§6.1_差分的基本概念

第十章 差分方程§ 差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构教学目的与要求：1. 了解差分与差分方程，差分方程的阶与解（通解、特解）等基本概念。

2. 了解常系数线性差分方程的通解的结构。

教学重点（难点）：常系数线性齐次差分方程解的结构。

一、差分的概念 1.差分的定义定义1 设函数)(x y y =, 自变量从x 变化到x +1, 称函数的增量)()1(x y x y y x -+=∆为)(x y 在点x 的差分,简称为)(x y 的差分。

记)(),1(1x y y x y y x x =+=+，即x x x y y y -=∆+1 ， 一阶差分称x y 2∆=x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分；称)(2x y ∆∆为x y 3∆为三阶差分；一般，)(1x n x ny y -∆∆=∆为n 阶差分，且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0.例1 已知(0),log ,sin x a y x x x ax α=≠求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(. 特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )=i n ni i nx C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m . 例2 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x . 例3 求22232(),(),()x x x ∆∆∆。

例4()(0)()(1)(2)(1),1(()).n n x y x x x x x n x y x ==---+=∆∆设，求即[]()()(1)(1)(1)(11)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(2)n n x y x x x x x x n x x x n x n x x n x x x n ∆=+-=+-+-+---+-+=+--+--+(1)n nx -=2.差分的四则运算法则(1)()()x x Cy C y C ∆=∆为常数； (2)()x x x x y z y z ∆+=∆+∆；()()113x x x x x x x x x x y z y z z y y z z y ++∆⋅=∆+∆=∆+∆()11114x x x x x x x x xx x x x x y z y y z z y y z z z z z z ++++⎛⎫∆-∆∆-∆∆== ⎪⎝⎭例533.x y x y =∆设，求分析：3y x = (1)(2)3(1)x x x x x x =--+-+ ()()()3213x x x =++ 注意：()(1)n n x nx -∆=解：3()x x y y ∆=∆∆∆ (3)(2)(1)(3)x x x =∆∆∆+∆+∆ (2)(1)(0)[36]x x x =∆∆++(2)(1)[361]x x =∆∆+∆+∆ (1)(0)66 6.x x =∆+∆=例6 22.x x y e y =∆设，求 二、差分方程的概念 1.差分方程与差分方程的阶2,,.x x y y ∆∆定义2：含有未知函数的差分的函数方程称为差分方程2(,,,,,)0n x x x x F x y y y y ∆∆∆=形式：1,,.x x y y +定义3：含有未知函数两个或两个以上时期的符号的方程，称为差分方程 11(,,,,)0(,,,,)0(1)x x x n x x x n F x y y y G x y y y n ++--==≥形式：或 或0),,,,(1=++n x x x y y y x F 或0),,,,(=∆∆x n x x y y y x G ，2.差分方程的解满足差分方程的函数称为差分方程的解．含有阶数个互相独立的任意常数的解称为差分方程的通解． 不含有任意常数的解称为差分方程的特解．同微分方程一样也有初值问题. 初值条件也有如下情形: 一阶的如: 00y y x x x==.二阶的如: 00y y x x x==,00y y x x x∆=∆=等等.三、常系数线性差分方程解的结构n 阶线性差分方程： )()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++0)(=x f 时为齐次的. 0)(≠x f 为非齐次的.n 阶常系数齐次线性差分方程的标准形式11110x n x n n x n x y a y a y a y ++--+++++=n 阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式()1111x n x n n x n x y a y a y a y f x ++--+++++= （10-1）对于线性差分方程的解的结构有如下结论：定理1 如果)(1x y y =和)(2x y y =都是方程（10-1）的解，则对任意常数C 1, C 2, )()(2211x y C x y C +也是方程（10-1）的解．定理2 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n xx x y y y 是 0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a的n 个线性无关的特解，则)()2(2)1(1.....n xn x x x y C y C y C y +++=是它的通解. 定义4：线性相关、线性无关(,)x ∈-∞+∞当时，2,x x x e e e -，线性无关221cos ,sin x x ，线性相关定理 3 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n xx x y y y 是齐次方程 0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a的n 个线性无关的特解，*x y 是非齐次方程)()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++的一个特解,则*)()2(2)1(1.....x n x n x x x y y C y C y C y ++++=是非齐次方程的通解. 定理4 设)1(x y 是方程 )()()()(1110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解， )2(xy 是方程 )()()()(2110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解,则)2()1(xx x y y y +=是方程)()()()()(21110x f x f y x a y x a y x a x n n x n x +=+++-++ 的解. 练习：22221122112121..2.2.3.33,2,234,3.4.28320,320,28,28.x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x y a y y x x y A y y a B y y y y C y y y D y y A A y y y B y y y C y y D y y ++--++--++=∆=+∆-=+∆=-+-+===⋅+-+=-+=-=--=设，求设，求下列等式是差分方程的有（）、、、、函数是差分方程（）的通解．、、、、四、小结 1.差分的定义2.差分方程与差分方程的阶3.差分方程的解、定解条件和通解4.常系数线性差分方程解的结构115.(1)()(2)()x x x x x x x x x x x x x x U V U U V U V U V V U V V V ++∆-∆∆=∆+∆∆=证明下列各等式：；111111216.(1).(2)2520.7.()2,()23()()()()t t t t t t t t t t t t t t y e y y e y y y y y t y t t y P t y Q t P t Q t αααβαβ--+-+-+=+==+++===-+=已知是方程的一个特解，求设是差分方程的一个特解，求常数，已知是方程的两个特解，求，．答案：21111.(1);2.2;3.;4.;6.(1)1(2)7,107.()1,()(1)2x t a a C C P t Q t e t tααβ-=-=-==--=-，。

差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。

差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。

差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。

通常用{x_n}表示，其中n是自然数。

2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。

差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。

3.初始条件：差分方程还需要初始条件。

初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。

差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。

差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。

1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。

定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。

步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。

b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。

c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。

2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。

递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。

步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。

b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。

c.最终得到满足差分方程的序列。

需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。

此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。

总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。

通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。

微积分Calculus差分方程的概念一差分的概念1定义()y f x =的增量1x x xy y y +∆=−　称为函数()y f x =在点x 的一阶差分，x y ∆记为。

当自变量从变到时，函数x 1x +　(1)x a a =−()(1)n n nx x x ∆=+-分别求()x a ∆与()n x ∆由定义知：1()x x xa a a +∆=-例解2()0c ∆=　（1）（为常数）c ()x x cy c y ∆=∆（为常数）c （2）由定义容易证明，差分具有以下性质：()x x x x ay bz a y b z ∆+=∆+∆（3）（为常数）,a b 11()x x x x x x x x x y z y z z y y z z y ++∆=∆+∆=∆+∆（4）1()(0)x x x x xx x x x y z y y z z z z z +⋅∆−⋅∆∆=≠⋅（5）113[cos(1)cos ]cos (33)x x x x x x ++=+−+−13cos(1)3cos x x x x+=+−求的一阶差分3cos x y x =(3cos )xx y x ∆=∆13(cos )cos 3x xx x +=∆+⋅∆按照差分的定义，我们可以继续求二阶及其它各阶差分。

例解二阶差分：x x x x y y y y ∆−∆=∆∆=∆+12)()(112x x x x y y y y −−−=+++x x x y y y +−=++122xx x x y y y y 21223)(∆−∆=∆∆=∆+三阶差分：32(2)x x x y y y ++=−+xx x x y y y y −+−=+++1233321(2)x x x y y y ++−−+反之x x x y y y ∆+=+1x x x x y y y y 222∆+∆+=+xx x x x y y y y y 32333∆+∆+∆+=+22x =−2()x x y y ∆=∆∆(22)x =∆−2()(2)2x =∆−∆=32()x x y y ∆=∆∆0312+−+=x 已知231y x x =−+，求x y ∆2x y ∆3和2()3()(1)x y x x ∆=∆−∆+∆(2)0=∆=例解二差分方程的概念含有自变量、未知函数及未知函数差分的方程称为差分方程。