+(k Z ∈)对称 C 项，当1k =-时，12x π=-，故()f x 关于直线12x π=-对称，故C 项正确；D 项，不存在整数k ，使得5712212k πππ+=，故D 项错误. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心，对称轴的求法，涉及的知识点较多，综合性较强，属于中等题.10．已知数列{}n a 满足：6(3)3,7,7n n a n n a an ---≤⎧=⎨>⎩*()n N ∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9(,3)4B ．9[,3)4C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】D【解析】根据题意，a n ＝f (n )＝()633,7,7n a n x an -⎧--≤⎨>⎩，n ∈N ，要使{a n }是递增数列，必有()86301373a a a a -⎧->⎪>⎨⎪-⨯-<⎩，据此有：3129a a a a <⎧⎪>⎨⎪><-⎩或，综上可得2<a <3.本题选择D 选项.11．已知点,O F 分别为抛物线21:4C y x =的顶点和焦点，直线314y x =+与抛物线交于,A B 两点，连接AO ,BO 并延长，分别交抛物线的准线于点,P Q ，则||||BP AQ +=（ ） A ．254B ．174C ．253D ．193【答案】A【解析】联立方程得到11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,4B ，则1:4AO y x =-，:BO y x =，计算得到()4,1P -，()1,1Q --，计算||||BP AQ +得到答案. 【详解】联立方程得到214314y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得4x =或1x =-，则11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,4B则1:4AO y x =-，取1y =-得到4x =，故()4,1P -； 则:BO y x =，取1y =-得到1x =-，故()1,1Q --； 故525||||544BP AQ +=+= 故选：A 【点睛】本题考查了直线和抛物线相交问题，意在考查学生的计算能力. 12．设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，在ABC V 中，6BC =,60BAC ∠=︒,则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用正弦定理2sin ar A=得到r =max 6h R ==，再利用余弦定理和均值不等式得到36bc ≤，代入体积公式得到答案. 【详解】ABC V 中，6BC =,60BAC ∠=︒，则62sin sin 60a r r A ===∴=︒max 6h R ==222222cos 36a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥∴≤，1sin 2S bc A =≤当6a b c ===时等号成立，此时13V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查了三棱锥的体积问题，综合了正弦定理，余弦定理，面积公式，综合性强，意在考查学生的空间想象能力和综合应用能力.二、填空题 13．1211e dx x +=-⎰______． 【答案】1【解析】直接利用定积分计算公式得到答案. 【详解】()1211ln 1ln ln1121e e dx x e x ++=-=-=-⎰故答案为：1 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.14．已知定义域为R 的函数()f x ，满足()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x x =，则()2020f =____．【答案】-1【解析】代换得到()()6f x f x +=得到函数周期为6，故()()()202041f f f ==-，代入函数计算得到答案. 【详解】()()()()()()3636f x f x f x f x f x f x +=-∴+=-+∴+=，函数周期为6 ()()()2020411f f f ==-=-故答案为：1- 【点睛】本题考查了求函数值，代换求出函数周期是解题的关键.15．已知O 是ABC V 的外心，45C ∠=︒,2,(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r,则2214m n +的最小值为____． 【答案】16【解析】根据45C ∠=︒得到0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，平方2OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r得到2241m n +=，变换()22222214414m n m n m n ⎛⎫+=+⎪⎭+ ⎝利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2222222244OC mOA nOB OC mOA nOBm OA n OB mnOA OB =+∴=+=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r90045C AOB OA OB ∠=︒∴∠=︒∴⋅=u u u r u u u r故2241m n +=()2222222222414141644816m n n m m n mn m n ⎛⎫+=+=+++≥= ⎪⎭+⎝ 当222216n m m n=即2211,28n m ==时等号成立 故答案为：16 【点睛】本题考查了向量的运算，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ,且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若2,33BAC ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________．【答案】23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示：过点A 作AD BC ⊥于D，2b AD ⎡∈⎢⎣⎦，点(),0A a 到渐进线的距离为2ab b d c ⎡==∈⎢⎣⎦即112e ⎡∈⎢⎣⎦得到答案. 【详解】如图所示：过点A 作AD BC ⊥于D，则cos cos 222BAC b AD AC DAC b ⎡⎤∠=∠=∈⎢⎥⎣⎦一条渐近线方程为：by x a=，点(),0A a到直线的距离为,22ab b d c ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦即11,2223e e ⎡⎡⎤∈∴∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为：2⎤⎥⎣⎦【点睛】本题考查了双曲线的离心率，计算得到3,22b b AD ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是解题的关键.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2na n nb a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =.（2）(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据等差数列公式得到()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案.（2）12nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得220d d +-=.∵0d >，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-= 即数列{}n a 的通项公式n a n =.（2）1222nna n n nb a n n --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，12n n T b b b =+++L 211221122nn ⎛⎫⎛⎫ ⎪=+++ +++⎪⎝⎭⎝⎭L ， ()231111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L 11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 故(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．已知函数21()cos sin 22f x x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且212f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，26f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值；（2）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足c =()1f C =,求+a b的取值范围. 【答案】（1）2（2） 【解析】（1）化简得到()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入数据计算得到sin α，cos 5α=，cos 10β=，sin 10β=，再利用和差公式展开得到答案.（2）根据()1f C =得到3C π=，利用余弦定理得到()233a b ab =+-，再利用均值不等式得到答案. 【详解】（1）1cos(2)1()sin 2222x f x x π-+=-+1cos 21122cos 2222x x x x +=-+=-sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵212f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴sin α=.∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴cos α=.∵2610f βπ⎛⎫-=-⎪⎝⎭,∴sin 210πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴cos β=.∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴sin 10β=.∴sin()sin cos cos sin 5105102αβαβαβ+=+=⨯+⨯=（2）∵()sin 26f C C π⎛⎫=-⎪⎝⎭,∴sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵(0,)C π∈,∴112,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,∴262C ππ-=,即3C π=. ∵2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-,∴()233a b ab =+-∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取“=”. ∴2222313()3()()()44a b ab a b a b a b =+-≥+-+=+∴()212a b ≥+，即a b +≤a b =时取“=”.又∵a b c +>=∴+a b 的取值范围是. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 19．如图，已知在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 折起到1A DE △（1A ∉平面ABCD ）的位置，M 为线段1A C 的中点.（1）求证：BM ∥平面1A DE ；（2）已知222AB AD ==1A DE ⊥平面ABCD 时，求直线BM 与平面1A DC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）23015【解析】（1）延长CB 与DE 相交于点P ,连接1A P ，根据中位线证明1BM A P P ，得到证明.（2）证明1A O ON ⊥，以O 为原点，1,,ON OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，计算平面1A DC 的一个法向量为()1,1,1m =u r，根据夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）延长CB 与DE 相交于点P ,连接1A P , ∵E 为AB 边的中点，四边形ABCD 为矩形， ∴BE CD ∥,12BE CD =,∴BE 为PCD V 的中位线，∴B 为线段CP 的中点， ∵M 为线段1A C 的中点，∴1BM A P P ∵BM ⊄平面1A DE ，1A P ⊆平面1A DE , ∴BM ∥平面1A DE .（2）∵2AB AD =,E 为边AB 的中点，∴AD AE =,即11A D A E =,取线段DE 的中点O ,连接1A O ,ON ,则由平面几何知识可得1AO DE ⊥,ON CE P , 又∵四边形ABCD 为矩形，2AB AD =,E 为边AB 的中点， ∴DE CE ⊥,DE ON ⊥,∵平面1A DE ⊥平面ABCD ，平面1A DE I 平面ABCD DE =,1AO DE ⊥, ∴1A O ⊥平面ABCD ，∵ON ⊆平面ABCD ，∴1A O ON ⊥,∴以O 为原点，1,,ON OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,2,0B -,()2,1,0C -,1(0,0,1)A ,111,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(0,1,0)D ,310,,22BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ,1(2,1,1)AC =--u u u r,()2,2,0DC =-u u u r , 设平面1A DC 的一个法向量为(,,)m x y z =u r ，则100m AC m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即20220x y z x y --=⎧⎨-=⎩，不妨取1x =，则1y =，1z =，即()1,1,1m =u r，设直线BM 与平面1A DC 所成角为θ，则230sin |cos ,|15||||1032m BM m BM m BM θ⋅====⋅⨯u r u u u u ru r u u u u r u u r u u u u r ，∴直线BM 与平面1A DC所成角的正弦值为23015.【点睛】本题考查了线面平行和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．平面内有两定点()0,1A -,()0,1B ,曲线C 上任意一点(),M x y 都满足直线AM 与直线BM 的斜率之积为12-，过点()1,0F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与y 轴交于点P ,直线AC 与BD 交于点Q .（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）当点P 异于,A B 两点时，求证：OP OQ ⋅u u u r u u u r为定值.【答案】（1）221(0)2x y x +=≠（2）证明见解析【解析】（1）根据题意得到1112AM BM y y k k x x +-⋅=⋅=-，化简得到答案. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-，则()0,OP k =-u u u r，联立方程根据韦达定理得到212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩将韦达定理代入1111y k y k +-=--+计算得到答案. 【详解】（1）由已知可得1112AM BM y y k k x x +-⋅=⋅=-， 化简得()22210x y +-=，即曲线C 的轨迹方程为：221(0)2x y x +=≠.（2）由已知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为()1y k x =-（0k ≠，且1k ≠，且1k ≠-），所以P 点的坐标为()0,k -，即()0,OP k =-u u u r，设()11,C x y ，()22,D x y ，则22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 联立削去y 得，()2222124220kxk x k +-+-=，所以212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，122212221212k y y k ky y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩ 直线AC 的方程为1111y y x x ++=，直线BD 的方程为2211y y x x --= 将两方程联立消去x 得()()21121111x y y y x y ++=--，解得()()()()21121212111111x y y x y y x y x y +++==⨯---由题意可知()()22221112AD BD y y k k x x +-⋅=⨯=-，所以()()2222211y x y x +=--，所以，()()()()21121212111111x y y x y y x y x y +++==⨯---()()()()12121212121211y y y y x x x x +-+-++=⨯==()12121221y y y y x x ⎡⎤-⋅+++⎣⎦将韦达定理代入得1111y k y k +-=--+，解得1y k =-，所以Q 点的坐标为01,x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以01(0,),1OP OQ k x k ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，OP OQ ⋅u u u r u u u r 为定值. 【点睛】本题考查了轨迹方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21．（1）已知()xf x xe =，x ∈R ,求函数()f x 的单调区间和极值；（2）已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥（其中e 为自然对数的底数）对任意的实数1x >恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 的单调减区间为(),1-∞-，单调增区间为()1,-+∞.极小值1e-，无极大值.（2）[,0)e -【解析】（1）求导得到()()1xf x x e '=+根据导数的正负得到函数的单调区间，再计算极值得到答案.（2）变换得到()ln ln axx a xe x e --≥⋅，设()x f x xe =，等价于()()ln a f x f x -≥即minln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()ln x g x x =，根据函数的单调性得到最值得到答案. 【详解】（1）函数的定义域为R ,()()1xf x x e '=+，由()0f x '=得，1x =-，所以当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 的单调减区间为(),1-∞-，单调增区间为()1,-+∞. 所以当1x =-时，()f x 取得极小值()11f e-=-，无极大值. （2）由1ln 0a x x e a x +⋅+≥得，()ln xaxe x a x -≥⋅-，即()()ln ln ln ax x a a a xe x x x e----≥⋅=⋅，设()x f x xe =，1x >，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对于任意的实数1x >恒成立，等价于()()ln af x f x -≥，由（1）知，函数()f x 在区间()1,-+∞上为增函数， 所以ln a x x -≥，即ln x a x ≥-对任意的实数1x >恒成立， 因为1x >，所以ln 0x >，即ln xa x-≤对任意的实数1x >恒成立，即min ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭.令()ln x g x x=，则2ln 1()(ln )x g x x '-=，由()0g x '=得，x e =， 所以当()1,x e ∈时，()0g x '<，函数()g x 在区间()1,e 上为减函数， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 在区间(),e +∞上为增函数， 所以当x e =时，()g x 取得最小值()g e e =. 所以a e -≤，即a e ≥-.又由已知得0a <，所以，实数a 的取值范围是[,0)e -. 【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.22．已知直线l 过点()1,0，倾斜角为60︒，在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2262sin ρθ=+.（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设点()1,0F ,求11||||FA FB +的值. 【答案】（1）直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为22132x y +=.（2【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式化简得到答案.（2）将参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理得到12128111611t t t t ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，再计算1216||||11FA FB t t ⋅=⋅=，12||||FA FB t t +=+=. 【详解】（1）∵直线l 过点()1,0，倾斜角为60︒∴可设直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∵曲线C 的方程为2262sin ρθ=+ ∴2222sin 6ρρθ+=,∴()22226x yy++=,∴22236x y +=,∴曲线C 的直角坐标方程为22132x y +=.（2）由（1）知，直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），,A B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入到曲线C 的直角坐标方程为22132x y +=中，化简得2118160t t +-=∴12128111611t t t t ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩,∵1216011t t ⋅=-<,∴1216||||11FA FB t t ⋅=⋅=, 1212||||FA FB t t t t +=+=-11===,∴11||||||||||||FA FB FA FB FA FB ++==⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，韦达定理，意在考查学生的计算能力，利用直线的参数方程可以简化运算，是解题的关键. 23．已知函数()|||21|f x x a x =+++，a R ∈. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）设关于x 的不等式()|21|f x x ≤-的解集为M ,若11,2M ⎡⎤--⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）51|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）()|1||21|f x x x =+++，讨论1x ≤-，112x -<≤-和12x >-计算得到答案.（2）原题等价于当11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，不等式()|21|f x x ≤-恒成立，化简得到22x a x --≤≤-+，代入数据计算得到答案.【详解】（1）当1a =时，()|1||21|f x x x =+++，则所求不等式可化为11213x x x ≤-⎧⎨----≤⎩，或1121213x x x ⎧-<≤-⎪⎨⎪+--≤⎩，或121213x x x ⎧>-⎪⎨⎪+++≤⎩， 解得153x x ≤-⎧⎪⎨≥-⎪⎩，或1123x x ⎧-<≤-⎪⎨⎪≥-⎩，或1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， ∴513x -≤≤-，或112x -<≤-，或1123x -<≤， ∴原不等式的解集为51|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）∵()|21|f x x ≤-的解集包含11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，∴当11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，不等式()|21|f x x ≤-恒成立，∴|||21||21|x a x x +++≤-在11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴||2112x a x x ---≤-,即||2x a +≤，∴22x a -≤+≤，∴22x a x --≤≤-+在11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴max min (2)(2)x a x --≤≤-+,∴512a -≤≤，所以实数a 的取值范围51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，根据解集求参数，解不等式转化为恒成立问题是解题的关键.。

黑龙江省大庆市数学高三理数第二次诊断性测试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·北京期中) 若集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数z=是纯虚数，则实数a=（）A . 3B . -3C .D .3. （2分）设变量满足，若直线经过该可行域，则k的最大值为（）A . 1B . 3C . 4D . 54. （2分） (2018高二上·宾阳月考) 下列程序运行后输出的结果为（）A . 17B . 19C . 21D . 235. （2分） m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中真命题的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若,则D . 若，则6. （2分）在等差数列中，，表示数列的前n项和，则（）A . 18B . 99C . 198D . 2977. （2分） (2016高一上·叶县期中) 已知a= ，b= ，c= ，则（）A . b＜a＜cB . a＜b＜cC . b＜c＜aD . c＜a＜b8. （2分）(2012·全国卷理) 椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A .B .C .D .9. （2分）函数f(x)的图像如图所示，若函数y=f(x)-c与x轴有两个不同交点，则c的取值范围是（）A . (-2,-0.5)B . [-2,-0.5)C . (1.1,1.8)D .10. （2分） (2016高一下·揭阳期中) 已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），如果存在实数x1 ，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x1+2015）成立，则ω的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·辽源期中) 已知{an}为等差数列，a3=7，a1+a7=10，Sn为其前n项和，则使得Sn达到最大值的n等于（）A . 4B . 5C . 6D . 712. （2分）下述棱柱中为长方体的是（）A . 各个面都是平行四边形的直棱柱B . 对角面是全等矩形的四棱柱C . 侧面都是矩形的直四棱柱D . 底面是矩形的直棱柱二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·河北模拟) 已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．14. （1分） (2018高二上·西城期末) 若双曲线的一个焦点在直线上，一条渐近线与平行，且双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的标准方程为________；离心率为________.15. （1分）若sin（θ+24°）=cos（24°﹣θ），则tan（θ+60°）=________．16. （1分） (2019高一上·嘉兴期中) 已知函数，当时，，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高二上·九江期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C= cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2） a=1，b=4，求边c的长．18. （5分） (2018高二上·宜昌期末) 如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，过的中点作平面∥ ，且分别交PB，PC于M、N，交的延长线于．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.19. （5分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：（12分）抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 = xi=9.97，s= = =0.212，≈18.439，（xi﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)（1）求（xi，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s， +3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在（﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数r= ，≈0.09．20. （10分） (2019高三上·承德月考) 已知函数，其中（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围.21. （10分）(2020·洛阳模拟) 在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆的参数方程；（2）若点在线段上，且，求动点轨迹的极坐标方程.22. （10分）(2013·新课标Ⅰ卷理) （选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

黑龙江省大庆市2015届高三数学第二次教学质量检测（二模）试题理（扫描版）大庆市高三年级第二次教学质量检测理科数学参考答案13．e 14．120︒ 15．2 16．1三．解答题（本题共6大题，共70分）17（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由等差数列{}n a 满足777S =知，4777a =，所以1311a d +=. ①因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =，整理得2123d a d =，又因为数列{}n a 公差不为0，所以123d a =.② ……………………2分 联立①②解得12,3a d ==. ……………………4分所以31n a n =-. ……………………6分 （Ⅱ）因为2n an b =，所以……………………8分 所以数列{}n b 是以4为首项，8为公比的等比数列， ……………………10分由等比数列前n 项和公式得，……………………12分18.（本小题满分12分）为C ab b a cos 622=+，由余弦定理知C ab c b a cos 2222+=+,所以1分 又因为B A C sin sin 2sin 2=，则由正弦定理得ab c 22=， ……………………2分以……………………4因为(0,C π∈， ……………………5分以 (6)（）……………已知 (9)，所以……………………10分①② 故()f A 的取值范围是……………………12分 19（本小题满分12分）（I ）证明：连接OC ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥.又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ，故OC ⊥平面ABEF .因为OF ⊂面ABEF，于是OC OF ⊥. ……………………2分又OF EC ⊥，OC EC C ⋂=，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥. ……………………4分又因为OC OE ⊥，OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， ……………………5分 所以O E F ⊥. ……………………6分 2AB 2,0,0)，从而(CE =-(0,EF =-的法向量(,,)n x y z =00nCE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ (1,0,2)n=的一个法向量(1,2,0)m =，设,m n 的夹角为13m n m n ⋅=，…………………………11分 由于二面角F CE B --为钝二面角，所以所求余弦值为 …………………………12分20（本小题满分12分）解：（I ，可得1p =， 故抛物线方程为22y x =. …………………………4分（II ） ，所以222a a t +=，由于0t >，故有① …………………………6分由点(0,),(,0)B t C c 的坐标知，直线BC 的方程为又因为点A 在直线上，故有 …………………………8分解得2)+ …………………………10分所以直线CD 的斜率或………………12分21（I 整理得1) …………………………1分 令'()0f x =得0x =，1x =， 当x 变化时，'(),()f x f x 变化如下表：x(1,0)- 0 (0,1) 1 (1,)+∞ '()f x+ 0 - 0 + ()f x极大值 极小值…………………………3分 计算得(0)0f =， 所以函数()y f x =在0x =处取到极大值0，在1x =处取到极小值………………………4分（II （1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b . ………………………6分（2）当0a >时，令'()0f x =，有10x =，（i ）当时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意. ………………………7分 ，只需(1)0f ≥，解值范围是 函数()f x 的 围是（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为AE 与圆相切于点A ，所以BAE ACB ＝行． 因为AB AC ＝，所以ABC ACB ＝行，所以ABC BAE ＝行， 所以A E B ∥． ……………………… 3分因为BD AC ∥，所以四边形ACBE 为平行四边形． ……………………… 5分（Ⅱ）因为AE 与圆相切于点A ，所以2()AE EB EBBD =?， 即26(5)EB EB =?，解得4BE =， ………………………7分根据（Ⅰ）有4,6AC BE BC AE ====， 设CF x =，由BD AC ∥，解即…10分 （23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线可化为 ………………………2分 其轨迹为椭圆，焦点为12(1,0),(1,0)F F -. ………………………3分经过和2(1,0)F 的直线方程为,即………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线2AF 的斜率为，因为2l AF ⊥，所以l 的斜率为角为30︒， 所以l 的参数方程为 （t 为参数）， ………………………7分 代入椭圆C 的方程中，得………………………8分因为,M N 在点1F 的两侧，所以………………………10分 （24）（本小题满分10分）（Ⅰ）因为，所，所以33m x m --≤≤-，……………3分由题意知3531m m --=-⎧⎨-=-⎩ ，所以2m =. ………………………5分（Ⅱ）因为()f x 图象总在()g x 图象上方，所以()()f x g x >恒成立，即恒成立， ………………………7分当且仅当(2)(3)0x x -+≤时等式成立，…9分所以m 的取值范围是(,5)-∞. ………………………10分。

大庆市高三年级第二次教学质量检测试题理科数学2020.01注意事项 :1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合 Ax | x 1 , B x | x 2 x 0 , 则下列结论正确的是A. A Bx | x 0B.A B R C. A B x | x 1D.A B2. 若复数 z 满足 (1i )z2i ,则 z z1 B.1 D. 4A.C. 2423. 给出如下四个命题：① 若 “p 且 q ”为假命题 ,则p, q均为假命题 .② 命题 “若 ab ,则 2a2b1”的否命题为 “若 ab ,则 2a2b1 ”.③ 命题 “x R, x 21”“x R, x 21 1”.1 的否定是④ 在ABC ABsin A sin B”的充要条件．中, “”是 “其中正确的命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知 a2 ,向量 a 在向量 b 上的投影为 - √3,则 a 与 b 的夹角为A.B.C.2D.56336ln x 5. 函数 f (x)的图象可能是xA. B.C. D.6. 已知 m, n 是空间两条不同的直线，, 是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若 , m ,则 m // .B. 若 m // , n m,则 n.C. 若 m, n // , m n,则.D. 若 m // , m, n,则 m // n .7. 已知各项均不为 0 的等差数列 a n22a 11 0 ，数列 b n 为等比数列，，满足 2a 3 a 7 且 b 7 a 7 ，则 b 1b13A. 16B. 8C.4D.28. 某组合体的三视图如图所示， 外轮廓均是边长为 2 的正方形，三视图中的曲线均为1圆周，则该组合体的体积为正视图侧视图4A. 2B.48833C.24 6D.24 2俯视图9. 函数 f (x) sin( x)(0,) 的最小正周期为 π,若其图象向右平移 个单位后得26到的函数为奇函数 ,则函数 f (x) 的图象A. 关于点 ( 7,0) 对称B. 关于点 ( ,0) 对称1212C. 关于直线 x对称 D. 关于直线 x7对称121210.已知数列 a n的通项公式为 a n (3a) n3, n7, n N，且 a n a n 1 ,n N .a n6 , n 7,n N则实数 a 的取值范围是A. (9,3) B. [9,3) C.(1,3) D. (2,3)441 x23 x11. 已知点O, F分别为抛物线C : y的顶点和焦点，直线 y 1 与抛物线交于A, B两点，44连接 AO, BO 并延长，分别交抛物线的准线于点P,Q ，则BP AQ251725D.19A. B. C.344312.设 A, B,C, D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，在ABC 中，BC6, BAC 60 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为A.123B.183 C. 243 D. 543第Ⅱ卷（非选择题共 90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .13. e 11dx.2x1[ 0, 3] 时， f (x)14.已知定义域为 R 的函数 f ( x)，满足 f ( x 3) f (x) ，且当x x ，则2f (2020).15.已知 O 是 ABC 的外心，C450，OC 2mOA nOB, (m, n R) ，则14的最m2n2小值为.16.已知双曲线 C : x2y21(a0,b0) 的右顶点为 A ,且以 A 为圆心，双曲线虚轴长为直a2b2径的圆与双曲线的一条渐近线相交于B, C 两点，若BAC [, 2] ，则双曲线C的离心33率的取值范围是.三、解答题：共70 分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知等差数列a n的公差d0 ，其前n项和为S n，若S3 6 ，且 a1, a2 ,1a3成等比数列.（ 1）求数列a n的通项公式；（ 2）若b n a n 2 a n，求数列b n的前n项和 T n.18.（本小题满分 12 分）已知函数f(x 3 sin x cos x2(x)1, x R.)sin22（ 1）若,(0,), 且 f ()5, f (2) 3 10, 求sin() 的值；22125610（ 2）在ABC 中，角A, B, C的对边分别为a,b,c，满足 c3, f (C ) 1，求 a b 的取值范围 .19.（本小题满分 12 分）如图，已知在矩形ABCD 中， E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 折起到A1DE ( A1平面ABCD )的位置，M为线段A1C的中点 .（1）求证：BM //平面A1DE；（ 2）已知AB2AD 2 2 ，当平面 A1DE平面 ABCD 时，求直线 BM 与平面A1DC所成角的正弦值.20.（本小题满分 12 分）平面内有两定点A(0, 1), B( 0,1) ，曲线C上任意一点 M ( x, y) 都满足直线AM与直线BM的斜率之积为1过点 F (1,0) 的直线l与曲线C交于 C, D 两点，并与y轴交于点P，直线AC ,2与BD交于点 Q.（1）求曲线C的轨迹方程；（2）当点P异于A, B两点时，求证 : OP OQ为定值 .21.（本小题满分 12 分）（ 1）已知f ( x)xe x , x R ，求函数 f ( x) 的单调区间和极值；（ 2）已知a0 ，不等式x a 1e x aln x0（其中e为自然对数的底数）对任意的实数x 1恒成立，求实数 a 的取值范围.请考生在第22、 23 二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22. （本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线 l 过点(1,0)，倾斜角为60,在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为26. 2sin2（ 1）写出直线l的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）若直线l与曲线C相交于A, B两点，设点F (1,0)，求11FA 的值 .FB 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f ( x) x a2x1, a R.（ 1）当a 1时，求不等式 f (x) 3 的解集；（ 2）设关于x的不等式f ( x)2x1的解集为 M ，若[ 1,1]M ，求实数 a 的取值范2围 .。