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2014年中考数学二轮复习：探究型问题解答技巧所谓存在性探究、探索题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题。
这类问题构思巧妙，对考察学生思维的敏锐性、推理的严密性具有独特的作用。
存在性试题近年来频繁出现在中考试卷及各类竞赛考试中，主要以解答题的形式出现，其内容涉及到代数、几何等各知识点。
对存在性探索问题的解法思路一般是：先假设结论的某一个方面成立，通过结合已知条件数学公式、定理进行演算、推理论证，得到某一结论。
如果推理、演算得到的结论与某个已知条件、某个公式、定理相矛盾，说明我们前面的假设不成立；若通过推理、计算，得到的结论符合已知条件、公式、定理（包括客观的事实），说明我们前面的假设成立；整个过程可以概括为：“假设………推理…………否定或肯定结论…………得到结论”例1：如图所示，已知A(1,0)、B，C、D为直角坐标系内两点，点C在x轴负半轴上，且OC=2OA，以A点为圆心、OA为半径作⊙A。
直线CD切⊙A于D点，连结OD。
（1）求点D的坐标；（2）求经过O、B、D三点的抛物线解析式；（3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由。
分析：本例中第（3）小题是结论探索型题目。
欲判断在第2小题中得到的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD，可从代数、几何两个方面入手去考虑。
从代数入手，可先求抛物线与x轴的交点坐标，然后证明该点在⊙A上，进而证明该点满足条件ΔDCP∽ΔOCD。
从几何入手，可先考虑⊙A与x轴的另一交点（设为F）。
不难证明ΔDCF∽ΔOCD。
再证明点在（2）中所得的抛物线上，进而知F即为P点。
解：（1）连结AD，则AD⊥CD于D,作DE⊥OA于E。
∵点A坐标为（1，0），且OC=2OA，∴AC=3，∵sin∠ACD=,∴sin∠ADE=,∴AE=,因而OE=1－=，∴DE=，∴D点坐标为().（2）设抛物线y=ax2+bx+c经过O(0,0)、B()、D(),则C=0，且解得：，∴所求的抛物线的解析式为y=-x2+x.（3）设⊙A与x轴的另一个交点为F(2,0)，连结DF，∵CD切⊙A于D，∴∠CDO=∠CFD，又∠DCO=∠FCD，∴ΔOCD∽ΔDCF，将x=2代入y=-x2+x中，得y=0，∴F（2，0）在抛物线上，∴点F即为所求的P点，∴抛物线y=-x2+x上存在一点P，使ΔPCD∽ΔDCO。
2014年中考数学第二轮复习--规律探索型问题规律探索型问题在中考中的背景：这类问题主要是考察学生观察、分析、归纳问题的能力，常常是通过观察、分析、归纳构建数学模型来最终解决问题。
因此这类问题常常出现在中考试题中。
1.求1+2+22+23+…+22013的值，可令S=1+2+22+23+…+22013，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52013的值为（ ） A ．52013﹣1 B ．52013﹣1 C ． D ．2.观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_________.3.在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…和1B ，2B ，3B ，…分别在直线y kx=和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形，如果A 1（1，1），] A 2（23,27），那么点n A 的纵坐标是_ _____．4.已知整数a 1,，a 2，a 3，a 4，…满足下列条件：a 1=0，a 2=-11a +,a 3=-22a +,a 4=-33a +,…依次类推，则a 2013的值为( )A ．-1005B ．-1006C ．-1007D ． -20135.如图，直角三角形纸片AB C 中，A B=3，A C=4D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；设P n -1D n -2的中点为D n -1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n -1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 6的长为（ ）A. 125235⨯B. 95253⨯C. 146235⨯D. 117253⨯6.如图，在一单位为1的方格纸上，△123A A A ，△345A A A ，△567A A A ，……，都是斜边 在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△123A A A 的顶点坐标分别为1A (2，0)，2A (1，-1)，3A (0，0)，则依图中所示规律，2012A 的坐标为7.设a i ≠0（i ＝1，2，……2013），且满足11a a ＋22a a ＋…＋20122012a a ＝1968，则直线y ＝a i x ＋i（i ＝1，2，…2013）的图象经过第一、二、四象限的概率为8.如图，已知A 1，A 2，A 3，…A n ，…是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n-1A n …＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…作x 轴的垂线交反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象于点B 1，B 2，B 3，…B n ，…，过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2……，记△B 1P 1B 2 的面积为S 1，△B 2P 2B 3的面积为S 2……，△B n P n B n+1的面积为S n ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝9.如图，在标有刻度的直线L 上，从点A 开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n 个半圆的面积为 。
一. 选择题1.【江阴市青阳片】根据左图中已填出的“√”和“×”的排列规律，把②、③、④还原为( )2.【南京市高淳区】如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t 之间函数关系的图象大致为（▲ ）．3.【无锡市惠山北片】定义：(,)(,)f a b b a =，(,)(,)g m n m n =--，例如(2,3)(3,2)f =，(1,4)(1,4)g --=，则((5,6))g f -等于 （ ）A ．（-6，5）B ．（-5，6）C ．（6，-5）D ．（-5，6）4.【扬州市邗江区】如图，已知抛物线21y x 4x =-+和直线2y 2x =.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M= y 1=y 2.下列判断： ①当x ＞2时，M=y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；③使得M 大于4的x 值不存在；④若M=2，则x= 1 .其中正确的有 （ ）5.【无锡市前洲中学】一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第2014秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A．（0，672 ） B．（672，0） C．（44，10） D．（10，44）二。
填空题1.【无锡市滨湖中学】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示,给出以下4个结论:①a＋b＋c＜0;②a－b＋c＜0;③b＋2a＜0;④abc＞0．其中正确的结论有__________________．（填写序号）2.【兴化市茅山中心校】已知集合A中的数与集合B中对应的数之间的关系是某个二次函数.若用x表示集合A中的数，用y表示集合B中的数，由于粗心，小聪算错了集合B中的一个y值，请你指出这个算错的y值为．3.【兴化市茅山中心校】如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15米，则当CD＝米时，梯形围栏的面积为36平方米．∴梯形ABCD面积S=12（AD+BC）•CD=12（15-2x+15-x）•x=36解得:x1=4，x2=6考点: 一元二次方程的应用.4.【兴化市茅山中心校】如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=7，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D 恰好落在BC上，则AP的长等于．5.【江阴市青阳片】读一读：式子“1+2+3+4+……+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为100n=1n ∑，这里“∑”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算()2012n=11n n 1+∑=6.【南京市高淳区】某公园草坪的防护栏形状是抛物线形．为了牢固起见，每段护栏按0.4m 的间距加装不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则其中防护栏支柱A2B27.【南京市高淳区】如图，点A、B在直线MN上，AB＝8cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm．⊙A 以每秒1cm的速度自左向右运动；与此同时，⊙B的半径也随之增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间满足关系式r＝1＋t(t≥0) ．则当点A出发后▲ 秒，两圆相切．8.【无锡市惠山北片】设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，则下列结论中正确的是．（填写所有正确结论的序号）①[0）=0 ②[x）－x的最小值是0 ③[x）－x的最大值是0 ④存在实数x，使[x）－x=0.5成立．9.【扬州市邗江区】我们知道，一元二次方程2x 1=-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-.若我们规定一个新数“i ”,使其满足2i 1=-（即方程2x 1=-有一个根为i ）.并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有12324222i i i i i i i i 1()(1)i 1==-=⋅=-==-=，，，,从而对于任意正整数n ,我们可以得到4n 14n i i i i +=⋅=, 同理可得4n 2i 1+=- , 4n 3i i +=- , 4n i 1= .那么2342013i i i i i i ++++⋅⋅⋅++的值为 .三。
2014年中考数学二轮复习精品资料归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2013•巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n．解：第八项为-27a8=-128a8．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．对应训练1．（2013•株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
2014年中考数学第二轮复习--规律探索型问题答案1.解析:设S=1+5+52+53+…+52013，则5S=5+52+53+54+…+52013， 因此，5S ﹣S=52013﹣1，S=．点评:本题考查同底数幂的乘法，以及类比推理的能力．两式同时乘以底数，再相减可得ｓ的值．2.解析:B 所在行的规律是每个数字等于前两个数字的和，所以A=3，B=8；D 所在行的规律是关于数字20左右对称，即D=15，所以B+D=23.点评:本题主要考查了学生观察和归纳能力，会从所给的数据和表格中寻求规律进行解题．找规律的问题，首先要从最基本的几个数字或图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律． 此类问题“横看成岭侧成峰”，随着观察角度的不同可有不同的规律寻求途径，但最总结果应“殊途同归”。
3.解析:把A 1（1，1），A 2（23,27）分别代入y kx b =+，可求得k=15,b=45,,所以1455y x =+，与x 轴交点代坐标为（-4，0），设A 3的纵坐标为m,则141423m m+=+++，解得m=293()42=,同理可得A 4的纵坐标为33()2，……，n A 的纵坐标是123-⎪⎭⎫⎝⎛n 。
点评:抓住坐标间的变化规律是解题的关键，解此类规律探索题一般可采用从特殊一般的归纳法。
4.解析:本题考查了有理数的计算规律.掌握探索规律的方法是关键.先由已知条件分别计算出a 1,，a 2，a 3，a 4…的值，再寻找规律 解：由于a 1=0，a 2=-11a +=-1，a 3=-22a +=-1，a 4=-33a +=-2，a 5=-2,a 6=-3,a 7=-3,a 8=-4,a 9=-4,a 10=-5,a 11=-5,a 12=-6, ……,所以a 2013=-20122=-1006,故选B ． 点评：题考查探索、归纳和猜想的能力．探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行归纳与猜想．5.解析：在Rt △ABC 中，AC=4，AB=3，所以BC=5，又D 是BC 的中点，所以AD=52，因为点A 、D 是一组对称点，所以AP 1=52×12，因为是D 1是D P 1的中点，所以A D 1=52×12×32，即AP 2=52×12×32×12，同理AP 3=52×12×（32×12）2，…AP n =52×12×（32×12）n-1，所以AP 6=52×12×（32×12）5=512532，故应选A ．点评：找规律的问题，首先要从最基本的几个图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律．6.解析：画出图像可找到规律，下标为4n(n 为非负整数)的A 点横坐标为2，纵坐标为2n,则2012A 的坐标为（2，1006）．点评：这类问题要善于总结，正确分析出题中所隐含的规律．7.解析：因为11a a 可能等于1，也可能等于－1，类似的22a a ，…，20122012a a 都具有这种现象，而11a a ＋22a a ＋…＋20122012a a ＝1968，从11a a 到20122012a a 又有2013个比值，2013－1968＝44，所以11a a ，22a a ，…，20122012a a 中一定有22个1和22个－1之间相加产生22个0，那么11a a ，22a a ，…，20122012a a 这些比值中会有22个－1，所以a i （i＝1，2，…2013）中会有22个负数，则直线y ＝a i x ＋i （i ＝1，2，…2013）的图象经过第一、二、四象限的概率为222012＝111006． 点评：直线y ＝a i x ＋i （i ＝1，2，…2013）经过第一、二、四象限要求a i ＜0，i ＞0，只要判断出a i （i ＝1，2，…2013）中有多少个负数，然后利用简易概率求法公式：P （A ）＝mn，求解即可．另外，解答此题需要良好的逻辑推理能力，对学生的思维能力要求较高，启示平时学习中要注意将数学思考变成习惯．8.解析：由OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n-1A n …＝1，可得P 1B 2＝P 2B 3＝P 3B 4＝…＝P n B n+1＝1，以及B 1（1，1），B 2（2，12），B 3（3，13），…，B n （n ，1n），B n+1（n ＋1，11n +），所以S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝12B 1P 1·P 1B 2＋12B 2P 2·P 2B 3＋…12B n P n ·P n B n+1＝12( B 1P 1＋B 2P 2＋…B n P n )＝12( 1－12＋12－13＋…＋1n －11n +)＝12( 1－11n +)＝2(1)n n +． 点评：各地中考经常将反比例函数与三角形、矩形的面积结合在一起考查，本题属于这类问题中的较难问题．解答时需注意：1.耐心、认真阅读题意，抓住各三角形的水平直角边都等于1这一特征，从而将面积和转化为竖直直角边和的一半；2.能用解析思想表达出B 1，B 2，B 3，…，B n 的坐标，进而表达出所有直角三角形竖直直角边的长；3.具有一定的数式规律探究能力．9.解析:根据规律找出每个半圆的半径，第n 个半圆的直径为2n －1。
第二轮复习六探索性问题
Ⅰ、综合问题精讲：
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直
角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶
点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其
面积为8．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．
点拨：通过对图形的观察可以看出C、F是一对关于y轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或y=ax2+c型即可．而对于点P既然在抛物线上，所以
就可以得到它的坐标为（a，1
4a
2+1）．这样再过点B作BN⊥PS．得出的几何图形求出PB、
PS的大小．最后一问的关键是要找出△PSM与△MRQ相似的条件．
【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m
上两点．
（1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形；
（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有________与△ABC的面积相等．理由是：_________________.
解决问题：如图2－6－5所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．
（1）写出设计方案．并画出相应的图形；
（2）说明方案设计理由．
解：探究规律：（l）△ABC和△ABP，△AOC和△BOP、△CPA和△CPB．（2）△ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP 与△ABC同底等高，因此，它们的面积总相等．
解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．
连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置．
⑵设EF交CD于点H，由上面得到的结论可知：
SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN．点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接EC，过D作DF∥EC，再运用同底等高的三角形的面积相等．
【例3】如图2－6－8所示，已知抛物线的顶点为M（2，－4），且过点A(－
1,5)，连结AM交x轴于点B．
⑴求这条抛物线的解析式；
⑵求点B的坐标；
⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点，连
结PO，以P为顶点、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q
作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR．设面PQR的面积为S．求S与x
之间的函数解析式；
⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
点拨：此题是一道综合性较强的探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中的点B是直线AM与x轴的交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴的交点B．(3)问中注意的是Q点所处位置的不同得出的S与x之间的关系也随之发生变化．（4）可以先假设存在从而得出结论．
Ⅲ、综合巩固练习：（100分90分钟）
1．观察图2－6－10中⑴）至⑸中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放．记第n个图中
小黑点的个数为y．解答下列问题：
⑴填下表：
⑵当n=8时，y=___________；
⑶根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2－6－11的平面直角坐标系中描
出相应的各点（n，y），其中1≤n≤5；
⑷请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？
如果在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式．
2．（5分）图2－6－12是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n
个小房子用了_____________块石子．
3．(10分)已知Rt △ABC 中，AC =5，BC =12，∠ACB =90°，P 是AB 边上的动点（与点A 、B 不重合），Q 是BC 边上的动点（与点B 、C 不重合）．
⑴ 如图2－6－13所示，当PQ ∥A C ，且Q 为BC 的中点时，求线段CP 的长；
⑵ 当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ 的长的取值范
围，若不可能，请说明理由．
4．如图2－6－14所示，在直角坐标系中，以A （－1，－1），B （1，－1），C （1，1），D （－
1，l ）为顶点的正方形，设正方形在直线1l ：y =x 及动直线2l ：y =－x +2a （－l ≤a ＜1）上方部分
的面积为S （例如当a 取某个值时，S 为图中阴影部分的面积），试分别求出当a =0，a =－1时，相应的S 的值．
5．（10分）如图2－6－15所示，DE 是△ABC 的中位线，∠B ＝90○，AF ∥B C ．在射线A F 上是
否存在点M ，使△MEC 与△A DE 相似？若存在，请先确定点M ，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．
6．如图2－6－16所示，在正方形ABCD 中，AB =1， AC 是以点B 为圆心．AB 长为半径的圆的一
段弧点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作AC 所在圆的切线，交边DC 于点F 石为切点．
⑴ 当 ∠DEF ＝45○时，求证点G 为线段EF 的中点；
⑵ 设AE =x ， FC =y ，求y 关于x 的函数解析式；并写出函数的定义域；
⑶ 图2－6－17所示，将△DEF 沿直线EF 翻折后得△ D 1EF ，当EF =56
时，讨论△AD 1D 与△ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。
（图2－6－18为备用图）
7．（10分）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图 2－6－19（1）所示；
第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点B ′，得 Rt △AB ′E ，
如图2－6－19（2）所示；
第三步：沿EB ′线折叠得折痕EF ，如图2－6－19⑶所示；利用展开图 2－6－19（4）所示探究： （l ）△AEF 是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
8．（10分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结
论．一是发现抛物线y =ax 2+2x +3(a ≠0)，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现
当实数a 变化时，若把抛物线y =ax 2+2x +3(a ≠0)的顶点的横坐标减少1a ，纵坐标增加1a
，得到A 点的坐标；若把顶点的 横坐标增加1a ，纵坐标增加1a
，得到B 点的坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y =ax 2+2x +3(a ≠0)上．
⑴ 请你协助探求出实数a 变化时，抛物线y =ax 2+2x +3(a ≠0)的顶点所在直线的解析式；
⑵ 问题⑴中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；
⑶ 在他们第二个发现的启发下，运用“一般→特殊→一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学
语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由。
9．已知二次函数的图象过A （－3，0），B （1，0）两点．
⑴ 当这个二次函数的图象又过点以0，3）时，求其解析式；
⑵ 设⑴中所求 M 次函数图象的顶点为P ，求S ΔAPC ：S ΔABC 的值；
⑶ 如果二次函数图象的顶点M 在对称轴上移动，并与y 轴交于点D ，S ΔAMD ：S ΔABD 的值确定吗？
为什么？
10．（13分）如图2－6－20所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE，交BC 于D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．
⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；
⑵当∠B的大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你的结论；
⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？。
