2019-2020年广东省广州市越秀区培正中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)

2019-2020学年广东省广州市越秀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2+x+6＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．54．方程x（x+4）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣4 B．x1＝0，x2＝4 C．x＝﹣4 D．x＝45．一个正方形绕其中心至少旋转（），才能与自身重合．A．45°B．90°C．135°D．180°6．若关于x的方程x2+mx﹣15＝0有一根是3，则方程的另一根是（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．27．如图，△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，若∠AOB＝35°，则∠A′OB＝（）A．35°B．65°C．100°D．135°8．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为﹣5和1，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是（）A．x＝﹣4 B．x＝﹣3 C．x＝﹣2 D．x＝﹣19．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．600 B．300 C．40 D．2010．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（5分）用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一个步骤是．12．（5分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为．13．（5分）如图所示，Rt△ABC与Rt△AB′C′关于点A成中心对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长度为．14．（5分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③＜1，④a+c＞0，其中正确的结论为（请把正确结论的序号都填在横线上）三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．（9分）解方程：x2+6x+8＝0．18．（9分）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．19．（10分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的三角形，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠B′BC的度数是．20．（10分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20米长的篱笆围成一个矩形场地．若围成矩形场地的面积为50米2，求矩形场地的长和宽．21．（12分）已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．22．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（2，0）、（0，8）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）当x取何范围的值时，二次函数的图象位于x轴上方．23．（12分）将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG如图放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上，连接DG、BE．（1）求证：DG＝BE；（2）把正方形AEFG绕点A旋转，当点F恰好落在AB边所在的直线上时，求BE的长．24．（14分）已知抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，顶点为A．（1）若点A的坐标是（﹣2，﹣4），①求抛物线的解析式；②把抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，求n的取值范围；（2）若直线y2＝ax+b经过点A，当1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．25．（14分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S 的最小值．2017-2018学年广东省广州市越秀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．一元二次方程x2+x+6＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：△＝12﹣4×1×6＝﹣23＜0，所以方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣5），由a＝﹣2＜0可知：当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣5中a＝﹣2＜0，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣5），有最大值﹣5，即当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．4．方程x（x+4）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣4 B．x1＝0，x2＝4 C．x＝﹣4 D．x＝4【分析】根据方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x+4）＝0，x＝0或x+4＝0，x1＝0，x2＝﹣4，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．5．一个正方形绕其中心至少旋转（），才能与自身重合．A．45°B．90°C．135°D．180°【分析】正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答．【解答】解：∵360°÷4＝90°，∴正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．故选：B．【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．6．若关于x的方程x2+mx﹣15＝0有一根是3，则方程的另一根是（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2【分析】设方程的另一根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一根为x1，根据题意得：3×x1＝﹣15，解得：x1＝﹣5．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．牢记两根之积等于是解题的关键．7．如图，△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，若∠AOB＝35°，则∠A′OB＝（）A．35°B．65°C．100°D．135°【分析】先根据旋转的性质得到∠AOA′＝100°，然后计算∠AOA′﹣∠AOB即可．【解答】解：∵△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，∴∠AOA′＝100°，∴∠A′OB＝∠AOA′﹣∠AOB＝100°﹣35°＝65°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为﹣5和1，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是（）A．x＝﹣4 B．x＝﹣3 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1【分析】根据题意和一元二次方程和抛物线的关系，可以求得该抛物线的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为﹣5和1，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．600 B．300 C．40 D．20【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．【解答】解：由题意，s＝﹣1.5t2+60t，＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）＝﹣1.5（t﹣20）2+600，即当t＝20秒时，飞机才能停下来．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值．10．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（）A．B．C．D．【分析】函数顶点坐标M为（h，0），设：点M到直线l的距离为a，则：y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐标即可求解．【解答】解：函数顶点坐标M为（h，0），设：点M到直线l的距离为a，则：y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h，即：A（h﹣，0），B（h，0），∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，解得：a＝，故选：B．【点评】本题考查的是函数与x轴的交点，是一道基本题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．点P（﹣5，﹣7）关于原点对称的点的坐标是（5，7）．【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．【解答】解：∵两点关于原点对称，∴横坐标为5，纵坐标为7，故点P（﹣5，﹣7）关于原点对称的点的坐标是：（5，7）．故答案为：（5，7）．【点评】此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．12．设x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则x1+x2＝﹣3．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．13．抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是（0，6）．【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y＝﹣x2+6是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（0，6）．故答案为（0，6）．【点评】此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．14．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为10%．【分析】设该商品每次降价的百分率为x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出结论．【解答】解：设该商品每次降价的百分率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝324，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：该商品每次降价的百分率为10%．故答案为：10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．将抛物线y＝x2+4x+4向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2﹣2．【分析】先把y＝x2+4x+4配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），再根据点平移的规律，点（﹣2，0）经过平移后所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：y＝x2+4x+4＝（x+2）2，此抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），把点（﹣2，0）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣2．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．16．如图，在平面直角坐标系中O是原点，矩形OABC的对角线相交于点P，顶点C的坐标是（0，3），∠ACO＝30°，将矩形OABC绕点O顺时针旋转150°后点P的对应点P′的坐标是（0，﹣）．【分析】根据已知条件得到OC＝3，解直角三角形求得AC＝＝＝2，OA＝AC＝，根据矩形的性质得PC＝PA，根据勾股定理得到OP＝＝，根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：∵点C的坐标是（0，3），∴OC＝3，∵∠ACO＝30°，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴OA＝AC＝，∴A（，0），∵四边形OABC是矩形，∴PC＝PA，∴P（，），∴OP＝＝，∵∠ACO＝30°，∠AOC＝90°，∴∠AOP＝60°，∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转150°后点P的对应点P′落在y轴的负半轴上，∴OP′＝OP＝，∴点P′的坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形，正确的找到点P′的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．（9分）解方程：x2+6x+8＝0．【分析】先把方程左边进行因式分解得到（x+2）（x+4）＝0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：∵x2+6x+8＝0，∴（x+2）（x+4）＝0，∴x+2＝0或x+4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．18．（9分）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．【分析】（1）由二次函数的顶点式，根据二次函数的性质解决问题；（2）由（1）中抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的增大而增大时x的值．【解答】解：（1）y＝﹣（x﹣2）2+3．所以抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）；（2）∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵抛物线的对称轴x＝2，∴当x＜2时y随x的增大而增大．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键．19．（10分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的三角形，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠B′BC的度数是45°．【分析】（1）将点A与点B分别绕点C逆时针旋转90°得到其对应点，再与点C首尾顺次连接即可得；（2）根据旋转的定义和性质知∠BCB′＝90°，BC＝B′C，再由等腰直角三角形的性质可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；（2）∵∠BCB′＝90°，BC＝B′C，∴∠B′BC＝45°，故答案为：45°．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．20．（10分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20米长的篱笆围成一个矩形场地．若围成矩形场地的面积为50米2，求矩形场地的长和宽．【分析】设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（20﹣x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．【解答】解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则另一边长为（20﹣x）m．根据题意，得（20﹣x）x＝50，解方程，得x＝10．当x＝10时，（20﹣x）＝5．答：矩形的长为10m，宽为5m．【点评】考查了一元二次方程的应用，解答此题要注意以下问题：（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．21．（12分）已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．【分析】（1）求出根的判别式△＝25+p2，根据判别式的意义即可得出无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系求出两根和与两根积，再代入x1+x2＝x1x2，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可．【解答】（1）证明：△＝52﹣4（﹣p2）＝25+p2，∵无论p取何值时，总有p2≥0，∴25+p2＞0，∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意可得，x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣p2，∵x1+x2＝x1x2，∴﹣5＝﹣p2，∴p＝±．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．22．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（2，0）、（0，8）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）当x取何范围的值时，二次函数的图象位于x轴上方．【分析】（1）把（2，0）、（0，8）代入二次函数表达式，即可求解；（2）令y＝0，解得：x＝2或﹣4，即可求解．【解答】解：（1）把（2，0）、（0，8）代入二次函数表达式，解得：b＝﹣2，c＝8，故：函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8；（2）令y＝0，解得：x＝2或﹣4，从图象可以看出：﹣4＜x＜2时，函数在x轴上方．【点评】本题考查的是函数与坐标轴的交点，涉及到二次函数的基本性质，难度不大．23．（12分）将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG如图放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上，连接DG、BE．（1）求证：DG＝BE；（2）把正方形AEFG绕点A旋转，当点F恰好落在AB边所在的直线上时，求BE的长．【分析】（1）依据四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，即可得到AG＝AE，AD＝AB，∠DAG ＝∠BAE＝90°，判定△ABE≌△ADG（SAS），即可得到DG＝BE；（2）分两种情况进行讨论：点F在BA的延长线上；点F在射线AB上，即可得到BE的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG＝AE，AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴DG＝BE；（2）分两种情况：①如图，当点F在BA的延长线上时，连接EG，交AF于O，则∠AOE＝90°，∵AE＝2，AB＝2，∴AO＝EO＝，∴Rt△BOE中，AE＝＝＝2；②如图，当点F在射线AB上时，AF＝2＝AB，∴点F与点B重合，∴BE＝FE＝2；综上所述，BE的长为2或2．【点评】本题是考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的综合运用．利用分类讨论思想是解题的关键．24．（14分）已知抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，顶点为A．（1）若点A的坐标是（﹣2，﹣4），①求抛物线的解析式；②把抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，求n的取值范围；（2）若直线y2＝ax+b经过点A，当1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．【分析】（1）①设抛物线的解析式为：y1＝a（x+2）2﹣4，根据抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，得到0＝4a﹣4，于是得到结论；②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，则x2+2x＝0，得到抛物线与x轴的交点为：（﹣2，0），（0，0）；解不等式得到n＞﹣，当直线y＝﹣x+n过点（﹣2，0），则n＝﹣2，于是得到结论；（2）将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可得出a、b的关系，再根据ab≠0，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵顶点A（﹣2，﹣4），∴设抛物线的解析式为：y1＝a（x+2）2﹣4，∵抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，∴0＝4a﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y1＝x2+4x；②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，则x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2，∴抛物线与x轴的交点为：（﹣2，0），（0，0）；解得，x2+3x﹣n＝0，∵抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，∴△＝9+4n＞0，∴n＞﹣，当直线y＝﹣x+n过点（﹣2，0），则n＝﹣2，∴n的取值范围为：﹣＜x＜﹣2；（2）∵抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，∴y1＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），∵函数y2的图象经过y1的顶点，∴﹣＝a（﹣）+b，即b＝﹣，∵ab≠0，∴﹣b＝2a，∴b＝﹣2a，∴y1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），y2＝ax﹣2a，∴y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1）．∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；当a＜0时，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），解题的关键是分a＞0或a＜0两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大．25．（14分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S 的最小值．【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA＝90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE＝CF；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2；（3）过点F 作FG ⊥AB ，由题意可得S △DEF ＝S △ABC ﹣S △AEF ﹣S △BDE ﹣S △BCF ，则可求S 与x 之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求S 的最小值．【解答】解：（1）∵△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点， ∴∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝CD ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFA ＝90°，∵∠A +∠EDF +∠AFD +∠AED ＝180°，∴∠AED ＝90°，∴∠DEB ＝∠DFC ，且∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝DC ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°．∵∠A ＝60°，∴∠MDN ＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF ＝120°，∴∠MDE ＝∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，，∴△MBD ≌△NCD （AAS ）BM ＝CN ，DM ＝DN ．在△EMD 和△FND 中，，∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM ＝FN ，∴BE +CF ＝BM +EM +CF ＝BM +FN +CF ＝BM +CN＝2BM ＝2BD ×cos60°＝BD ＝BC ＝2（3）过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，∵BE ＝x∴AE ＝4﹣x ，CF ＝2﹣x ，∴AF ＝2+x ，∵S △DEF ＝S △ABC ﹣S △AEF ﹣S △BDE ﹣S △BCF ，∴S ＝BC ×AB ×sin60°﹣AE ×AF ×sin60°﹣BE ×BD ×sin60°﹣CF ×CD ×sin60°＝4﹣×（4﹣x ）×（2+x ）×﹣×x ×2×﹣×（2﹣x ）×2×∴S ＝（x ﹣1）2+∴当x ＝1时，S 最小值为【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN 是解决本题的关键．。

2019-2020学年广东省广州市越秀区九上期中数学试卷
20.已知关于的方程．
（1）求证方程有两个不相等的实数根；
（2）当为何值时，方程的两根互为相反数?并求出此时方程的解．
21.如图，等腰直角绕直角顶点按逆时针方向旋转后得到，且，求的
长．
20.某种药品原来售价元，连续两次降价后售价为元，若每次下降的百分率相同，求这种药品下降的
百分率．
21.已知抛物线．
（1）对称轴为，顶点坐标为；
（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
（3）若抛物线与轴交点为，，点在抛物线上，求的面积．
22.温州某企业安排名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产件甲或件乙，甲产品每件可获利
元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于件，当每天生产件时，每件可获利元，每增加件，当天平均每件获利减少元．设每天安排人生产乙产品．
（1）根据信息填表：
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利元，求每天生产三种产品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值．。

2019-2020年广东省广州XX中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一．选择题（每题3分，共30分）1．（3分）16平方根是（）A．4B．﹣4C．±4D．±82．（3分）方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6，2，9B．2，﹣6，9C．2，﹣6，﹣9D．﹣2，6，93．（3分）抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）4．（3分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+2x=0B．（x﹣1）2=0C．x2=1D．x2+1=05．（3分）如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（）A．y=x2﹣2x+3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2+2x+3D．y=x2+2x+36．（3分）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（）A．B．5C．D．77．（3分）把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（）A．y=320（x﹣1）B．y=320（1﹣x）C．y=160（1﹣x2）D．y=160（1﹣x）28．（3分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠39．（3分）三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24B．48C．24或8D．810．（3分）函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y=x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（用“＜”连接）．12．（3分）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为．13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为．14．（3分）已知点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y=x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为．16．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0④8a+c＜0，其中正确的有．三、解答题（共102分）17．（10分）解方程（1）x 2﹣4x=0（2）2x 2+3=7x18．（8分）已知x 1=﹣1是方程x 2+mx ﹣5=0的一个根，求m 的值及方程的另一根x 2．19．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2），函数的最小值是﹣4．（1）求二次函数的解析式．（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案．20．（10分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．21．（8分）已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（2m ﹣2）x+m=0有实根．（1）求m 的取值范围；（2）若原方程两个实数根为x 1，x 2，是否存在实数m ，使得+=1？请说明理由．22．（8分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m ，隧道的最高点C到公路的距离为6m ．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m ，货车的宽度是2m ，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m ，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．23．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料．（1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．（2）当BC为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？并求出最大值．24．（10分）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．25．（10分）已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）（1）求a的值；（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题1．如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；2．如图③，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（每题3分，共30分）1．（3分）16平方根是（）A．4B．﹣4C．±4D．±8【分析】依据平方根的定义和性质求解即可．【解答】解：16平方根是±4．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，掌握平方根的性质是解题的关键．2．（3分）方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6，2，9B．2，﹣6，9C．2，﹣6，﹣9D．﹣2，6，9【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．【解答】解：∵方程2x2﹣6x=9化成一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．故选：C．【点评】注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2﹣3，∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．（3分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+2x=0B．（x﹣1）2=0C．x2=1D．x2+1=0【分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其为零的选项即可得出结论．【解答】解：A、∵△=22﹣4×1×0=4＞0，∴一元二次方程x2+2x=0有两个不相等的实数根；B、原方程可变形为x2﹣2x+1=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，∴一元二次方程（x﹣1）2=0有两个相等的实数根；C、原方程可变形为x2﹣1=0，∵△=02﹣4×1×（﹣1）=4＞0，∴一元二次方程x2=1有两个不相等的实数根；D、∵△=02﹣4×1×1=﹣4＜0，∴一元二次方程x2+1=0没有实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．5．（3分）如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（）A．y=x2﹣2x+3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2+2x+3D．y=x2+2x+3【分析】先利用抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），则可设交点式为y=a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出a的值即可．【解答】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），可设交点式为y=a（x+1）（x﹣3），把（0，﹣3）代入y=a（x+1）（x﹣3），可得：﹣3=a（0+1）（0﹣3），解得：a=1，所以解析式为：y=x2﹣2x﹣3，故选：B．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．6．（3分）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（ ）A ．B ．5C ．D ．7【分析】设其中一条直角边的长为x ，则另一条直角边的长为（7﹣x ），根据三角形的面积为x建立方程就可以求出两直角边，由勾股定理就可以求出斜边．【解答】解：设其中一条直角边的长为x ，则另一条直角边的长为（7﹣x ），由题意，得x （7﹣x ）=6，解得：x 1=3．，x 2=4，由勾股定理，得斜边为：=5．故选：B ．【点评】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用．列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据面积公式建立方程求出直角边是关键．7．（3分）把160元的电器连续两次降价后的价格为y 元，若平均每次降价的百分率是x ，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y=320（x ﹣1）B ．y=320（1﹣x ）C ．y=160（1﹣x 2）D ．y=160（1﹣x ）2 【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160（1﹣x ），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160（1﹣x ）（1﹣x ），由此即可得到函数关系式．【解答】解：第一次降价后的价格是160（1﹣x ），第二次降价为160（1﹣x ）×（1﹣x ）=160（1﹣x ）2则y 与x 的函数关系式为y=160（1﹣x ）2．故选：D ．【点评】此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x 的二次函数．8．（3分）已知函数y=（k ﹣3）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠3【分析】分为两种情况：①当k ﹣3≠0时，（k ﹣3）x 2+2x+1=0，求出△=b 2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k ﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x 轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k ﹣3≠0时，（k ﹣3）x 2+2x+1=0，△=b 2﹣4ac=22﹣4（k ﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点．故选：B．【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．9．（3分）三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24B．48C．24或8D．8【分析】先利用因式分解法解方程得到所以x1=6，x2=10，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，利用勾股定理计算出AD=2，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积．【解答】解：x2﹣16x+60=0（x﹣6）（x﹣10）=0，x﹣6=0或x﹣10=0，所以x1=6，x2=10，当第三边长为6时，如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，AD===2，所以该三角形的面积=×8×2=8；当第三边长为10时，由于62+82=102，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积=×8×6=24，即该三角形的面积为24或8．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．10．（3分）函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣＜0，故选项错误．故选C．【点评】应该熟记一次函数y=ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．二．填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y=x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y1＜y2＜y3（用“＜”连接）．【分析】把各点的横坐标代入函数解析式求出函数值，即可得解．【解答】解：x=﹣1时，y 1=2×（﹣1）2=2， x=2时，y 2=2×22=8，x=﹣3时，y 3=2×（﹣3）2=18， 所以，y 1＜y 2＜y 3． 故答案为：y 1＜y 2＜y 3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确计算求出各函数值是解题的关键． 12．（3分）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x 个队参加比赛，则依题意可列方程为 x （x ﹣1）=90 ．【分析】设有x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【解答】解：设有x 个队参赛， x （x ﹣1）=90．故答案为：x （x ﹣1）=90．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．13．（3分）关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k 可取的最大整数为 6 ．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣5）2﹣4k ＞0，解不等式得k ＜，然后在此范围内找出最大整数即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣5）2﹣4k ＞0，解得k ＜，所以k 可取的最大整数为6． 故答案为6．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．（3分）已知点P （x ，y ）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x ≤1时，y 的取值范围是 ﹣3≤y ≤5 ．【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的y 的取值范围，本题得以解决． 【解答】解：∵二次函数y=2（x+1）2﹣3，∴该函数对称轴是直线x=﹣1，当x=﹣1时，取得最小值，此时y=﹣3，∵点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是：﹣3≤y≤5，故答案为：﹣3≤y≤5．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y=x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为 2 ．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据A和B的坐标求OB和OA的长，证明∴△AOB≌△BGC，BG=OA=2，CG=OB=1，写出C（3，1），同理得：△BCG≌△CDH，得出D的坐标，根据平移的性质：D与D′的纵坐标相同，则y=3，求出D′的坐标，计算其距离即可．【解答】解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D作DH⊥GH于H，∵A（0，2），B（1，0），∴OA=2，OB=1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABO+∠CBG=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBG=∠OAB，∵∠AOB=∠BGC=90°，∴△AOB≌△BGC，∴BG=OA=2，CG=OB=1，∴C（3，1），同理得：△BCG≌△CDH，∴CH=BG=2，DH=CG=1，∴D （2，3），∵C 在抛物线的图象上，把C （3，1）代入函数y=x 2+bx ﹣1中得：b=﹣，∴y=x 2﹣x ﹣1， 设D （x ，y ），由平移得：D 与D′的纵坐标相同，则y=3，当y=3时， x 2﹣x ﹣1=3， 解得：x 1=4，x 2=﹣3（舍）， ∴DD′=4﹣2=2，则点D 与其对应点D′间的距离为2， 故答案为：2．【点评】本题考查出了二次函数图象与几何变换﹣﹣平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确D 与D′的纵坐标相同是关键．16．（3分）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b ﹣2a=0；②abc ＜0； ③a ﹣2b+4c ＜0④8a+c ＜0，其中正确的有 ③④ ．【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a ＞0，根据图象与y 轴交点可得c ＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣，结合图象与x 轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a 的取值可判定出b ＜0，根据a 、b 、c 的正负即可判断出②的正误；利用a ﹣b+c=0，求出a ﹣2b+4c ＜0，再利用当x=4时，y ＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0．【解答】解：根据图象可得：a＞0，c＜0，对称轴：x=﹣＞0，①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴﹣=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；③∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a，∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4（b﹣a）=2b﹣3a，又由①得b=﹣2a，∴a﹣2b+4c=﹣7a＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0；故④正确；故正确为：③④两个．故答案为：③④．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．三、解答题（共102分） 17．（10分）解方程 （1）x 2﹣4x=0 （2）2x 2+3=7x【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）x （x ﹣4）=0， x=0或x ﹣4=0， 所以x 1=0，x 2=4； （2）2x 2﹣7x+3=0， （2x ﹣1）（x ﹣3）=0， 2x ﹣1=0或x ﹣3=0，所以x 1=，x 2=3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．（8分）已知x 1=﹣1是方程x 2+mx ﹣5=0的一个根，求m 的值及方程的另一根x 2． 【分析】将x 1=﹣1代入方程可得关于m 的方程，解之求得m 的值，即可还原方程，解之得出另一个根．【解答】解：由题意得：（﹣1）2+（﹣1）×m ﹣5=0， 解得m=﹣4；当m=﹣4时，方程为x 2﹣4x ﹣5=0 解得：x 1=﹣1，x 2=5 所以方程的另一根x 2=5．【点评】本题主要考查一元二次方程的解的定义及解方程的能力，解题的关键是根据方程的解的定义求得m 的值．19．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2），函数的最小值是﹣4．（1）求二次函数的解析式．（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案． 【分析】（1）先利用二次函数的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），设顶点式y=a （x ﹣1）2﹣4，然后把（0，﹣2）代入求出a 即可；（2）2（x ﹣1）2﹣4=0得抛物线与x 轴的交点坐标为（1﹣，0），（1+，0），然后写出抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2）， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4，把（0，﹣2）代入得a （0﹣1）2﹣4=﹣2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2（x ﹣1）2﹣4；（2）当y=0时，2（x ﹣1）2﹣4=0，解得x 1=1﹣，x 2=1+，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1﹣，0），（1+，0），∴当x ＜1﹣或x ＞1+时，y ＞0，即当x ＜1﹣或x ＞1+时，该二次函数的图象在横轴上方．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解一元二次方程的问题．关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．20．（10分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．【分析】确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值．【解答】解：设销售价每件定为x 元，则每件利润为（x ﹣8）元，销售量为[100﹣10（x ﹣10）]，根据利润=每件利润×销售量，可得销售利润y=（x ﹣8）•[100﹣10（x ﹣10）]=﹣10x 2+280x ﹣1600=﹣10（x ﹣14）2+360， ∴当x=14时，y 的最大值为360元，∴应把销售价格定为每件14元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为360元． 【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单．21．（8分）已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（2m ﹣2）x+m=0有实根． （1）求m 的取值范围；（2）若原方程两个实数根为x 1，x 2，是否存在实数m ，使得+=1？请说明理由．【分析】（1）根据“关于x 的一元二次方程mx 2﹣（2m ﹣2）x+m=0有实根”，判别式△≥0，得到关于m 的一元一次方程，解之即可，（2）根据“+=1”，通过整理变形，根据根与系数的关系，得到关于m 的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．【解答】解：（1）∵方程mx 2﹣（2m ﹣2）x+m=0是一元二次方程， ∴m ≠0，△=（2m ﹣2）2﹣4m 2 =4m 2﹣8m+4﹣4m 2 =4﹣8m ≥0，解得：m，即m 的取值范围为：m 且m ≠0，（2）+==﹣2=1，x 1+x 2=，x 1x 2=1，把x 1+x 2=，x 1x 2=1代入﹣2=1得：=3，解得：m=4±2，∵m 的取值范围为：m 且m ≠0，∴m=4±2不合题意，即不存在实数m ，使得+=1．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键：（1）根据判别式△≥0，列出关于m 的一元一次方程，（2）正确掌握根与系数的关系，列出一元二次方程．22．（8分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C 到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．【分析】（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．（1）求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．【解答】解：（1）本题答案不唯一，如：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）．设这条抛物线的表达式为y=a（x﹣4）（x+4）．∵抛物线经过点C，∴﹣16a=6．∴a=﹣∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．（2）当x=1时，y=，∵4.4+0.5=4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．【点评】本题考查二次函数的应用、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料． （1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m 2．（2）当BC 为何值时，矩形ABCD 的面积有最大值？并求出最大值．【分析】（1）根据题意可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶点式，注意求出的边长要符合题意．【解答】解：（1）设AB 为xm ，则BC 为（50﹣2x ）m ， x （50﹣2x ）=300， 解得，x 1=10，x 2=15，当x 1=10时50﹣2x=30＞25（不合题意，舍去）， 当x 2=15时50﹣2x=20＜25（符合题意），答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米； （2）设AB 为xm ，矩形花园的面积为ym 2，则y=x （50﹣2x ）=﹣2（x ﹣）2+，∴x=时，此时y 取得最大值，50﹣2x=25符合题意，此时y=，即当砌墙BC 长为25米时，矩形花园的面积最大，最大值为．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24．（10分）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为45°，点D的坐标为（t，t）（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．【分析】（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）∴AO=PQ．∵四边形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°．∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=PQ．... 在△BAP和△PQD中，∴△BAP≌△PQD（AAS）．∴AP=QD，BP=PD．∵∠BPD=90°，BP=PD，∴∠PBD=∠PDB=45°．∵AP=t，∴DQ=t．∴点D坐标为（t，t）．故答案为：45°，（t，t）．（2）①若PB=PE，则t=0，符合题意②若EB=EP，则∠PBE=∠BPE=45°．∴∠BEP=90°．∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC．在△POE和△ECB中，∴△POE≌△ECB（AAS）．∴OE=CB=OC．∴点E与点C重合（EC=0）．∴点P与点O重合（PO=0）．∵点B（﹣4，4），∴AO=CO=4．此时t=AP=AO=4．③若BP=BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．∴AP=CE．∵AP=t，∴CE=t．∴PO=EO=4﹣t．∵∠POE=90°，∴PE==（4﹣t）．延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，∴△FAB≌△ECB．∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠EBC=45°．∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．∴∠FBP=∠EBP．在△FBP和△EBP中，∴△FBP≌△EBP（SAS）．∴FP=EP．∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．∴EP=t+t=2t．∴（4﹣t）=2t．解得：t=4﹣4∴当t为0秒或4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形．（3）∵EP=CE+AP，∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8．∴△POE周长是定值，该定值为8．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．25．（10分）已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）（1）求a的值；（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题1．如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；2．如图③，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可求a的值；（2）设点P（a， a2﹣1），根据两点距离公式可求PQ，PO的长度，即可证PQ=PO；（3）1．由（2）可得OB=BN，AM=AO，即可求∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO，根据三角形内角和定理可求OM⊥ON；2．过点F作EF⊥直线l，由（2）得OF=EF，当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小，此时DE⊥直线l，即可求FD+FO的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）∴0=4a﹣1∴a=（2）∵a=∴抛物线解析式：y=x2﹣1设点P（a， a2﹣1）∴PO==a2+1PQ=a2﹣1﹣（﹣2）=a2+1∴PO=PQ（3）1．由（2）可得OA=AM，OB=BN∴∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO∵AM⊥MN，BN⊥MN∴AM∥BN∴∠ABN+∠BAM=180°∵∠ABN+∠BON+∠BNO=180°，∠AOM+∠AMO+∠BAM=180°∴∠ABN+∠BON+∠BNO+∠AOM+∠AMO+∠BAM=360°∴∠BON+∠AOM=90°∴∠MON=90°∴OM⊥ON2．如图：过点F作EF⊥直线l，由（2）可得OF=EF，∵OF+DF=EF+DF∴当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小．即此时DE⊥直线l∴OF+DF的最小值为DE=1+2=3．【点评】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，两点距离公式，三角形内角和定理，最短路径问题，利用数形思想解决问题是本题的关键．。

上学期月考九年级数学试卷（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、已知关于x 的方程x 2－kx －6＝0的一个根为x ＝3，则实数k 的值为 ( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－22、把方程)2(5)2(-=+x x x 化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是( ) A ．1，-3，10 B.1，7，-10 C.1，-5，12 D.1， 3，23、 方程(x ＋1)(x －2)＝0的根是( )A ．x ＝－1B ．x ＝2C ．x 1＝1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝24、正方形具有而菱形不具有的性质是（）A ．四个角都是直角B ．两组对边分别相等C ．内角和为360°D ．对角线平分对角 5、已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p )2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下 列的( )A ．(x －p )2＝5B ．(x －p )2＝9 C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝56、如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（ ）A.20B.15C.10D.57、如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于E ，若∠OAE=24°，则∠BAE 的度数是（ ）A ．24°B ．33°C ．42°D ．43°8、三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的解，则这个三角形的周长 是( ) A ．11B ．13C ．11或13D ．不确定9、 已知m ，n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为 ( ) A ．9B ．4C ．3D ．510、若一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．m ≤1C ．m ≤4D ．m ≤12二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11、正方形的一条对角线和一边所成的角是度.12、菱形的两条对角线长分别是6,和8，则菱形的面积是13、一个直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积是________2cm . 14、如图，给一幅长8m ，宽5m 的矩形风景画（图中阴影部分）镶一个画框，若设画框的宽均为m x ，装好画框后总面积为270m ，则根据题意可列方程为__________.15、 如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF=2，则菱形ABCD 的周长是________． 16、定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是________．三、解答题(一)（共18分).17、 解方程：（每小题3分，共12分）(1)(x ＋8)2＝36； (2)x (5x ＋4)－(4＋5x )＝0；(3)x 2＋3＝3(x ＋1)； (4)2x 2－x －6＝018、（6分）已知，如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，F 为BA 延长线上一点，且CE=AF.连接DE ，DF.求证：DE=DF.四、解答题（二）（每小题7分，共21分）19、当m 为何值时，一元二次方程(m 2－1)x 2＋2(m －1)x ＋1＝0： (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根．20、阅读下面材料，再解方程：解方程022=--x x解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2– x –2=0，解得：x 1=2,x 2= - 1（不合题意，舍去） （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+ x –2=0，解得：x 1=1,（不合题意，舍去）x 2= -2∴原方程的根是x 1=2, x 2= - 2（3）请参照例题解方程0112=---x x21、如图，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上．（1）求证：CE=CF ；（2）若等边三角形AEF 的边长为2，求正方形ABCD 的周长五、解答题（三）（每小题9分，共27分）22.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，BF ∥CE 交DE 的延长线于点F. (1)求证：四边形ECBF 是平行四边形. (2)当∠A=30°时，求证：四边形ECBF 是菱形.23. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个，商场为了保证经营该商品赚得8 000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？这时应进货多少个？24. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝x cm(x≠0)，则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm，(1)当x为何值时，点P，N重合；(2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．九年级数学参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题4分，共24分）11．45 12. 24 13. 30 14. 70)25)(28(=++x x 15. 16 16. -1或4三、解答题（一）（共18分） 17．解方程（每小题3分，共12分）（1）解：36)8(2=+x （2）解：0)54()45(=+-+x x x68±=+x 0)1)(45(=-+x x6868-=+=+x x 或01045=-=+x x 或14,221-=-=x x 1,5421=-=x x（3）解：)1(332+=+x x （4）解：0622=--x x3332+=+x x 这里：6,1,2-=-==c b a032=-x x ∵ 025)6(24)1(422>=-⨯⨯--=-ac b 0)3(=-x x ∴ 45122251±=⨯±=x030=-=x x 或 ∴ 1,2321-==x x3,021==x x18．证明：∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴CD=AD ，∠DAB=∠C=90° ∴∠FAD=180°-∠DAB=90°． ∴ ∠C ＝∠DAF ，又CE ＝AF ∴△DCE ≌△DAF （SAS ）， ∴DE=DF ． 四、解答题（二）（每小题7分，共21分） 19．解：∵=-ac b 42[2（m-1）]2-4（m 2-1）=-8m+8，（1）根据题意得：-8m+8＞0，且m 2-1≠0，解得：m ＜1且m ≠-1； （2）根据题意得：-8m+8=0，即m=1，不合题意，则方程不可能有两个相等的实数根； （3）根据题意得：-8m+8＜0，解得：m ＞1．20. 解：（1）当1-x ≥0时，原方程可化为02=-x x ，解得：（不合题意，舍去）0,121==x x（2）当1-x ＜0时，原方程可化为022=-+x x ，解得：（不合题意，舍1,221=-=x x ∴ 原方程的根是2,121-==x x21. 解：（1）证明：∵ 四边形ABCD 是正方形 ∴ AB=AD ＝BC ＝DC ，∠B ＝∠D∵ △AEF 是等边三角形 ∴ AE ＝AF ∴ Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ） ∴ BE ＝DF 又 BC ＝DC ∴ BC －BE ＝DC －DF ∴ CE ＝CF （2）在Rt △ECF 中，CF ＝CE ＝1 ∴ EF ＝222=EC∵ △AEF 为等边三角形 ∴ AE ＝EF ＝2 设BE ＝x ，则BC ＝x ＋1＝AB在Rt △ABE 中，222AE BE AB =+ ∴ 222)2()1(=++x x解得：2131-=x ，2132--=x （不合题意，舍去） ∴ BE ＝213- 五、解答题（三）（每小题9分，共27分）22．解：（1）证明：∵D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，∴ DE 为△ABC 的中位线∴DE ∥BC ，即EF ∥BC．又∵BF ∥CE ，∴四边形ECBF 是平行四边形．（2）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，E 为AB 的中点，∴CB=21AB ，CE ＝21AB ∴CB=CE ． 又由（1）知，四边形ECBF 是平行四边形，∴四边形ECBF 是菱形．23．解1：设提高x 元，则售价应定为(50+x)元，销售量为(500-10x)个，依题意可得： (50+x-40)(500-10x)=8000 即：x 2-40x+300=0 解得：30,1021==x x∵兼顾顾客的利益 ∴ x=30不合舍去。

九年级（上）月考数学试卷（ 10 月份）题号 一 二 三 四 总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1.以下四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，此中属于中心对称图形的有（）A. 1个 （ x+1） 2B. 2个C.3个D.4个 2. 抛物线 y=-3 -2 极点坐标是（）A. (-1,2)B. (-1,-2)C. (1,-2)D. (1,2)3. 以下方程为一元二次方程的是（）A. x+1x=1B. ax2+bx+c=0C. x(x-1)=xD. x+x-1=04.设 A （ -2， y 1）， B （ 1， y 2）， C （ 2， y 3 ）是抛物线 y=-（ x+1） 2+m 上的三点，则（）A. y1>y2>y3 x 2B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y2>y1>y35. 一元二次方程 +3x-2=0 的根的状况是（）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没法确立6. 把二次函数 y=3x 2的图象向左平移 2 个单位，再向上平移1 个单位，所获得的图象对应的二次函数表达式是（ ）A. y=3(x-2)2+1B. y=3(x+2)2-1C. y=3(x-2)2-1D. y=3(x+2)2+17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=3x 经过点A ，作 AB ⊥x 轴于点 B ，将 △ABO 绕点 B 逆时针旋转60°获得 △CBD ．若点 B 的坐标为（ 2， 0），则点 C的坐标为（）A. (-1,3)B. (-2,3)C. (-3,1)D. (-3,2)8.某型号的手机连续两次降价，每个售价由本来的 1185 元降到了 580 元，设均匀每 次降价的百分率为x ，列出方程正确的选项是（）A. 580(1+x)2=1185B.C. 580(1-x)2=1185D.1185(1+x)2=5801185(1-x)2=5809.已知二次函数 y=ax 2+bx+c （ a ≠0）的图象以下图，对称轴为直线 x=-12 ，有以下结论：① abc ＜0； ② 2b+c ＜ 0； ③ 4a+c ＜ 2b ．A.0B.1C.2D.310.如图，已知△ABC 中，∠C=90 °， AC=BC=2，将△ABC 绕点A顺时针方向旋转 60°到△AB′C′的地点，连结 C′B，则 C′B的长为（）A.2-2B.32C.3-1D.1二、填空题（本大题共 6 小题，共18.0 分）11.在平面直角坐标系中，点（ -3， 2）对于原点对称的点的坐标是 ______．12.方程 x2-x=0 的解是 ______．13. 已知 a≠0，a≠b，x=1 是方程 ax2+bx-10=0的一个解，则 a2-b22a-2b 的值是______．14.在一块长 35m，宽 26m 的矩形绿地上有宽度相同的两条小道，如图，此中绿地面积为 850m2．若设小道的宽为 x，则可列出方程为 ______．15.已知点 A（ a，m）、B（ b，m）、P（ a+b，n）为抛物线 y=x2-2x-2 上的点，则 n=______．16.已知抛物线 y=x2 -2x-3 与 x 轴订交于 A、B 两点，其极点为 M，将此抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其他部分保持不变，获得一个新的图象．如图，当直线y=-x+n 与此图象有且只有两个公共点时，则n 的取值范围为______．三、计算题（本大题共 2 小题，共18.0 分）17.解方程：2（1） x +4 x-1=0 ；（2）（ x+1）2=5x+518.已知函数 y=x2+bx-1 的图象经过点（ 3， 2）（1）求这个函数的分析式，并写出极点坐标；（2）求使 y≥2的 x 的取值范围．四、解答题（本大题共7 小题，共84.0 分）19.如图，在直角坐标系中， A（ 0， 4）、 C（ 3，0），（ 1）①画出线段 AC 对于 y 轴对称线段 AB， B 点的坐标为 ______ ；②将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转一个角，获得对应线段CD，使得 AD∥x 轴，请画出线段 CD ；（ 2）若直线y=kx 均分（ 1）中四边形ABCD 的面积，实数k 的值为 ______．20. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小 2 ，假如把这个数的个位数字与十位数字互换，那么所获得的两位数比本来的数小36，求本来的两位数．21. 对于 x 的一元二次方程2 2x1， x2．x +（ 2k+1 ） x+k +1=0 有两个不相等的实数根（ 1）务实数k 的取值范围．（ 2）若方程两实根x1， x2知足 |x1|+|x2|=x1?x2，求 k 的值．22. 二次函数图象的极点在原点O，经过点A 1，14 ）；点F 0 1 y轴上，直（（，）在线y=-1 与y 轴交于点H．（ 1）求二次函数的分析式；23.为了美化环境，学校准备在以下图的矩形ABCD 空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNQP 上栽花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM =AN=CP=CQ，已知 BC=24 米， AB=40 米，设 AN=x 米，栽花的面积为 y1平方米，草坪面积 y2平方米．（1）分别求 y1和 y2与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（ 2）当 AN 的长为多少米时，栽花的面积为440 平方米？（ 3）若栽花每平方米需 200 元，铺设草坪每平方米需 100 元，现设计要求栽花的面积不大于 440 平方米，设学校所需花费 W（元），求 W 与 x 之间的函数关系式，并求出学校所需花费的最大值．24.如图 1，在△ABC 中，∠A=36 °， AB=AC，∠ABC 的均分线 BE 交 AC 于 E．（ 1）求证： AE=BC；（ 2）如图（ 2），过点 E 作 EF ∥BC 交 AB 于 F，将△AEF 绕点 A 逆时针旋转角α（0°＜α＜ 144°）获得△AE′F′，连结 CE ′，BF ′，求证： CE′=BF′；（ 3）在（ 2）的旋转过程中能否存在 CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明原因．25.如图，抛物线y=ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB=4，与 y 轴交于点C， OC=OA，点 D 为抛物线的极点．（1）求抛物线的分析式；（2）点 M（ m， 0）为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、 B 重合），过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQ∥AB 交抛物线于点Q，过点 Q 作 QN⊥x 轴于点 N，可得矩形 PQNM ，如图 1，点 P 在点 Q 左边，当矩形PQNM 的周长最大时，求 m 的值，并求出此时的△AEM 的面积；（ 3）已知 H（ 0， -1），点 G 在抛物线上，连 HG，直线 HG⊥CF，垂足为 F，若BF=BC，求点 G 的坐标．答案和分析1.【答案】B【分析】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，因此，中心对称图有 2 个．应选：B．依据中心对称的观点对各图形剖析判断即可得解．本题考察了中心对称图形的观点，中心对称图形是要找寻对称中心，旋转 180 度后两部分重合．2.【答案】B【分析】解：2∵y=-3（x+1）-2，∴抛物线极点坐标为（-1，-2），应选：B．由抛物线分析式可求得答案．本题主要考察二次函数的性质，掌握二次函数的极点式是解题的重点，即在2y=a（x-h）+k 中，对称轴为 x=h，极点坐标为（h，k）．3.【答案】C【分析】解：A 、是分式方程的解，故 A 错误；B、a=0 时，是一元一次方程，故 B 错误；C、是一元二次方程，故 C 正确；D、是无理方程，故 D 错误；依据一元二次方程的定 义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件 对四个选项进行考证，知足这四个条件者为正确答案．本题考察了一元二次方程的观点，判断一个方程是不是一元二次方程，第一要看是不是整式方程，而后看化 简后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2． 4.【答案】 A【分析】时22解：∵当 x=-2，y=-（x+1）；当时， （ ）+m=-4+m ；当+m=-1+m x=-1 y=- x+1 x=22时，y=-（x+1）+m=-9+m ；∴y 1＞ y 2＞y 3．应选：A ．分别计算自变量为-2，1，2 时的函数值，而后比较函数值的大小即可．本题考察了二次函数 图象上点的坐 标特点：二次函数图象上点的坐 标知足其分析式．也考察了二次函数的性 质．5.【答案】 C【分析】解：∵△=32-4 ×1×（-2）=17＞0，∴方程有两个不相等的 实数根．应选：C ．先计算出根的判 别式△的值，依据△的值就能够判断根的状况．本题主要考察根的鉴别式．一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac有以下关系：① 当△＞ 0 时，方程有两个不相等的两个 实数根；② 当△=0 时，方程有两个相等的两个 实数根；③ 当 △＜0 时，方程无实数根．上边的结论反过来也建立．6.【答案】 D解：依据“左加右减，上加下减 ”的规律，y=3x 2的图象向左平移 2 个单位，再向2上平移 1 个单位获得 y=3（x+2）+1．应选 D ．变化规律：左加右减，上加下减．考察了抛物线的平移以及抛物 线分析式的性 质．7.【答案】 A【分析】解：作CH ⊥x 轴于 H ，如图，∵点 B 的坐标为（2，0），AB ⊥x 轴于点 B ，∴A 点横坐标为 2，当 x=2 时，y= x=2 ，∴A （2，2 ），∵△ABO 绕点 B 逆时针旋转 60°获得 △CBD ，∴BC=BA=2 ，∠ABC=60°， ∴∠CBH=30°，在 Rt △CBH 中，CH= BC=，BH= CH=3，OH=BH-OB=3-2=1 ， ∴C （-1， ）．应选：A ．作 CH ⊥x 轴 图图 象上点的坐 标 特点确立 A （2，2 ）， 于 H ，如 ，先依据一次函数再利用旋 转 的性 质 得 BC=BA=2 则，∠ABC=60° ， ∠CBH=30° ，而后在 Rt △CBH 中，利用含 30 度的直角三角形三 边的关系可 计算出 CH=BC= ，BH= CH=3，因此 OH=BH-OB=3-2=1 ，于是可写出 C 点坐标．本题考察了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋 转以后要联合旋转的角度和 图形的特别性 质来求出旋 转后的点的坐 标．常有的是旋 转特别角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考察了一次函数 图象上点的坐 标特点和含 30 度的直角三角形三边的关系．解：设均匀每次降价的百分率 为 x ，2由题意得出方程 为：1185（1-x ）=580．应选：D ．依据降价后的价钱 =原价（1-降低的百分率），本题可先用 x 表示第一次降价后商品的售价，再依据 题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．本题考察一元二次方程的 应用，解决此类两次变化问题，可利用公式 a （1+x ）2=c ，此中 a 是变化前的原始量， c 是两次变化后的量，x 表示均匀每次的增 长率．9.【答案】 B【分析】解：① 图象张口向上，与 y 轴交于负半轴，对称轴在 y 轴左边，获得：a ＞ 0，c ＜0，- ＜0，b ＞ 0，∴abc ＜0，正确；②∵对称轴为直线 x=-，抛物线与 x 轴的一个交点 为（1，0），∴另一个交点 为（-2，0），a+b+c=0，即4a+4b+4c=0， 又 ∵4a-2b+c=0， ∴2a+c=0，4a+c=2b ②③ 都不正确．应选：B ．由抛物线的张口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，而后依据对称轴确立 b 的符号，从而对所得结论进行判断．主要考察二次函数 图象与二次函数系数之 间的关系，二次函数 y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物 线张口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确立． 10.【答案】 C【分析】解：如图，连结 BB ′，∵△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60 °获得 △AB ′∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′ BC（′SSS），∴∠ABC′=∠B′ BC，′延伸 BC′交 AB′于 D，则 BD ⊥AB′，∵∠C=90°，AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′ D= ×2=1，∴BC′ =BD-C′ D=-1．应选：C．连结 BB′，依据旋转的性质可得 AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，依据等边三角形的三条边都相等可得 AB=BB′，而后利用“边边边”证明△ABC′和△B′ BC全′等，依据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′ BC，′延伸 BC′交AB′于 D，依据等边三角形的性质可得 BD ⊥AB′，利用勾股定理列式求出 AB ，而后依据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出 BD 、C′D，而后根据 BC′=BD-C′D计算即可得解．本题考察了旋转的性质，全等三角形的判断与性质，等边三角形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，作协助线结构出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的重点，也是本题的难点．11.【答案】（3，-2）【分析】解：依据平面直角坐标系内两点对于原点对称横纵坐标互为相反数，故答案为（3，-2）．依据平面直角坐标系内两点对于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．本题主要考察了平面直角坐标系内两点对于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小．12.【答案】0或1【分析】解：原方程变形为：x （x-1）=0，∴x=0 或 x=1．本题应付方程进行变形，提取公因式 x，将原式化为两式相乘的形式，再依据“两式相乘值为 0，这两式中起码有一式值为 0”来解题．本题考察了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要依据方程的提点灵巧采用适合的方法．本题运用的是因式分解法．13.【答案】5【分析】解：==，将 x=1 代入方程 ax 2+bx-10=0 中可得 a+b-10=0，解得 a+b=10 则=5，故填 5．依据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形求则可．欲求的值，可先将此代数式进行分解因式化简．化简后为，再将x=1代入方程ax 2+bx-10=0 中求出 a+b 的值即可．本题综合考察了分式的化简与方程解的定义．解这种题的重点是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．14.【答案】35×26-35x-26x+x2=850【分析】解：矩形面积 =35×26，小道面积为 =35x+26x-x 2，则绿地面积=35×26-35x-26x+x 2=850．故答案为：35×26-35x-26x+x 2=850．本题可先用 x 表示矩形的面 积和小道的面 积，用矩形的面积减去小道的面 积即为绿地的面积，这样就能够获得方程．本题考察的是一元二次方程的运用，要 联合图形和题意进行剖析．解题要注意两条小道中有重复的地方，在 计算时要加上多减去的部分．15.【答案】 -2【分析】解：∵抛物 线 分析式 为 y=x 2 -2x-2=2 （ ） ， x-1 -3∴该抛物线的对称轴是直线 x=1，又 ∵点 A （a ，m ）和B （b ，m ）对于直线 x=1 对称，∴ =1，∴a+b=2，把（2，n ）代入抛物线的分析式得，n=22-2 ×2-2=-2．故答案是：-2．由抛物线的分析式可知抛物 线的对称轴是 x=1，依据点 A 和 B 的坐标知，则点A 和B 对于直线 x=1 对称．据此易求 a+b 的值，从而把 P 点的坐标代入分析式即可求得 n 的值．本题考察了二次函数 图象上点的坐 标特点．二次函数图象上全部点的坐 标均知足该函数分析式．16.【答案】 n ＞ 214 或-1＜ n ＜ 3【分析】解：当y=0 时，y=x 2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0， x=-1 或 3，2-2x-3= （x-1 2y=x ）-4， ∴M （1，-4），如图，作直线 y=-x ，分别过 A 、B 作直线 y=-x 的平行线，当直线 y=-x+n 经过 A （-1，0）时，1+n=0，n=-1，当直线 y=-x+n 经过 B （3，0）时，-3+n=0，n=3，∴n 的取值范围为：-1＜n ＜3，依据题意得：翻折后的极点坐标为（1，4），22∴翻折后的抛物 线的分析式 为：y=-（x-1）+4=-x +2x+3，当直线 y=-x+n 与抛物线 y=-x 2+2x+3 只有一个公共点 时，则，-x 2+2x+3=-x+n ， 2-x +3x+3-n=0，n= ，综上所述：当直线 y=-x+n 与此图象有且只有两个公共点 时，则 n 的取值范围为 n ＞ 或-1＜n ＜3．（1）依据分析式求与 x 轴交点 A 、B 的坐标，确立二次函数的极点 M ，由翻折性质求新抛物 线极点坐标为（1，4），得出新抛物线的分析式；（2）求直线 y=-x+n 过两个界限点时对应的 n 的值，并求直线与新抛物 线相切时的 n 值，既而得出 n 的取值范围．本题考察了抛物线与 x 轴的交点和几何 变换问题 ，明确抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，即翻折前后的点对于 x 轴对称，先求特别点，即极点坐标，从而求出翻折后的抛物 线的分析式，对于第二问中，相同先求直线过界限时217.【答案】解：（1）x +4x=1，x2+4x+4=5 ，（x+2）2=5，x+2=±5，因此 x1=-2+ 5 ，x2 =-2- 5；（2）（ x+1）2-5（ x+1） =0，（x+1）（ x+1-5 ） =0 ，x+1=0 或 x+1-5=0，因此 x1=-1， x2=4 ．【分析】2（1）利用配方法获得（x+2）=5，而后利用直接开平方法解方程；2（2）先变形为（x+1）-5（x+1）=0，而后利用因式分解法解方程．本题考察认识一元二次方程 -因式分解法：就是先把方程的右边化为 0，再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能获得两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转变为解一元一次方程的问题了（数学转变思想）．也考察了配方法解一元二次方程．18.【答案】解：（ 1）把（ 3， 2）代入函数分析式得：2=9+3 b-1，解得： b=-2 ，则函数分析式为y=x2 -2x-1= （ x-1）2 -2，即极点坐标为（1，-2）；（2）当 y=2 时， x2-2x-1=2 ，即（ x-3）（ x+1）=0 ，解得： x=3 或 x=-1，依据二次函数性质得：y≥2时的 x 的范围是x≤-1 或 x≥3．【分析】（1）把已知点坐标代入分析式求出 b 的值确立出分析式，并求出极点坐标即可；（2）确立出知足题意 x 的范围即可．本题考察了待定系数法求二次函数分析式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的重点．19.【答案】（-3，0）43【分析】解：（1）①如图，线段 AB 即为所求线段，点 B 的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）；②如图，线段 CD 即为所求线段；（2）由（1）知四边形 ABCD 是平行四边形，∵直线 y=kx 均分（1）中四边形 ABCD 的面积，则直线 y=kx 必过对角线的交点 E，∵点 E 坐标为为（，2），∴k= =，故答案为：．（1）① 依据对于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数确立出点 B 的地点，而后连结 AB 即可；②依据轴对称的性质找出点 A 对于直线 x=3 的对称点，即为所求的点 D；（2）对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断四边形 ABCD 的形状，依据平行四边形的性质，均分四边形面积的直线经过中心，而后求出 AC 的中点，代入直线计算即可求出 k 值．本题考察了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，还考察了平行四边形的判断与性质，是基础题，要注意均分四边形面积的直线经过中心的应用．20.【答案】解：设个位数字为x，则十位数字为x2-2，由题意得：2十位数字： 3 -2=7 ， 这个两位数为： 73， 答：本来的两位数 73．【分析】第一设个位数字 为 x ，则十位数字 为 x 2-2，由题意得等量关系：原两位数 -新两位数 =36，依据等量关系列出方程解方程即可．本题主要考察了一元二次方程的 应用，重点是正确理解 题意，表示出原两位数和新两位数是解决 问题的重点．21.【答案】 解：（ 1） ∵原方程有两个不相等的实数根，2222∴△=（2k+1） -4（ k +1 ） =4k +4k+1-4k -4=4k-3＞ 0，（ 2） ∵k ＞ 34，∴x 1+x 2=-（ 2k+1）＜ 0，2又 ∵x1?x 2=k +1＞ 0，∴x 1＜0， x 2＜ 0，∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-（ x 1+x 2）=2 k+1，∵|x 1|+|x 2|=x 1?x 2，2∴2k+1= k +1， ∴k 1=0， k 2=2， 又 ∵k ＞ 34，【分析】22（1）依据方程有两个不相等的 实数根可得 △=（2k+1）-4（k +1）=4k 2+4k+1-4k 2-4=4k-3＞0，求出 k 的取值范围；（2）第一判断出两根均小于 0，而后去掉绝对值，从而获得 2k+1=k 2+1，联合 k的取值范围解方程即可．本题考察了一元二次方程 ax 2+bx+c=0 根的鉴别式和根与系数的关系的 应用，（1）△＞ 0? 方程有两个不相等的 实数根；（2）△=0? 方程有两个相等的 实数根；（3）△＜ 0? 方程没有 实数根；（4）x 1+x 2=- ；（5）x 1?x 2= ．22.【答案】 解：（ 1） ∵二次函数图象的极点在原点 O ，∴设二次函数的分析式为y=ax 2，将点 A （ 1， 14）代入 y=ax 2 得： a=14， ∴二次函数的分析式为 y=14x 2；2∴PF=(m-0)2+(14m2-1)2 =(14m2+1)2 =14m +1， ∵PM ⊥HM ，且点 M 在直线 y=-1 上， ∴PM =14 m 2+1， ∴PF=PM ；（ 3）当 △FPM 是等边三角形时， ∠PMF =60°，∴∠FMH =30 °，在 Rt △MFH 中， MF =2 FH =2×2=4 ， ∵PF=PM=FM ，2∴14 x +1=4 ，解得： x=±23 ，2∴14 x =14×12=3，∴知足条件的点 P 的坐标为（ 23 ， 3）或（ -23 ， 3）． 【分析】（1）依据题意可设函数的分析式 为 y=ax 2，将点 A 代入函数分析式，求出 a 的值，既而可求得二次函数的分析式；（2）过点 P 作 PB ⊥y 轴于点 B ，利用勾股定理求出 PF ，表示出 PM ，可得PF=PM ；（3）第一可得∠FMH=30° ，设点 P 的坐标为（x ， x 2），依据PF=PM=FM ，可得对于 x 的方程，求出 x 的值即可得出答案．本题考察了二次函数的 综合问题，波及了待定系数法求函数分析式、直角三角形的性 质，解答本题的重点是娴熟基本知识，数形联合，将所学知识交融贯穿．23.【答案】 解：（ 1 ）依据题意，12? ? 12 （40-x ）（ ） =2 x 2-64x+960 ，y 2=2× x x+2 × 24-xy 1=40 ×24-y 2=-2 x 2 +64x ；（ 2）依据题意，知 y 1=440 ，即 -2x 2+64x=440， 解得： x 1=10 ，x 2=22，故当 AN 的长为 10 米或 22 米时栽花的面积为440 平方米；（ 3）设总花费为 W 元，则 W=200（-2x 2+64x ） +100（2x 2 -64x+960） =-200 （x-16） 2+147200 ， 由（ 2）知当 0＜ x ≤10或 22≤x ≤24时， y 1≤ 440，在 W=-200（ x-16）2+147200 中，当 x ＜ 16 时， W 随 x 的增大而增大，当 x ＞ 16 时， W 随x 的增大而减小，∴当 x=10 时， W 获得最大值，最大值 W=140000 ，当 x=22 时， W 获得最大值，最大值 W=140000，∴学校所需花费的最大值为 140000 元．（1）依据三角形面积公式可得 y2的分析式，再用长方形面积减去四个三角形面积，即可得 y1的函数分析式；（2）依据题意知 y1=440，即即可得对于 x 的方程，解方程即可得；（3）列出总花费的函数分析式，将其配方成极点式，依据花的面积不大于 440平方米可得 x 的范围，联合此范围依据二次函数性质即可得函数的最大值，从而得解．本题主要考察二次函数的应用，理解题意列出有关的函数分析式是解题的根本，娴熟掌握二次函数的性质是解题的重点．24.【答案】（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72 °，又∵BE 均分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36 °，∴∠BEC=180 °-∠C-∠CBE=72 °，∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，∴AE=BE， BE=BC，∴AE=BC．（ 2）证明：∵AC=AB 且 EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB ，AE′=AF ′，∵在△CAE′和△BAF ′中AC=AB∠ E′ AC=∠ F′ ABAE′，=AF′∴△CAE′≌△BAF ′，∴CE ′=BF ′．（ 3）存在 CE′∥AB，原因：由（ 1）可知 AE=BC，因此，在△AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中， E 点经过的路径（圆弧）与过点 C 且与 AB 平行的直线 l 交于 M、N 两点，如图：①当点 E 的像 E′与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72 °，又∠BAC=36 °，∴α=∠CAM=36 °．②当点 E 的像 E′与点 N 重合时，由 AB∥l得，∠AMN =∠BAM =72°，∵AM =AN，∴∠ANM=∠AMN=72 °，∴∠MAN=180 °-2 ×72 °=36 °，因此，当旋转角为36°或 72°时， CE′∥AB．【分析】（1）依据等腰三角形的性质以及角均分线的性质得出对应角之间的关系从而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，依据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别依据①当点 E 的像 E′与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，②当点 E 的像 E′与点 N 重合时，求出α即可．本题主要考察了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，依据数形联合娴熟掌握有关定理是解题重点．225.【答案】解：（1）由抛物线y=ax +2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x=-2a2a =-1，∵OC=OA，∴A（ -c， 0）， B（ -2+c，0），∵AB=4，∴-2+ c-（ -c） =4，∴c=3，∴A（ -3， 0），2代入抛物线 y=ax +2ax+3 ，得0=9a-6a+3 ，解得 a=-1，2∴抛物线的分析式为 y=-x -2x+3 ；（ 2）如图 1，∵M（ m， 0）， PM ⊥x 轴，2∴P（ m， -m -2m+3），又∵对称轴为 x=-1， PQ∥AB，∴Q（ -2-m， -m2-2m+3），又∵QN⊥x 轴，∴矩形 PQNM 的周长=2 （ PM+PQ）=2[ （ -m2-2m+3） +（ -2-m-m） ]2=2 （ -m -4m+1）=-2 （ m+2）2+10 ，∴当 m=-2 时，矩形 PQNM 的周长有最大值10，此时， M（ -2，0），由 A（-3， 0）， C（ 0， 3），可得直线 AC 为 y=x+3， AM =1，∴当 x=-2 时， y=1，即 E（-2， 1）， ME=1，∴△AEM 的面积 =12 ×AM ×ME=12 ×1×1=12 ；∴∠BFC+∠BFQ =∠BCF+∠Q=90 °， ∠BFC =∠BCF ， ∴∠BFQ=∠Q ， ∴BC=BF =BQ ，又 ∵C （0， 3）， B （ 1， 0）， ∴Q （ 2， -3）， 又 ∵H （ 0， -1）， ∴QH 的分析式为 y=-x-1， 解方程组 y=-x-1y=-x2-2x+3 ，可得x=-1-172y=17-12 或 x=-1+172y=-1-172 ，∴点 G 的坐标为（ -1-172， 17-12 ）或（ - 1+172 ， -1-172 ）．【分析】（1）依据抛物线 y=ax 2+2ax+c ，可得 C （0，c ），对称轴为 x=-1，再依据 OC=OA ，AB=4 ，可得 A （-3，0），最后辈入抛物线 y=ax 2+2ax+3，得抛物线的分析式 为y=-x 2-2x+3；（2）依据点M （m ，0），可得矩形PQNM 中，P （m ，-m 2-2m+3），Q （-2-m ，-m 2-2m+3PQNM的周 长=2 PM+PQ =-2 m+2 2+10 ，可适当），再依据矩形（ ） （ ） m=-2 时 ，矩形 PQNM 的周 长 有最大 值 10，M 的坐 标为线 （-2，0），最后由直 AC 为 y=x+3 ，AM=1 ，求得 E （-2，1），ME=1 ，据此求得△AEM 的面积；（3）连结 CB 并延伸，交直线 HG 与 Q ，依据已知条件证明 BC=BF=BQ ，再根据 C （0，3），B （1，0），得出Q （2，-3），依据H （0，-1），求得QH 的分析式 为y=-x-1 ，最后解方程组 ，可得点 G 的坐标．本题是二次函数 综合题，主要考察了二次函数与直 线交点的求法、矩形的性质、一元二次方程的解法、二次函数最 值的求法．在求周长的最值时，要转变为二次函数最 值问题进 行解答，灵巧运用二次函数的 对称性，运用数形 联合、方程思想是解答本 题的重点．。

九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B． C．D．2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=5 B．3x2+xy﹣y2=0 C．x2+x+1=0 D．ax2+bx+c=03．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．x2+2x﹣4=0 C．x2﹣2x﹣5=0 D．x2+2x+4=05．抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）6．若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A．x=﹣ B．x=1 C．x=2 D．x=37．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q8．用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（）A．（x+4）2=9 B．（x﹣4）2=9 C．（x﹣8）2=16 D．（x+8）2=579．某品牌电脑2009年的销售单价为7200元，由于科技进步和新型电子原材料的开发运用，该品牌电脑成本不断下降，销售单价也逐年下降．至2011年该品牌电脑的销售单价为4900元，设2009年至2010年，2010年至2011年这两年该品牌电脑的销售单价年平均降低率均为x，则可列出的正确的方程为（）A．4900（1+x）2=7200 B．7200（1﹣2x）=4900C．7200（1﹣x）=4900（1+x） D．7200（1﹣x）2=490010．若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）=a﹣b（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜b＜x2 C．a＜x1＜x2＜b D．a＜x1＜b＜x2二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．函数y=x2﹣x+1的图象与y轴的交点坐标是．12．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1x2的值是．13．关于x的一元二次方程（p﹣1）x2﹣x+p2﹣1=0一个根为0，则实数p的值是．14．参加某次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了36份合同，则共有家公司参加了本次商品交易会．15．如图，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是：s．16．抛物线y=ax2﹣6ax+a的顶点与原点的距离为5，则a= ．三、解答题（本大题共9个小题，共72分．）17．解方程（1）x2+x﹣1=0；（2）（x﹣1）（x+3）=5．18．已知：关于x的方程x2﹣4x+m=0．（1）方程有实数根，求实数m的取值范围．（2）若方程的一个根是1，求m的值及另一个根．19．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点是，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题．（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）平移△ABC，使点A移动到点A2（3，5），画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2、C2的坐标．20．抛物线y=x2+x﹣2交x轴于点A、B，交y轴于点C，（1）求出抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）求△ABC的面积．21．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．22．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：x …0 1 2 3 4 …x2+bx+c … 3 ﹣1 3 …（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y=x2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？23．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克．若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克．（1）要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？（2）要使月销售利润不低于8000元，请结合图象说明销售单价应如何定？24．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．（1）如图1，连接AG、CE，判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明．（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，求出∠EMB的度数．（3）若BE=2，BC=6，连接DG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），则在这个旋转过程中线段DG长度的取值范围（直接填空，不写过程）．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点c（0，﹣3），图象经过（1，﹣4），（﹣2，5），点P是抛物线在第四象限上的一动点．（1）求二次函数解析式；（2）是否存在点P使得点P关于直线BC的对称点在y轴上？如果存在，求点P坐标，如果不存在请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，△BCP的面积最大？求出此时P点的坐标和△BCP的最大面积．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，B、C、D都符合；不是中心对称图形的只有A．故选A．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=5 B．3x2+xy﹣y2=0 C．x2+x+1=0 D．ax2+bx+c=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【解答】解：A、是分式方程，故此选项错误；B、是二元二次方程，故此选项错误；C、是一元二次方程，故此选项正确；D、当a≠0时，a、b、c是常数时，ax2+bx+c=0是一元二次方程，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质，观察图形，中心角是由8个度数相等的角组成，结合周角是360°求得每次旋转的度数．【解答】解：∵中心角是由8个度数相等的角组成，∴每次旋转的度数可以为360°÷8=45°．故选C．【点评】本题把一个周角是360°和图形的旋转的特点结合求解．注意结合图形解题的思想．4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．x2+2x﹣4=0 C．x2﹣2x﹣5=0 D．x2+2x+4=0【考点】根的判别式．【分析】先判断出根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号，再根据有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程，从而得出答案．【解答】解：A、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，有两个相等的实数根，故本选项正确；B、△=22﹣4×1×（﹣4）＞0，有两个不相等实数根，故本选项错误；C、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＞0，有两个不相等实数根，故本选项错误；D、△=22﹣4×1×4＜0，无实数根，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．5．抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：由y=3（x+3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，1），故选C．【点评】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．6．若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A．x=﹣ B．x=1 C．x=2 D．x=3【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想．【分析】由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．【解答】解：因为抛物线与x轴相交于点（2，5）、（4，5），根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴x==3；故选D．【点评】本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．7．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q【考点】旋转的性质．【专题】网格型．【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．【解答】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选B．【点评】熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．8．用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（）A．（x+4）2=9 B．（x﹣4）2=9 C．（x﹣8）2=16 D．（x+8）2=57【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：∵x2+8x+7=0，∴x2+8x=﹣7，⇒x2+8x+16=﹣7+16，∴（x+4）2=9．∴故选A．【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．9．某品牌电脑2009年的销售单价为7200元，由于科技进步和新型电子原材料的开发运用，该品牌电脑成本不断下降，销售单价也逐年下降．至2011年该品牌电脑的销售单价为4900元，设2009年至2010年，2010年至2011年这两年该品牌电脑的销售单价年平均降低率均为x，则可列出的正确的方程为（）A．4900（1+x）2=7200 B．7200（1﹣2x）=4900C．7200（1﹣x）=4900（1+x） D．7200（1﹣x）2=4900【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】关系式为：原价×（1﹣降低率）2=现在的价格，把相关数值代入即可【解答】解：第一次降价后的价格为7200×（1﹣x），第二次降价后的价格为7200×（1﹣x）2，∴可列方程为6072（1﹣x）2=4900．故选D．【点评】考查列一元二次方程；得到现在价格的关系式是解决本题的关键；注意降价率的应用．10．若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）=a﹣b（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜b＜x2 C．a＜x1＜x2＜b D．a＜x1＜b＜x2【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x﹣a）（x﹣b）=a﹣b，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x 轴有两个交点），再向下平移b﹣a单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=a﹣b，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：x1＜a＜b＜x2．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．函数y=x2﹣x+1的图象与y轴的交点坐标是（0，1）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】计算出自变量为0时的函数值即可得到图象与y轴的交点坐标．【解答】解：当x=0时，y=x2﹣x+1=1，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）．故答案为（0，1）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．12．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1x2的值是 3 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=解答即可．【解答】解：解：∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，∴x1•x2==3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=中的a与c的意义．13．关于x的一元二次方程（p﹣1）x2﹣x+p2﹣1=0一个根为0，则实数p的值是﹣1 ．【考点】一元二次方程的解．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程，然后解关于p的一元二次方程．另外注意关于x的一元二次方程（p﹣1）x2﹣x+p2﹣1=0的二次项系数不为零．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（p﹣1）x2﹣x+p2﹣1=0一个根为0，∴x=0满足方程（p﹣1）x2﹣x+p2﹣1=0，∴p2﹣1=0，解得，p=1或p=﹣1；又∵p﹣1≠0，即p≠1；∴实数p的值是﹣1．故答案是：﹣1．【点评】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，将原方程的解代入原方程，建立关于p的方程，然后解方程求未知数p．14．参加某次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了36份合同，则共有9 家公司参加了本次商品交易会．【考点】一元二次方程的应用．【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x﹣1）份合同，签订合同共有x（x﹣1）份．【解答】解：设有x家公司参加，依题意，得x（x﹣1）=36整理得：x2﹣x﹣72=0解得：x1=9，x2=﹣8（舍去）答：共有19公司参加商品交易会．故答案为：9．【点评】考查了一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点（没有三点共线）之间连线，所有线段的条数．解答中注意舍去不符合题意的解．15．如图，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是： 6 s．【考点】二次函数的应用．【分析】由于小球从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t﹣5t2即可求出t，也就求出了小球从抛出至回落到地面所需要的时间．【解答】解：∵小球从抛出至回落到地面时高度h为0，∴把h=0代入h=30t﹣5t2得：5t2﹣30t=0，∴t=0或t=6，∴小球从抛出至回落到地面所需要的时间6s．故答案为：6．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，比较简单．16．抛物线y=ax2﹣6ax+a的顶点与原点的距离为5，则a= 4或﹣4 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线y=ax2﹣6ax+a求得顶点坐标（3，a），且顶点到原点的距离为5，根据勾股定理即可求得a的值．【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣6ax+a=a（x﹣3）2+a，∴抛物线的顶点坐标为（3，a），∵顶点到原点的距离为5，∴a2+32=52，解得a=4或a=﹣4．故答案为：4或﹣4．【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用是本题的关键．三、解答题（本大题共9个小题，共72分．）17．解方程（1）x2+x﹣1=0；（2）（x﹣1）（x+3）=5．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）应用公式法即可求解；（2）应用因式分解法，从而得出两个一元一次方程，求解即可．【解答】解：（1）x2+x﹣1=0；a=1，b=1，c=﹣1，∵b2﹣4ac=5＞0，∴x=，∴x1=，x2=；（2）（x﹣1）（x+3）=5．整理得，x2+2x﹣8=0，分解因式得，（x+4）（x﹣2）=0，∴x+4=0，x﹣2=0，∴x1=﹣4，x2=2；【点评】考查了解一元二次方程，解一元二次方程要注意选择适宜的解题方法，要学会先观察，再选择方法．18．已知：关于x的方程x2﹣4x+m=0．（1）方程有实数根，求实数m的取值范围．（2）若方程的一个根是1，求m的值及另一个根．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．（2）将x=1代入原方程即可求得m及另一根的值．【解答】解：由题意知，△=16﹣4m≥0∴m≤4．∴当m≤4时，关于x的方程x2﹣4x+m=0有实数根；（2）把x=1代入得：1﹣4+m=0，解得：m=3，将m=3代入得：x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，故m=3，方程的另一根为3．【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．19．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点是，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题．（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）平移△ABC，使点A移动到点A2（3，5），画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2、C2的坐标．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点O的对称点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1即可得到△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）根据平移的性质，作出平移后△A2B2C2，并写出点B2、C2的坐标即可．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：（2）如图所示：△A2B2C2即为所求：由图可知：B2（3，1），C2（1，2）．【点评】本题考查的是旋转变换及平移变换，熟知图形经过旋转及平移后与原图形全等是解答此题的关键．20．抛物线y=x2+x﹣2交x轴于点A、B，交y轴于点C，（1）求出抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）求△ABC的面积．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数对称轴和顶点坐标即可；（2）首先求出抛物线与坐标轴交点，进而得出AB、CO的长，进而得出答案．【解答】解：（1）y=x2+x﹣2=（x+）2﹣﹣2=（x+）2﹣，故抛物线的对称轴为直线x=﹣，顶点坐标为：（﹣，﹣）；（2）如图所示：∵抛物线y=x2+x﹣2交x轴于点A、B，交y轴于点C，∴y=0时，0=x2+x﹣2则（x+2）（x﹣1）=0，解得；x1=﹣2，x2=1，故A（﹣2，0），B（1，0），当x=0，则y=﹣2，故C（0，﹣2），则S△ABC=×AB×CO=×3×2=3．【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点坐标求法以及三角形面积求法和配方法求二次函数顶点坐标，正确利用数形结合得出三角形面积是解题关键．21．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．【解答】解法一：原图经过平移转化为图1．设道路宽为X米，根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）=540．整理得x2﹣52x+100=0．解得x1=50（不合题意，舍去），x2=2．答：道路宽为2米．解法二：原图经过平移转化为图2．设道路宽为x米，根据题意，20×32﹣（20+32）x+x2=540整理得x2﹣52x+100=0．解得x1=50（不合题意，舍去），x2=2．答：道路宽为2米．【点评】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．22．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：x …0 1 2 3 4 …x2+bx+c … 3 0 ﹣1 0 3 …（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y=x2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】（1）先根据两组值（0，3）、（2，﹣1）得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，确定代数式，然后计算x=1和3时的代数式的值即可；（2）根据抛物线的性质得抛物线开口向上，然后找出x轴下方的抛物线所对应的自变量的范围即可；（3）根据表中数据得到抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣1），然后利用点的平移规律确定抛物线的平移．【解答】解：（1）根据题意得，解得，当x=1时，x2+bx+c=x2﹣4x+3=1﹣4+3=0；当x=3时，x2+bx+c=x2﹣4x+3=9﹣12+3=0，故答案为0，0；（2）因为抛物线y=x2﹣4x+3的开口向上，当1＜x＜3时，y＜0；（3）抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣1），把点（2，﹣1）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为（0，0），所以函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数y=x2的图象．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．23．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克．若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克．（1）要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？（2）要使月销售利润不低于8000元，请结合图象说明销售单价应如何定？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设销售单价定为每千克x元，获得利润为w元，则可以根据成本，求出每千克的利润，以及按照销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，可求出销量．从而得到总利润关系式；（2）先计算出y=8000时所对应的x的值，然后画出函数的大致图象，再根据图象回答即可．【解答】解：（1）设销售单价定为每千克x元，获得利润为w元，则：w=（x﹣40）[500﹣（x﹣50）×10]，=（x﹣40）（1000﹣10x），=﹣10x2+1400x﹣40000，=﹣10（x﹣70）2+9000，故当x=70时，利润最大为9000元．答：要使月销售利润达到最大，销售单价应定为70元；（2）令y=8000，则﹣10（x﹣20）2+9000=8000，解得x1=10，x2=30．函数的大致图象为：观察图象当10≤x≤30时，y不低于8000．所以当销售单价不小于60元而不大于80元时，商场获得的周销售利润不低于8000元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．24．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．（1）如图1，连接AG、CE，判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明．（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，求出∠EMB的度数．（3）若BE=2，BC=6，连接DG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），则在这个旋转过程中线段DG长度的取值范围6﹣2≤DG＜10 （直接填空，不写过程）．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．【分析】（1）由条件证明Rt△GBA≌Rt△EBC可得出AG=CE，且∠GAB=∠BCE，可判定出其位置关系；（2）过B作BP⊥EC，BQ⊥MA，垂足分别为P、Q，证明△BPE≌△BQG可得BP=BQ，而可知PM=BQ，所以可得出△BPM为等腰直角三角形，可求出∠EMB的度数；（3）当点G在线段BD上时最短，当在初始位置时，DG最大，利用勾股定理可求得其长度，但旋转不到180°，可得出其范围．【解答】解：（1）AG=CE，AG⊥CE，证明如下：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴∠GBA=∠EBC=90°，BG=BE，BA=BC，在△GBA和△EBC中，，∴△GBA≌△EBC（SAS），∴AG=CE，∠GAB=∠BCE，∴∠BGA+∠BCE=∠BGA+∠GAB=90°，∴AG⊥CE；（2）如图，过B作BP⊥EC，BQ⊥MA，垂足分别为P、Q，可知四边形BPMQ为矩形，∴∠PBE+∠PBG=∠QBG+∠PBG=90°，∴∠PBE=∠QBG，在△BPE和△BQG中，，∴△BPE≌△BQG（AAS），∴BP=BQ，且BQ=PM，∴BP=PM，∴△BPM为等腰直角三角形，∴∠PMB=45°；（3）当在初始位置时，DG最大，此时GC=6+2=8，CD=6，由勾股定理可求得DG=10，当G点在线段BD上时，DG最小，此时BG=2，BD=6，所以DG=6﹣2，而旋转角取不到180°，所以DG的范围为：6﹣2≤DG＜10，故答案为：6﹣2≤DG＜10．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质及正方形的性质的应用，（2）中构造三角形全等、（3）中确定出最大值和最小值的位置是解题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点c（0，﹣3），图象经过（1，﹣4），（﹣2，5），点P是抛物线在第四象限上的一动点．（1）求二次函数解析式；（2）是否存在点P使得点P关于直线BC的对称点在y轴上？如果存在，求点P坐标，如果不存在请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，△BCP的面积最大？求出此时P点的坐标和△BCP的最大面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）首先求出二次函数与坐标轴交点，进而利用点P关于直线BC的对称点在y轴上，得出y=﹣3，则x2﹣2x﹣3=﹣3，求出P点即可；（3）首先得出PE=PD﹣DE=﹣n2+2n+3﹣（3﹣n）=﹣n2+3n，再利用S△PBC=S△PCE+S△PBE得出函数关系式，进而求出答案．【解答】解：（1）将（0，﹣1），（1，﹣4），（﹣2，5）代入y=ax2+bx+c得：，解得：，故二次函数解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=3，x2=﹣1，故B（3，0），令x=0，则y=﹣3，故C（0，﹣3），则OB=OC，∴∠BCO=∠OBC=45°，∵P关于直线BC的对称点总在y轴上，∴∠PCB=∠BCO=45°，令y=﹣3，则x2﹣2x﹣3=﹣3，解得：x3=0，x4=2，故P（2，﹣3）；（3）如图2，作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，设P（n，n2﹣2n﹣3），则PD=﹣n2+2n+3，OD=n，BD=3﹣n，∵∠ABC=45°，∴DE=BD=3﹣n，∵∠ABC=45°，∴DE=BD=3﹣n，∴PE=PD﹣DE=﹣n2+2n+3﹣（3﹣n）=﹣n2+3n，∴S△PBC=S△PCE+S△PBE=PE•OD+PE•BD=PE•OB=×（﹣n2+3n）×3=﹣（n﹣）2+，故当n=时，P（，﹣），△BCP的面积最大为：．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数最值求法以及三角形面积求法和待定系数法求二次函数解析式等知识，利用数形结合表示出线段PE的长是解题关键．。

2019年广州越秀区初三上数学度末试卷九年级数学试卷注意：1、考试时间为120分钟、总分值150分、2、试卷分为第一卷〔选择题〕与第二卷〔非选择题〕两部分、3、可以使用规定型号的计算器、4、所有试题答案必须写在答题卷相应的位置上，否那么不给分、第一卷选择题〔共30分〕【一】选择题〔此题共有10小题，每题3分，共30分〕1、二次根式2x +6在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是〔〕A 、x ≥3B 、x ≥-3C 、x ≤3D 、x ≤-32、以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A 、B 、C 、D 、3、以下根式中，不是最简二次根式的是〔〕A 、2B 、6C 、8D 、104、假设x 1、x 2是一元二次方程x 2-5x +6=0的两个根，那么x 1+x 2+x 1x 2的值是〔〕A 、1B 、11C 、-11D 、-15、长度为2cm ，3cm ，4cm ，5cm 的四条线段，从中任取一条线段，与4cm 及6cm 两条线段能组成等腰三角形的概率是〔〕A 、14B 、12C 、34D 、136、用配方法解方程x 2-2x -5=0时，原方程可变形为〔〕A 、〔x+1〕2=6B 、C 、〔x+2〕2=9D 、〔x -1〕2=67、在一个暗箱里放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个、每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱、通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a 大约是〔〕A 、12B 、9C 、4D 、38、如图1所示，⊙O 1、⊙O 2的圆心O1、O2在直线l 上，⊙O 1的半径为2，⊙O 2的半径为3，O 1O 2=8。

以每秒1个单位的速度沿直线l 向右平移运动，7秒后停止运动，此时与的位置关系是〔〕A 、外切B 、相交C 、内切D 、内含图1图29、如图2所示，扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，假设将此扇形围成一个圆锥，那么圆锥的侧面积是〔〕A、4πcm2B、6πcm2C、9πcm2D、12πcm210、抛物线y=ax2+bx+c〔a>0〕和直线y=〔m≠0〕相交于两点P〔-1，2〕、Q〔3，5〕，那么不等式-ax2+mx+n>bx+c的解集是〔〕A、x<-1B、x>3C、-1<x<3D、x>-1或x>3第二卷非选择题〔共120分〕【二】填空题〔此题共有6小题，每题3分，共18分〕11、|a+1|+8-b=0，那么a-b=。

2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）A. B. C. D.2. 2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客609.65万人次． 数据“609.65万”用科学记数法表示为（ ） A. 80.6096510×B. 76.096510×C. 660.96510×D. 66.096510×3. 图①中的花瓣图案绕着旋转中心，连续旋转4次，每次旋转角α，可以得到图②中的花朵图案，则旋转角α可以为（ ）A. 36°B. 72°C. 90°D. 108°4. 将抛物线()212y x =−−+向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. ()22y x =−− B. 2y x =− C. ()224y x =−−+D. 24y x =−+5. 根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.20 2y ax bx c =++0.03− 0.01−0.020.04A. 6 6.17x <<B. 6.17 6.18x <<C. 6.18 6.19x <<D. 6.19 6.20x <<6. 关于x 的方程242kx x +=有两个不相等的实数根，则k 的值可以是（ ）A. 0B. 1−C. 2−D. 3−7. 已知点(013())2A B ，、，，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC ，则点C 的坐标为（ ）A. (3,2)−B. (2,−C. (3,−D. (2,3)−8. 一元二次方程22310x x ++=用配方法解方程，配方结果是（ ）A. 231416x +=B. 231248x −=C. 23148x +=D. 2311416x +−=−9. 已知m ，n 是方程2330x x −−=的两根，则代数式22m m n mn −+−的值是（ ） A. 12−B. 12C. 3D. 010. 抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论：（ ）①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．A. ①②B. ③④C. ②③D. ②③④二、填空题：本题共63分，共18分．11. 如果一条抛物线的形状与2123y x =−+的形状相同，且顶点坐标是()42−，，那么它的函数解析式为________．12. 已知关于x 的方程()22210x k x k −++−=的一个根为3x =，则方程的另一根是_______．13. 已知二次函数y =3(x-a )2的图象上，当x >2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是___．14. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，若BOC 与B O C ′′ 关于点C 成中心对称，2AC =，5AB ′=，则菱形ABCD 的边长是 ________________．15. 平面直角坐标系中，()0,4C ，()2,0K ，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，当点A 在x 轴上运动，BK 取最小值时，点B 的坐标为_________．16. 函数23(0)(0)x x x y x x −>= < 的图象如图所示，若直线y x t =+与该图象只有一个交点，则t 的取值范围为______．三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17 解方程：2450x x −−=．18. 如图，在四边形ABCD 中，,AB CD AB CD =∥．过点D 分别作DF AB ⊥于点,F DE ⊥BC 于点E ，且DE DF =．求证：四边形是菱形．19. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m ，顶点距水面6m ，小孔顶点距水面4.5m ．当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度．20. 请在同一坐标系中.（1）画出二次函数①212y x =；②()2122y x =−的图象．（2）说出两条抛物线之间是如何通过图形的变换得到的，指出②的开口方向、对称轴和顶点． （3）当14x −≤≤时，求二次函数()2122y x =−的最大值． 21. 如图，在等边△BCD 中，DF ⊥BC 于点F ，点A 为直线DF 上一动点，以B 为旋转中心，把BA 顺时针方向旋转60°至BE ，连接EC ． （1）当点A 在线段DF 的延长线上时， ①求证：DA =CE ；②判断∠DEC 和∠EDC 的数量关系，并说明理由； （2）当∠DEC =45°时，连接AC ，求∠BAC 的度数．22. 如图，已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()1,0A −，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，此时点P 的坐标为______；（3）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C ，B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把△BDF 的面积分成两部分，使:3:2BDE BEF S S = ，请求出点D 的坐标．23. 已知：抛物线()21:0C y ax bx c a =++>．（1）若顶点坐标为()1,1，求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）； （2）当0c <时，求函数220241y ax bx c =−++−最大值；（3）若不论m 为任何实数，直线()214m y m x =−−与抛物线1C 有且只有一个公共点，求a ，b ，c 值；此时，若1k x k ≤≤+时，抛物线的最小值为k ，求k 的值．24. 四边形ABCD 是菱形，45A ∠=°，点E 是AB 边上一点，连接DE ，CE ．（1）如图1，若菱形边长为4，当DE AB ⊥时，求线段CE 长；（2）线段DE 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DF ，如图2，连接AF ，点G 是AF 中点，连接DG ．求证：2CE DG =；（3）如图3，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接CF ，点E 在射线AB 上运动过程中，当CF 取最小值时，直接写出BECADES S △△的值．的的的的2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】根据中心对称的概A 、B 、C 都是中心对称，不符合题意； D 是轴对称，不成中心对称，符合题意． 故选：D ．2. 2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客609.65万人次． 数据“609.65万”用科学记数法表示为（ ） A 80.6096510× B. 76.096510×C. 660.96510×D. 66.096510×【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式10n a ×，其中110a ≤<，n 的取值是解题的关键．确定n 的值的方法是看数变成a 时，小数点的移动，当小数点向左移动时，n 的值与移动位数相同；当小数点向右移动时，小数点移动位数的相反数等于n 的值． 【详解】解：609.65万=66096500 6.096510=×， 故选：D ．3. 图①中的花瓣图案绕着旋转中心，连续旋转4次，每次旋转角α，可以得到图②中的花朵图案，则旋转角α可以为（ ）.A. 36°B. 72°C. 90°D. 108°【答案】B 【解析】【分析】本题考查了旋转和正多边形外角，结合正多边形的外角是求旋转角的关键．根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角的正整数倍，然后判断选项即可．【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形，3605n α，()05n <≤n 为正整数； α可以为72°，故选：B4. 将抛物线()212y x =−−+向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. ()22y x =−− B. 2y x =− C. ()224y x =−−+ D. 24y x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”原则进行解答即可．【详解】解：将2(1)2y x =−−+向左平移1个单位所得直线解析式为：22y x =−+； 再向下平移2个单位为：2y x =−． 故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5. 根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.20 2y ax bx c =++0.03− 0.01−0.020.04A. 6 6.17x <<B. 6.17 6.18x << 的C. 6.18 6.19x <<D. 6.19 6.20x <<【答案】C 【解析】【分析】20ax bx c ++=应该在20ax bx c ++<与20ax bx c ++>之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得：6.18x =时，20.010ax bx c ++=−<， 6.19x =时，20.020ax bx c ++=>，∴20ax bx c ++=的一个解x 的范围为：6.18 6.19x <<．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键． 6. 关于x 的方程242kx x +=有两个不相等的实数根，则k 的值可以是（ ） A. 0 B. 1− C. 2− D. 3−【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵242kx x +=， ∴2420kx x +−=．∵该方程有两个不相等的实数根，∴()2244420b ac k ∆=−=−×−>，且0k ≠，∴2k >−，且0k ≠， ∴只有B 选项符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，该方程有两个相等的实数根；当0∆<时，该方程没有实数根是解题关键．7. 已知点(013())2A B ，、，，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC ，则点C 的坐标为（ ）A. (3,2)−B. (2,−C. (3,−D. (2,3)−【答案】D 【解析】【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC ，则点C 的坐标为(2,3)−，故选：D8. 一元二次方程22310x x ++=用配方法解方程，配方结果是（ ）A. 231416x +=B. 231248x −=C. 23148x +=D. 2311416x +−=−【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——配方法过程步骤为：1．把原方程化为一般形式． 先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果． 【详解】解：22310x x ++=2231x x +=−23122x x +=− 2223313()()2424x x ++=−+231()416x +=，故选：A ．9. 已知m ，n 是方程2330x x −−=的两根，则代数式22m m n mn −+−的值是（ ） A. 12− B. 12 C. 3 D. 0【答案】B 【解析】【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出233m m −=，3m n +=，3mn =−再将其代入22232()m m n mn m m m n mn −+−=−++−，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键． 【详解】解：m ，n 是关于x 的方程2330x x −−=的两根，233m m ∴−=，3m n +=，3=−mn ．22m m n mn −+−232()m m m n mn =−++−()3233=+×−−363=++12=．故选：B10. 抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论：（ ）①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤． A. ①② B. ③④C. ②③D. ②③④【答案】D 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴11022m −+−<<，即可判断①，根据()1,1−，(),1m 两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过()1,1−得出2c b =+，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴111224m −+−<≤−，解不等式，即可求解．【详解】解：∵2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a<0）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．∴对称轴为直线122bmx a −+=−=， 11022m−+−<<， ∵02bx a =−<，0a <∴0b <，故①错误，∵01m <<∴()11m −−>，即()1,1−，(),1m 两点之间的距离大于1又∵0a <∴1x m =−时，1y >∴若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>，故②正确； ③由①可得11022m−+−<<， ∴1022b−<<，即10b −<<，当1a =−时，抛物线解析式为2y x bx c =−++设顶点纵坐标244ac b t a −==∵抛物线2y x bx c =−++（a ，b ，c 是常数，a<0）经过()1,1−，∴11b c −−+=∴2c b =+ ∴()222224411122144444c b b c t b c b b b −−+===+=++=++−∵10b −<<，104>，对称轴为直线2b =−，∴当0b =时，t 取得最大值为2，而0b <，∴关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无解，故③正确；④∵0a <，抛物线开口向下，点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，为又12124x x x +=>−， ∴点()11,A x y 离14=−x 较远， ∴对称轴111224m −+−<≤− 解得：102m <≤，故④正确． ∴②③④正确，故选：D ．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11. 如果一条抛物线的形状与2123y x =−+的形状相同，且顶点坐标是()42−，，那么它的函数解析式为________． 【答案】()21423y x =−++ 【解析】【分析】先把解析式设为顶点式，再根据抛物线形状相同，则二次项系数相同，据此可得答案．【详解】解：设该抛物线解析式为()242y a x =++，∵抛物线()242y a x =++的形状与2123y x =−+的形状相同， ∴13a =−， ∴该抛物线解析式为()21423y x =−++， 故答案为：()21423y x =−++． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知抛物线形状相同，则二次项系数相同． 12. 已知关于x 的方程()22210x k x k −++−=的一个根为3x =，则方程的另一根是_______． 【答案】1【解析】【分析】将3x =代入方程解得k 的值，再通过原方程解出方程的根即可．【详解】解：将3x =代入()22210x k x k −++−=，则()932210k k −++−=，解得2k =，∴方程：2430x x −+=，解得11x =，23x =，故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的根，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．13. 已知二次函数y =3(x-a )2的图象上，当x >2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是___．【答案】a ≤2【解析】【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x =a ，函数图象的开口向上，∴在对称轴x =a 的右边函数值y 随着x 的增大而增大，故只要a ≤2时，x ＞2，y 随x 的增大而增大，所以a 的取值范围为a ≤2．故答案为a ≤2．14. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，若BOC 与B O C ′′ 关于点C 成中心对称，2AC =，5AB ′=，则菱形ABCD 的边长是 ________________．【解析】【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到1OA OC O C ′===、OB OC ⊥、O B O C ′′′⊥、BC B C =′，根据5AB ′=，利用勾股定理计算O B ′′，再次利用勾股定理计算B C ′即可．本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键．【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，且BOC 绕着点C 旋转180°得到B O C ′′ ，2AC =， 1OA OC O C ′∴===，OB OC ⊥，BC B C ′=，O B O C ′′′∴⊥，213O A AC O C ′′=+=+=，为5AB ′= ，4O B ′′∴===，B C ′∴==BC B C ′∴==即菱形ABCD ，．15. 平面直角坐标系中，()0,4C ，()2,0K ，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，当点A 在x 轴上运动，BK 取最小值时，点B 的坐标为_________．【答案】()3,1−【解析】【分析】分三种情况：当点A 在x 轴正半轴时；当点A 在原点时；当点A 在x 轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案．【详解】解：当点A 在x 轴正半轴时，如图，作BH x ⊥轴于H ，设()0A m ，，则0m >，OA m =，()04C ，，()20K ，， 4OC ∴=，2OK =，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，BH x ⊥，90AOC CAB AHB ∴∠=∠=∠=°，AC AB =，180CAO CAB BAH ∠+∠+∠=° ，90BAH CAO ∴∠+∠=°，90CAO OCA ∴∠+∠=°，ACO BAH ∴∠=∠，在ACO △和BAH ，AOC BHAACO BAH AC BA∠=∠ ∠=∠ = ，()AAS ACO BAH ∴ ≌，BH OA m ∴==，4AH OC ==，4OH OA AH m ∴=+=+，()4B m m ∴+，，BK ∴====0m > ，()2212m ∴+>，2BK ∴>，当点A 在原点时，如图所示，()04C ，，()20K ，，4AC ∴=，2AK =，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，4AB AC ∴==，2BK AB AK ∴=−=；当点A 在x 轴负半轴时，如图，作BG x ⊥轴于G ，设()0A m ，，则0m <，OA m =−，()04C ，，()20K ，， 4OC ∴=，2OK =，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，BH x ⊥，90AOC CAB AGB ∴∠=∠=∠=°，AC AB =，90BAG CAO ∠+∠=° ，90CAO OCA ∠+∠=°，ACO BAG ∴∠=∠，在ACO △和BAG △，AOC BGA ACO BAG AC BA ∠=∠ ∠=∠ =，()AAS ACO BAG ∴ ≌，BG OA m ∴==−，4AG OC ==，()44OG AG AO m m ∴=+=−−=+，点B 在第四象限，()4B m m ∴+，，BK ∴====0m < ，()2210m ∴+≥，BK ∴≥综上所述：当1m =−时，BK ，此时()31B −，， 故答案为：()3,1−．【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题．16. 函数23(0)(0)x x x y x x −>= < 的图象如图所示，若直线y x t =+与该图象只有一个交点，则t 的取值范围为______．【答案】0t >或4t =−【解析】【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，由y x t =+与y x =平行可得当0t >时，直线y x t =+与原图象只有一个交点，将23y x x =−与直线y x t =+联立方程组，使240b ac −=，此时只有一个交点．熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．【详解】解：y x t =+ 与y x =平行，∴当0t >时，直线y x t =+与原图象只有一个交点，联立23y x x y x t =− =+， 23x x x t ∴−=+，即，240x x t −−=，只有一个交点，1640t ∴+=，4t ∴=−，t ∴的取值范围为：0t >或4t =−．三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解方程：2450x x −−=．【答案】121,5x x =−=．【解析】【分析】利用配方法解方程即可．【详解】解：移项，得245x x −=，∴24454x x −+=+，∴()229x −=，两边开平方，得 23x −=±，∴121,5x x =−=．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程．18. 如图，在四边形ABCD 中，,AB CD AB CD =∥．过点D 分别作DF AB ⊥于点,F DE ⊥BC 于点E ，且DE DF =．求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的证明，涉及了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，根据题意可得四边形ABCD 是平行四边形，继而得C A ∠=∠；证DEC DFA ≌即可．【详解】证明：∵,AB CD AB CD =∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，∵DE DF =，DEC DFA ∠=∠，∴DEC DFA ≌，∴DC DA =，∴四边形ABCD是菱形．19. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m．当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度．【答案】此时大孔的水面宽度为10m．【解析】【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数值y，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为（0，6），A点坐标为（-10，0），B点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为y=ax2∵点B在此抛物线上，∴0=a×102+6，解得a=-3 50，∴函数式为y=-350x2+6．∵NC=4.5m，∴令y=4.5，代入解析式得-350x2+6=4.5，x1=5，x2=-5，∴可得EF=5-（-5）=10．此时大孔的水面宽度为10m．【点睛】本题是二次函数的实际应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，解答时求出函数的解析式是关键．20. 请在同一坐标系中（1）画出二次函数①212y x =；②()2122y x =−的图象． （2）说出两条抛物线之间是如何通过图形的变换得到的，指出②的开口方向、对称轴和顶点． （3）当14x −≤≤时，求二次函数()2122x =−的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）92【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，最值，平移，解题的关键是正确的画出函数的图象． （1）根据列表、描点、连线即可画出图象；（2）根据“左加右减”即可确定出平移方式，根据顶点式即可获取开口方向，对称轴，顶点坐标； （3）由直线1x =−比直线4x =更远离抛物线的对称轴，则当1x =−，函数取得最大值，再代入求解即可．【小问1详解】解：列表： x 2− 1− 0 1 2 3 4描点：连线，如图． 【小问2详解】解：抛物线212y x =向右平移2个单位得到抛物线()2122y x =−（或抛物线()2122y x =−向左平移2个单位得到抛物线212y x =），()2122y x =−中102a =>， 故开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为(2,0)；【小问3详解】解：∵对称轴为直线2x =，1242−−>−，∴直线1x =−比直线4x =更远离抛物线的对称轴，∴当1x =−，函数取得最大值，()2191222y =−−=，∴最大值为92． 21. 如图，在等边△BCD 中，DF ⊥BC 于点F ，点A 为直线DF 上一动点，以B 为旋转中心，把BA 顺时针方向旋转60°至BE ，连接EC ．（1）当点A 在线段DF 的延长线上时，①求证：DA =CE ；②判断∠DEC 和∠EDC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DEC =45°时，连接AC ，求∠BAC 的度数．【答案】（1）①证明见解析；②∠DEC +∠EDC =90°；（2）150°或30°【解析】【分析】（1）①证明△BAD ≌△BEC ，即可证明.②分别求出BCD ∠和BCE ∠的度数，即可求出∠DEC 和∠EDC 的数量关系.（2）分三种情况进行讨论.【详解】解：（1）①证明：∵把BA 顺时针方向旋转60°至BE ，∴BA BE ABE =∠=，60°，在等边△BCD 中，DB BC ∴=，60DBC ∠=°60DBA DBC FBA FBA ∴∠=∠+∠=°+∠，60CBE FBA ∠=°+∠ ，DBA CBE ∴∠=∠，∴△BAD ≌△BEC ，∴DA =CE ；②判断：∠DEC +∠EDC =90°．DB DC = ，DA BC ⊥，1302BDA BDC ∴∠=∠=°， ∵△BAD ≌△BEC ，∴∠BCE =∠BDA =30°，在等边△BCD 中，∠BCD =60°，∴∠DCE =∠BCE +∠BCD ＝90°，∴∠DEC +∠EDC =90°．（2）分三种情况考虑：①当点A 在线段DF 的延长线上时（如图1），由（1）可得， DCE ∆是直角三角形，90DCE °∴∠=，当45DEC ∠=°时，9045EDC DEC ∠=−∠=°°，EDC DEC ∴∠=∠，CD CE ∴=，由（1）得DA =CE ，∴CD =DA ，在等边BDC 中，BD CD =，BD DA CD ∴==，60BDC ∴∠=°，DA BC ⊥ ，1302BDA CDA BDC ∴∠=∠=∠=°， 在BDA △中，DB DA =，180-752BDA BAD ∠∴∠=°=°，在DCA △中，DA DC =，180-752ADC DAC ∠∴∠=°=°， 7575150BAC BAD DAC °°∴∠=∠+∠=+=°．②当点A 在线段DF 上时（如图2），以B 为旋转中心，把BA 顺时针旋转60°至BE.60BA BE ABE ∴=∠=°，，在等边BDC 中，60BD BC DBC =∠=°，，DBC ABE ∴∠=∠，--DBC ABC ABE ABC ∠∠=∠∠，DBA EBC ∠=∠，DBA ∴∆≌CBE ∆，DA CE ∴=，在Rt DFC ∆90DFC =°∠，，DF ∴＜DC ，∵DA ＜DF ，DA =CE ，∴CE ＜DC ，由②可知DCE ∆为直角三角形，∴∠DEC ≠45°．③当点A 在线段FD 的延长线上时（如图3），同第②种情况可得DBA ∆≌CBE ∆，DA CE ADB ECB ∴=∠=∠，，在等边BDC 中，60BDC BCD ∠=∠=°，DA BC ⊥ ，1302BDF CDF BDC ∴∠=∠=∠=°， 180150ADB BDF ∴∠=°−∠=°，150ECB ADB ∴∠=∠=°，90DCE ECB BCD ∴∠=∠−∠=°，当45DEC ∠=°时，9045EDC DEC ∠=−∠=°°，EDC DEC ∴∠=∠，CD CE ∴=，∴AD =CD =BD ，∵150ADB ADC ∠=∠=°，180-152ADB BAD ∠∴∠=°=°，180-152CDA CAD ∠=°∠=°， 30BAC BAD CAD ∴∠=∠+∠=°，综上所述，BAC ∠的度数是150°或30.°22. 如图，已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()1,0A −，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，此时点P 的坐标为______；（3）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C ，B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把△BDF 的面积分成两部分，使:3:2BDEBEF S S = ，请求出点D 的坐标．【答案】（1）245y x x =−++（2）()2,3（3）335,24D【解析】【分析】（1）将()()1050A B −，，，代入2y x bx c =−++求解即可； （2）点B 是点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +的值最小； （3）设点()2,45D m m m −++，则点(),5E m m −+，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【小问1详解】∵抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()1,0A −，()5,0B ，∴102550b c b c −−+= −++=， 解得45b c = =， ∴抛物线的解析式为245y x x =−++；【小问2详解】∵()224529y x x x =−++=−−+，∴抛物线对称轴为直线2x =，∵点A ，点B 关于抛物线的对称轴l 对称，设BC 交l 于点P ，则P 即为所求的点，当0x =时，5y =，则()0,5C设直线BC 解析式为1y kx b =+，则11550b k b = += ， ∴151b k = =−， ∴直线BC 解析式为5y x =−+，当2x =时，3y =，∴()2,3P ；【小问3详解】如图，设()2,45D m m m −++，则(),5E m m −+， ∴()224555m D m E m m m −++−=−=−++，5EF m =−+， ∵:3:2BDE BEF S S = ，∴212:3:12DE BF EF BF = ⋅ ⋅ ，即:3:2DE EF =， ∴()()25:53:2m m m −+−+=， 化简得2213150m m −+=， 解得132m =，25m =（舍去）， ∴2233354545224m m −++=−+×+=， ∴335,24D． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．23. 已知：抛物线()21:0C y ax bx c a =++>． （1）若顶点坐标为()1,1，求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）； （2）当0c <时，求函数220241y ax bx c =−++−的最大值； （3）若不论m 为任何实数，直线()214m y m x =−−与抛物线1C 有且只有一个公共点，求a ，b ，c 的值；此时，若1k x k ≤≤+时，抛物线的最小值为k ，求k 的值．【答案】（1）21b a c a =−=+，；（2）1−；（3）121a b c ==−=，，；k 的值为0 【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点式可得 ()221121y a x ax ax a =−+=−++，即可得出答案；（2）由题意可得Δ²40b ac =−>，可得²0,ax bx c ++≥进而可得2202411ax bx c −++−≤−，即可得出答案； （3）由直线()214m y m x =−−与抛物线1C 有且只有一个公共点，可得方程()2204m ax b m x m c +−+++=有两个相等的实数根，即0∆=，可得()22404m b m a m c −−++= ，进而可得()21022a b 0b 40a ac −= −+= −= 即可求得1a =，2,1b c =−=，抛物线解析式为()22211y x x x =−+=−，由于抛物线的对称轴为直线 1x =，开口向上，当1k x k ≤≤+时，抛物线的最小值为k ，分三种情况：0k <或 01k ≤≤或1k >，分别根据二次函数的性质讨论即可．【小问1详解】 ∵抛物线的顶点坐标为()11，，∴()221121y a x ax ax a =−+=−++，∴21b a c a =−=+，；【小问2详解】∵2y ax bx c =++，00a c ><，，∴240b ac ∆=−>，∴抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个交点， ∴20ax bx c ++≥， ∴220240ax bx c −++≤， ∴2202411ax bx c −++−≤−， ∴函数220241y ax bx c =−++−的最大值为1−；【小问3详解】 ∵直线()214m y m x =−−与抛物线1C 有且只有一个公共点， ∴方程组()2214m y m x y ax bx c=−− =++ 只有一组解，∴()2ax b m x +−+24m 0m c ++=有两个相等的实数根， ∴0∆=，∴()24(b a a −−24m )0m c ++=， 整理得：()()2212240a m a b m b ac −−++−=，∵不论m 为任何实数，()()2212240a m a b m b ac −−++−=恒成立， ∴()21022040a a b b ac −= −+= −=，∴121a b c ==−=，，．此时，抛物线解析式为()22211y x x x =−+=−，∴抛物线的对称轴为直线1x =，开口向上，∵当1k x k ≤≤+时，抛物线的最小值为k ，∴分三种情况：0k <或01k ≤≤或1k >，①当0k <时，11k +<，当1k x k ≤≤+时，y 随着x 的增大而减小，则当1x k =+时，y 的最小值为k ， ∴()211k k +−=，解得：0k =或1，均不符合题意，舍去；②当01k ≤≤时，当1x =时，抛物线的最小值为0，∴0k =；③当1k >时，y 随着x x k =时，y 的最小值为k ，∴()21k k −=， 解得：k=∵1k >，∴k= 综上所述，若1k x k ≤≤+时，抛物线的最小值为k ，k 的值为0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一元二次方程根的情况和根的判别式，解方程组等知识，综合性很强，难度较大，能把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题关键． 24. 四边形ABCD 是菱形，45A ∠=°，点E 是AB 边上一点，连接DE ，CE ．（1）如图1，若菱形边长为4，当DE AB ⊥时，求线段CE 的长；（2）线段DE 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DF ，如图2，连接AF ，点G 是AF 中点，连接DG ．求证：2CE DG =；（3）如图3，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接CF ，点E 在射线AB 上运动的过程中，当CF 取最小值时，直接写出BEC ADES S △△的值． 【答案】（1）（2）见解析 （31【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可推出ADE 为等腰直角三角形，90CDE AED ∠=∠=°，从而得到DE，最后利用勾股定理CE =（2）延长AD 至H ，使得DH AD =，连接HF ，根据菱形的性质和旋转的性质可知45HDC DAB ∠=∠=°，DC DH =，DE DF =，45EDF ∠=°，从而推出()SAS EDC FDH ≌，进而得到CE FH =，最后利用中位线的性质得到2FH DG =，得证；（3）过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点F 作CD 垂线，垂足为N ，设AB BC CD AD a ====，同（1）易证ADM △为等腰直角三角形，从而得到AM DM ==，然后可证()AAS DEM DFN ≌，得到DN DM ==，根据点F 的运动轨迹在直线FN 上，当点F 与点N 重合时，CF 取最小值，过点C 作CK AB ⊥，交AB 的延长线于点K，此时AE DE AM ===，然后利用 BE AB AE =−得到BE ，先计算出12ADE S AE DE =⋅ ，然后易证CBK为等腰直角三角形，推出CK =，再计算出12BEC S BE CK =⋅ ，即可得到答案． 【小问1详解】解： 四边形ABCD 是菱形，菱形边长为44AB BC CD AD ∴====，AB CD ∥，AD BC ∥45A ∠=° ，DE AB ⊥9045ADE A A ∴∠=°−∠=°=∠ADE ∴ 为等腰直角三角形AE DE AD ∴=== DE AB ∵⊥ 90AED ∴∠=°AB CD90CDE AED ∴∠=∠=°∴在Rt CDE △中，CE ===【小问2详解】证明：如下图，延长AD 至H ，使得DH AD =，连接HFAB CD ，45DAB ∠=°45HDC DAB ∴∠=∠=°线段DE 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DFDE DF ∴=，45EDF ∠=°EDF HDC ∴∠=∠EDF FDC HDC FDC ∴∠+∠=∠+∠EDC FDH ∴∠=∠又DC AD DH ==()SAS EDC FDH ∴ ≌CE FH ∴=点G 是AF 中点，DH AD =DG ∴为AFH 的中位线2FH DG ∴=2CE DG ∴=【小问3详解】解：如下图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点F 作CD 垂线，垂足为N90DME DNF ∴∠=∠=°设AB BC CD AD a ====45DAB ，DM AB ⊥9045ADM DAB DAB ∴∠=°−∠=°=∠ADM ∴ 等腰直角三角形AM DM AD ∴=== DM AB ⊥90AMD ∴∠=°AB CD90CDM AMD ∴∠=∠=°将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DFDE DF ∴=，90EDF ∠=°EDF CDM ∴∠=∠，即EDM MDF MDF FDN ∠+∠=∠+∠EDM FDN ∴∠=∠()AAS DEM DFN ∴ ≌DN DM ∴== ∴点F 的运动轨迹在直线FN 上，当点F 与点N 重合时，CF 取最小值如下图，过点C 作CK AB ⊥，交AB 的延长线于点K为此时AE DE AM ===，DE AE ⊥BE AB AE a ∴=−=，2111224ADE S AE DE a a =⋅== AD BC ，45DAB ∠=°45CBK DAB ∴∠=∠=°CK AB ⊥9045BCK CBK BCK ∴∠=°−∠=°=∠CBK ∴△为等腰直角三角形BK CK ∴===21122BEC S BE CK a ∴=⋅=×=1BEC ADE S S ∴==△△ 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．。

2019-2020学年广东省广州二中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程式属于一元二次方程的是（）A．x2+2xy＝3B．C．x3+x﹣6＝0D．x2＝32．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝63．（3分）方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5 的解是（）A．x＝5B．x＝5 或x＝6C．x＝7D．x＝5 或x＝74．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（）A．﹣5B．﹣1C．1D．55．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根6．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2＝148B．200（1﹣a%）2＝148C．200（1﹣2a%）＝148D．200（1﹣a2%）＝1487．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x+2）2+2B．y＝（x﹣2）2﹣2C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x+2）2﹣29．（3分）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）设a，b满足等式（a2+b2）（2a2+2b2﹣1）＝3，则3a2+3b2﹣1的值是（）A．B．C．D．二、填空题11．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为．12．（3分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是：．13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为．14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列四个代数式：①ac②a+b+c；③2a+b；④b2﹣4ac中；其值大于0的为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A 出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝秒时，S1＝2S2．16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0的两实数分别为x1与x2，则代数式的最大值为．三、解答题17．解方程（1）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0；（2）4x2﹣2x﹣1＝0；18．已知抛物线y＝﹣x2+2x+2．（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．19．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式．（1）已知抛物线的顶点是（﹣1，﹣2），且过点（1，10）；（2）已知抛物线过三点：（0，﹣2），（1，0），（2，3）．20．如图，矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，O为BD的中点，点P是线段AD上的点，PO的延长线交BC于Q，（1）求证：OP＝OQ；（2）当AP多长时，四边形PBQD时菱形？请说明理由．21．如图，有一个抛物线的水泥门洞，门洞的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为5m，求这个门洞最高处的高度．22．已知抛物线的解析式是y＝x2﹣（k+2）x+2k﹣1（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，求k的值．23．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．（1）试设计一种砌法，使矩形花园的面积为150m2（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？（3）当AB的长为多少时，矩形花园的面积最大，最大面积是多少？24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（），B（）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．设CD的长为m，问当m取何值时，S△PDE＝S四边形ABMC．25．如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．2019-2020学年广东省广州二中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程式属于一元二次方程的是（）A．x2+2xy＝3B．C．x3+x﹣6＝0D．x2＝3【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．【解答】解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．B、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．C、该方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D．2．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，配方得（x﹣2）2＝2．故选：A．3．（3分）方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5 的解是（）A．x＝5B．x＝5 或x＝6C．x＝7D．x＝5 或x＝7【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程移项得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，解得：x＝5或x＝7，故选：D．4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5【分析】根据一元二次方程的解的意义，把x＝3代入原方程得到k的一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝3代入x2﹣kx﹣6＝0得9﹣3k﹣6＝0，解得k＝1．故选：C．5．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】根据题意先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案．【解答】解：一元二次方程x2﹣4x+3＝0中，△＝（﹣4）2﹣4×1×3＞0，则原方程有两个不相等的实数根；故选：A．6．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2＝148B．200（1﹣a%）2＝148C．200（1﹣2a%）＝148D．200（1﹣a2%）＝148【分析】主要考查增长率问题，本题可用降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价率），首先用x表示两次降价后的售价，然后由题意可列出方程．【解答】解：依题意得两次降价后的售价为200（1﹣a%）2，∴200（1﹣a%）2＝148．故选：B．7．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x+2）2+2B．y＝（x﹣2）2﹣2C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x+2）2﹣2【分析】根据二次函数的解析式平移的规律：左加右减，上加下减进行解答即可．【解答】解：函数y＝x2﹣4向右平移2个单位，得：y＝（x﹣2）2﹣4；再向上平移2个单位，得：y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2；故选：B．9．（3分）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x＝﹣＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．10．（3分）设a，b满足等式（a2+b2）（2a2+2b2﹣1）＝3，则3a2+3b2﹣1的值是（）A．B．C．D．【分析】令a2+b2＝t，然后根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：令a2+b2＝t，t≥0∴t（2t﹣1）＝3，∴t＝﹣1（舍去）或t＝，原式＝﹣1＝；故选：A．二、填空题11．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为15．【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．【解答】解：x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，∴x1＝3，x2＝6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形，当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15，故答案为：15．12．（3分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是：＝10．【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；依题意，可列方程为：＝10．故答案为：＝10．13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．【解答】解：根据图象知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是x＝1．设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则＝1，解得，x＝3，即该抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）．所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为x1＝﹣1，x2＝3．故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列四个代数式：①ac②a+b+c；③2a+b；④b2﹣4ac中；其值大于0的为①②④．【分析】根据图象，结合二次函数的开口方向与a的关系、抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点位置、函数在x＝1时的函数值，及抛物线与x轴的交点个数等进行分析判断即可．【解答】解：①由二次函数的图象可知，该函数图象开口向下，则a＜0；该函数图象与y轴交于负半轴，则c＜0，∴ac＞0；②由图象可知，当x＝1时，y＞0，即y＝a+b+c＞0∴a+b+c＞0；③由图象可知，对称轴为0＜﹣＜1∵a＜0∴2a+b＜0④由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0综上，其值大于0的有①②④．故答案为：①②④．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A 出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝6秒时，S1＝2S2．【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1＝2S2，即可列方程求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，∴AD＝BD＝CD＝8cm，又∵AP＝t，则S1＝AP•BD＝×8×t＝8t，PD＝8﹣t，∵PE∥BC，∴△APE∽△ADC，∴，∴PE＝AP＝t，∴S2＝PD•PE＝（8﹣t）•t，∵S1＝2S2，∴8t＝2（8﹣t）•t，解得：t＝6．故答案是：6．16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0的两实数分别为x1与x2，则代数式的最大值为9．【分析】整理得：3x1x2﹣，根据“一元二次方程x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0的两实数分别为x1与x2“，结合一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2和x1x2关于m得表达式，代入原式，整理得：﹣（m+6）2+9，当m＝﹣6时，取最大值，计算求值即可．【解答】解：＝x1x2﹣（+）＝3x1x2﹣，∵一元二次方程x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0的两实数分别为x1与x2，∴x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，原式＝3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣m2+12m﹣27＝﹣（m+6）2+9，△＝（6﹣2m）2﹣4（m2﹣4m+3）≥0，解得：m≤3，当m＝﹣6时，原式有最大值9，即代数式的最大值为9，故答案为：9．三、解答题17．解方程（1）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0；（2）4x2﹣2x﹣1＝0；【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（5x﹣3）＝0，则x﹣3＝0或5x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0.6；（2）∵a＝4，b＝﹣2，c＝﹣1，∴△＝（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）＝20＞0，则x＝＝，即x1＝，x2＝．18．已知抛物线y＝﹣x2+2x+2．（1）该抛物线的对称轴是x＝1，顶点坐标（1，3）；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．【分析】（1）代入对称轴公式和顶点公式（﹣，）即可；（2）尽量让x选取整数值，通过解析式可求出对应的y的值，填表即可；（3）结合图象可知这两点位于对称轴右边，图象随着x的增大而减少，因此y1＜y2．【解答】解：（1）x＝1；（1，3）（2）（3）因为在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．19．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式．（1）已知抛物线的顶点是（﹣1，﹣2），且过点（1，10）；（2）已知抛物线过三点：（0，﹣2），（1，0），（2，3）．【分析】（1）由抛物线顶点坐标设出函数关系式为y＝a（x+1）2﹣2，再把（1，10）代入求得a即可．（2）设所求函数关系式为y＝ax2+bx+c，再把（0，﹣2），（1，0），（2，3）代入求得a，b，c即可．【解答】解：（1）∵抛物线顶点（﹣1，﹣2），∴设所求二次函数关系式为y＝a（x+1）2﹣2，把（1，10）代入上式，得10＝a（1+1）2﹣2．∴a＝3，∴所求二次函数关系式为y＝3（x+1）2﹣2，即y＝3x2+6x+1．（2）设所求二次函数关系为y＝ax2+bx+c，把（0，﹣2），（1，0），（2，3）分别代入y＝ax2+bx+c，得，解得：∴此抛物线的函数解析式为：y＝．20．如图，矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，O为BD的中点，点P是线段AD上的点，PO的延长线交BC于Q，（1）求证：OP＝OQ；（2）当AP多长时，四边形PBQD时菱形？请说明理由．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO＝∠QBO，由“ASA”可证△POD≌△QOB，可得OP＝OQ；（2）由菱形的性质可得PD＝BP，由勾股定理可求AP的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO＝∠QBO，又∵O为BD的中点，∴OB＝OD，且∠PDO＝∠QBO，∠POD＝∠QOB，∴△POD≌△QOB（ASA），∴OP＝OQ；（2）∵四边形PBQD是菱形，∴PD＝BP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，即62+AP2＝（8﹣AP）2，∴AP＝，∴当AP为时，四边形PBQD时菱形．21．如图，有一个抛物线的水泥门洞，门洞的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为5m，求这个门洞最高处的高度．【分析】由题意可知，以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，抛物线过A （0，0）、B（8，0）、（1、3）、（7、3），运用待定系数法求出解析式后，求函数值的最大值即可．【解答】解：以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，则抛物线过A（0，0）、B（8，0）、C（、3）三点，设该抛物线解析式为：y＝ax（x﹣8），将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x（x﹣8），当x＝4时，y＝，故这个门洞最高处的高度为：．22．已知抛物线的解析式是y＝x2﹣（k+2）x+2k﹣1（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，求k的值．【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；（2）根据题意，令x＝0，整理方程可得关于k的方程，解可得k的值．【解答】解：（1）证明：令y＝0得：x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0①．∵△＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）×1＝（k﹣2）2+4＞0，∴方程①有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）令x＝0，根据题意有：k2﹣1＝2k﹣1，解得k＝0或k＝2．23．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．（1）试设计一种砌法，使矩形花园的面积为150m2（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？（3）当AB的长为多少时，矩形花园的面积最大，最大面积是多少？【分析】（1）设BC＝x，则AB＝CD＝（40﹣x），x≤25，则（40﹣x）x＝150，解得：x＝10或30（舍去30），即可求解；（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，即可求解；（3）矩形花园的面积S＝（40﹣x）x＝﹣x（x﹣40）（x≤25），﹣1＜0，故S有最大值，当x＝20时，其最大值为：200，此时AB＝10，即可求解【解答】解：（1）设BC＝x，则AB＝CD＝（40﹣x），x≤25，则（40﹣x）x＝150，解得：x＝10或30（舍去30），故x＝10；（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，故不能围成矩形花园面积为210m2；（3）设BC＝x，则AB＝CD＝（40﹣x），x≤25，矩形花园的面积S＝（40﹣x）x＝﹣x（x﹣40）（x≤25），∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝20时，其最大值为：200，此时AB＝10，答：当AB的长为20时，矩形花园的面积最大，最大面积是200．24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（），B（）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．设CD的长为m，问当m取何值时，S△PDE＝S四边形ABMC．【分析】（1）将A，B，C三点的坐标代入抛物线解析式即可求出a，b，c的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）利用点A、B关于抛物线的对称轴对称，连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P，再利用△PHB∽△COB求出P点坐标即可．（3）首先利用A（﹣，0）B（3，0），C（0，3），M（，4）求出S四边形ABMC，进而得出S△PDE ＝1，利用S△PDE＝S四边形PDOE﹣S△DOE求出m的值即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（﹣，0）、B（3，0），C（0，3）三点，∴c＝3，∴，解得．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣）2+4，故顶点M为（，4）．（2）如图1，∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P．设对称轴与x轴交于点H，∵PH∥y轴，∴△PHB∽△COB．∴．由题意得BH＝2，CO＝3，BO＝3，∴，∴PH＝2．∴P（，2）．（3）如图2，∵A（﹣，0），B（3，0），C（0，3），M（，4），∴S四边形ABMC＝S△AOC+S梯形COHM+S△MHB＝××3+（3+4）×+×4×2＝9．∵S四边形ABMC＝9S△PDE，∴S△PDE＝．∵OC＝3，OB＝3，∴∠OCB＝60°．∵DE∥PC，∴∠ODE＝60°．∴OD＝3﹣m，OE＝（3﹣m）．∵S四边形PDOE＝S△COE＝＝，∴S△PDE＝S四边形PDOE﹣S△DOE＝＝（0＜m＜3）．∴，解得m1＝2，m2＝1．25．如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．【分析】（1）求出C（0，﹣5）、点B（5，0），将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）分点P在直线BC上方、点P在直线BC上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，即点C（0，﹣5），同理点B（5，0），将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+6x﹣5；（2）令y＝﹣x2+6x﹣5＝0，解得：x＝1或5，即点A（1，0），∵OB＝OC＝5，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，AM＝AB＝2，以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，如图，作PD⊥x轴交直线BC于D，则∠PDQ＝45°，∴PD＝PQ＝4，设点P（x，﹣x2+6x﹣5），则点D（x，x﹣5），①当点P在直线BC上方时，PD＝﹣x2+6x﹣5﹣x+5＝4，解得：x＝1或4（舍去1）；②点P在直线BC上方时，PD＝﹣x2+6x﹣5﹣x+5＝﹣4，解得：x＝，故点P的横坐标为4或或．。

2019-2020学年广东省广州市越秀区培正中学九年级（下）第二次段考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.关于x的方程是一元二次方程，则m的取值是A. 任意实数B.C.D.2.下面图形中，是中心对称图形的是A. B.C. D.3.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是A. B. C. D.4.下列事件中是不可能事件的是A. 三角形内角和小于B. 两实数之和为正C. 买体育彩票中奖D. 抛一枚硬币2次都正面朝上5.如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为A. 1：2B. 1：5C. 1：100D. 1：106.把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为A. B.C. D.7.如图，为直角三角形，，，，以点C为圆心，以CA为半径作，则斜边的中点D与的位置关系是A. 点D在上B. 点D在内C. 点D在外D. 不能确定8.今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是万人，第三天的游客人数为万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为A.B.C.D.9.如图，是的外接圆，，则的度数等于A.B.C.D.10.如图，抛物线过点和点，且顶点在第三象限，设，则P的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是______．12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得到，且点在第二象限，则点的坐标为______．13.圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则该圆锥的侧面积为______．14.已知方程的一个根是1，则它的另一个根是______．15.二次函数的图象如图所示，则其对称轴方程是______，方程的解是______．16.如图，，，，，，则______．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）17.如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长设AB长为，矩形的面积为．写出S与x的函数关系式；当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？当花圃的面积为时，AB长为多少米？四、解答题（本大题共8小题，共90.0分）18.解方程．19.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是、绕点O逆时针旋转后得到．画出旋转后的图形；点的坐标为______ ；求线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积写过程．20.某校九年级班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计如表所示：自选项目人数频率立定跳远b三级蛙跳12一分钟跳绳8a投掷实心球16推铅球5合计501求，的值；若该校九年级共有400名学生，试估计年级选择“一分钟跳绳”项目的总人数；在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至少有一名女生的概率．21.已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．求实数a的取值范围；若，求a的值．22.如图所示，在▱ABCD中，AE：：2．求与的周长比；如果，求和．23.已知，如图，中，，E为BC边中点．尺规作图：以AC为直径，作，交AB于点保留作图痕迹，不需写作法．连结DE，求证：DE为的切线；若，，求BD的长．24.如图抛物线经过点，点，且．求抛物线的解析式及其对称轴；点D、E在直线上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．25.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过的内切圆圆心O，且点E在半圆上．当正方形的顶点F也在半圆弧上时，半圆的半径与正方形边长的比为______；当正方形DEFG的面积为100，且的内切圆的半径，求半圆的直径AB的值；若半圆的半径为R，直接写出半径r可取得的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据一元二次方程的定义得：，即，故选：C．本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以，即可求得m的值．一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．整式方程．要特别注意二次项系数这一条件，当时，上面的方程就不是一元二次方程了．当或时，上面的方程在的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．根据中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形．故选D．3.【答案】B【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是：．故选：B．直接利用关于原点对称点的性质得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．4.【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查了不可能事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【解答】解：A、三角形的内角和小于是不可能事件，故A符合题意；B、两实数之和为正是随机事件，故B不符合题意；C、买体育彩票中奖是随机事件，故C不符合题意；D、抛一枚硬币2次都正面朝上是随机事件，故D不符合题意；故选：A．5.【答案】C【解析】解：两个相似多边形的相似比为1：10，它们的面积比：：100．故选：C．根据相似多边形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．6.【答案】C【解析】解：原抛物线的顶点为，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为．可设新抛物线的解析式为：，代入得：．故选：C．按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．此题考查了二次函数图象与几何变换以及一般式转化顶点式，正确将一般式转化为顶点式是解题关键．7.【答案】B【解析】解：中，，，，，为斜边AB的中点，，，，，点D与内，故选：B．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题先由勾股定理求出斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，然后根据点到圆心距离与半径的关系即可确定该点与圆的位置关系．本题根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．8.【答案】B【解析】解：设每天游客增加的百分率相同且设为x，第二天的游客人数是：；第三天的游客人数是：；依题意，可列方程：．故选：B．利用平均增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，参照本题，如果设平均每年增产的百分率为x，分别用x表示出第二天和第三天游客数量，即可得出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．9.【答案】B【解析】解：在中，的半径，等边对等角；，，；又同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，，故选：B．在等腰三角形OCB中，求得两个底角、的度数，然后根据三角形的内角和求得；最后由圆周角定理求得的度数并作出选择．本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．10.【答案】C【解析】解：经过点和的直线解析式为，当时，，而时，，所以，即．故选：C．先利用待定系数法求出经过点和的直线解析式为，则当时，，再利用抛物线的顶点在第三象限，所以时，对应的二次函数值为负数，从而得到所以．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】【解析】解：在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是，故答案为：．用所抽样本中会进行垃圾分类的人数除以抽取的总人数即可得．本题考查概率公式和用样本估计总体，概率计算一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．12.【答案】【解析】解：点A的坐标为，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，且点在第二象限，点的坐标为，，故答案为：．直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点的坐标．此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．13.【答案】【解析】解：圆锥的侧面积．故答案为：．圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．14.【答案】【解析】解：设方程的另一根为，根据根与系数的关系可得：，解得．故答案为：．由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，，则，．15.【答案】，【解析】解：从图象可知，二次函数与x轴的交点的坐标是，，对称轴方程是，方程的解是，．故答案为：，，．根据二次函数与x轴的交点的坐标、和对称轴方程，代入求出即可；同样根据二次函数与x轴的交点坐标能求出方程的解是，．本题考查了二次函数的图象，二次函数与x轴的交点，二次函数的性质等知识点的应用，主要培养学生的观察能力和理解能力，题目较好，但是有一定的难度．16.【答案】【解析】解：如图，过点A作交CD于E，连接BE．，，，，，，，，≌，，，，．故答案为．如图，过点A作交CD于E，连接证明≌，，利用勾股定理求出BD即可．本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】解：；由题意，得：，解得，又由，得，当时，所围成的花圃面积最大，最大值为；由，解得，，，当花圃的面积为时，AB长为15米．【解析】由知，根据矩形的面积公式可得函数解析式；将所得函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得；在函数解析式中令，求出x的值，再由x的范围取舍即可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及根据墙长求出x的取值范围．18.【答案】解：，，则或，解得：，；，，则或，解得：，．【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．十字相乘法分解因式求解可得；移项后，提取公因式分解因式，求解可得．19.【答案】解：如图所示：即为所求；；点B扫过的图形为扇形，旋转角为，，点，，【解析】【分析】此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积求法，得出旋转后对应点位置是解题关键．根据旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；根据所画图形得出点的坐标；利用扇形面积公式进而得出线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积．【解答】解：见答案；点的坐标为：；故答案为；见答案．20.【答案】解：根据题意得：；；人；男生编号为A、B、C，女生编号为D、E，由列举法可得：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种，其中AB、AC、BC为男男组合不符合题意，抽取的两名学生中至少有一名女生的概率为：．【解析】根据表格求出a与b的值即可；计算出50名学生选择“一分钟跳绳”项目的人数，进而可估计该校九年级有400名学生，选择“一分钟跳绳”项目的总人数；列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至少有一名女生的情况，即可求出所求概率．此题考查了条形统计图和频数率分布直方图，用到的知识点是样本容量、概率公式，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21.【答案】解：方程有两个实数根，，解得，实数a的取值范围为；由题意可得，，，，解得或，，．【解析】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围；由根与系数的关系可用a表示出和的值，代入已知条件可得到关于a的方程，则可求得a的值．22.【答案】解：：：2，：：3，四边形ABCD是平行四边形，，，∽：：：：：3，即与的周长比为1：3；∽，：：，即6：：．，【解析】易证∽，由相似三角形的性质：周长之比等于相似比即可求出与的周长的比；由可知∽，由相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出，再根据三角形面积关系求出即可．本题考查了相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟记相似三角形的各种性质是解题关键．23.【答案】解：如图1，证明：如图2，连结OD，CD，为直径，，为BC边中点，为斜边BC上的中线，，，，，，，为的切线；为BC边中点，，，，，∽，，即，．【解析】根据要求作图即可得；连结OD，CD，证得，再证，得，据此可得，从而得证；证∽得，代入计算可得．本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．24.【答案】解：，点，则抛物线的表达式为：，故，解得：，故抛物线的表达式为：；的周长，其中、是常数，故CD最小时，周长最小，取点C关于函数对称点，则，取点，则，故：，则当、D、三点共线时，最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值；如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又：：：AE，则BE：AE，：5或5：3，则或，即：点E的坐标为或，将点E、C的坐标代入一次函数表达式：，解得：或，故直线CP的表达式为：或联立并解得：或不合题意值已舍去，故点P的坐标为或．【解析】，则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；，则当、D、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解；：：：AE，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中，通过确定点点来求最小值，是本题的难点．25.【答案】：因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．切点分别为I，J，连接EB、AE，OI、OJ，、BC是的切线，，，，四边形OICJ是正方形，且边长是4，设，，则，，在直角三角形ABC中，由勾股定理得；在直角三角形AEB中，，，∽∽，于是得到，即．解式和式，得，即半圆的直径；由可得：．【解析】解：如图，根据圆和正方形的对称性可知：，J 为半圆的圆心，不妨设，则，在直角三角形FGH中，由勾股定理可得由此可得，半圆的半径为，正方形边长为2a，所以半圆的半径与正方形边长的比是：：2；故答案为：：2；见答案；见答案．根据圆和正方形的对称性可知：，在直角三角形FGJ中，利用勾股定理可得，从而用含a的代数式表示半圆的半径为，正方形边长为2a，所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；切点分别为I，J，连接EB、AE，OJ、OI，可得OJCI是正方形，且边长是4，可设，，则，，分别利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作为相等关系列方程组求解即可求得半圆的直径．根据中得出方程解答即可．本题综合考查了圆、三角形、方程等知识，是一道综合性很强的题目，难度偏上，需要正确理解相关知识点及懂得运用方能很好的解答本题．。