二元一次方程组的加减消元法

加 减 消 元 法：
消去一个未知数的方法是：如果两个方程中有一个未知数的系数 相等，那么把这两个方程相减（或相加）；否则，先把其中一个方 程乘以适当数，将所得方程与另一个方程相减（或相加），或者先 把两个方程分别乘以适当的数，再把所得到的方程相减（或相加）． 这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法简称加减法
所以
x 1
y
3
2x3(3)11
x 1
解方程组
3x 4y 8 ① 4x 2y 1 ②
能不能使两个方 程中x（或y）的 系数相等（或互
为相反数）
解 : ②×2，得 8x4y2 ③
③－ ，得
(8x4y)(3x4y)(2)8
5x10
解 得 x2 把 x2 代入①，得
3(2)4y8
x2
所以
y 7
x 3
y
2
试一试：用加减法解方程组
3x+4y= 16 ①
5x-6y= 33 ②
解： ①×3，②×2，得
9x+12y= 48 ③ 10x-12y= 66 ④
③+④，得
(9x+12y)+(10x-12y)=48+66 19x= 114
x=6
把x=6代入①，得 x= 6
所以
y= - 1
3×6+4y= 16 4y= -2 y= - 1 2
8.2 二元一次方程组的解法 加减消元法
3x 5y 21 ① 2x 5y 11 ②
①+②
4x 5y 3 ① 2x 5y 1 ②
①－②
下例方程组可以用加 减消元法来做吗？
3x+4y= 16 ①
5x-6y= 33 ② 分析：1、此方程组能否直接用加减法消

《二元一次方程组的解法——加减消元法》一、教学目标（1）知识目标：进一步了解加减消元法，并能够熟练地运用这种方法解较为复杂的二元一次方程组。

（2）能力目标：经历探索用“加减消元法”解二元一次方程组的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力和创新意识。

（3）情感目标：在自由探索与合作交流的过程中，不断让学生体验获得成功的喜悦，培养学生的合作精神，激发学生的学习热情，增强学生的自信心。

二、教学重点难点（1）教学重点：利用加减法解二元一次方程组（2）教学难点：二元一次方程组加减消元法的灵活应用三、教学方法启发引导法、演示法四、教学准备：小黑板五、教学过程（一）复习旧知解二元一次方程组的基本思想是什么？（消元）（二）探究新知1、情境导入（利用小黑板）王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，问：梨每千克的售价是多少元？凭借学生的经验估计他们会在列出二元一次方程组后马上想到用代入法解方程组，进而解决问题。

这时教师出示两种算法让学生加以比较，通过比较学生不难发现第二种算法是解决这个问题更简单的方法。

师：算法一是代入消元法，算法二就是今天我们将要学习的加减消元法。

复习加减消元法的定义：利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。

这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法2、例题讲评例①解方程组：⎩⎨⎧=+=+⑵y x ⑴y x 6231225 解：⑴－⑵，得2x=6x =3把x =3代入⑴得12235=+⨯y 解这个方程得y =23-∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==23-3y x 练习：指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正。

练习1．解方程组： ⎩⎨⎧-=-=-⑵y x ⑴y x 445447 解：⑴－⑵，得2x ＝4－4，x ＝0把x ＝0代入⑴得4407=-⨯y 解这个方程得1-=y∴原方程组的解为⎩⎨⎧-==1y 0x 例②解方程组：⎩⎨⎧-=-=+⑵y x ⑴y x 11522153 解：⑴﹢⑵，得5x ＝10x ＝2把x ＝2代入⑴得3×2+5y=21解这个方程得y=3∴原方程组的解为⎩⎨⎧==32y x 练习：指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正。

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解加减消元法的基本概念。加减消元法是一种解决二元一次方程组的方法，通过适当的加减运算，消去一个未知数，从而简化方程组，便于求解。它在数学和实际生活中有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用加减消元法解决实际问题，以及它如何帮助我们找到方程组的解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“加减消元法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
4.培养学生团队合作意识，提高沟通与交流能力，形成批判性思维和解决问题的策略。
5.引导学生感悟数学在实际问题中的应用价值，增强数学建模和数学应用的意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解加减消元法的原理及其在求解二元一次方程组中的应用。
-学会根据方程组的特点选择合适的消元顺序，将方程组化为简化行阶梯形式。
同时，我也发现部分学生在解题过程中，对于已学过的知识点的运用不够熟练。这说明，在平时的教学中，我们需要加强对学生知识巩固的训练。通过设计不同难度的练习题，让学生在反复练习中，提高对知识点的掌握程度。
8.2《二元一次方程组的解法-加减消元法》教案
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第8章《二元一次方程组》的8.2节，《二元一次方程组的解法-加减消元法》。教学内容主要包括以下部分：
1.理解加减消元法的概念和原理。

知2－讲
化简，得x＋y＝3 ③，①－②，
得－x＋y＝－1④，联立③和④，得 x+y 3,
③＋④，得2y＝2，解得y＝1. ③－④，得2x＝4，解得x＝2.
x+y 1,
所以原方程组的解是
x 2,

y

1.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
解轮换对称方程组的步骤： ①两式相加； ②两式相减； ③把新得的两个方程联立，解这个方程组．
知2－讲
x 6,

y

6.
（来自《点拨》）
例4
解方程组

x
2
y

x
3
y

6,
知2－讲
导引：先将方程组2化 x简 y， 再3x用加3 y减 2法4.解方程组．
解：将原方程组化简，得 5x+y 36,①
①×5，得25x＋5y＝180x.③ 5,
解法一:（消去x) 将①×2,得8x+2y=28.③ ②-③，得y= 2. 把y =2代入①，得4x + 2 = 14. x = 3.
知1－讲
所以
解法二: （消去y)x请 同3, 学们自己完成.

y

2.
（来自教材）
例3
解方程组：4x+2y 5, ① 5x 3y 9. ②
y

24.②
③－②，得26x＝156，解得x＝6.
把x＝6代入①，得y＝6.
所以原方程组的解是知2－讲源自x 6, y

6.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
每个二元一次方程组均可采用代入法或加减法求解，但是 在解题中我们应根据方程组的特点灵活选用最恰当的方法， 使计算过程简单，一般地，当化简后的方程组存在一个方 程的某个未知数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时， 用代入法；当两个方程中的某一个未知数系数的绝对值相 等或成倍数关系时，用加减法．

3x 45 8
解得 y 3 写解 解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 1Βιβλιοθήκη ②樂 见巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
5m 3n 2 ① 选择消 m
（2） 5m 3n 4 ② 将方程 ①+② 进行消元
樂 见
5x 4 y 23 ① 选择消 y
（3） 3x 2 y 15 ② 将方程②×2－① 进行消元
7m 3n 1 ① 选择消 n
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
方程①×4 方程②×3
归纳
6x 9y 33 ③
6x 5y 9
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
七年级下册
二元一次方程组的解 法
——加减消元法
樂 见
回顾思考
代入法解二元一次方程组一般步骤：
<1>变 ——用含有一个未知数的代数式表示另 一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b；
<2>代——把变形后的方程代入到另一个方程

8.2.2 二元一次方程组的解法---加减消元法教学目标1.知识与技能目标1）.理解加减消元法的含义。

2）.掌握用加减法解二元一次方程组。

2.过程与方法目标使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；3.情感态度与价值观目标体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心. 教学重难点重点：用“加减法“解二元一次方程组难点：用“加减法“解二元一次方程组教学过程一、复习引入：⎩⎨⎧=+=+16210y x y x1、用代入消元法解此方程组2、认真观察此方程组中各个未知数的系数有什么特点，并讨论还有没有更简单的方法解这个方程组3. 类比刚才的方法尝试解方程组⎩⎨⎧=+=+16210y x y x二、讲授新课--加减消元法1.通过上面问题你发现了什么？2.观察上述二元一次方程组的两个方程中，x 或y 的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.三、典型例题方法总结1、某一未知数的系数 时，用减法。

2、某一未知数的系数 时，用加法。

四、练习1、用加减消元法解下面的方程组 ⎩⎨⎧-=-=+② 253① 743b a b a2.已知二元一次方程组 则x+y= ，x-y=⎩⎨⎧=+=+② 42① 823y x y x ⎩⎨⎧=-=+② 12① 1132x y y x ⎩⎨⎧=+=+8y 2x 7y x 2⎩⎨⎧=---=+②574① 973y x y x五、能力提升思考：这个方程组能用加减消元法来解吗？课堂小结：（1）用加减法解二元一次方程组的思想（2）用加减法解二元一次方程组的条件（3）用加减法解二元一次方程组的步骤 作业布置：1、必做题：课本复习巩固第2题 2、选做题：用加减消元法解方程组 板书设计教学反思：32147x y x y +=-⎧⎨+=-⎩⎩⎨⎧=+=+② 1743①1232y x y x。

将 y 3 代入①，得
所以
x 1
y
3
2x 3(3) 11
x 1
解方程组
3x 4 y 8 ① 4x 2 y 1 ②
能不能使两个方 程中x（或y）旳 系数相等（或互
为相反数）
解 : ②×2，得 8x 4 y 2 ③
③－，得
(8x 4 y) (3x 4 y) (2) 8
y=2
用加减法先 消去未知数y 该怎样解？ 解得旳成果 与左面旳解 相同吗？
将y ＝2代入①得：
2x+3×2=12 x＝3
所以
x 3
y
2
试一试：用加减法解方程组
3x+4y= 16 ①
5x-6y= 33 ②
解： ①×3，②×2，得
9x+12y= 48 ③ 10x-12y= 66 ④
③+④，得
(9x+12y)+(10x-12y)=48+66 19x= 114
解：由①×6，得 2x+3y=4 ③
由②×4，得
2x - y=8 ④
将y= -解1代得入: ②x ，72
所以原方程组
旳解是
x
7 2
y 1
已知
x
y
4
与
2
x 2
都 y是方5程
y=kx+b旳解，求k、b旳值。
5x 10
解 得 x 2 把 x 2 代入①，得
3 (2) 4 y 8
x 2
所以
y7
2
解得
y7 2
用加减法解方程组:
2x 3y 12 ① 3x 4 y 17 ②
解：①×3，②×2得：
6x+9y=36 ③ 6x+8y=34 ④ ③－④得:

小结
上面这些方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？ 同一个未知数的系数相同或互为相反数 特点: 或成整数倍 使得同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元
一元
基本思路: 加减消元: 二元
主要步骤： 变形 加减 求解 写解
分别求出两个未知数的值 写出原方程组的解
例:用加减法解方程组:
①
2x+3y=-1 ②
由 ②－①得:8y＝－8
由①+②得: 5x=20
当同一个未知数的系数互为相反数时，用 加法；
当同一个未知数的系数相同时，用减法。
一.填空题：
2x+7y=17
1.已知方程组 两个方程 4x-7y=6 分别相加 就可以消去未知数 y 只要两边 23x-9y=18
2.已知方程组
两个方程
2
知识的升华
a+2b=8 1、已知a、b满足方程组 2a+b=7 则a+b= 5
2、选做题：当m为何值时,关于x、y的
方程组{
2x+3y=m
3x+5y=m+2
得的解的和为12?
练一练
用适当方法解下列方程组.
4s+3t=5
5x-6y=9 7x-4y=-5
2s-t=-5
二元一次方程组解法有 代入法、加减法 .
③+④得 19x=114 x=6
把x=6代入① 得: y＝－
所以原方程组的解是
1 2
2
把y =
1 2
代入① 得: x＝６
x 6 y

1 2

所以这个方程组的解是
x6 y1 2

y=kx+b的解，求k、b的值。
①
3x 2 y 6 ① 4 5x 2 y 64 ②
所以
x 2 y 7
所以
35 x 4 y 81 8
3x 4 y 11 5 4 x 5 y 37
所以
① ②
2 x 5 y 24 6 5x 2 y 31
能不能使两个方 程中x（或y）的 系数相等（或互 为相反数）
2 ③
(8 x 4 y ) (3x 4 y ) ( 2) 8
解 得
5x 10
把
x 2 x 2 代入①，得
3 ( 2) 4 y 8
解 得
所以

x 2 7 y.2 二元一次方程组的解法 加减消元法
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
① + ②
① ②
4x 5 y 3 2 x 5 y 1
① － ②
① ②
如何较简便地解下述二元一次方程组？
要是①、 2 x 3 y 11 ① ②两式中，x 6x 5 y 9 ② 的系数相等 或者互为相 3，得 反数就好办 解6①× x 9 y 33③ 了！ ②－③，得 把①式 的两边乘 以3，不就 行了吗！
所以
x 3 y 2
试一试：用加减法解方程组
3x+4y= 16 ① 5x-6y= 33 ②
解： ①×3，②×2，得 9x+12y= 48 ③
10x-12y= 66
④
③+④，得 (9x+12y)+(10x-12y)=48+66 19x= 114 x=6 把x=6代入①，得 3×6+4y= 16 4y= -2 x= 6 1 所以 y= 1 2 y= -

是同类项，则
x y
1
= ___________.
深探·自学
如何得结论呢！
y
已知 x ，
x 2
已知
y 1
2 x y 4
满足方程组
x 2 y 5
mx y 3
是方程组
x ny 6
，则
x y
3
=___________.
4
的解，则 mn = ___________.
x 1

y 2
∴这个方程组的解为
x 1

y 2
总结：①某个未知数的系数互为
相反数，用加法消元.
初探·自学
习惯指标 ★积极参与课堂合作
学科指标 ★解二元一次方程组
联系上面的解法，想一想怎么解方程组
2 x y 4

x y 1
解：由①-②得， = 5 .
且 (2b a)
关于， 的二元一次方程组为
2a 6b 4

6a 2b 8
2022
(2 1) 2022 1 .
2.
Ax＋By＝2，
甲、乙两人同解方程组
甲正确解得
Cx－3y＝－2.
x＝1，

乙因抄错
y＝－1.
x＝2，
C，解得
求
y＝－6.
习 惯 指 标 ★做好课前准备
第2课时
二元一次方程组的解法（2）
——加减消元法1
万物皆有裂痕，那是光进来的地方.
习惯指标 ★积极参与课堂合作
初探·自学
解二元一次方程组：
2 x y 4

x y 1

2019/5/31
作业：
书上 P96 练习一 P98 第三题
2019/5/31
8.2 二元一次方程组的解法
——加减消元法
2019/5/31
执教者：潘婷 绵竹中学初中部
课堂练习1
用加减消元法解下列方程组
（1）
mn5 ① 2m n 4 ②
（2） x 2 y 1 ① x 3y 6 ②
例二 解方程组
3x y 5 ① 2x 3y 7 ②
方法小结：一个方程组的两个方程中，如果同一个未知
数的系数绝对值有倍分关系时，可以将一个方程两边扩大 或者缩小一定倍数，使同一个未知数系数的绝对值相等， 再进行加减消元。
2019/5/31
课堂练习2 用加减消元法解下列方程组
2s t 7 ① 3s 2t 0 ②
2019/5/31
例三 y 33 ②
一个方程组的两个方程中如果同一个未知数的系数绝对值有倍分关系时可以将一个方程两边扩大或者缩小一定倍数使同一个未知数系数的绝对值相等再进行加减消元
2019/5/31
例一 解方程组
3x 5y 21
2x 5y 11
2019/5/31
x y 10
x 2 y 16
2019/5/31
方法小结：一个方程组中的两个方程，如果同一个
未知数的系数没有任何关系时，可以找他们系数绝 对值的最小公倍数，使系数绝对值相等，再进行加 减消元。
2019/5/31
课堂练习3 用加减消元法解下列方程组
4x 3y 14 ① 3x 2 y 22 ②
2019/5/31
利用加减消元法解二元一次方程组的步骤是：
（1）将原方程组的两个方程化为有一个未知数的系数绝对值相 等的两个方程。 （2）把这两个方程相加或者相减，消去一个未知数。 （3）解得到的一元一次方程。 （4）将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求 另一个未知数的值。 （5）确定原方程的解。

二元一次方程组的加减消元法加减消元法是指当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或者相等时，把这两个方程的的两边分别进行相加或相减运算，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。

加减消元法解二元一次方程组的解题步骤：
一、变形：根据绝对值较小的未知数（相同未知数）的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数，使两个方程的某一个未知数的系数相等或互为相反数，然后通过加减法消去这个未知数。

特别提醒：选择消元对象时最好选择未知数的系数互为相反数、相等、倍数关系或者是互为质数的未知数作为消元对象。

二、加减：两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程直接相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。

特别注意：两个方程相加减时，一定要把两个方程等号两边分别相加减，且要注意各项符号的变化。

三、求解：解消元后的一元一次方程，求出另外一个未知数的值。

四、回代：把求得未知数的值，回代到方程组中较简单的一个方程，从而求出另外一个未知数的值。

五、写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。