第33讲__周期函数与周期数列

高一数学——周期函数解读知识解读1．周期函数：对于函数f （x ），如果存在一个非零常数T （T ≠0），使得当x 取定义域D 内的每一个值时，都有f （x +T ）=f （x ）恒成立，那么这个函数f （x ）叫做周期函数，常数T 叫做函数f （x ）的一个周期，周期函数的周期不唯一．2．最小正周期：对于一个周期函数f （x ）来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做这个函数f （x ）的最小正周期． 重要结论（分别对应各种题型，以下k 为非零整数，T 表示周期）1、由定义判断：如果()()f x f x a =+，则()y f x =是周期函数，T=ka ；2、若函数f(x)满足f(x+a)=－f(x)(a >0), 则f (x )为周期函数且T=2ka ；3、若函数()()f x a f x a +=-，(a >0)，则()x f 是周期函数，T=2ka ；4、若函数f (x )满足f(x+a)=()x f 1 (a >0), 则f(x)为周期函数且T=2ka ； 5、若函数f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a >0), 则f (x )为周期函数且T=2ka ； 6、若函数f(x)满足1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是周期函数，T=2ka ； 7、若函数f(x)满足1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是周期函数，T=4ka ； 8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= )(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a >0)，则f(x)为周期函数且T=4ka ； 9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a, x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且T=2k (b -a )；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是周期函数，T=2k(b-a)；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是周期函数,T=4k(b-a)；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2k|a|；13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4k |a |；14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f (x+a )(a >0)，则f(x)为周期函数,T=6ka ；15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0)，则f(2T )=0。

知识体系【p70】第33讲 数列的概念与通项公式夯实基础【学习目标】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．3．会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项． 4．会用数列的递推关系求其通项公式．【基础检测】1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n2．已知数列：2，0，2，0，2，0，…前六项不适合．．．下列哪个通项公式( ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝2⎪⎪⎪⎪sinn π2 C ．a n ＝1－(－1)n D ．a n ＝2sin n π23．已知数列{a n }中， a n ＝11－a n －1， a 2 019＝3，则a 1＝( )A ．－12B .13C .23 D ．34．在数列{a n }中， a 1＝6,a n ＋1a n ＝n ＋3n，那么{a n }的通项公式是________．【知识要点】1．数列的有关概念2．数列的表示方法3．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2且n ∈N *.4．数列的分类典例剖析【p71】考点1由数列的前几项求数列的通项公式例1根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4，6，8，10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9，99，999，9 999，….考点2由递推公式求通项公式例2数列{a n}分别满足下列条件，求数列{a n}的通项公式：(1)a1＝1，a n＝n－1n a n－1(n≥2，n∈N*)．(2)a1＝1，a n＋1－a n＝n＋1(n∈N*)．(3)a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)．(4)a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2(n∈N*)．考点3a n与S n关系的应用例3设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．方 法 总 结1．利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质．2．利用递推关系式求通项公式时要注意转化与化归思想的应用．3．应用公式a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2且n ∈N *是求数列通项公式或递推关系式的常用方法之一，同时应注意验证a 1是否符合一般规律．走 进 高 考 【p 71】(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．考 点 集 训 【p 219】A 组题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A.n 2n ＋1B.n 2n －1C.n 2n －3D.n 2n ＋32．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．553．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( )A ．16B ．20C ．33D ．1204．已知非零数列{a n }的递推公式为a 1＝1，a n ＝nn －1·a n －1(n >1)，则a 4＝( )A ．3B ．2C ．4D ．15．设数列2，5，22，11，…，则41是这个数列的第______项．6．数列{a n }满足a 1＋a 22＋a 322＋…＋a n 2n －1＝3n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N ＋，S n ＝(－1)n a n ＋12n ＋n －3，则数列的通项公式为________________．8．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．B 组题1．数列{a n }：a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)是一个单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ C ．(－2，＋∞) D ．(0，＋∞)2．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．5103．若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝(－1)n ＋2018·a ，b n＝2＋（－1）n＋2 019n，且a n <b n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－1，12 B ．[－1，1) C ．[－2，1) D.⎣⎡⎭⎫－2，324．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n －a n 2(n ∈N *)．(1)证明：1<a na n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明：12（n ＋2）<S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)．知识体系【p70】第33讲数列的概念与通项公式夯实基础【学习目标】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．3．会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项．4．会用数列的递推关系求其通项公式．【基础检测】1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n【解析】根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C (用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C .【答案】C2．已知数列：2，0，2，0，2，0，…前六项不适合．．．下列哪个通项公式( ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝2⎪⎪⎪⎪sinn π2 C ．a n ＝1－(－1)n D ．a n ＝2sin n π2【解析】对于选项A ，a n ＝1＋(－1)n＋1取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；对于选项B ，a n ＝2|sinn π2|取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；对于选项C ，a n ＝1－(－1)n 取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；对于选项D ，a n ＝2sin n π2取前六项得2，0，－2，0，2，0不满足条件；故选D .【答案】D3．已知数列{a n }中， a n ＝11－a n －1， a 2 019＝3，则a 1＝( )A ．－12B .13C .23D ．3【解析】∵a n ＋3＝11－a n ＋2＝11－11－a n ＋1＝1－a n ＋1－a n ＋1＝1－11－a n －11－a n＝a n ，∴a 2 019＝a 3＝3，∴a 3＝3＝11－a 2⇒a 2＝23，23＝11－a 1⇒a 1＝－12，选A .【答案】A4．在数列{a n }中， a 1＝6,a n ＋1a n ＝n ＋3n，那么{a n }的通项公式是________． 【解析】因为在数列{a n }中， a 1＝6，a n ＋1a n ＝n ＋3n，所以当n ≥4时， a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n ＋2n －1·n ＋1n －2·n n －3·n －1n －4·…·3＋33·2＋32·1＋31×6＝n ()n ＋1()n ＋2，经验证当n ＝1，2，3时也成立，因此a n ＝n ()n ＋1()n ＋2，故答案为a n ＝n ()n ＋1()n ＋2. 【答案】a n ＝n(n ＋1)(n ＋2) 【知识要点】5．数列的有关概念6．数列的表示方法7．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2且n ∈N *.8．数列的分类典 例 剖 析 【p 71】考点1 由数列的前几项求数列的通项公式例1根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…； (2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9，99，999，9 999，….【解析】(1)该数列中各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式为a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ×1n （n ＋1），n ∈N *.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式为a n ＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.【点评】由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．考点2 由递推公式求通项公式例2数列{a n }分别满足下列条件，求数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (2)a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)． (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)． (4)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N *)．【解析】(1)∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．∴a n ＝1n(n ∈N *)．(2)由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（2＋n ）2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∵当n ＝1时也满足此式． ∴a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．【点评】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解；当出现a n ＝xa n－1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＋1＝Aa nBa n ＋C时，构造等差数列求解．考点3 a n 与S n 关系的应用例3设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1.因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)．当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立，所以a n ＝3×2n －1－2(n ∈N *)．【点评】数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．方 法 总 结 【p 71】1．利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质．2．利用递推关系式求通项公式时要注意转化与化归思想的应用．3．应用公式a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2且n ∈N *是求数列通项公式或递推关系式的常用方法之一，同时应注意验证a 1是否符合一般规律．走 进 高 考 【p 71】(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【解析】(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2. 因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 【命题立意】本题考查递推数列的关系以及等差数列的推理，考查了学生解决数列问题以及探究问题的能力．考 点 集 训 【p 219】A 组题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A.n 2n ＋1B.n 2n －1C.n 2n －3D.n 2n ＋3【解析】由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n 2n －1.【答案】B2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55【解析】根据题意，在S n ＋S m ＝S n ＋m 中，令n ＝1，m ＝9可得：S 1＋S 9＝S 10，即S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1，又a 10＝S 10－S 9，即a 10＝1，故选A.【答案】A3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( )A ．16B ．20C ．33D ．120【解析】a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，选C.【答案】C4．已知非零数列{a n }的递推公式为a 1＝1，a n ＝nn －1·a n －1(n >1)，则a 4＝( )A ．3B ．2C ．4D ．1【解析】依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2；当n ＝3时，a 3＝32·a 2＝3.当n ＝4时，a 4＝43·a 3＝4. 选C.【答案】C5．设数列2，5，22，11，…，则41是这个数列的第______项．【解析】由已知数列通项公式为a n ＝3n －1，由3n －1＝41，得n ＝14，即为第14项．【答案】146．数列{a n }满足a 1＋a 22＋a 322＋…＋a n 2n －1＝3n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．【解析】当n ＝1 时，有a 1＝32＝9. 当n ≥2时， a 1＋a 22＋a 322＋…＋a n －12n －2＝3n ，又a 1＋a 22＋a 322＋…＋a n －12n －2＋a n 2n －1＝3n ＋1，两式相减有a n 2n －1＝2×3n ，所以有a n ＝6n ，由于a 1＝9 不符合通项公式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（n ＝1）6n（n ≥2）.【答案】a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（n ＝1）6n （n ≥2）7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N ＋，S n ＝(－1)n a n ＋12n ＋n －3，则数列的通项公式为________________．【解析】因为S n ＝(－1)n a n ＋12n ＋n －3 (1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1×a 1＋12－2，即a 1＝－34，当n ≥2时，S n －1＝(－1)n －1a n －1＋12n －1＋n －4 (2)，(1)－(2)得a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n －12n －1＋1＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1－12n ＋1，当n 为偶数时，解得a n －1＝－1＋12n ；当n 为奇数时，解得a n －1＝－12n ＋1－2a n ＝－12n ＋1－2⎝⎛⎭⎫－1＋12n ＋1＝3－12n －1， 综上，a n＝⎩⎨⎧－1＋12n ＋1，n 为奇数，3－12n，n 为偶数.【答案】a n ＝⎩⎨⎧－1＋12n ＋1，n 为奇数3－12n ，n 为偶数8．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 【解析】(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2，3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由n ∈N *，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 组题1．数列{a n }：a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)是一个单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ C ．(－2，＋∞) D ．(0，＋∞)【解析】本题考查数列的单调性，数列与函数的关系及函数思想的应用．因为数列{a n }：a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)是一个单调递增数列，所以a n ＋1>a n 对任意n ∈N *恒成立，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn 对任意n ∈N *恒成立，整理得λ>－(2n ＋1)对任意n ∈N *恒成立；对任意n ∈N *恒有－(2n ＋1)≤－3；所以λ>－3.故选A.【答案】A2．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510 【解析】注意到a n ＝n 2cos2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n 是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1，4，7，…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30) ＝⎝⎛⎭⎫3×1＋72＋⎝⎛⎭⎫3×4＋72＋…＋⎝⎛⎭⎫3×28＋72 ＝3×10×（1＋28）2＋72×10＝470.【答案】A3．若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝(－1)n ＋2018·a ，b n＝2＋（－1）n＋2 019n，且a n <b n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－1，12 B ．[－1，1) C ．[－2，1) D.⎣⎡⎭⎫－2，32 【解析】由a n <b n ，可得(－1)n ＋2 018·a <2＋（－1）n＋2 019n，若n 是偶数，不等式等价于a <2－1n 恒成立，可得a <2－12＝32，若n 是奇数，不等式等价于－a <2＋1n ，即－a ≤2，a ≥－2，所以－2≤a <32，综上可得实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－2，32，故选D. 【答案】D4．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n －a n 2(n ∈N *)．(1)证明：1<a na n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明：12（n ＋2）<S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)．【证明】(1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a n 2≤0，即a n ＋1≤a n ， 故a n ≤12.当n ≥2时，由a n ＝(1－a n －1)a n －1，得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1>0.由0<a n ≤12，得 a n a n ＋1＝a n a n －a n 2＝11－a n ∈(1，2]，故1<a na n ＋1≤2.(2)由题意得a n 2＝a n －a n ＋1， 所以S n ＝a 1－a n ＋1.①由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1<a n a n ＋1≤2，得 1<1a n ＋1－1a n≤2， 所以n <1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此12（n ＋1）≤a n ＋1<1n ＋2(n ∈N *)．②由①②得，12（n ＋2）<S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)．。

函数的周期性的知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数，即在一定的区间内，函数的数值在一定的时间间隔内重复出现。

更具体地说，对于函数f(x)来说，如果存在一个常数T>0，使得对任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，而这个常数T被称为函数的周期。

二、周期函数的性质1. 周期函数的性质：周期函数的周期T是一个正数，且函数的周期性对于所有的自变量都成立，即对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。

2. 周期函数的图像性质：周期函数的图像通常具有重复出现的特点，这使得它在图像上形成规律的波形。

3. 周期函数的特殊性质：有些周期函数具有特殊的对称性，比如正弦函数、余弦函数等。

三、周期函数的分类1. 固定周期函数：在一个确定的周期内，函数的数值是固定的，比如正弦函数、余弦函数等。

2. 变周期函数：在一个周期内，函数的数值是变化的，比如三角函数的变型函数、指数函数、对数函数等。

四、周期的求法对于周期函数，我们通常需要求解它的周期T，有以下几种方法：1. 观察法：通过观察函数的图像特征，找到函数的周期性。

2. 公式法：对于一些已知的周期函数，可以直接利用其性质和公式来求解周期。

3. 方程求解法：将周期函数的周期T代入函数的周期性公式中，得到关于T的方程，然后求解方程得到周期T。

五、周期函数的图像特征1. 周期函数的波形特点：周期函数的图像通常呈现出规律性的波形，如正弦函数、余弦函数的波形特点。

2. 周期函数的振幅：周期函数的振幅代表了波形的最大振幅，它决定了函数波形的高低。

3. 周期函数的相位：周期函数的相位代表了波形的平移特征，它决定了函数波形的水平位置。

六、周期函数的应用周期函数在很多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等，常见的应用包括：1. 物理波动：周期函数常常用于描述物理中的波动现象，如声波、光波等。

2. 电路分析：在电路分析中，周期函数可用于描述电流、电压的周期性变化。

高一必修二数学周期函数知识点一、引言周期函数是数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将介绍高一必修二数学课程中的周期函数知识点，包括周期函数的定义、性质及常见的周期函数类型。

二、周期函数的定义与性质周期函数是指函数在某一段长度的自变量上有某种规律地重复出现的函数。

周期函数的周期是指最小正周期，即在一个完整周期内，函数值重复出现且函数值随自变量变化的规律相同。

周期函数具有以下性质：1. 周期函数的函数值在一个完整周期内重复出现；2. 周期函数的图像以某一点对称；3. 周期函数的奇偶性：如果一个周期函数满足 f(x+T)=f(x)，其中 T表示周期，那么函数是偶函数；如果一个周期函数满足 f(x+T)=-f(x)，那么函数是奇函数。

三、正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数类型。

在高一必修二的数学课程中，我们学习到了正弦函数和余弦函数的基本性质和图像特点。

1. 正弦函数正弦函数的基本形式为 y = A sin(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。

其中 A 表示振幅，B 表示频率，C 表示相位差，D 表示纵向平移。

正弦函数的图像呈现出波形，振幅决定了波浪的高度，频率决定了波浪的密度和间距，相位差和纵向平移决定了波浪在坐标系中的位置。

2. 余弦函数余弦函数的基本形式为 y = A cos(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。

余弦函数和正弦函数非常相似，只是在相位差上有所差异。

余弦函数的图像也呈现出波形，与正弦函数相比，余弦函数的波峰和波谷的位置与振幅决定的相位差有关。

四、切线方程与图像变换在周期函数中，切线方程和图像变换是我们经常需要处理的问题。

下面我们详细讨论一下这两个问题。

1. 切线方程在周期函数图像中，切线方程是确定切线斜率的关键。

对于任意一点 P(x,y)，切线的斜率等于函数在该点的导数值。

在函数 y = A sin(Bx + C) + D 中，求得的导数为 f'(x) = AB cos(Bx + C)，因此切线的斜率为 AB cos(Bx + C)。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第33讲 数列的概念和性质通关一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成:123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a ，其中数列的第1项1a ，也称首项;数列的第n 项n a ，也叫数列的通项. 要点诠释:(1){}n a 与n a 的含义完全不同:{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项；(2)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号；(3)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同序排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(4)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.通关二、数列的分类1,2,3,4,,100 ,,n3,4,5,,n1,,20156,6,6,6,2,3,4,-1,1,1,-1,3,4,4,通关三、数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示成n a ()f n =，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 要点诠释:(1)并不是所有数列都能写出其通项公式.(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列:1,0,1,0,1,0，通项公式可以是11(1)2n n a ++-=，也可以是sin 2n n a π=.(3)数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.(4)数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通关四、数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 的前n 项和:指数列{}n a 的前n 项逐个相加之和，通常用n S 表示，即12n n S a a a =+++，1*1(1)2(n n n S n a S S n n -=⎧⎪=⎨-∈⎪⎩N ）且….结论一、数列通项公式给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； (2)若第n 项和第1n +项正负交错，那么符号用(1)n-或1(1)n +-或1(1)n --来调控；(3)熟悉一些常见数列的通项公式；(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式进行变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)4142,,,,52117；(2)1925,2,,8,,222；(3)7,77,777,； (4)0,3,8,15,24,.【答案】(1)432n a n =+(2)22n n a =(3)()71019n n a =-(4)21n a n =-【解析】(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为4444,,,581114，，它们的分母相差3，因而有432n a n =+. (2)把分母统一为2，则有1491625,,,,,22222，因而有22n n a =.(3)把各项除以7，得到1,11,111,，再乘以9，得到9,99,999,，因而有()71019n n a =-. (4)观察数列递增速度较快，用平方数列对照看一看，即222221,2,3,4,5,，则有21n a n =-.【变式】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)23451,,,,,3579；(2)3143984,,,,251017；(3)392565,,,,24816；(4)5791,,,,81524--.【答案】(1)21n n -(2)221n n n ++(3)12n n +(4)1221(1)2n n n n ++-+【解析】(1)先将数列23451,,,,,3579，第1项也化为分数，数列变为12345,,,,13579，此时可以看出分子是按正整数顺序排列，分母是按奇数排列，因此此数列的通项公式为21n na n =-. (2)将数列各项化为带分数，即149161,2,3,4,251017，可以发线正整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为2n ，分母都比分子大1，所以分数部分的通项公式为221n n +.两部分合成为221n n a n n =++.(3)将数列各项化为带分数，即11111,2,3,4,24816，可以发现整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为1，分母是2n，所以两部分合成为12nn +. (4)先将数列各项取为正数，即为5791,,,,81524，再将第1项也化为分数(注意第1项化为分子符合各项分子变化规律的分数)即为3579,,,,381524，可以观察出各项分子是3开始的奇数，通项公式可以写为21n +，分母排成的数列后项与前项的差呈现出等差数列规律，求出分母的通项公式是22n n +，合起来为2212n n n ++，再考虑正负号变化规律，即可得出通项公式为1221(1)2n n n n++-+. 结论二、数列的周期性对于数列{}n a ，如果存在一个常数()*T T ∈N，使得对任意的正整数0n n >，恒有n Tn aa +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列.若01n =，则称数列{}n a 为纯周期数列，若02n …，则称数列{}n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期. 【例2】设数列{}n a 满足1112,1n na a a +==-，记数列{}n a 前n 项之积为n T ，则2020T 的值为（）. A.2 B 1 C.1-D.2-【答案】D 【解析】因为12a =，111n n a a +=-，所以211112a a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，即数列{}n a 是周期为3的周期数列，且1231a a a ⋅⋅=-，故673202067331(1)22T T ⨯+==-⨯=-.故选D.【变式】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，若167a =，则20a 的值为（）.A.67B57C.37D.17【答案】B【解析】因为数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，167a =，所以215217a a =-=，323217a a =-=，43627a a ==，所以数列{}n a 是周期为3的循环数列，所以20257a a ==.故选B.结论三、已知n S 求n a 的一般步骤任意数列{}n a 的前n 项和1121(1);(2)n n n nn S n S a a a a S S n -=⎧=+++=⎨-⎩….要点诠释:由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1,2n n n a S S n -=-…便求出当2n …时n a 的表达式；(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n …时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n …两段来写. 【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式na =__________.【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-⎩…【解析】因为已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，所以当1n =时，110a S ==，当2n …时，1n n n a S S -=-22221(1)1(1)21n n n n n ⎡⎤=----=--=-⎣⎦，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,1.21,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…【变式】已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =+，则其通项公式na =__________.【答案】14,123,2n n n -=⎧⎨⋅⎩… 【解析】当1n =时，11314a S ==+=；当2n …时，()()111131312323nnnnn n na S S ----=-=+-+=⋅=⋅.当1n =时，111232a -⨯=≠，所以14,1.23,2n n na n -=⎧=⎨⋅⎩…结论四、n a 与n S 混合在一起的处理方法数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…，通过纽带:1(2)n n n a S S n -=-…，根据题目已知条件，消掉n a 或n S ，再通过构造成等差数列或者等比数列进行求解. 要点诠释：(1)若消掉n S ,应利.用已知递推式,把n 换成1n -得到另一个式子,两式相减即可求得通项. (2)若消掉n a ,只需把1n n n a S S -=-代入递推式得到n S ，1n S -的关系,求出n S 后再利用n a 与n S 的关系求通项.【例4】若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+,则1a =数列{}n a 的通项公式n a =__________.【答案】11(2)n --【解析】由已知条件得,当1n =时,112133a a =+,故11a =.当2n …时,2133n n S a =+,112133n n S a --=+,所以12233n n n a a a -=-,即12n n a a -=-.所以{}n a 是以1为首项,2-为公比的等比数列,所以1(2)n n a -=-.【变式】已知数列{}n a 的前n 项和n S ,若1111,3n n a S a +==,则7a =（）.A.74B. 534⨯C. 634⨯D. 641+【答案】B【解析】由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=…,两式相减可得:111,233n n n a a a n +=-…,即14,2n n a a n +=….数列{}n a 是从第二项起的等比数列,公比为4, 因为113n n S a +=,11a =.所以23a =.所以72572434a a -==⨯.故选B.结论五、数列单调性的判断方法①作差法:10n n a a +->⇔数列{}n a 是递增数列; 10n n a a +-<⇔数列{}n a 是递减数列; 10n n a a +-=⇔数列{}n a 是常数列.②作商法:当0n a >时,11n n a a +>⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 当0n a <时,11n na a +>⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 【例5】已知{}n a 是递增数列,且对于任意的*2,n n a n n λ∈=+N 恒成立,则实数λ的取值范围是__________. 【答案】3λ>-【解析】解法一（定义法）因为{}n a 是递增数列,所以对任意的*n ∈N ,都有1n a +>n a ,即22(1)(1)n n n n λλ+++>+,整理得210n λ++>,即(21)(*)n λ>-+. 因为1n …,所以(21)3n -+-…,要使不等式(*)恒成立,只需3λ>-.解法二（函数法）设2()n f n a n n λ==+,其图像的对称轴为直线2n λ=-,要使数列{}n a 为递增数列,只需使定义在正整数上的函数()f n 为增函数,故只需满足(1)(2)f f <,即3λ>-. 【变式】已知数列{}n a 的通项公式为(37)0.9n n a n =+⨯,则数列{}n a 的最大项是（）.A.5aB. 6aC. 7aD. 8a 【答案】C 【解析】由1310913710n n a n a n ++=⨯>+,解得203n <,又*n ∈N ,所以6n ….于是12a a <<7a <,当7n …时,11n na a +<, 故78a a >>, 因此最大项为7a .故选C .。

周期函数知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数。

在数学上，如果存在一个正数T，对于所有实数x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就被称为周期函数，而T被称为函数的周期。

简单来说，如果以某个固定的间隔T，函数值会重复出现，则该函数是周期函数。

周期函数的周期并不是唯一的，存在多个周期的正整数倍也是周期。

周期函数的周期通常记作T。

二、周期函数的性质1. 周期性：周期函数在每个周期内具有相同的性质，即满足f(x+T) = f(x)。

2. 周期的加法性：如果函数f(x)的周期为T1，函数g(x)的周期为T2，则函数f(x)g(x)的周期为T1和T2的最小公倍数。

3. 周期函数的奇偶性：若f(x)为周期函数，则它可以是奇函数、偶函数或者既非奇又非偶。

4. 周期函数的连续性：周期函数可以在周期内连续，也可以在周期的边界处不连续。

5. 周期函数的有界性：周期函数可以是有界函数，也可以是无界函数。

三、周期函数的图像周期函数的图像通常以周期为一个完整周期的图像展现。

其图像特点可以通过周期函数的性质进行推断。

1. 若函数f(x)为偶函数，则其图像关于y轴对称。

2. 若函数f(x)为奇函数，则其图像关于原点对称。

3. 若函数f(x)为有界函数，则其图像在一定范围内波动，不会趋于无穷。

四、常见周期函数1. 正弦函数：y = sin(x)，其周期为2π。

正弦函数在周期内呈现周期性波动，其图像为一条类似正弦曲线的波动函数。

2. 余弦函数：y = cos(x)，其周期为2π。

余弦函数也呈现周期性波动，其图像为一条类似余弦曲线的波动函数。

3. 正切函数：y = tan(x)，其周期为π。

正切函数在周期内也呈现周期性波动，其图像为一条类似正切曲线的波动函数。

4. 正弦函数的变形函数：y = Asin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，称为正弦函数的变形函数。

这类函数在正弦函数的基础上进行了挤压、平移和拉伸等变换。

周期函数高一知识点周期函数是数学中的一个重要概念，它在高一数学课程中占据着重要的位置。

周期函数是指具有重复性质的函数，其图像在一定的区间内重复出现。

本文将介绍周期函数的定义、性质以及与三角函数的关系。

一、周期函数的定义周期函数是指存在一个正数T，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)成立。

其中，T被称为函数的周期。

具体而言，如果对于任意的x∈R，都有f(x+T)=f(x)成立，则称函数f(x)为周期为T的周期函数。

二、周期函数的性质1. 周期的唯一性：对于周期函数而言，它的周期不止一个，但所有的周期都具有一个重要的性质，即两个周期的差值也是一个周期。

2. 周期函数的奇偶性：对于周期函数f(x)，如果对于任意的x∈R，都有f(-x)=f(x)成立，则称f(x)为偶函数；如果对于任意的x∈R，都有f(-x)=-f(x)成立，则称f(x)为奇函数。

3. 周期函数的基本区间：周期函数的基本区间指的是函数图像重复性质最明显的区间，即一个周期内的取值范围。

相邻两个基本区间具有相同的取值。

4. 周期函数的图像：周期函数的图像可以通过绘制一个基本区间内的图像并进行平移得到。

具体而言，绘制一个周期内的图像，然后在横轴上平移T个单位，即得到整个周期函数的图像。

三、周期函数与三角函数的关系周期函数与三角函数之间有着密切的关系，特别是三角函数中的正弦函数和余弦函数。

1. 正弦函数：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π)=sin(x)。

因此，正弦函数是一个周期函数。

与周期函数的定义相比，可知正弦函数的周期T=2π。

2. 余弦函数：余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π)=cos(x)。

余弦函数也是一个周期函数，其周期与正弦函数相同，均为2π。

通过正弦函数和余弦函数的周期性质，可以得出其他三角函数的周期性质。

例如，正切函数和余切函数的周期均为π。

周期函数的研究有助于我们理解函数的重复性质以及函数图像的变化规律。

在解决实际问题时，周期函数也常常起到重要的作用。