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H型群上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Stein-Wiess不等式胡亭曦【摘要】研究了H型群上一类带权的HLS不等式,也就是所谓Stein-Wiess不等式,并由此得到了H型群上的HLS不等式.通过建立H型群上一类积分算子的Lp-Lq有界性,利用此积分算子与Stein-Wiess不等式的关系,得到所求不等式,从而推广了Heisenberg群上的Stein-Wiess不等式.%A Stein-Weiss inequality on H-type groups is studied.By the inequality,the HLS inequality on H-type groups is also derived.By proving the Lp-Lq estimate of an integral operator,the main result is established based on the relationship between the integral operator and the inequality,and this result implies Stein-Weiss inequality on Heisenberg group.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2013(026)002【总页数】5页(P231-235)【关键词】HLS不等式;Stein-Wiess不等式;H型群【作者】胡亭曦【作者单位】西北工业大学应用数学系,陕西西安710129【正文语种】中文【中图分类】O1780 引言欧氏空间上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式［1-4］（简写为HLS不等式）在分析与几何中都有着重要的应用.欧氏空间RN上的HLS不等式为设1＜r，s＜∞，0＜λ＜N，且满足1／r+1／s+λ／N=2，记‖f‖p为函数f的Lp（RN）范数，则存在与函数f，g无关的正常数Cr，λ，N，使得Heisenberg群上的 HLS不等式由Folland和Stein得到［5］.不久前Frank和Lieb［6］又给出了Heisenberg群上r=s条件下HLS不等式的最佳形式，其中的证明没有用到对称递减重排.Stein和Wiess在文献［7］中建立了RN上带权的HLS不等式，即Stein-Wiess 不等式：设1＜r，s＜∞，0＜λ＜N，α+β≥0，且满足λ+α+β≤N，α＜N／r′ （r′为r的共轭数），β＜N／s′ （s′为s的共轭数），1／r+1／s+λ／N=2，则存在与函数f，g无关的正常数Cα，β，r，λ，N，使得最近Han等人［8］将这一结果推广到Heisenberg群上.本文将Stein-Wiess不等式推广到H型群上，由此得到H型群上的HLS不等式.1 H型群和主要结果1.1 H型群关于H型群的更多信息可参见文献［9］.一个H型群N是一个二步Carnot群，其李代数n=V⊕T上的内积记为〈·，·〉；对每个z∈V可以定义V上的自同构映射Jz满足而且〈z，z〉=1时，Jz 是正交映射.记n= （1／2）dimV，m=dimT，在群N 上固定一个坐标u= （z，t），则z∈R2n，t∈Rm，群运算具有形式其中 Uj是适当的反对称矩阵.H型群是齐次群，因此在群N上自然地具有一族各向异性的伸缩δr：群N的齐次维数定义为Q=2n+2m.通过指数映射可以将李代数n上的Lebesgue 测度提升到群N上而获得群上的双不变Haar测度，记为du，且有（d◦δr）（u）=rQdu.群N上任意元素u的齐次模定义为其中 |z|，|t|是z∈R2n，t∈Rm的Euclid范数；与齐次模相关的拟距离记为d（u，v）=|u-1v|.用B（u，r）= ｛v∈N|d（u，v）＜r｝表示以u为圆心，r为半径的拟球；记｛|u|＜1｝为以单位元为圆心，1为半径的拟单位球.在群N上定义带w权的Lp范数为将带w权Lp范数有限的可测函数全体构成的空间记做Lp（N，w）.1.2 主要结果定理1 设1＜r，s＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足则存在与函数f，g 无关的正常数Cα，β，r，λ，Q，使得其中 u= （z，t），v= （z′，t′）.推论1（H型群上的HLS不等式）设1＜r，s＜∞，0＜λ＜Q，满足1／r+1／s+λ／Q=2，则存在与函数f，g 无关的正常数Cr，λ，Q，使得其中 u= （z，t），v= （z′，t′）.2 定理1的证明2.1 等价定理与引理为证明定理1，先给出2个与之等价的定理.定理2 设1＜p≤q＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足α＜Q／q，β＜Q／p′，1／q=1／p+（λ+α+β）／Q-1，那么有其中C=Cα，β，p，λ，Q 是与f 无关的正常数，算子T 形为注意到式（2）等同于选取f（u）=g（u）／|u|β，可得定理2的等价叙述.定理3 设1＜p≤q＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足α＜Q／q，β＜Q／p′，1／q=1／p+（λ+α+β）／Q-1，那么有‖Sg‖q ≤C‖g‖p，其中C=Cα，β，p，λ，Q 是与g 无关的正常数，虽然定理1与定理2、定理3中对参数的要求不一样，但是若选取r=q′，s=p，经计算会发现几个定理对参数的要求是一致的.引理1 定理1和定理3等价.证明设定理1成立，利用对偶讨论得于是定理3的结论成立.设定理3的结论成立，由计算得于是定理1的结论成立.引理1证毕.于记K（u，v）=|u-1v|-λ =d（u，v）-λ，将之代入式（3）中有另外d（u，v）是规范距离，满足三角不等式［10］考虑N上的测度wdu，若存在正常数C，使得对任意一对同心球B和B′，当r （B）=2r（B′）时有则称测度wdu满足二重性质.注意到可知|u|-αqτdu是N 上满足二重性质的测度，同理|u|-βp′τdu也是N 上满足二重性质的测度.文献［11］在齐型空间上建立了与式（4）相关的一类算子的有界性，这里的H 型群是齐型空间，所以可以将之应用到H型群上.引理2［11］（Sawyer-Wheeden）设w1（u）和w2（u）是N上的非负可测函数.由式（5）定义的算子T是Lp（N，w2）到Lq（N，w1）的有界算子的一个充分条件是下面两条成立：（1）∃ε＞0，使得对任意一对球B和B′，若满足B′⊆4B，则有其中 r和r′分别是球B 和B′的半径，这里φ（B）=sup｛K（u，v）|u，v∈B，d（u，v）≥9-1r｝，它对所有半径为r的球B⊆G有定义；Cε是只依赖于ε的正常数.（2）∃τ＞1，使满足二重性质，且对任意的球B⊆G有其中Cτ是只依赖于τ的正常数.2.2 定理2的证明利用引理2可验证定理2.事实上，选取w1（u）=|u|-αq，w2（u）=|u|βp，只需要验证引理2中的条件（7）和（8）对式（5）中定义的算子成立.为验证式（7），注意到 K（u，v）=|u-1v|-λ =d（u，v）-λ，可得φ（B）=9λr-λ，φ（B′）=9λ（r′）-λ，因此因为0＜λ＜Q，可选取足够小的ε＞0，使得Q-λ-ε＞0，那么由B′⊆4B有这验证了条件（7）.为验证条件（8），记M3=，然后分别估计 Mi （i=1，2，3）.设即就有直接计算得若αqτ＜Q，若βp′τ＜Q，由条件α ＜ Q／q，β ＜ Q／p′ 得知 min｛Q／（αq），Q／（βp′）｝＞ 1，此式保证存在τ 满足 1 ＜τ ＜min｛Q／（αq），Q／（βp′）｝，于是αqτ＜Q 和βp′τ＜Q 成立，可知条件（8）左端这验证了条件（8）.最后利用引理2就完成了定理2的证明.2.3 定理1的证明由引理1，定理1与定理3等价.定理2与定理3等价.故可知定理1成立.【相关文献】［1］HARDY G H，LITTLEWOOD J E.Some properties of fractional integrals（1）［J］.Math Z，1928，27（1）：565-606.［2］HARDY G H，LITTLEWOOD J E.On certain inequalities connected with the calculus of variations［J］.J London Math，1930，5（1）：34-39.［3］SOBOLEV S L.On a theorem of functional analysis［J］.Mat Sbornik，1938，4：471-479.［4］LIEB E H.Sharp constants in the Hardy-Littlewood-Sobolev and related inequalities ［J］.Ann of Math，1983，118（2）：349-374.［5］FOLLAND G B，STEIN E M.Estimates for the（∂）bcomplex and analysis on the Heisenberg group［J］.Comm Pure Appl Math，1974，27（4）：429-522.［6］FRANK R L，LIEB E H.Sharp constants in several inequalities on the Heisenberg group［J］.Annals of Mathematics，2012，176（1）：349-381.［7］STEIN E，WEISS G.Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space［J］.J Math Mech，1958，7：503-514.［8］HAN X，LU G，ZHU J.Hardy-Littlewood-Sobolev and Stein-Weiss inequalities and integral systems on the Heisenberg group［J］.Nonlinear Anal，2012，75（11）：4 296-4 314.［9］KAPLAN A.Fundamental solutions for a class of hypoelliptic PDE generated by composition of quadratic forms［J］.Trans Amer Math，1980，258（1）：147-153. ［10］HEBISCH W，SIKORA A.A smooth subadditive homogeneous norm on a homogeneous group［J］.Studia Math，1990，96：231-236.［11］SAWYER E，WHEEDEN R.Weighted inequalities for fractional integrals on Euclidean and homogeneous spaces［J］.Amer J Math，1992，114（4）：813-874.。
6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式 若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即 訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸 函数，不等式③反向，从而，相应地有不等 式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不 等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引 用如下不等式：几何不等式 若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上 凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明 当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不 等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。
hardy不等式Hardy不等式是数学家GodfreyHaroldHardy与JohnEdensorLittlewood共同提出的一种基本数学不等式。
它可以用来表示在某一数字上的概率的边界，是物理、信息科学和数学研究中的重要工具。
Hardy不等式公式可以用如下式子表示：$$sum_{n=1}^{infty}frac{|f(n)|^{2}}{n} leq pisum_{n=0}^{infty}|f(n)|^{2}$$其中，f(n)表示自变量n上函数f的值。
Hardy不等式可以依据它的不同版本推出更多不等式，例如Hardy-Littlewood不等式、Hardy-Knopp不等式等。
Hardy不等式最早源于1911年由Littlewood和Hardy提出的Hardy-Littlewood不等式：$$sum_{n=1}^{infty}frac{|f(n)|}{n^2} leq pisum_{n=1}^{infty}frac{|f(n)|}{n}$$Hardy-Littlewood不等式有一个很重要的特性就是它的左边的积分的底数和右边的积分的底数是不同的，比如积分下界n从1到无穷大，积分上界n从0到无穷大。
而Hardy-Knopp不等式是Hardy-Littlewood不等式的一种改进，它把不等式左侧积分的底数全部从1，右侧积分的底数也从1。
这就使得Hardy-Knopp不等式更加严谨，而且具有更好的收敛性。
一般来说，Hardy-Littlewood不等式和Hardy不等式的应用都非常广泛，涉及到统计物理学、信息科学和数学分析等多个领域。
Hardy不等式在物理学、信息科学等领域中可以用来限定概率的边界值，也可以用来计算复数张量的积。
它在数学分析中也有很多应用，比如在函数空间有关的方程求解中，可以利用Hardy不等式确定计算思路，甚至可以进行数值积分。
归纳起来，Hardy不等式作为一种常用的数学不等式，其应用非常广泛，在物理学、信息科学和数学分析领域都发挥了重要作用，使得各种科学研究取得了成功。
hardy不等式Hardy不等式是由英国数学家G.H.Hardy（18771947）于1914年提出的，是一个非常重要的数学定理。
它的全称是Hardy-Littlewood-Pólya不等式，是关于不相交的变分及求解它们内积的关系。
Hardy不等式可以表述为：设$f，g$两个函数的变分（可导的偏导数的函数）在区间[a, b]上互不相交，则有：$int_{a}^{b}left|f(x) g(x)right| d xleqslantleft(int_{a}^{b}left|f(x)^{2}right| d xright)^{1 / 2}left(int_{a}^{b}left|g(x)^{2}right| d xright)^{1 / 2}$Hardy不等式是一个具有最优性质的定理，它将函数的内积限制在最优的一个范围内，也就是最小于一定值。
Hardy不等式，由它提供的约束和结论，对科学界具有特别重要的意义。
首先，Hardy不等式可以用来研究信号处理中的信号和噪声关系，具体来说，可以从此研究信号的信噪比的最大值。
此外，它还可以用来研究不完备信息，例如找出一个不完整的向量的最大值。
此外，Hardy不等式也可以用来求解具有多个变量的复杂函数集合的局部最小值。
这是因为，Hardy不等式可以用来近似求解这些变量之间的内积，而局部最小值常常可以证明它们的内积的最大值。
其次，Hardy不等式可以用来解决多维空间的最优化问题。
一般来说，多维空间的最优化问题往往具有复杂的运算复杂度，由于Hardy 不等式的有效性，它可以以一种有效的方式简化这种复杂的最优化问题，并给出一个较优的结果。
最后，Hardy不等式也可以用来研究函数表达式中部分求和和整体求和之间的关系。
例如，如果有两个函数$f（x）$和$g（x）$，其中$f（x）=g（x）+s（x）$，Hardy不等式可以用来研究$s（x）$的最大值，这有助于系统确定和优化满足函数表达式全部约束条件的最优可能。
hardy不等式证明Hardy不等式是一个在数学分析中常用的不等式，它与调和级数和调和平均数有关。
下面我将从不同角度给出Hardy不等式的证明。
证明1：我们首先考虑一个特殊情况，假设对于任意的正整数$n$，有$a_n \geq 0$。
我们要证明的是：$$\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\right) \geq\left(\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n}\right)^2$$。
我们可以使用柯西-施瓦茨不等式来证明这个结论。
根据柯西-施瓦茨不等式，我们有：$$\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\right) \geq\left(\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{a_n}{n}} \cdot\sqrt{a_n}\right)^2$$。
我们知道，$\sqrt{\frac{a_n}{n}} \cdot \sqrt{a_n} =\sqrt{\frac{a_n^2}{n}}$。
因此，上述不等式可以进一步简化为：$$\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\right) \geq\left(\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{a_n^2}{n}}\right)^2$$。
注意到$\sqrt{\frac{a_n^2}{n}} = \frac{a_n}{\sqrt{n}}$，我们可以将上述不等式进一步简化为：$$\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\right) \geq\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}\right)^2$$。
