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二次曲线- 二次曲线二次曲线- 正文也称圆锥曲线或圆锥截线，是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线。
当截面不通过锥面的顶点时，曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线。
当截面通过锥面的顶点时，曲线退缩成一点、一直线或二相交直线。
在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y 的二元二次方程：。
若截面不通过锥面的顶点，令截面与锥面轴线所成的角为θ,锥面的半顶角为α，则当时，所截曲线为圆；当时，截面与锥面的所有母线都相交,所截曲线为椭圆；当θ=α时，截面与锥面的一条母线平行，所截曲线为抛物线；当0≤θ<α时,截面与锥面的两条母线平行，所截曲线为双曲线。
焦点与准线如果圆锥曲线不是圆，则在圆锥曲线所在的平面上存在一定点和一定直线，使得圆锥曲线上任何一点到该定点和定直线的距离之比为常数，这个定点称为圆锥曲线的焦点，定直线称为圆锥曲线的准线。
为了得到焦点与准线，只需作一个球面内切于圆锥面并同时与圆锥曲线所在的平面σ相切。
设球面与平面σ相切于点F，球面与圆锥面相切于一个圆,这个圆所在的平面为ω，ω与σ相交于直线l，则点F，就是焦点，直线l就是准线（图1）。
二次曲线二次曲线这时,圆锥曲线上任意一点P到焦点F的距离｜PF｜与到准线l的距离｜PD｜之比为：。
其中θ,α都与P在曲线上的位置无关，所以是常数。
这个常数称为圆锥曲线的离心率，记为e。
当截线是椭圆时，e<1；当截线是双曲线时，e>1；当截线是抛物线时，e=1。
对于椭圆或双曲线，存在两个合于以上要求的球面，因此椭圆或双曲线都有两个焦点与两条准线。
每个焦点与其相应的准线都有上述性质。
抛物线只有一个焦点与一条准线。
若椭圆的两个焦点为F1,F2。
如图2所示的球面与圆锥面相切的圆为C1,C2。
这时对于椭圆上任意一点P，令通过P的母线OP（O为圆锥面的顶点）与C1、C2的交点分别为A、B。
则P 到F1的距离｜PF1｜与P到F2的距离｜PF2｜之和为｜PF1｜｜PF2｜=｜P A｜｜PB｜=｜AB｜。
第五章 二次曲线的射影理论本章首先给出射影平面上二次曲线的射影定义，然后在此基础上讨论二次曲线的射影性质及其分类。
§1 二次曲线的射影定义1.1 二次曲线的射影定义定义1.1 在射影平面上，若齐次坐标（x 1，x 2，x 3）满足下列三元二次齐次方程)(031,ji ij j i j i ij a a x x a ==∑=其中a ij （i ，j=1，2，3）为实数，并且至少有一个不是零，则这些点的集合称为二阶曲线。
二阶曲线的方程可以写成矩阵形式：()0321333231232221131211321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x a a a a a a a a a x x x其中（a ij ）用A 表示叫系数矩阵，用| A |或| a ij |表示系数行列式。
定理1.1 两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。
证明在射影平面上建立射影坐标系后，设两个线束的方程为α+λβ=0，α′+λ′β′=0，由于它们是射影对应，所以λ，λ′满足：a λλ′+b λ+c λ′+d=0 (ad －bc≠0).由以上三个式子消去λ，λ′得,0)()()()(=+''--''d c b a βαβαβαβα即0='-'-'+'βαβαββααc b d a .因为α，β，α′，β′都是 x 1，x 2，x 3的一次齐次式，所以上式是关于x 1，x 2，x 3的二次齐次方程，它表示一条二阶曲线。
而且α=0与β=0的交点和α′=0与β′=0的交点的坐标都满足这个方程，因此形成此二阶曲线的两个线束中心也在这条二阶曲线上。
定理1.1的逆定理也成立，定理 1.1 中形成二阶曲线的两个射影对应线束的中心并不具有特殊性，可以证明，二阶曲线上任意两点都可以看作生成这条二阶曲线的射影对应线束的中心。
定理1.2 设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直线的交点构成的，那么以这条二阶曲线上任意两点为中心向曲线上的点投射直线，则可以得到两个成射影对应的两个线束。
第五章 二次曲线的射影理论本章首先给出射影平面上二次曲线的射影定义，然后在此基础上讨论二次曲线的射影性质及其分类。
§1 二次曲线的射影定义1.1 二次曲线的射影定义定义1.1 在射影平面上，若齐次坐标（x 1，x 2，x 3）满足下列三元二次齐次方程)(031,ji ij j i j i ij a a x x a ==∑=其中a ij （i ，j=1，2，3）为实数，并且至少有一个不是零，则这些点的集合称为二阶曲线。
二阶曲线的方程可以写成矩阵形式：()0321333231232221131211321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x a a a a a a a a a x x x其中（a ij ）用A 表示叫系数矩阵，用| A |或| a ij |表示系数行列式。
定理1.1 两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。
证明在射影平面上建立射影坐标系后，设两个线束的方程为α+λβ=0，α′+λ′β′=0，由于它们是射影对应，所以λ，λ′满足：a λλ′+b λ+c λ′+d=0 (ad －bc≠0).由以上三个式子消去λ，λ′得,0)()()()(=+''--''d c b a βαβαβαβα即0='-'-'+'βαβαββααc b d a .因为α，β，α′，β′都是 x 1，x 2，x 3的一次齐次式，所以上式是关于x 1，x 2，x 3的二次齐次方程，它表示一条二阶曲线。
而且α=0与β=0的交点和α′=0与β′=0的交点的坐标都满足这个方程，因此形成此二阶曲线的两个线束中心也在这条二阶曲线上。
定理1.1的逆定理也成立，定理 1.1 中形成二阶曲线的两个射影对应线束的中心并不具有特殊性，可以证明，二阶曲线上任意两点都可以看作生成这条二阶曲线的射影对应线束的中心。
定理1.2 设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直线的交点构成的，那么以这条二阶曲线上任意两点为中心向曲线上的点投射直线，则可以得到两个成射影对应的两个线束。
第五章 二阶曲线射影理论复习一、基本概念1. 二阶曲线代数定义：射影坐标为),,(321x x x 的满足方程)(031,ji ij j i j i ija a x x a==∑=的点的集合称为二阶曲线，其中ij a 为实数且至少有一个不为0。
几何定义：在射影平面上成射影对应的两个线束的对应直线的交点的集合称为二阶曲线。
2. 二级曲线代数定义：射影坐标为),,(321u u u 的满足方程)(031,ji ij j i jiijb b uu b ==∑=的直线的集合称为二级曲线，其中ij b 为实数且至少有一个不为0。
几何定义：在射影平面上成射影对应的两个点列的对应点的连线的集合称为二级曲线。
3. 极点与极线共轭点：给定二阶曲线c 及不在c 上的点P ，过P 作直线交c 与M 、N ，点Q 满足（MN ，PQ ）=–1，则称点P 与Q 关于二阶曲线c 调和共轭，或点Q 与P 关于c 互为共轭点。
极点与极线：点P 关于二阶曲线c 的共轭点的轨迹称为P 关于c 的极线；而点 P 称为此直线的极点。
规定：对于二阶曲线上的点的极线为该点的切线。
二、重要定理1. 平面上无三点共线的五点唯一确定一条（非退化）二阶曲线。
2. 从二阶曲线上任一点向其上四定点连直线，则所得四线的交比是常数。
3. 从二阶曲线上任两点向其上动点连直线，则所得两个线束是射影线束。
4. 巴斯卡定理：二阶曲线的内接简单六点形的对边交点共线（此线称为巴斯卡线）。
布利安桑定理：二级曲线的外切简单六线形的对顶点连线共点（此点称为布利安桑点）。
例1 试证明若两个三点形同时内接于一条二阶曲线，则它们必同时外切于另一条二阶曲线。
证明：如图所示，考察二阶曲线的内接六点形C B A ABC '''， 根据巴斯加定理知A C A C Z CB BC Y B A AB X '⨯'=''⨯=''⨯=,, 三点共线。
