2018-2019 学年广东省广州市越秀区四年级(上)期末数学试卷

2020-2021学年广东省广州市番禺区四年级（下）期末数学试卷试题数：31，满分：1001.（单选题，1分）计算367-101时，正确的是（）A.367-99-1B.367-100+1C.367-100-12.（单选题，1分）下列关于三角形错误的说法是（）A.用3cm、7cm、4cm 三根小棒，能围成一个三角形B.等边三角形是轴对称图形C.自行车的三角形车架具有稳定性3.（单选题，1分）如图，涂色部分占整个图形的（）A. 39B. 14C.无法确定4.（单选题，1分）如图，从左面看形状相同的是（）A. ① 和③B. ② 和④C. ③ 和⑤5.（单选题，1分）根据75-60=15、2×15=30、150÷30=5三个算式，列出综合算式是（）A.150÷（2×75-60）B.150÷2×（75-60）C.150÷[2×（75-60）]6.（判断题，1分）4×73×25=73×（4×25）这里运用了乘法分配律。

___ （判断对错）7.（判断题，1分）小红所在班级同学的平均身高是141cm，小金所在班级同学的平均身高是143cm，小红身高一定比小金矮。

___ （判断对错）8.（判断题，1分）减法算式中，被减数-（减数+差）=0。

___ （判断对错）9.（判断题，1分）最小的一位小数减去最小的两位小数，差是0.09．___ （判断对错） 10.（判断题，1分）的内角和是540°。

___ （判断对错）11.（填空题，3分）计算19×[（188+312）÷5]时，先算 ___ ，再算 ___ ，算式的结果是 ___ 。

12.（填空题，5分）由3个百、7个百分之一组成的数是 ___ 。

0.106读作：___ ，它是由1个 ___ 分之一和 ___ 个0.001组成，保留一位小数的近似数是 ___ 。

2020-2021学年广东省广州市花都区四年级（上）期末数学试卷试题数：34，总分：1001.（填空题，4分）从个位数起，第六位是___ ，计数单位是___ ，第九位是___ ，计数单位是___ ．2.（填空题，2分）一个九位数，最高位是7，百万位是8，个位是1，其余各位都是0，这个数写作 ___ ，四舍五入到亿位约是 ___ 。

3.（填空题，2分）4□895≈4万，□里最大能填___ ，15□7000000≈16亿，□里最小能填___ 。

4.（填空题，3分）在横线上填上适当的面积单位。

花都区的总面积约是969 ___ 小明家的面积约108 ___ 花都区人民公园占地面积约是20 ___5.（填空题，2分）在横线上填上合适的数。

35平方千米=___ 公顷9公顷=___ 平方米6.（填空题，4分）在下面横线上填上“＞”、“＜”或“=”．3654879___ 365489726900100000___ 27万480÷12___ 480÷3018×500___ 50×1807.（填空题，3分）线段有___ 个端点，把线段向一端无限延伸，就得到一条___ ，它有___ 个端点．8.（填空题，2分）根据〇×△=864，直接写出下面各题的结果。

（〇÷2）×△=___〇×（△×10）=___9.（填空题，1分）两条平行线之间的距离是5厘米，在这条平行线之间画一条垂线，这条垂线段的长是___ 厘米．10.（填空题，2分）如图中，与AB平行的线段有 ___ 条；与CD垂直的线段有 ___ 条。

11.（填空题，2分）要使4□6÷46的商是两位数，□里最小可填___ ，要使商是一位数，□最大可填___ ．12.（填空题，1分）小明骑自行车上学，20分钟行了4千米，平均每分钟行 ___ 米。

13.（判断题，1分）在6和7之间填上5个0，这个数读作六十万零七。

2017-2018学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下面有四个图案，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若分式的值为零，则x的值为（）A．﹣2 B．±2 C．2 D．13．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣a3）2+（﹣a2）3=0 B．（﹣b）2•（﹣b）4=﹣b6C．（﹣a3）2（﹣a2）3=﹣a6 D．x2•x4=x84．（3分）下列各因式分解中，结论正确的是（）A．x2+5x+6=（x﹣1）（x+6）B．x2﹣x+6=（x+2）（x﹣3）C．a2﹣2ab+b2﹣1=（a+b+1）（a+b﹣1） D．（a+b）2+2a+2b﹣3=（a+b+3）（a+b﹣1）5．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点6．（3分）用剪刀将一个四边形沿直线剪去一部分，剩下部分的图形的内角和将（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．以上三种情况都有可能7．（3分）在下列四个轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形8．（3分）如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CP交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）A．①和2 B．②和③C．①和③D．①、②和③9．（3分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了20分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的3倍，若设乘公交车平均每小时走X千米，根据题意可列方程为（）A． +20=B．=+C．=+20 D． +=10．（3分）如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）要使分式有意义，那么x必须满足．12．（3分）已知一个n边形的内角和是其外角和的4倍多180度，则n=．13．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是．14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连结AD．若AC=4cm，△ADC的周长为11cm，则BC的长为cm．15．（3分）如图，在△ABC中，BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E．若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm，则AE=cm．16．（3分）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=．三、解答题（本题共有7小题，共72分）17．（10分）完成下列运算：（1）（2x﹣1）（2x+1）﹣（4x+1）（x﹣1）（2）（x2+x）﹣y（x+2）18．（10分）解下列分式方程：（1）=（2）1﹣=19．（12分）（1）先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣5x2，其中x=3，y=5．（2）先化简，再求值：（﹣），其中a=﹣．20．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=42°，∠DAE=18°，求∠C的度数．21．（8分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．22．（12分）山地自行车越来越受到大众的喜爱，某车行经销了某品牌的A、B两型车，其经销的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆车的销售价将比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．其中A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：A型车B型车进货价格（元）11001400销售价格（元）今年的销售价格2000试问：（1）今年A型车每辆售价多少元？（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共60辆（见上表），要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？23．（12分）在△ABC中，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE．（1）如图①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求∠CDE的度数．（2）如图①，已知∠BAC=90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE 的数量关系；（3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．2017-2018学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下面有四个图案，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．2．（3分）若分式的值为零，则x的值为（）A．﹣2 B．±2 C．2 D．1【解答】解：∵分式的值为零，∴|x|﹣2=0，解得：x=±2．故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣a3）2+（﹣a2）3=0 B．（﹣b）2•（﹣b）4=﹣b6C．（﹣a3）2（﹣a2）3=﹣a6 D．x2•x4=x8【解答】解：A、原式=a6﹣a6=0，符合题意；B、原式=b2•b4=b6，不符合题意；C、原式=a6•（﹣a6）=﹣a12，不符合题意；D、原式=x6，不符合题意．故选：A．4．（3分）下列各因式分解中，结论正确的是（）A．x2+5x+6=（x﹣1）（x+6）B．x2﹣x+6=（x+2）（x﹣3）C．a2﹣2ab+b2﹣1=（a+b+1）（a+b﹣1）D．（a+b）2+2a+2b﹣3=（a+b+3）（a+b﹣1）【解答】解：A、原式=（x+2）（x+3），错误；B、原式不能分解，错误；C、原式=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），错误；D、原式═（a+b+3）（a+b﹣1），正确，故选D5．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：C．6．（3分）用剪刀将一个四边形沿直线剪去一部分，剩下部分的图形的内角和将（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．以上三种情况都有可能【解答】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．7．（3分）在下列四个轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形【解答】解：A、正方形，有4条对称轴；B、正五边形，有5条对称轴；C、正六边形，有6条对称轴；D、正七边形，有7条对称轴．故选：D．8．（3分）如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CP交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）A．①和2 B．②和③C．①和③D．①、②和③【解答】解：如图，连接AD；在△ABE与△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；∴∠B=∠C；∵AB=AC，AE=AF，∴BF=CE；在△CDE与△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（AAS），∴DC=DB；在△ADC与△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（SAS），∴∠CAD=∠BAD；综上所述，①②③均正确，故选D9．（3分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了20分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的3倍，若设乘公交车平均每小时走X千米，根据题意可列方程为（）A． +20=B．=+C．=+20 D． +=【解答】解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：=+．故选：B．10．（3分）如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【解答】解：如图所示，当CA=CF=3，BC=BD=3，BC=CE=3，BG=CG，都能得到符合题意的等腰三角形．故选C．二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）要使分式有意义，那么x必须满足x≠0．【解答】解：要使分式有意义，那么x必须满足x≠0，故答案为：x≠012．（3分）已知一个n边形的内角和是其外角和的4倍多180度，则n=11．【解答】解：（n﹣2）•180°﹣4×360°=180°，解得n=11，故答案为：11．13．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是18°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣72°=18°．故答案为：18°．14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连结AD．若AC=4cm，△ADC的周长为11cm，则BC的长为7cm．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，∴AD=BD，∵△ADC的周长为11cm，∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=11cm，∵AC=4cm，∴BC=7cm．故答案为：7．15．（3分）如图，在△ABC中，BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E．若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm，则AE=2cm．【解答】解：∵BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，∴∠CAD+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，∴∠CAD=∠CBF，∵在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，（ASA）∴DE=CD，∴AE=AD﹣DE=BD﹣CD=BC﹣CD﹣CD=2；故答案为2．16．（3分）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=（a+1）100．【解答】解：原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]=（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]=（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]=…=（a+1）100．故答案为：（a+1）100．三、解答题（本题共有7小题，共72分）17．（10分）完成下列运算：（1）（2x﹣1）（2x+1）﹣（4x+1）（x﹣1）（2）（x2+x）﹣y（x+2）【解答】解：（1）原式=4x2﹣1﹣（4x2﹣4x+x﹣1）=4x2﹣1﹣4x2+4x﹣x+1=3x；（2）原式=（x2+x）•﹣xy﹣2y=2xy+2y﹣xy﹣2y=xy．18．（10分）解下列分式方程：（1）=（2）1﹣=【解答】解：（1）化为整式方程为：x+2=4解得：x=2，检验：把x=2代入x2﹣4=0，所以原方程无解；（2）化为整式方程为：（6x﹣2）﹣2=5解得：x=1.5，检验x=1.5是原方程的解，所以原方程的解是x=1.5．19．（12分）（1）先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣5x2，其中x=3，y=5．（2）先化简，再求值：（﹣），其中a=﹣．【解答】解：（1）原式=4x2﹣y2+x2+2xy+y2﹣5x2=2xy，当x=3，y=5时，原式=30；（2）原式=•=，当a=﹣时，原式=﹣1．20．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=42°，∠DAE=18°，求∠C的度数．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠B=42°，∴∠BAD=48°，∵∠DAE=18°，∴∠BAE=∠BAD﹣∠DAE=30°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠BAE=60°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=78°．21．（8分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．【解答】证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，∴∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE=120°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．22．（12分）山地自行车越来越受到大众的喜爱，某车行经销了某品牌的A、B两型车，其经销的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆车的销售价将比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．其中A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：A型车B型车进货价格（元）11001400销售价格（元）今年的销售价格2000试问：（1）今年A型车每辆售价多少元？（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共60辆（见上表），要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得：=，解得：x=1600．经检验，x=1600是原方程的根．答：今年A型车每辆售价1600元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，由题意，得（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a）≥33000，解得：a≤30，故要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进30辆．23．（12分）在△ABC中，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE．（1）如图①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求∠CDE的度数．（2）如图①，已知∠BAC=90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE 的数量关系；（3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵∠BAD=60°，∴∠DAE=30°，∵AD=AE，∴∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED=∠C=30°；（2）设∠BAD=x，∴∠CAD=90°﹣x，∵AE=AD，∴∠AED=45°+，∴∠CDE=x，即；（3）设∠BAD=x，∠C=y，∵AB=AC，∠C=y，∴∠BAC=180°﹣2y，∵∠BAD=x，∴∠AED=y+x，∴．即．。

2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列直线中，倾斜角小于45°的直线是（ ） A ．4x ﹣y +5＝0B ．x +4y ﹣5＝0C ．x ＝4D ．y ＝52．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)，则a 5＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=（ ）A ．13AB →−23AC →+12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→4．若椭圆x 2a 2+y 29=1(a ＞0)与双曲线x 215−y 2=1的焦点相同，则a 的值为（ ）A ．25B ．16C ．5D ．45．已知空间三点A （3，2，0），B （6，1，﹣2），C （5，﹣1，1），则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ） A ．72B ．7C ．7√32D ．7√36．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数R 0＝2，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（初始感染者传染R 0个人为第一轮传染，这R 0个人每人再传染R 0个人为第二轮传染…）（参考数据：lg 2≈0.3010）（ ） A ．6天B ．15天C ．18天D ．21天7．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点E ．已知|AF |＝5，|BF |＝3，若△AEF 的面积是△BEF 面积的2倍，则抛物线C 的方程为（ ）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x8．高8m和4m的两根旗杆笔直地竖立在水平地面上，且相距6m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知双曲线C的方程为y216−x29=1，则（）A．双曲线C的焦点坐标为（0，5），（0，﹣5）B．双曲线C的渐近线方程为y=±34xC．双曲线C的离心率为5 4D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为110．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R），则（）A．直线l恒过定点（3，1）B．直线l被圆C截得的最长弦长为10C．当m＝2时，直线l被圆C截得的弦长最短D．当m＝0时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于411．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N∗，S n≥S3，则a6a5的取值可能是（）A．12B．32C．53D．9412．已知正四面体ABCD的棱长为2，点M，N分别为△ABC与△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（）A．直线MN与BD所成角的大小为60°B．点A到直线MN的距离为√11 3C．直线MN与平面ACD间的距离为2√2 3D．若BP⊥平面ACD，则三棱锥P﹣ACD外接球的表面积为27π2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a n+2＝3a n+1+4a n，则{a n}的公比为．14．已知直线x+3y+6＝0与2x+my﹣3＝0互相平行，则这两条直线间的距离是．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水面下降0.5米后，水面宽米．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点，且PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长为，点P到直线AF的距离的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n}的前n项和公式为S n=2n−1(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝log2a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若经过点（1，4）的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．19．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且AC1=2√3，如图2．（1）求证：平面ABC1⊥平面AC1D；（2）求平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中点．（1）求证：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，点P为线段CE上一点，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为Q(1，−12)，若椭圆C 上存在点M ，满足2OA →+3OB →=4OM →，求椭圆C 的方程．2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列直线中，倾斜角小于45°的直线是（ ） A ．4x ﹣y +5＝0B ．x +4y ﹣5＝0C ．x ＝4D ．y ＝5解：当直线倾斜角小于45°时，它的斜率小于tan45°＝1，且大于等于0． 由此判断：A 项的直线4x ﹣y +5＝0，斜率k ＝4，不符合题意； B 项的直线x +4y ﹣5＝0，斜率为−14，不符合题意；C 项的直线x ＝4，倾斜角为90°，不符合题意；D 项的直线y ＝5，斜率k ＝0，符合题意． 故选：D ．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)，则a 5＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16解：数列{a n }满足a 1＝1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)， ∴a n+1a n+2a n a n+1=2n+12n=2=a n+2a n， ∴数列{a n }的奇数项成等比数列，公比为2， 则a 5＝1×22＝4， 故选：B ．3．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=（ ）A ．13AB →−23AC →+12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→解：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则GF →=GE →+EC →+CF →=13AE →+12BC →+12AA 1→ =16AB →+16AC →+12AC →−12AB →+12AA 1→=−13AB →+23AC →+12AA 1→．故选：D ．4．若椭圆x 2a 2+y 29=1(a ＞0)与双曲线x 215−y 2=1的焦点相同，则a 的值为（ ） A ．25B ．16C ．5D ．4解：根据题意可得a 2﹣9＝15+1，又a ＞0，解得a ＝5． 故选：C ．5．已知空间三点A （3，2，0），B （6，1，﹣2），C （5，﹣1，1），则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ） A ．72B ．7C ．7√32D ．7√3解：∵A （3，2，0），B （6，1，﹣2，），C （5，﹣1，1）， ∴AB →=（3，﹣1，﹣2），AC →=（2，﹣3，1）， ∴|AB →|=√(3)2+(−1)2+(−2)2=√14， |AC →|=√22+(−3)2+12=√14， 设AB →与AC →的夹角为θ，则cos θ=AB →⋅AC →|AB →||AC →|=−2+3+614×14=12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ=π3，即AB →与AC →的夹角为π3，即∠BAC =π3，∴△ABC 的面积S =12|AB →|⋅|AC →|⋅sin∠BAC =12×√14×√14×√32=7√32，故平行四边形的面积为7√3． 故选：D ．6．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数R0＝2，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染…）（参考数据：lg2≈0.3010）（）A．6天B．15天C．18天D．21天解：设第n轮感染的人数为a n，则数列{a n}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，由1+S n=2×(1−2n)1−2+1=99，解得：2n＝50，两边取对数得：nlg2＝lg50，则nlg2=lg 1002，∴nlg2＝2﹣lg2，∴n=2−lg2lg2≈2−0.30100.3010≈5.64≈6，故需要的天数约为6×3＝18天．故选：C．7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|＝5，|BF|＝3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x解：如图，过A，B分别y轴的垂线，垂足分别为C，D，设△AEF，△BEF的面积分别为S1，S2，且S1＝2S2，所以|AE|：|BE|＝2：1，∴|AC||BD|=5−p23−p2=2，解得p＝2．则抛物线C的方程为y2＝4x．故选：B．8．高8m和4m的两根旗杆笔直地竖立在水平地面上，且相距6m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：这是空间背景下的平面动点轨迹问题，如图，AB ＝8，CD ＝4，BD ＝6，由∠APB ＝∠CPD ，得PB AB=PD CD，即PB ＝2PD ．设P （x ，y ），由PB ＝2PD 得√x 2+y 2=2√x 2+(y −6)2，方程化简后为：x 2+y 2﹣16y +48＝0，即x 2+（y ﹣8）2＝16， 即所求轨迹是以（0，8）为圆心，半径为4的圆． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知双曲线C 的方程为y 216−x 29=1，则（ ）A ．双曲线C 的焦点坐标为（0，5），（0，﹣5）B ．双曲线C 的渐近线方程为y =±34xC ．双曲线C 的离心率为54D ．双曲线C 上的点到焦点的距离的最小值为1 解：∵双曲线C 的方程为y 216−x 29=1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝5，且焦点在y 轴上，∴双曲线C 的焦点坐标为（0，±5），∴A 选项正确； ∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±43x ，∴B 选项错误；∴双曲线C 的离心率为c a =54，∴C 选项正确；∴双曲线C 上的点到焦点的距离的最小值为c ﹣a ＝1，∴D 选项正确． 故选：ACD ．10．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0（m ∈R ），则（ ）A．直线l恒过定点（3，1）B．直线l被圆C截得的最长弦长为10C．当m＝2时，直线l被圆C截得的弦长最短D．当m＝0时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4解：直线l的方程（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，整理得（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）＝0．该方程对于任意实数m∈R成立，于是有{2x+y−7=0x+y−4=0，解得x＝3，y＝1，所以直线l恒过定点D（3，1）．所以A正确；圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，圆心C（1，2），半径为5，因为直线l恒经过圆C内的定点D，所以当直线经过圆心C时被截得的弦最长，它是圆的直径10；所以B正确．当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短．由C（1，2），D（3，1），可知k CD=−12，所以当直线l被圆C截得的弦最短时，直线l的斜率为2，于是有−2m+1m+1=2，解得m=−34．所以C不正确．当m＝0时，直线l：x+y﹣4＝0，圆心到直线的距离d=|1+2−4|√2=√22，圆的半径为5，所以圆C上恰有4个点到直线l的距离等于4．所以D不正确．故选：AB．11．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N∗，S n≥S3，则a6a5的取值可能是（）A．12B．32C．53D．94解：∵∀n∈N*，S n≥S3，∴{a1＜0d＜0，且{a3≤0a4≥0，即{a1+2d≤0a1+3d≥0，解得﹣3d≤a1≤﹣2d，若a6a5=12，则a1+5da1+4d=12，解得a1＝﹣6d，不满足条件，舍去，A错误；若a6a5=32，则a1+5da1+4d=32，解得a1＝﹣2d，满足条件，B正确；若a6a5=53，则a1+5da1+4d=53，解得a1=−52d，满足条件，C正确；若a6a5=94，则a1+5da1+4d=94，解得a1=−165d，不满足条件，D错误．故选：BC．12．已知正四面体ABCD 的棱长为2，点M ，N 分别为△ABC 与△ABD 的重心，P 为线段CN 上一点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线MN 与BD 所成角的大小为60°B ．点A 到直线MN 的距离为√113C ．直线MN 与平面ACD 间的距离为2√23D ．若BP ⊥平面ACD ，则三棱锥P ﹣ACD 外接球的表面积为27π2解：将正四面体A ﹣BCD 放入正方体DEBF ﹣GAHC 中，以点D 为原点，以DE ，DF ，DG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示：因为正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，所以正方体的棱长为√2，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D （0，0，0），A(√2，0，√2)，B(√2，√2，0)，C(0，√2，√2)， 因为点M ，N 分别为△ABC 和△ABD 的重心， 所以点M 的坐标为(2√23，2√23，2√23)，点N 的坐标为(2√23，√23，√23)， 对于A ，MN →=(0，−√23，−√23)，BD →=(−√2，−√2，0)，所以|cos ＜MN →，BD →＞|=2323×2=12，所以直线MN 与BD 所成角为60°，故A 正确； 对于B ，AM →=(−√23，2√23，−√23)，MN →的单位方向向量为e →=(0，−√22，−√22)，所以点A 到直线MN 的距离d =√AM →2−(AM →⋅e →)2=√113，故B 正确；对于C ，因为MN →=(0，−√23，−√23)， 设平面ACD 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，因为DA →=(√2，0，√2)，DC →=(0，√2，√2)， 所以{√2x +√2z =0√2y +√2z =0，取x ＝1，则n →=（1，1，﹣1），因为MN →⋅n →=0，且直线MN ⊄平面ACD ， 所以直线MN ∥平面ACD ，所以点N 到平面ACD 的距离就是直线MN 到平面ACD 的距离， 则点N 到平面ACD 的距离d =|DN →⋅n →||n →|=2√23√3=2√69， 即直线MN 到平面ACD 的距离为2√69，故C 错误； 对于D ，若BP ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以BP ⊥AC ， 设NP →=λNC →（0≤λ≤1），则NP →=(−2√23λ，2√23λ，2√23λ)， 则DP →=DN →+NP →=（2√23−2√23λ，√23+2√23λ，√23+2√23λ）， BP →=BN →+NP →=(−√23−2√23λ，−2√23+2√23λ，√23+2√23λ)， 所以BP →⋅AC →=(−√23−2√23λ，−2√23+2√23λ，√23+2√23λ)•(−√2，√2，0)=0， 即23+43λ−43+43λ=0，解得λ=14，则DP →=(√22，√22，√22)，设△ACD 的重心为Q ，则Q （√23，√23，2√23）， 所以PQ →=DQ →−DP →=（√23，√23，2√23）−(√22，√22，√22)=(−√26，−√26，√26)，又DA →=(√2，0，√2)，DC →=(0，√2，√2)， 则PQ →⋅DA →=0，PQ →⋅DC →=0， 所以PQ ⊥DA ，PQ ⊥DC ，又DA ∩DC ＝C ，DA ，DC ⊂平面ACD ， 所以PQ ⊥平面ACD ，则三棱锥P ﹣ACD 外接球的球心在直线PQ 上， 又因为点Q 为等边三角形ACD 的重心，所以点Q 为等边三角形ACD 的外心，△ACD 外接圆半径为|DQ →|=√23+23+89=2√33，设三棱锥P ﹣ACD 外接球的半径为R ，则R2＝（R﹣PQ）2+DQ2，即R2=(R−√66)2+43，解得R=3√64，所以三棱锥P﹣ACD外接球的表面积为4πR2=27π2，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a n+2＝3a n+1+4a n，则{a n}的公比为4．解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a n+2＝3a n+1+4a n，∴a n•q2＝3qa n+4a n，化为q2﹣3q﹣4＝0，q＞0，解得q＝4，故答案为：4．14．已知直线x+3y+6＝0与2x+my﹣3＝0互相平行，则这两条直线间的距离是3√104．解：由两条直线平行可得：21=m3=−36，解得m＝6．所以两条直线分别为：2x+6y+12＝0，可得两条直线的距离d=|−3−12|√2+6=3√104．故答案为：3√10 4．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水面下降0.5米后，水面宽22√5米．解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2，∴x2＝﹣2y，代入B（x0，﹣2.5）得x0=√5，故水面宽为2√5m ． 故答案为：2√5．16．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面ADD 1A 1上的动点，且PC 1∥平面AEF ，则点P 的轨迹长为√22 ，点P 到直线AF 的距离的最小值为 √23． 如图，连接BC 1，FD 1，AD 1．由正方体的性质易证四边形ABC 1D 1为矩形，因为点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，所以EF ∥BC 1∥AD 1，且EF =12BC 1=12AD 1，所以平面AEF 截正方体所得截面为梯形AEFD 1， 分别取AA 1，A 1D 1 的中点M ，N ，连接MN ，MB ，C 1N ，易证MB ∥D 1F ，因为MB ⊄平面AEFD 1，D 1F ⊂平面AEFD 1，所以MB ∥平面AEFD 1， 因为MN ∥AD 1，MN ⊄平面AEFD 1，AD 1⊂平面AEFD 1，所以MN ∥平面AEFD 1． 因为MB ∩MN ＝M ，MB ，MN ⊂平面MNC 1B ，所以平面MNC 1B ∥平面AEFD 1． 因为动点P 始终满足PC 1∥平面AEF ，所以PC 1⊂平面MNC 1B ，又点P 在侧面ADD 1A 1上，所以点P 的轨迹是线段MN ，轨迹长为√A 1N 2+A 1M 2=√22；如图，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则M(1，0，12)，N(12，0，1)，A （1，0，0），F(0，1，12)，则MN →=(−12，0，12)，AM →=(0，0，12)，AF →=(−1，1，12)，令MP →=tMN →(0≤t ≤1)，则MP →=(−12t ，0，12t)，因为AP →=AM →+MP →=(−12t ，0，1+t2)，所以AP →⋅AF →=1+3t4，AP →⋅AF→|AF →|=1+3t432=12t +16， 所以点P 到直线AF 的距离d =√|AP →|2−(AP →⋅AF →|AF →|)2=√14t 2+14(t +1)2−(12t +16)2=√14t 2+13t +29，因为函数f(t)=14t 2+13t +29=14(t +23)2+19，其图象的对称轴为直线t =−23，开口向上，在[−23，+∞)上单调递增，所以当t ∈[0，1]时，f(t)min =f(0)=29，所以点P 到直线AF 的距离的最小值为√29=√23．故答案为：√22；√23．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n}的前n项和公式为S n=2n−1(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝log2a2n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2n−1(n∈N∗)，∴当n＝1时，a1=S1=21−1=1，当n⩾2时，S n−1=2n−1−1，a n=S n−S n−1=2n−1，又由n＝1时，2n﹣1＝1，综上可得：a n=2n−1(n∈N∗)；（2）∵b n＝log2a2n＝log222n﹣1＝2n﹣1，∴{b n}是等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若经过点（1，4）的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．解：（1）函数y＝x2﹣4x+3的图象与坐标轴的交点分别为（1，0），（3，0），（0，3），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则{1+D+F=09+3D+F=09+3E+F=0，解得{D=−4E=−4F=3，故圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0；（2）由（1）可知，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，当直线l的斜率不存在，即x＝1时，y＝0或4，满足直线l被圆C截得的弦长为4，符合题意，当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），即kx﹣y+4﹣k＝0，由题意可知，√k2+1=√(√5)2−(42)2，解得k=−34，即直线l的方程为3x+4y﹣19＝0，综上所述，直线l的方程为x＝1或3x+4y﹣19＝0．19．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且AC1=2√3，如图2．（1）求证：平面ABC1⊥平面AC1D；（2）求平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值．（1）证明：∵△ADC1中，DC1＝AB＝4，AD＝2，AC1=2√3，∴AC12+AD2=DC12=16，可得∠DAC1＝90°，即DA⊥AC1，又∵DA⊥AB，AB、AC1是平面ABC1内的相交直线，∴DA⊥平面ABC1，∵DA⊂平面AC1D，∴平面ABC1⊥平面AC1D；（2）解：过点C1作C1E⊥BD于E，过E作EF⊥BD，交AB于点F，连接C1F，则∠C1EF是二面角C1﹣BD﹣A的平面角，Rt△BC1D中，C1E=C1B⋅C1DBD=2×4√4+2=4√55，BE=BC12BD=42√5=2√55．由Rt△ABD∽Rt△EBF，得EFAD=BEAB，所以EF=AD⋅BEAB=2×2√554=√55．因为C1E⊥BD、EF⊥BD，C1E∩EF＝E，所以BD⊥平面C1EF，可得BD⊥C1F，因为DA⊥平面ABC1，且C1F⊂平面ABC1，所以DA⊥C1F，结合BD、DA是平面ABD内的相交直线，可知C1F⊥平面ABD，所以C1F⊥EF，在Rt△C1EF中，cos∠C1EF=EFEC1=√554√55=14，即平面BC1D与平面ABD夹角的余弦值等于14．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O．（1）解：因为动圆C经过定点F（2，0），且与定直线l：x＝﹣2相切，所以圆心C到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x＝﹣2的距离相等，所以动圆的圆心C的轨迹是以定点F（2，0）为焦点，以x＝﹣2为准线的抛物线，所以动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x．（2）证明：经过点F的直线l的方程斜率不为0，设AB方程为x＝my+2，代入抛物线方程得y2﹣8my﹣16＝0，若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝﹣16，因为BP∥x轴，且点P在准线x＝﹣2上，所以点P的坐标为（﹣2，y2），即P（﹣2，−16y1），k OA=y1x1=y1y128=8y1，k OP=−16y1−2=8y1，所以k OA＝k OP，所以直线AP经过原点O．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中点．（1）求证：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，点P为线段CE上一点，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值．（1）证明：如图，连接AC ，交BD 于点N ，则N 为AC 的中点，连接MN ， 因为M 为棱AE 的中点，则MN ∥EC ，又MN ⊄面EFC ，EC ⊂面EFC ， 所以MN ∥平面EFC ， 又BF ∥DE ，BF ＝DE ，所以四边形BDEF 为平行四边形，所以BD ∥EF ，又BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，所以BD ∥平面EFC ，又MN ∩BD ＝N ，MN ，BD ⊂平面BMD ， 所以平面BMD ∥平面EFC ；（2）解：因为ED ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，则分别以DA 、DC 、DE 所在的直线为轴、y 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设ED ＝2a （a ＞0），则B （2，2，0），M （1，0，a ），C （0，2，0），F （2，2，2a ），E （0，0，2a ），A （2，0，0）， 所以BM →=(−1，−2，a)，CF →=(2，0，2a)，因为BM ⊥CF ，则﹣1×2+a ×2a ＝0，a ＝1或a ＝﹣1（舍）， 所以EA →=(2，0，−2)，AF →=(0，2，2)，设平面EAF 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m ⋅→EA →=0m →⋅AF →=0，即{2x −2z =02y +2z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，即m →=(1，−1，1)， 因为点P 为线段CE 上一点，设EP →=λEC →=λ（0，2，﹣2）（0≤λ≤1）， 所以P （0，2λ，2﹣2λ），PM →=(1，−2λ，2λ−1)， 设直线PM 与平面AEF 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜PM →，m →＞|=|PM →⋅m →||PM →|⋅|m →|=4λ√3×√1+4λ2+(2λ−1)2=6√(1λ−1)2+3≤63=2√23， 当且仅当λ＝1时等号成立，故（sin θ）max =2√23． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为Q(1，−12)，若椭圆C 上存在点M ，满足2OA →+3OB →=4OM →，求椭圆C 的方程． 解：（1）因为PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|＝7|PF 2|， 设直线PF 2的方程为x ＝c ，代入椭圆的方程，可得y P2=b 2（1−c 2a 2）=b4a2，可得|y P |=b 2a ，即|PF 2|=b2a ，所以|PF 1|=7b2a，由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|＝2a ， 即b 2a+7b 2a=2a ，可得a 2＝4b 2，即b =12a ，所以c 2＝a 2﹣b 2＝3b 2， 所以离心率e =c a =√3b 2b =√32； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 由（1）得a 2＝4b 2，设C ：x 24b 2+y 2b 2=1，即x 2+4y 2＝4b 2，由于A ，B 在椭圆上，则x 12+4y 12=4b 2，x 22+4y 22=4b 2①，由2OA →+3OB →=4OM →，得{2x 1+3x 2=4x 02y 1+3y 2=4y 0，可得x 0=2x 1+3x 24，y 0=2y 1+3y 24，由M 在椭圆上，则x 02+4y 02=4b 2，即(2x 1+3x 24)2+4(2y 1+3y 24)2=4b 2， 即4(x 12+4y 12)+12(x 1x 2+4y 1y 2)+9(x 22+4y 22)=64b 2②，将①代入②得；x 1x 2+4y 1y 2=b 2③，线段AB 的中点为Q(1，−12)，设AB ：y =k(x −1)−12，可知{y =k(x −1)−12x 2+y 2=4b2， 消去y 整理得（1+4k 2）x 2﹣（8k 2+4k ）x +4k 2+4k ﹣4b 2+1＝0， x 1+x 2=8k 2+4k 1+4k2=2×1⇒k =12，所以x 2﹣2x +2﹣2b 2＝0，其中Δ＞0，解得b 2＞12，所以x 1⋅x 2=2−2b 2，AB 方程为y =12x −1，又y 1y 2=(12x 1−1)(12x 2−1)=14x 1x 2−12(x 1+x 2)+1=1−b22④，将④代入③得：2−2b 2+4⋅1−b 22=b 2⇒b 2=45，经检验满足b 2＞12，所以椭圆C 的方程为5x 216+5y 24=1．。

2018-2019学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）下列计算正确的是（）A．＝±4B．＝﹣5C．＝10D．＝32．（3分）计算﹣的结果是（）A．25B．2C．D．53．（3分）为评估一种农作物的种植效果，选了8块地作试验田，这8块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x8，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x8的平均数B．x1，x2，…，x8的方差C．x1，x2，…，x8的中位数D．x1，x2，…，x8的众数4．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果两个角是直角，那么它们相等B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等C．如果一个四边形是菱形，那么它的四条边都相等D．如果一个四边形是矩形，那么它的对角线相等5．（3分）若平行四边形其中两个内角的度数之比为1：4，则其中较小的内角是（）A．30°B．36°C．45°D．60°6．（3分）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．7．（3分）若函数y＝kx+b是正比例函数，且y随x的增大而减小，则下列判断正确的是（）A．k＞0B．k＜0C．b＞0D．b＜08．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣19．（3分）如图，四边形ABCD是直角梯形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，EF，FG，GH，HE，则图中的平行四边形共有（）A．1个B．4个C．5个D．9个10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿CD翻折，使点A与BC边上的点E重合，则CD的长是（）A．3B．3C．D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，满分18分11．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是．12．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝3，则AC的长是．13．（3分）下表是某公司员工月收入的资料：月收入/元450001800010000550050003000人数1112510则这个公司员工月收入的中位数是元．14．（3分）某校为了了解该校学生在家做家务的情况，随机调査了50名学生，得到他们在一周内做家务所用时间的情况如下表所示时间/（小时）0≤t＜11≤t＜22≤t＜33≤t＜44≤t＜5人数8142062则可以估计该校学生平均每人在一周内做家务所用时间是小时．（同一组中的数据用这组数据的组中值作代表．）15．（3分）如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离AC与梯子底端B向外移的距离BD相等时，AC的长是m．16．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中．A（，0），B（0，5），点C在第一象限，且△ABC是等边三角形，则直线BC的解析式是．三、解答题：本大題共9小题，满分72分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步聚17．（6分）计算：（+）（﹣）+（﹣）÷18．（8分）如图，每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD的周长；（2）求∠BCD的大小．19．（8分）为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省跳水比赛，对他们的跳水技能进行考核．在相同条件下，各跳了10次，成绩（单位：分）如下甲82838685828387908488乙80828486908583818584（1）分别计算甲、乙两名运动员这10次跳水成绩的平均数和方差；（2）你认为选谁参加比赛更合适？并说明理由．20．（8分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．21．（8分）如图，▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．（1）求证：▱ABCD是矩形．（2）若AD＝3，∠COD＝60°，求▱ABCD的面积．22．（8分）已知点P（x、y）在第一象限，且x+y＝6，A（4，0），B（0，2），设△P AB的面积为S（1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数S的图象，并写出S的取值范围．23．（8分）A，B两地相距24km．甲7：00由A地出发骑自行车去B地，速度为12km/h；乙8：00由A地出发沿同一路线驾驶汽车去B地，速度为60km/h．（1）分别写出甲、乙两人的行程y关于时刻x的函数解析式；（2）乙能否在途中超过甲？并说明理由．24．（8分）如图所示，边长为1的正方形ABCD被划分成五个小矩形R1、R2、R3、R4、R5，其中四个外围小矩形R1、R2、R3、R4的面积都相等．设小矩形R1的水平边长为a（0＜a ＜1），竖直边长为b（0＜b＜a）．（1）求证：a+b＝1；（2）试问：中间小矩形R5是正方形吗？请说明理由．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴、y轴分別相交于A，B两点．（1）求∠OAB的大小；（2）如图，点P（a，b）在第二象限，M（a，0），N（0，b），直线PM，PN分别与线段AB相交于点E，F．当点P运动时，四边形PMON的面积为定值2．试判断以线段AE，EF，FB为边的三角形的形状，并说明理由．。

2018－2019学年度第二学期期终小学四年级数学科质量检测试卷一、填空。

（第3小题4分，其余每小题2分，共22分。

）1. 由9个一、8个十分之一和6个千分之一组成的数是（），读作（）。

2. 3.48扩大到原来的10倍是（），56.7缩小到原来的1 100是（）。

3. 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

5.03×0.65（）5.05×0.850×6.3（）0.03＋02.3×2.3（）2.3＋2.388.82×0.28（）8.882×2.8 4. 在三角形ABC中，∠A＝45°，∠B＝∠A，∠C＝（）°，这是一个（）三角形。

5. 在括号里填上合适的小数。

950平方厘米＝（）平方米8千克50克＝（）千克6. 按规律填一填：1.27，2.54，3.81，（），（）。

7. 一个滴水的水龙头一天要白白流掉y吨水，如果不及时修理，6月份会浪费掉（）吨水。

8. 一个两位小数取近似值后是4.8，这个数最大是（），最小是（）。

9. 一块长方形草地，长是9.5米，宽是2.3，小东沿着草地边沿走了5圈，他一共走了（）米。

10. 母亲节那天，淘气要帮助妈妈做家务，他擦地用了5分钟，收拾房间用了10分钟，用全自动洗衣机洗衣服用了20分钟，晾衣服用了5分钟，刷碗筷用了5分钟。

做完这些家务一共用了45分钟，可是妈妈却说不用这么长时间就可以做完这些事情，你能帮淘气安排一下吗？至少需要（）分钟就可以做完全部家务。

二、判断题（对的在后面括号里打“√”，错的打“×”。

每题1分，共6分）11. x＝3是方程。

（）12. 因为0.8＝0.80，所以它们表达的意义也相同。

（）13. 一条小河平均水深1.3米，一个身高1.46的小孩在河里游泳没有危险。

（）14. 一个数的小数点向右移动两位，这个数扩大到原来的2倍。

（）15. 凡是完全相同的平行四边形都能密铺。

2024-2025学年广东省广州市越秀区四年级（上）期中数学试卷一、计算题1．直接写出得数。

50×40＝23×30＝500×20＝290×4＝60×130＝18×80＝170×5＝30×14＝2．找规律，填得数。

14×6＝36×3＝75×48＝14×24＝36×12＝75×24＝14×36＝36×36＝25×48＝3．用竖式计算下面各题。

524×16＝190×60＝83×370＝二、填空题4．一辆汽车每小时行90千米，这个速度可以写成，读作。

5．王思每分钟走80米，这个速度可以写成，读作。

6．只有一组对边平行的四边形叫作。

7．平行四边形的对边。

8．下面的各组直线，属于互相平行的有，属于相交的有，属于互相垂直的有。

（填序号，每空1分）三、选择题（选择正确答案的字母编号填在括号里）9．如图，b∥c，从A点向直线c分别画了3条线段。

（1）这3条线段中，最短的是。

A.①B.②C.③（2）最短的这条线段是直线c的。

A.垂线B.平行线C.射线（3）如图，b∥c，图中一共有个梯形。

A.1B.2C.3（4）如图，b∥c，比较线段②和线段④的长度，是。

A.线段②长B.线段④长C.一样长10．一块长方形草地，原来的面积是300平方米。

现在不改变它的宽，把它的长延长到80米，则面积会变为1200平方米。

那么它原来的长是（）米。

A．15B．20C．30D．40四、操作题11．过A点，分别画出已知直线的垂线。

12．画出一个长3厘米，宽1厘米的长方形。

13．画一个边长2厘米的正方形。

14．在下面的方格图里分别画出一个平行四边形、等腰梯形和直角梯形．15．过A点，画出如图图形指定底上的高。

五、解决问题16．李明购买了下列商品，他一共花了多少元？商品上衣裤子围巾单价156元/件86元/条37元/条数量23601517．一箱奶糖138元，一箱巧克力355元，一箱饼干160元。