二元一次方程的解法(代入消元法)

解这个方程，得 y=20
把y=20代入③，得 x=28
所以这个方程组的解是
x 28

y 20
答：篮球队有28支、排球队有20支参赛.
=1−
1.用代入法解方程组
时，代入正确的是(
)
− 2 = 4
C
A.x-2-x=4
B.x-2-2x=4
2.用代入法解方程组
2
A.3x=2×
3
所以原方程组的解是
y 105
转化
x+(x+10)=200
x=95
y=105
求方程组解的过程叫做解方程组.
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出
来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.
这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未
知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
第二步：把此式子代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程；
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
第四步：回代求出另一个未知数的值；

y 3x 1 0
解：由② ，得 y=3x+1
①
②
③
把③代入①，得 2x+3x+1=0
解这个方程，得 x=1
把x=1代入③，得 y=4
x 1
所以这个方程组的解是
y 4
本题还有其它
做法吗？
例2.用代入法解方程组

消元——解二元一次方程组（第1课时）——代入消元法一、教学目标：1、能较熟练地用代入消元法解二元一次方程组；2、理解解二元一次方程组时的“消元”思想，和“化未知为已知、化复杂为简单”的化归思想；3、引导学生自由讨论，养成检查的习惯，培养联想旧知识解决新知识的能力。

二、教学重、难点：1、用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤；2、解二元一次方程组过程中“二元”转化为“一元”的消元思想。

三、教学方法：讨论法、归纳法四、教学工具：教案、多媒体五、教学过程：1、知识回顾：什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？2、新课讲解：问题一：有一个矩形草坪，周长是36米，已知长是宽的两倍，求长、宽各多少米？如果用之前一元一次方程的知识，我们可以设宽为x米，而长为2x米，由题目已知可得一元一次方程：2（2x+x）=36按解一元一次方程的步骤，解得x=6，所以草坪的长为12米，宽为6米。

但是，如果用二元一次方程组的知识，我们可以假设长为y米，宽为x米，由题目两个等量关系，我们可以得到一个二元一次方程组：y=2x （1）2（x+y）=36 （2）讨论一：应该怎么解这个二元一次方程组？它跟上面的一元一次方程有什么关系？对比上面的一元一次方程和二元一次方程组，我们发现，如果把二元一次方程组里的方程（1）代入到方程（2）中，我们就得到了一模一样的一元一次方程： 2（2x+x ）=36按照一元一次方程的解法，我们解得x=6，再把x=6代入到方程（1）中，得到y=12。

经过检验， 就是原二元一次方程组的解。

这样，我们运用了代入、 消元的方法，就把一个二元一次方程组解出来了。

讨论二：在解上面的二元一次方程组的过程中，非常关键的一步是把方程（1）代入到方程（2）中，把二元一次方程组化归为一元一次方程，从而把复杂的问题化为简单化。

那么这种代入、消元的方法能否适合其它二元一次方程组呢？问题二：一个班级总人数有52人，需要佩戴眼镜的有20人，其中男生x 人，女生y 人，又有3x+2y=52，求x ，y 各为多少？讲解：根据题目的两个等量关系，我们可以得到一个二元一次方程组：首先，我们可以把方程（1）进行移项变换，得到：y=20-x （3）接着，把方程（3）代入到方程（2），得到：3x+2（20-x ）=52这样，就把二元一次方程组化归为一元一次方程，解这个一元一次方程，得到x=12。

8.2消元一一解二元一次方程组
第1课时代入消元法
教学目标：
1.用代入法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
3.会用二元一次方程组解决实际问题.
教学重点：
用代入法解二元一次方程组.
教学难点：
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学过程：
2x+y=40.②
满足方程①的解有:
X= 21,]x= 20,X= 19,}x= 18,jx = 17, .y= 1；.y= 2 ；y = 3； ly=4 ；ly= 5；
满足方程②的解有:
X=19,x=18,X=17,x=16,
y=2;y=4;y=6;7= 8;
-y=4.
,有没有简单一点的方法呢？
y=22-X,由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场 用(22—X)来代换，即得2x+(22—x)=40.由此一来，二元就化
种产品各多少瓶？
分析：问题中包含两个条件：
大瓶数：小瓶数=2:5,
大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量.
解：设这些消毒液应该分装X大瓶、y小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得
,5x=2y,
i500x+250y=22500000.②
由①，得
y=lx.
把③代入②，得
5
500x+250X尹=22500000.
解这个方程，得
x=20000.
把x=20000代入③,得
y=50000.
所以这个方程组的解是
x=20000,
Dy= 50000.
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.

备注
课题引入
复习：关于方程 是（ ）方程。你能用含 的代数式表示 吗？用含 的代数式表示 呢？
教学步骤
及
主要内容
1、学习目标：
（1）体会未知数由“二元”变成“一元”的消元思想；
（2）理解、运用代入消元法解二元一次方程组。
2、自习指导;
(1)认真阅读教材P6-8，体会消元思想，理解什么是代入消元法(有疑问可以举手）；
板书设计
代入消元法
1、概念 二、例1、2 三、练习
1.2.1代入消元法
第（ 1 ）课时
教学目标
1.了解解方程组的基本思想是消元。
2.了解代入法是消元的一种方法。
3.会用代入法解二元一次方程组。
4.培养思维的灵活性，增强学好数学的信心。
教学重点
用代入法解二元一次方程组消元过程。
教学难点
灵活消元使计算简便。
学习方法
小组合作，先学后教。
教具准备
课件
教学过程设计
例1：解方程组
例2：解方程组
4、讨论点拨：
（1）互换练习本，评分；
（2）我们来找“茬”
（3）归纳步骤：变式→式代入，求解→值代入，求值→总结。
课堂练习
必做题：P8.练习题。
用代入法解下列二元一次方程组：
（1） （2）
（3） （4）
选做题：解方程组
小结与作业
课堂小结
本节课学习了哪些基本内容？
本课作业
必做题：课本P12A组第1题；选ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题：P13B组第4题1小题。
(2)注意例1、2的解题格式和步骤，思考是如何进行代入消元的，对于例题还有不同的解法吗？
(3)6分钟后，看谁能用自己的话解说“消元”和“代入消元法”，并能仿照例题格式，尝试用另一种方法解出例题2。

7．2二元一次方程组的解法（代入消元法）教学设计一、教学内容：初中数学华东师大2011课标版七年级下册第七章第二节二元一次方程组的解法。

二、教学目标1、使学生通过探求二元一次方程组的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而初步体会消元的思想；2、了解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。

三、教学重难点：重点：用代入消元法解二元一次方程组的解题步骤；难点：如何正确消元。

四、教具、学具准备：教具：课件、电脑投影、导学案等；学具：签字笔、草稿纸、课本等。

五、设计理念这一堂课的学习目标是“探索二元一次方程组的解法”，通过学生身边熟悉的事情，建构“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的“最近发展区”，愉悦地接受教学活动．这是我备课时的设计意图。

六、教学流程（一）创设情境上课一开始，我就把学生学过的、熟悉的问题提出来，引导学生解答，说：“同学们，在生活中，我们时常遇到这样的问题，你能用前面我们学过的知识解决这个问题吗？问题1：小明到商店购买签字笔和作业本，签字笔价格是作业本价格的2倍，小明购买一支笔和一个作业本共花了6元钱，请你算一算签字笔和作业本的价格分别是多少元？学生活动：独立完成问题1的解答教师活动：通过巡视，发现问题的解答有可能会出现两种，一种是列一元一次方程解，另一种是列二元一次方程解，分别让学生将两种解法写在黑板上。

师：“同学们，黑板上两位同学用了不同的方法来解决这个问题，你认为哪一种方法是正确的呢？那我想请一位同学来说一说这两种方法分别是用到了前面我们学过的什么知识？那列出来的这个二元一次方程组和这个一元一次方程有没有什么联系呢，我们又该如何求解呢？这就是今天我们要一起探讨的内容，请同学们翻开书27页，并熟悉本节课的学习目标。

设计意图：当学生看到自己所学的知识与“现实世界”息息相关时，学习通常会更主动。

“与其拉马喝水，不如让它口渴”。

二元一次方程的解法(代入消元法+加减消元法)二元一次方程的解法有哪些1、代入消元法通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。

求解步骤：1) 从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来;2) 把1)中所得的新方程代入另一个方程，消去一个未知数;3) 解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值4) 把所求得的一个未知数的值代入1)中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。

2、加减消元法两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求解方法叫做加减消元法。

求解步骤：1) 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使相乘后一个未知数的系数与另一方程中该未知数的系数互为相反数或相等;2) 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;3) 解这个一元一次方程;4) 将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。

二元一次方程的定义是什么二元一次方程的定义为：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解,若加条件限定有有限个解。

二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解,有时有无数个解。

如一次函数中的平行。

二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0其中a、b 不为零。

这就是二元一次方程的定义。

二元一次方程求根公式：ax^2+bx+c=0。

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

所有二元一次方程都可化为ax+by+c=0(a、b≠0)的一般式与ax+by=c(a、b≠0)的标准式，否则不为二元一次方程。

二元一次方程的实际应用二元一次方程组实际应用题中行程问题的种类较多，比如相遇问题、追及问题、流水行船问题、顺风逆风问题、火车过桥问题等，解这类问题抓住路程、时间、速度三者之间的关系：路程=速度×时间。

二元一次方程的解法二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

1.消元解法“消元”是解二元一次方程组的基本思路。

所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。

这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。

代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.。

这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。

（2）代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。

2．加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。

二元一次方程的解法在数学中，二元一次方程是由两个未知数的一次方程组成的方程。

解二元一次方程需要使用代数的基本原理和运算法则。

本文将介绍解二元一次方程的几种常见方法，包括代入法、消元法和等式相减法。

1. 代入法代入法是解二元一次方程最常用的方法之一。

它的基本思想是将一个方程的一个未知数表示成另一个方程的未知数的表达式，然后代入到另一个方程中求解。

假设有如下二元一次方程组：方程1：ax + by = c方程2：dx + ey = f首先，将方程1或方程2中的一个未知数表示成另一个方程的未知数的表达式，例如假设将方程1中的x表示成方程2的未知数y的表达式，得到：x = (f - ey) / d将上式代入方程1中，得到：a * ((f - ey) / d) + by = c通过整理化简，可以得到一个只含有一个未知数的一次方程：(af - aey) / d + by = c将上式整理为标准形式，得到：(by + aey) / d = (cd - af) / d进一步整理，得到：(1 + ae/d) * y = (cd - af) / d最后，求解这个一次方程，即可得到y的值。

将y的值代入方程1或方程2中，即可求得x的值。

2. 消元法消元法是解二元一次方程的另一种常用方法。

它的基本思想是通过适当的变换，使得方程组中的一个未知数的系数相等或互为相反数，从而消去这个未知数，然后得到只含有一个未知数的方程，进而求解。

依然以方程1和方程2为例，我们可以通过变换，使得方程1和方程2的y的系数相等或互为相反数。

具体步骤如下：将方程1乘以e，将方程2乘以b，得到新的方程组：方程1：aex + bey = ce方程2：bdx + bey = bf然后，将方程2减去方程1，得到：(bdx - aex) + (bey - bey) = bf - ce化简上式，得到一个只含有一个未知数的方程：(bd - ae) * x = bf - ce最后，求解这个一次方程，即可得到x的值。

m = 1 +2n 1 2 2 5 m =5 n=2
即m 的值是5，n 的值是4.
能力检测
2、如果∣y + 3x - 2∣+∣5x + 2y -2∣= 0，求 x 、y 的值. 解：由题意知, y + 3x – 2 = 0 ① 5x + 2y – 2 = 0 ② 由①得：y = 2 – 3x ③ 把③代入得： 5x + 2（2 – 3x）- 2 = 0 5x + 4 – 6x – 2 = 0 5x – 6x = 2 - 4 -x = -2 把x = 2 代入③，得： y= 2 - 3×2 y= -4
例1.解方程组
解:
y = x + 10
①
x + y = 200 ②
把①代入②,得 x +( x +10) = 200 2x = 190
x = 95
把x = 95代入①,得
y = 95+10
y = 105
∴方程组的解是 x = 95 y = 105
2y – 3x = 1 ① 分析 例2 解方程组 x=y-1 ② 2 y – 3 (y-1) x =1
∴
x=2 y = -4
即x 的值是2，y 的值是-4.
x=2
知识梳理
二元一次方程组的解法
消 元 一元一次方程
转化
基本思路:
二元一次方程组
一般步骤： 变形
代入
求解
写出
变形技巧：选择系数比较简单的方程进行变形。
布置作业 1.课本P29 练习1、2、3 、4
2.练习册P15-16
y= – 1
把y= – 1代入③，得 x = 3+(-1)=2

三、教学方法
本节课结合七年级学生的思维特征，采 用启发式、引导发现法、合作探究法、师生 互动等教学方法，充分发挥学生的主动性、 积极性，并利用上台板演、同桌互改等方式 达到会用代入“消元”法解二元一次方程的 目的。
（一）、创设情境，导入新课 （二）、师生互动，探求新知
（三）、应用新知，体验成功
（四）、课堂小结，深化目标
例1：
{
3x=1-2y
①
5x-4y=31 ②
1 2y 3
解：由①得：
X= ③ 把③代入②，得： 5× 1 32 y -4y=31 解这个一元一次方程，得： y=-4
把y=-4代入③得：
x=3
所以这个方程组的解是：
1、题解步骤
{
x=3 y=-4
2、结果一般把x的值 写在上面，y 的值写在 下面
②
{
x=-2y x+y=15 3m+2n=16 2m+3n=-1
③
x+2y=9 3x-y=-1
④
{
（四）课堂小结，深化目标
1.俗话说:授之以鱼,不如授之以渔。提问：我们这节课 学了什么？让同学们积极回答，在同学们回答之后做出 总结。学了代入消元的定义： 将方程组中的一个方程 的某一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出 来，然后将它代入到另一个方程中，化为一元一次方程， 这就是代入消元法，简称代入法 2.代入消元法的解题思路
我来做一做
{
y-1=3(x-2) y+4=2(x+1)
{
3a+b=4 2b+4a=5
代入消元法的定义：
将方程组中的一个方程的某一个未知数，用含有 另一个未知数的代数式表示出来，然后将它代入到 另一个方程中，化为一元一次方程，这就是代入消 元法，简称代入法。

（4）
4(x y 1) 3(1 y) 2,
x 2
y 3
2.
知识梳理
• 这节课我们学习了 什么知识?
1、二元一次方程组
代入消元法 一元一次方程
转化
2、代入消元法的一般步骤：
变 代 求写
3、思想方法：转化思想、消元思想、 1 方程（组）思想.
作业
教材第97页第１、2题
例题分析:
例1 解方程组
x –y = 3 ① 3x -8 y = 14 ②
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
解：由①得：x = 3+ y ③ 变
1、将方程组里的一个方程变 形，用含有一个未知数的式子
把③代入②得：
表示另一个未知数；
3（3+y）– 8y= 14 代
解之得：
2、用这个式子代替另一个方 程中相应的未知数，得到一个 一元一次方程，求得一个未知
练习：98面，第1题。
谈谈过程:
解方程组
X+Y=22 ① 2X+Y=40 ②
解：由①得 y = 22 – x. ③
把③代入②得
2x + (22-x) =40.
解之得 x= 18.
把x = 18代入③，得
y =4
∴方程组的解是
x = 18 y=4
归纳 上面的解方程组的基本思路是什
么？基本步骤有哪些？
8.2 消元
——用代入法解二元一次方程组 （第1课时）
问题情境
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场 得2分，负一场得1分，某队在全部22场比赛中得 到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？ 你
会用你学过的一元一次方程解决这个问题吗？

二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩. 【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩①② 将①代入②得：3(5)41y y ++=③去括号，移项，合并，系数化1得：2y =- ④把④代入①得：3x =∴ 原方程组的解为：32x y =⎧⎨=-⎩【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：【变式】若方程y ＝1－x 的解也是方程3x ＋2y ＝5的解，则x ＝____，y ＝____.【答案】3，﹣ 2.2. 用代入法解二元一次方程组：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x 的系数为1，所以把方程②中的x 用y 来表示，再代入①中即可.【答案与解析】解：由②得x ＝5-y ③将③代入①得5(5-y )-2y -4＝0，解得：y ＝3，把y ＝3代入③，得x ＝5-y ＝5-3＝2所以原方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩． 【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例3】【变式1】与方程组2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩有完全相同的解的是（ ） A ．x+y －2=0B ．x+2y=0C ．(x+y －2)(x+2y)=0D ．22(2)0x y x y +-++=【答案】D【变式2】若∣x－2y ＋1∣＋(x ＋y －5)2＝0，则 x= ， y= .【答案】3,2类型二、由解确定方程组中的相关量3. 方程组43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解x y 与的值相等，则k 的值是 .【思路点拨】将x y =代入上式，可得,x y 的值，再代入下面的方程可得k 值.【答案】1【解析】解：43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩①② 将x y =代入②得1x y ==，再代入①得1k =.【总结升华】一般地，先将k 看作常数，解关于x ，y 的二元一次方程组再令x=m 或y=m ，得到关于m 的方程，解方程即可．【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例8（4）】举一反三：【变式】若方程组231(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨-++=⎩的解x 与y 相等，求k.【答案】将x y =代入上式得15x y ==，再代入下式得10k =. 4. 若方程组ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩的解为14x y =⎧⎨=⎩，试求a b 、的值. 【答案与解析】解：将14x y =⎧⎨=⎩代入得a+4b=11(5-a)-2b 4+14=0⎧⎨⨯⎩，即a+4b=11a+8b=19⎧⎨⎩， 解得a=3b=2⎧⎨⎩. 【总结升华】将已知解代入原方程组得关于a b 、的方程组，再解关于a b 、方程组得a b 、的值.二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．用代入消元法解方程组323211x y x y -=⎧⎨+=⎩①②代入消元法正确的是（ ）.A ．由①②得y ＝3x+2，代入②，得3x ＝11-2(3x+2)B ．由②得1123y x -=，代入①，得11231123y y -=- C ．由①得23y x -=，代入②，得2-y ＝11-2y D ．由②得3x ＝11-2y ，代入①，得11-2y -y ＝22．用代入法解方程组34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是（ ）. A ．由①得243y x -= B ．由①得234x y -= C ．由②得52y x += D ．由②得y ＝2x -53．对于方程3x -2y -1＝0，用含y 的代数式表示x ，应是（ ）.A ．1(31)2y x =-B ．312x y +=C ．1(21)3x y =-D ．213y x += 4．已知x+3y ＝0，则3232y x y x +-的值为（ ）.A．13B．13-C．3 D．-35.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( ) .A. B. C. D.6．已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解．则a-b的值为（）.A．-1 B．1 C．2 D．3 二、填空题7．解方程组523,61,x yx y+=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．8．如果-x+3y＝5，那么7+x-3y＝________．9．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．10.若方程3x-13y＝12的解也是x-3y＝2的解，则x＝________，y＝_______．11.小刚解出了方程组332x yx y-=⎧⎨+=⎩▲的解为4xy=⎧⎨=⎩▉，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则▲＝________，▇＝________.12.三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现在的年龄是________岁，儿子现在的年龄是________岁．三、解答题13．用代入法解下列方程组：(1)52233x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②(2)233511x yx y+=⎧⎨-=⎩①②14．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．解方程组123761x y x y -=⎧⎨+=⎩①②解：由②，得y ＝1-6x ③将③代入②，得6x+(1-6x )＝1（由于x 消元，无法继续）15．m 为何值时，方程组522312x y m x y m -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数？ 【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；2. 【答案】D ；3. 【答案】D ；【解析】移项，得321x y =+，系数化1得213y x +=. 4. 【答案】B ；【解析】由x+3y ＝0得3y ＝﹣x ，代入32213223y x x x y x x x +-+==----. 5. 【答案】D ；6. 【答案】A ；【解析】将21x y =⎧⎨=⎩代入71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩得2721a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩. 二、填空题7. 【答案】②； x ， y ；8. 【答案】2；【解析】由-x+3y ＝5得x －3y ＝﹣5，代入7+x -3y=7+（﹣5）＝2.9. 【答案】-5；【解析】由525x y x y =+⎧⎨-=⎩解得05x y =⎧⎨=-⎩，代入 x+y -a ＝0，得a ＝-5.10．【答案】﹣2.5，﹣1.5；【解析】联立方程组3131232x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得 2.51.5x y =-⎧⎨=-⎩. 11.【答案】17，9；【解析】将4x =代入33x y -=得9y =，即▇＝9，再将4x =，9y =代入2x y +=▲，得▲＝17.12.【答案】51，15；【解析】设父亲现在的年龄是x 岁，儿子现在的年龄是y ．由题意得：34(3)33(3)x y x y -=-⎧⎨+=+⎩，解得5115x y =⎧⎨=⎩.三、解答题13.【解析】解： (1)由②得x＝3-3y③，将③代入①得，5(3-3y)-2y＝-2，解得y＝1，将y＝1代入③得x＝0，故1 xy=⎧⎨=⎩．(2)由①得y＝3-2x ③，将③代入②得，3x-5(3-2x)＝11，解得x＝2，将x＝2代入③得y＝-1，故21 xy=⎧⎨=-⎩．14.【解析】解：无法继续的原因是变形所得的③应该代入①，不可代入②．由②，得y＝1-6x ③，将③代入①，得12x-3(1-6x)＝7．解得13x=，将13x=代入③，得y＝-1．所以原方程组的解为131xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩．15.【解析】解：由题意得x＝-y，把x＝-y代入方程得522312y y my y m--=⎧⎨-+=-⎩，整理得312m yy m=-⎧⎨=-⎩①②．把②代入①，得m＝9．所以m为9时，原方程组的解互为相反数．。

二元一次方程的解法一、引言二元一次方程是数学中的基本概念之一，它可以用来解决一些实际问题，如线性模型、经济学中的供求关系等。

本文将介绍二元一次方程的解法，并提供一些实际应用的示例。

二、方法一：代入法二元一次方程的代入法是一种常见而简单的解法。

首先，在其中一个方程中将其中一个变量表示为另一个变量的函数，然后将其代入另一个方程，从而得到单变量的一元方程。

例如，我们考虑以下二元一次方程组：方程一：x + y = 7方程二：2x - y = 1我们可以将方程一改写为x = 7 - y，并代入方程二：2(7 - y) - y = 1通过展开和整理，我们得到：14 - 2y - y = 114 - 3y = 1继续整理，得到：-3y = 1 - 14-3y = -13y = -13 / -3y = 13/3将y的值代入方程一中，我们得到：x + 13/3 = 7x = 7 - 13/3x = 12/3 - 13/3x = -1/3所以，该二元一次方程组的解为x = -1/3，y = 13/3。

三、方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。

通过合理的加减运算，将方程组中的一个变量消去，从而得到只含有一个变量的一元二次方程。

继续以前面的例子为基础，我们通过消元法解决该方程组。

我们可以将方程二的系数乘以2，得到：方程一：x + y = 7方程二：4x - 2y = 2然后我们将方程一乘以2，并与方程二相减，从而消去y变量：2(x + y) - (4x - 2y) = 2(7) - 22x + 2y - 4x + 2y = 14 - 2-2x + 4y = 12整理后得到：4y - 2x = 12接下来，我们将这个结果与方程一相加，以消去x变量：(4y - 2x) + (x + y) = 12 + 74y - 2x + x + y = 19整理后得到：5y - x = 19现在，我们得到了一个只含有一个变量的方程。

初一数学教学设计消元——二元一次方程组的解法（代入消元法）教学设计思路在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。

讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。

知识目标通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法。

根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”解方程组；会借助二元一次方程组解简单的实际问题；提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。

能力目标通过大量练习来学习和巩固这种解二元一次方程组的方法。

情感目标体会解二元一次方程组中的“消元” 思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程。

由此感受“划归”思想的广泛应用。

教学重点难点疑点及解决办法重点是用代入法解二元一次方程组。

难点是代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法）解二元一次方程组。

疑点是如何“消元”，把“二元”转化为“一元”。

解决办法是一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形。

教学方法：引导发现法，谈话讨论法，练习法，尝试指导法课时安排： 1 课时。

教具学具准备：电脑或投影仪。

教学过程教 师 活动学生活动（一）创设情境，激趣导入在 8.1 中我们已经看到，直接设两个未知数( 设胜 x 场，负 yx y 22看图，分析已知条2x y40表示本章引言中场 ) ，可以列方程组件问题的数量关系。

如果只设一个未知数 ( 设胜 x 场 ) ， 思考 这个问题也可以用一元一次方程________________________[1] 来解。

师生互动分析： [1]2x ＋ (22 － x)=40 。

列式解答观察思考，同 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2]桌交流 [2] 通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方 总结程。

二元一次方程的解法代入消元法
一、简介
消元法是一种解决二元一次方程的一种常用解法，它通过运算来将方程消除或变换，从而求出原方程的解。

它采用一系列的步骤对原方程进行消元，首先选定两边的系数，然后乘以相应的数，结果在方程的两边相加，接着消除俩边中的自由项，最后求出未知数的取值，即可得到该方程的解。

二、步骤
1. 写出方程：
首先，写出待求解的二元一次方程，例如：2x+3y=1。

2. 选定两边的系数:
在原方程中选定一边的系数，例如选定2，另一边的系数则是3，即2x+3y=1。

3. 乘以相应的数:
所选定的系数乘以相应的数，例如选定2，则2乘以3，即2×
3=6；而另一边的系数为3，则3乘以2，即3×2=6。

4. 消元：
将乘以相应数的结果在方程的两边相加，接着消去双边的自由项，即6x+6y=1-1，我们可以得到6x+6y=0。

5. 求出未知数的取值：
此时，未知数x和y的取值已经确定，将未知数带入得到，x=0，y=-1/3。

把求得的答案代回原方程中，可以得到：2×0+3×(-1/3)=1，
于是有：解为x=0，y=-1/3
三、总结
消元法是一种通用的解二元一次方程的方法，它可以有效地将方程消元求出方程的解，这是它的优点。

此外，它的操作简单，并且可以有效地求出方程的解，在解决方程的过程中比较实用。

５ 用 x代替y, ２ 消未知数y
解这个方程组，可以先消 x吗？
• 这节课你有哪些收获?
解这个方程，得 x=18
归纳
上面的解方程组的基本思路是什么？ 基本步骤有哪些？
上面解方程组的基本思路是“消元”— —把“二元”变为“一元”。 主要步骤是：将其中的一个方程中的某个 未知数用含有另一个未知数的代数式表现 出来，并代入另一个方程中，从而消去一 个未知数，化二元一次方程组为一元一次 方程。这种解方程组的方法称为代入消元 法，简称代入法。
3x – 2（1 – 2x）= 19 3x – 2 + 4x = 19 3x + 4x = 19 + 2 7x = 21 x=3 把x = 3代入③，得 y = 1 – 2x = 1 - 2×3= - 5 x=3 ∴ y=-5
试一试： 用代入法解二元一次方程组
x＋5y 6 3x 6 y 4
2x+ (22-x) =40 解得 x=18 22-18=4
答:这个队胜18场,只负4场.
设篮球队胜了x场,负了y场. 根据题意得方程组
x＋y = 22
2x＋y = 40 由①得， y = 22－x 把③ 代入② ，得 2x+ (22-x) = 40
①
②
③
把 x=18 代入③ ，得 y=4 这样的形式 叫做“用 x 所以这个方程组的解是 表示 y”. 记 住啦！ x=18 y = 4.
① ②
① 最为简单的方法是将________式中的
X=6-5y _________表示为__________， x
② 再代入__________
1、解二元一次方程组 x+y=5 ① ⑵ ⑴ x-y=1 ②