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抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1到直线l 的距离为d2,则d12的最小值为多少？ 分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线4=0的垂线，此时d12最小，依据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d12的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线4=0的垂线，此时d122-1最小，∵F （1，0），则2，则d12的最小值为．抛物线求最值问题（其次类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差肯定值的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先推断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，依据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。
此类题常用方法：①设点转化成二次函数问题；②求导数，让抛物线上点的切线斜率等于直线斜率。
抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1,P 到直线l 的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小， ∵F （1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．抛物线求最值问题（第二类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P 到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。
抛物线中的最值问题
例题：如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、C （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点P ，使点P 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点P 的坐标；
图1
（3）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点Q ，使点Q 到点A 的距离与到点C 的距离之差的绝对值最大，并求出此时点Q 的坐标；
（4）若P 是抛物线上位于直线BC 下方的一个动点，求△BCP 的面积的最大值．．
练习：(2012•扬州)若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点Q是直线l上的一个动点，当△QAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|MB－MC|的值最大，求出点M的坐标．
（4）若P是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，求△BCP的面积的最大值．
图1 图2。
抛物线中的最值问题的解法授课人：彭春齐第1课时一．考情分析：最值问题是高中数学教学中的常见问题，而圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中难点问题，也是高考中热点问题。
学习圆锥曲线的过程中，在适当的时机引导学生去探求与之相关的最值问题，可以“培养学生的思维能力，使学生在掌握基础知识的过程中，学会感知、观察、归纳、类比、想象、抽象、概括、转化、推理、证明和反思等逻辑思考的基本方法。
二．教学目标：掌握抛物线中最值问题的基本方法：定义法、函数思想法、数形结合法（第2课时） 三．教学重点：化归转化思想、分类讨论思想在求解抛物线最值问题中应用。
四、教学过程：1.利用抛物线的定义求最值例1已知点()2,4-A ，F 为抛物线x y 82=的焦点，点M 在抛物线上移动，当MF MA +取最小值时，点M 坐标为（ D ）()00.，A ()22,1.-B ()2,2.-C ⎪⎭⎫⎝⎛-2,21.D 解析：如图，易知点A 在抛物线内，抛物线准线方程为2-=x 由抛物线定义可将点MF转化为点M 到准线的距离，由点M 作准线的垂线，垂足为N ，即MN MF =,MNMA MF MA +=+∴.这样就转化成求MNMA +的最小值，又 在AMN ∆中，ANMN MA >+，只有当A 、M 、N 三点共线时，MNMA +有最小值AN，即此时MF MA +取得最小值AN。
易求得此时点M 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，故选D 。
规律总结：在圆锥曲线中已知一定点A 和焦点F ，点M 为圆锥曲线上一动点，求MF e MA 1+的最小值时，要利用圆锥曲线统一定义将MF e 1转化为到相应准线的距离，再求相应折线段和的最小值，当折线变成一条直线时取最小值。
变式训练：.已知点P 是抛物线x y 22=上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛4,27，则PMPA +的最小值是 29。
抛物线中的最值问题作者：王荣李家洪来源：《高中生学习·高二理综版》2015年第03期圆锥曲线的最值是一类综合性强、涉及知识广的问题.破解这类问题常利用函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想与方法，将它转化为解不等式、求函数的值域或利用平面几何知识来解决.本文对抛物线中常见的几类最值分类探究.点与点、点与线之距离的最值问题例1 在抛物线[y2=2pxp>0]上求一点，使它到直线[l]：[Ax+By+C=0]（其中[A≠0，pB2法1 由已知，直线[l]与抛物线相离，设直线[l1]：[Ax+By+m=0]与抛物线相切，联立[Ax+By+m=0，y2=2px]消去[x]得，[A2py2+By+m=0].由[Δ=B2-4∙A2p∙m=0]得，[m=pB22A].故直线[l1]的方程为：[Ax+By+pB22A=0].由两平行线间的距离公式得，[dmin=pB22A-CA2+B2=pB2-2AC2AA2+B2=2AC-pB22AA2+B2].进而得所求抛物线上的点为[pB22A2，-pBA].法2 由已知，直线[l]与抛物线相离，设抛物线上一点[Px0，y0]，则[y02=2px0].点[P]到直线[l]的距离[d=Ax0+By0+CA2+B2=A∙y022p+By0+CA2+B2=A2p∙y0+pBA2+p2AC-pB2A2A2+B2.]又[pB2注意到[y0∈R]，因此，当[y0=-pBA]时，[dmin=2AC-pB22AA2+B2]，可得所求点的坐标为[pB22A2，-pBA].法3 由已知，直线[l]与抛物线相离，设抛物线上一点[Px0，y0]到直线[l]的距离最短.在抛物线[y2=2px]中，两边同时对[x]求导得[2y∙y=2p]，即[y=py].故[y|y=y0=py0].由[py0=-AB]得，[y0=-pBA]，即所求点[P]的坐标为[pB22A2，-pBA].根据点到直线的距离公式得[dmin=2AC-pB22AA2+B2].线段之和（或积）的最值问题例2 过抛物线[y2=2pxp>0]的焦点[F]作两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB∙CD]的最小值.法1 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.设直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，则直线[CD]的方程为[y=-1kx-p2].联立[y=kx-p2，y2=2px]消去[x]得，[ky2-2py-kp2=0].则[Δ=4p2k2+1>0]恒成立.记[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，得[y1+y2=2pk]，[y1y2=-p2].故[AB=1+1k2y1+y22-4y1y2=2p1+1k2]，同理[CD=2p1+k2].[∴AB+CD=2p1+1k2+2p1+k2=2p2+k2+1k2，][AB∙CD=4p21+1k21+k2=4p22+k2+1k2]，当[k2=1]即[k=±1]时，[AB+CDmin=8p]，[AB∙CDmin=16p2].法2 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，直线[AB]的斜率为[k]，则[y1-y2x1-x2=k].又[y12=2px1]，[y22=2px2]，两式相减得[y12-y22=2px1-x2]，即[y1+y2=2p∙x1-x2y1-y2]，故[y1+y2=2pk.]又直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，所以[y1+y2=kx1+x2-p]，即[x1+x2=2pk2+p].由抛物线的定义得，[AB=AF+BF=x1+p2+x2+p2][=x1+x2+p][=2pk2+2p，]同理[CD=2p1+k2].以下略.点拨一般地，设[Ma，b]是不在抛物线的[y2=2pxp>0]上的定点，过点[M]作抛物线的两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB∙CD]的最小值. （留与同学们解答）三角形、四边形等多边形之面积的最值问题例3 过抛物线[y2=2pxp>0]的顶点[O]引两条互相垂直的动弦[OA]和[OB]，求三角形[AOB]的面积的最小值.法1 直线[OA]和[OB]的斜率均存在且不为零.设直线[OA]的方程为[y=kx]，则直线[OB]的方程为[y=-1kx].联立[y=kx，y2=2px]得[A2pk2，2pk]，同理得[B2pk2，-2pk].所以[SΔAOB=12OA∙OB][=124p2k4+4p2k2∙4p2k4+4p2k2=2p22+k2+1k2]，当[k2=1]即[k=±1]时，[SΔAOBmin=4p2].法2 设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，由[OA⊥OB]得，[x1x2+y1y2][=0].又[y12=2px1]，[y22=2px2]，于是得[x1x2=4p2].[SΔAOB2=14OA2∙OB2=14x12+y12x22+y22=14x12+2px1x22+2px2][=14x1x22+2px1x2x1+x2+4p2x1x2][≥14x1x22+2px1x22x1x2+4p2x1x2][=144p22+2p∙4p224p2+4p2∙4p2=16p4].从而[SΔAOB≥4p2]. 当且仅当[x1=x2=2p]时取等号.因此[SΔAOBmin=4p2].点拨一般地，设[Pa，b]是抛物线上的一定点，过点[P]作抛物线[y2=2pxp>0]的两条互相垂直的动弦[PA]和[PB]，求三角形[APB]的面积的最小值. （留与同学们解答）弦长为定值之动弦中点到准线距离的最值问题例4 定长为[l]（[l>0]）的线段[AB]的两端点在抛物线[y2=2pxp>0]上移动，求线段[AB]的中点[M]到[y]的最短距离.法1 由题意知，直线[AB]的斜率一定不为零.故可设直线[AB]的方程为[x=ty+m].联立[x=ty+m，y2=2px]消去[x]得，[y2-2pty-2pm=0].则[Δ=4ppt2+2m>0].记[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，[∴y1+y2=2pt]，[y1y2=-2pm].从而[x1+x2=ty1+y2+2m=2pt2+2m].[AB=1+t2y1+y22-4y1y2=4p1+t2pt2+2m，]又[AB=l].[∴4p1+t2pt2+2m=l2]，即[m=l28p1+t2-12pt2].线段[AB]的中点[M]到[y]的距离[d=xM=x1+x22=pt2+m=l28p1+t2+12pt2].即[d=p2l2p2t2+1+t2].设[μ=t2+1]，由[t∈R]知，[μ≥1].[∴d=p2l2p2μ+μ-1].若[l2p≥1]即[l≥2p]时，[dmin=l-p2].此时[t2=l2p-1].若[0综上可得[dmin=l-p2，l≥2p，l28p， 0法2 设线段[AB]的中点[Mx0，y0].直线[AB]的参数方程为[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（其中[t]为参数，直线的倾斜角[α∈0，π]）.代入[y2=2px]整理得，[sin2αt2+][2y0sinα-pcosαt][+y02-2px0=0].记点[A]，[B]对应的参数分别为[t1]，[t2].由韦达定理与参数的几何意义知，[t1+t2=-2y0sinα-pcosαsin2α]，[t1t2=y02-2px0sin2α].因为[M]是线段[AB]的中点，及[AB=l]，所以[t1+t2=0]，[t1t2=-l22].[∴y0=pcosαsinα，]且[y02-2px0=-14l2sin2α].线段[AB]的中点[M]到[y]的距离[d=x0=l28psin2α+y022p=l28psin2α+p2cos2αsin2α][=l28psin2α+p21sin2α-p2].令[μ=sin2α]，由[α∈0，π]知，[0从而[d=l28pμ+2pl2μ-p2] .若[2pl≤1]即[l≥2p]时，[dmin=l-p2]，此时[sin2α=2pl].若[2pl>1]即[0除上述几类最值问题，还有很多类型.解题中要灵活运用抛物线的定义、平面几何知识化为熟悉的类型运用常规方法求解.。
与抛物线相关的最值问题教案教学内容分析：本节课将涉及与抛物线相关的最值问题，是一节题课。
学生已经掌握了抛物线的定义和几何性质，但数学基础较差，需要加强动手操作和合作研究等方面的发展。
设计思想：通过不同的活动环节，由浅入深、环环相扣地设置问题，适时引导学生进行交流互动，发现、分析、探究和反思，使学生成为研究的主人，提高获取知识的能力和合作研究的快乐，体验成功的喜悦。
教学目标：1.利用抛物线的定义解决与抛物线相关的最值问题。
2.熟练掌握求抛物线简单最值问题的定义方法，培养学生分析、归纳的能力。
3.引导学生用运动变化的观点发现、探索和解决问题，培养学生的创新意识和合作研究的意识，认识数学的应用价值。
教学重点和难点：教学重点是利用定义求最值，教学难点是熟练应用定义来解决抛物线的最值问题。
教学过程设计：一）复抛物线的定义目的是让学生对抛物线的定义加深认识，特别是抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，为接下来的探究提高教学效率。
二）探究给出两个探究问题，让学生在小组中讨论、交流，探究解决方案。
教师以平等的身份介入学生的讨论中，并关注学生在知识认知与情感发展方面的疑惑，及时引导鼓励；关注每个人的活动情况，做到全员参与，从同学们的探究中，了解学生对知识理解的不同程度，思考的不同方向，对有代表性的方案注意收集；了解学生探究的进展，把握课堂节奏。
最后请小组代表说出解题思路以及过程。
解：设点A为(x1,y1)，点B为(x2,y2)，则线段AB的中点M的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。
根据抛物线的性质，有y1^2=x1和y2^2=x2，代入中点M 的坐标可得：x=(x1+x2)/2y=(y1+y2)/2sqrt(x1)+sqrt(x2))^2/4所以M到y轴的距离为d=|x1-x2|/2.要使d最小，即要使|x1-x2|最小，即要使点A和点B在抛物线上的投影重合。
由于抛物线是对称的，所以投影重合的位置为抛物线的对称轴x=0上，此时点A和点B的坐标分别为(1,1)和(-1,1)。
21.4 求“抛物线”形最值问题教学目标【知识与技能】通过建立数学模型学会用二次函数知识解决有关的实际问题.【过程与方法】1.掌握数学建模的思想,体会数学与生活的密切联系.2.在数学建模中,使学生学会交流、合作.【情感、态度与价值观】培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.重点难点【重点】根据具体情境建立适当的直角坐标系,并将有关线段转化为坐标系中的点. 【难点】建立适当的直角坐标系,并选用简便的方式求出二次函数表达式.教学过程一、创设情境,导入新知师:前面我们把一些实际问题转化成了求二次函数的极值问题.本节我们继续学习二次函数的应用.同学们看这样一个问题.教师多媒体课件出示:一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示,现测得当水面宽1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽是多少?是否会超过1 m?你能求出来吗?二、共同探究,获取新知师:我们以前求过坐标系里的这种问题,现在没有坐标系怎么办呢?学生思考,讨论.生:建立坐标系.师:你怎么建立呢?生甲:以A、B所在的直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴建立坐标系.生乙:以过涵洞最高点且在水平方向的直线为x轴,以的垂直平分线为y轴,建立坐标系.师:这两种方法都是可以的,但哪种更方便呢?学生讨论,交流.生:用第二种方法建立的坐标系更为简便.师:为什么?生:因为这样的表达式是2的形式,比较简单.师:对.那你能用第二种方法建立坐标系吗?学生作图、计算.教师提示:建立坐标系要用到已知了的哪些条件?生:当水面宽1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.师:这个条件怎么用呢?生:把0.82.4代入2,得到关于a的一元一次方程,解这个方程得到a的值,进而得到表达式.师:很好!我们再看一个例子.【例1】上抛物体不计空气阻力的情况下,有如下的表达式:2,其中h是物体上升的高度是物体被上抛时竖直向上的初始速度是重力加速度(取10 2)是物体抛出后经过的时间.在一次排球比赛中,排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 .(1)问排球上升的最大高度是多少?(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳,如果她要打快攻,问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳?(精确到0.1s)解:(1)根据题意,得10×10t25(1)2+5(t≥0).因为抛物线开口向下,顶点坐标为(1,5).答:排球上升的最大高度是5 m.(2)当2.5 m时,得105t2=2.5解方程,得t 1≈0.3(s)2≈1.7(s).排球在上升和下落中,各有一次经过2.5 m的高度,但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3s,要打快攻,选择此时扣球,可令对方措手不及,易获成功.答:该运动员应在排球被垫起后0.3s时扣球最佳.教师多媒体课件出示:【例2】行驶中的汽车,在制动后由于汽车具有惯性,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能,对其进行了测试,测得数据如下表:制动时车速度·10 10 20 30 40 50 制动距离0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故,现场测得制动距离为46.5 m,则交通事故发生时车速是多少?是否因超速(该段公路最高限速为110 )行驶导致了交通事故?学生思考交流.教师提示:前面我们在学习一次函数时,给出一些数据让你根据数据来用一次函数模拟,现在你用什么函数来模拟呢?学生讨论.生:在坐标系中描点,看这些点大致在什么样的曲线上.师:对!现在请同学们以制动时车速的数据为横坐标(x值),在平面直角坐标系中描出这些数据对应的点.学生作图,作完图象后,观察图象上点的整体分布后回答:应用二次函数模拟.师:为什么选用二次函数呢?生:因为这些点的分布近似在一条抛物线上.师:你能求出这条抛物线的表达式吗?生:能.教师找一生回答:你是怎样求的?生:设抛物线的表达式为2,在已知数据中,任选三组,如取(0,0),(10,0.3),(20,1.0),分别代入所设函数关系式,得到一个三元一次方程组,然后解这个三元一次方程组求出a、b、c的值,从而得到表达式.师:很好!现在请同学们写出得到的方程组并求解.学生得到方程组:解方程组,得∴表达式为0.002x2+0.01x(x≥0).师:你怎样算出这起交通事故发生时车速是多少呢?生:把46.5 m代入函数关系式,得到一个关于x的一元一次方程,解这个方程得出x的值,即车速.即46.5=0.02x2+0.01x,解方程,得x1=150()2155()(舍去).故车速为150 .师:你怎样知道这辆车有没有超速呢?生:当得到的速度大于限速时就超速,否则不超速.因为150 >110 ,所以在事故发生时,该汽车属于超速行驶.师:对.三、练习新知教师多媒体课件出示:1.周长为12的矩形窗户,当面积最大时,其边长为( )A.3B.6C.2D.【答案】A2.从地面垂直向上抛出一个小球,小球的高度h(m)与小球的运动时间t(秒)的函数关系式是9.84.9t2,那么小球在运动中的最大高度为 m.【答案】4.93.一跳水运动员从10 m的高台上跳下,他的高度h(m)与所用时间t(s)的关系为5(2)(1).请你帮助该运动员计算一下,他起跳后多长时间达到最大高度?最大高度是多少?【答案】5(2)(1)5(t22)5()2+.∵5<0,∴抛物线开口向下.当时最大=.四、课堂小结师:今天你又学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么疑问?学生提问,教师解答.教学反思本节课的教学目标:继续经历利用二次函数知识解决最值问题;会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、建立函数模型等问题;发展应用数学知识解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.建立函数模型时采用最简便的法则,即一般把图象的顶点放在坐标系的原点,这样就可以设表达式为2的形式了,只需求出一个未知量a即可.有的情况下要设顶点式和交点式.在求出表达式后的问题一般是给出一点的x值求y值或给出一点的y值求x值.在解题过程中要注意利用二次函数图象的对称性.。
