5-5 频域：稳态分析

对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间难以找到准 确的关系式。两个经验公式：
M
p
0.16 0.4(
1 sin γ
1)
(35 γ 90 )


ts
Kπ ωc (s)
(35 90 )
式中
K 2 1 .5 (
1 sin
1) 2.5(
1 sin γ
Gm>1，系统稳定。 Gm<1，系统不稳定。 Gm=1，系统临界稳定。
4
(1)增益裕度Gm
Gm
1 G(j ω g )H(j ω g )
以分贝表示时
G M dB 20lgGm 20lg G(j ω g )H(j ω g ) dB
GM>0 (Gm>1) ，系统稳定。 GM<0 (Gm<1) ，系统不稳定。
2
2
2.587
2.587 3.14 12
5.4.3 基于闭环频率特性的 系统性能分析
22
讨论二阶系统闭环频域指标谐振峰值Mr ,谐振角频率r ,带宽 b对系统动态性能的影响.
二阶系统的闭环频率特性
M(j ) ωn (j ) 2 ζ n (j ) ω
2 2 n 2
M 00 0 .7 0 7 M 0 -3
0

r

b

23
M (dB)
谐振峰值Mr：
M
r
闭环幅频最大值。
Mr对应Mp ,越小越好。 谐振角频率r： 谐振峰值频率。
00 0 .7 0 7 M 0 -3
0
M
r

b

对|M(jω)|求导,令导数为0,可求得
r n 1 - 2
2
M r M (j r )
为了使系统具有一定的稳定裕度， L(ω)在ωc处
10
5.4.2 基于开环频率特的 系统性能分析
11
由于人们的直觉是建立在时间域中的，所 以，工程上提出的指标往往都是时域指标。 对于二阶系统来说，时域指标与频域指标 之间有着严格的数学关系。而对于高阶系统 来说，这种关系比较复杂，工程上常常用近 似公式或曲线来表达它们之间的相互联系。
dB
c
0
KGM>0 g 0
( )
90

0
相位裕量： 当γ>0时，系统稳定；
180 ( c )

180

g

270

正相位裕量
7
L ( )
dB
负增益裕量
0
GMg K
0
c

( )
90

180

g
0

相位裕量： 当γ <0时，系统不稳定。
27
5.5 基于伯德图的系统 稳定性能分析
28
复习:
系统型号
系统的稳态误差
误差系数 Kp Kv Ka
K
单位阶跃 输入
r (t ) u (t )
单位速度 输入
r (t ) t
单位加速 度输入
r (t ) 1 2 t
2

0 I II
0
K
0 0
K
1 1K 0 0
1 K 0
1 K
1
5.4
系统动态性能的频域分析与频域指标
5.4.1 系统的相对稳定性
系统开环频率特性中度量相对稳定性的两个指标: 相位裕度和增益裕度, 闭环频率特性中则用谐振峰值,谐振频率和带宽等 指标.
2
(1)增益裕度Gm
相位剪切频率ωg（ φ（ωg）=-180°）上，开环频 率特性的倒数，称为增益裕度，记作Gm ，即
180 ( c )

270

负相位裕量
8
为了确定系统的相对稳定性,必须同时用 增益裕度和相位裕度.
为了得到满意的性能，增益裕度应当大于 6dB。相位裕度取30°—— 60°.
9
一般


L(ωc)处的斜率为－20db/dec时，系统稳定。
L(ωc)处的斜率为－40db/dec时，系统可能稳 定，也可能不稳定，即使稳定， γ也很小。 L(ωc)处的斜率为－60db/dec时，系统肯定不 稳定。 的斜率为－20db/dec 。
4 2
当ζ ＜ 0.7 时， γ 与 ζ为近似直线关系， ζ = 0.01γ
14
ζ = 0.01γ
时域分析知，二阶系统的最大超调量：
ζ 1 ζ
2
Mp e
100%
Mp 与 γ 的关系是通过中间参数ζ相联系
15
结论：
对于二阶系统来说，γ 越小， Mp越大；γ 越
大，Mp 越小。为使二阶系统不会振荡得太严重，


1. 2.
稳态误差与输入、系统结构有关. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
29
关键：对数频率特性上的稳态误差系数求取 系统的稳态性能由开环增益K和系统在原点的开 环极点数v(系统的类型)决定, K和v一旦确定, 系统的稳态误差系数Kp Kv Ka 也就确定了.
系统对数幅频特性的低频段Ld (ω)的斜率等于 v×(-20dB/dec)所以设Ld (ω)的斜率是 AdB/dec,则(ω)
v
A ( dB / dec ) 20 ( dB / dec )
30
求系统开环增益K的方法
一. 用低频段Ld(ω)在ω=1时的值Ld(1) 求开环增益K 低频段Ld(ω)由增益和积分因子决定,
2 2 2 2
2
幅频特性：
G(j ω )H(j ω )
令
G(j ω c )H(j ω c ) 1
ωc ωn

1求得 2 ζ 4ζ
4
2
相位裕量：
γ 180

G(j ω c ) 90 arc t a n

1 4ζ 2ζ
4
2
2ζ
arctan
2ζ 1 4ζ 2ζ
M (j ) e
j ( )
M(j ) 1 /
(1 ( / n ) ) ( 2 / n )
2 2
2
( ) arctan
2 / n 1 ( / n )
2
M (dB)
对数幅频特性
M( ) 20 lg M(j )
M
r
一般取：
300 ≤ γ ≤700
16
（2）
因为
ts与γ 、ωc之间的关系
ts 3 ζ ωn
将
ωn
ωc 1 4ζ 2ζ
4 2
代入上式
3 1 4ζ 2ζ
2 2
t sω c
ζ
可以看出：ζ确定以后，增益剪切频率ωc 大的系统， 过渡过程时间 ts短，而且正好是反比关系。
17
2、高阶系统
GM=0 (Gm=1) ，系统临界稳定。
5
(2)相位裕度γ
增益剪切频率ω c处 ( |G(jω)H(jω)|=1 ), 使闭环系
统达到临界稳定状态所需附加的相移量，称为系
统的相位裕度，记作γ。
γ =180°+ φ（ω c）
γ>0 ，系统稳定。
γ<0 ，系统不稳定。 γ=0 ，系统临界稳定。
6
L ( )
1 2 1-
2
ζ=0.707时,Mr=0, ζ≥0.707时,不会出现谐振峰.
24
M (dB)
M
r
0 0 .7 0 7 M -3
0
0
M
系统带宽b：
0

r

b

M() 减小到-3dB时的角频率。反映了系统复现输入信号的能 力, b越大,系统对输入信号的响应速度越快,但对高频噪声 的滤波能力越差,系统的抗干扰能力也越差. M() =-3dB,对应| M(j) |=0.707,所以
根据带宽定义， b与n 、 的关系为，
ωb ωn 1 - 2ζ
2
2 - 4ζ 4ζ
2
4
由
ts
3

得到
n
ω bts
3 ζ
1 - 2ζ
2
2 - 4ζ 4ζ
2
4
对于给定，ts与b成反比。如果系统带宽大， 则说明系统 “惯性” 小，动作迅速，ts也小。
还可找到 Mr 、 r 、 b的关系，所以有时也 用r反映系统的快速性。
19
例：一系统
G(s)
250(0.59s s(0.02s 1)(0.025s
1) 1)(11.8s 1)
试估算该系统的时域性能指标。 解：开环放大系数K=250 20lgK=20lg250=48(db) 各环节的转折频率
1 0 . 02
L ( ) d B
120 80 -20
50
5.4
系统动态性能的频域分析与频域指标
5.4.1 系统的相对稳定性
在稳定的系统中,特征根离虚轴越远,其瞬态过程越 短,振荡越小,系统越稳定,或者说系统的相对稳 定性越好. 用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面上与 （-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的相对 稳定性。G(jω)H(jω)离开（-1，j0）点越远， 则相对稳定性越好；反之，相对稳定性越差。
2 0 lg KV jω
1
p Mp Mr～关系见右图。 p 相同的，Mr较高，超调量Mp也 大，且收敛慢，平稳性及快速性 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 都差。 当Mr=1.21.5时，对应Mp =2030%， 可获得适度的振荡性能。 若出现Mr>2，则与此对应的Mp 可高达40%以上。