全国数学建模2004年B题

004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B数学建模是一门综合性学科，涉及数学、计算机科学、数据分析和实际问题解决能力等多个方面。

作为一项重要的学科竞赛，004高教社杯全国大学生数学建模竞赛吸引了大量的大学生参与。

其中，题目B是一道需要运用数学建模技巧解决实际问题的题目。

本文将对题目B进行详细分析，并给出解决方案。

题目B的背景是一个物流公司需要安排货物的运输路线，以达到在最短时间内完成所有配送任务的目标。

问题的输入是各个节点之间的距离矩阵，以及每个节点的配送时间窗口。

在给定的时间窗口内，物流公司需要按照最短路径规划将货物从出发地点送至各个目的地。

首先，我们需要根据题目给出的距离矩阵构建一个图模型。

在这个图模型中，每个节点代表一个配送点，边代表两个配送点之间的距离。

通过使用图论中的最短路径算法，如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法，我们可以计算出任意两个节点之间的最短路径。

其次，我们需要考虑时间窗口的限制。

在一些特定的时间段内，物流公司无法进行配送。

因此，在最短路径中，我们需要考虑这些时间窗口，并尽量避开这些时间段。

一种解决方案是通过调整节点的访问顺序来避开时间窗口。

我们可以使用回溯算法或其他搜索算法来找到最佳的路径。

在搜索过程中，我们需要根据当前节点的时间窗口和距离矩阵来判断是否可以访问某个节点。

如果某个节点的时间窗口不满足要求，我们可以调整路径上的其他节点顺序，以找到更好的解决方案。

另外，我们还可以考虑一些其他的问题约束。

例如，物流公司可能需要在某个特定时间之前完成所有配送任务。

在这种情况下，我们可以通过引入目标函数和约束条件，将问题转化为一个优化问题。

我们可以使用线性规划或整数规划等方法来解决这个优化问题，并得到最优的配送路线。

最后，我们需要对解决方案进行评估和验证。

我们可以使用模拟的方法来模拟物流公司在给定配送路线下的表现。

我们可以根据货物的配送时间、配送量和总配送时间等指标来评估不同解决方案的效果。

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）B题电力市场的输电阻塞管理我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。

2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。

可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。

电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。

我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。

电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。

市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC（自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。

设某电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流（输电功率和方向）取决于电网结构和各发电机组的出力。

电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度（即在应急情况下潮流绝对值可以超过限值的百分比的上限）。

如果各机组出力分配方案使某条线路上的有功潮流的绝对值超出限值，称为输电阻塞。

当发生输电阻塞时，需要研究如何制订既安全又经济的调度计划。

电力市场交易规则：1. 以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。

各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价），段价按段序数单调不减。

在最低技术出力以下的报价一般为负值，表示愿意付费维持发电以避免停机带来更大的损失。

2. 在当前时段内，市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报,每台机组的报价、当前出力和出力改变速率，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分（见下面注释），直到它们之和等于预报的负荷，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案（初始交易结果）。

2004数学建模试题及答案1．设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,43)(+-=+=kp p f p p ϕ其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。

解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-ϕ 9431+-=+-n n kp p即： kp k p n n 531+-=-经递推有：kk p kk k k p k p n nn nn n 5)3()3(5)53(31102⋅-+⋅-=++-⋅-=-=-∑p 表示初始时的市场价格:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13n p k 即k<<<-。

某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手)由遗传学原理有： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n cb ac c b a b c b a a设向量Tn n n n c b a x )..(= 1-⋅=n n X M x 式中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12100211000M递推可得：0X M X n n ⋅=对M 矩阵进行相似对角化后可得： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ100021000其相似对角阵1111012001-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=p p 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅Λ=-111012001)21(111012001101n n n p p M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=----1)21(1)21(10)21()21(0001111n n n n nM10101010))21(1())21(1(0)21()21(0b ac c b a b a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=++==---- 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。

电力市场的输电阻塞管理摘要电网公司在组织交易、调度和配送时，要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。

我们采用多元线性回归的方法建立线路潮流值与各机组出力之间的近似方程，单目标规划确定机组分配预案，公平对待序内外容量建立阻塞费用计算规则，双目标规划确定机组调整分配方案，进行电力市场的输电阻塞管理。

问题一：首先，我们建立多元线性回归方程，采用SPSS软件求出线路上的潮流值与各个机组处理预案之间的近似方程，再根据求解出的复相关系数得出自变量与因变量之间的线性关系明显，用F检验与均方差检验判断近似方程回归较为精确，进一步提高了模型的严谨性。

问题二：为设计合理的阻塞费用计算规则，我们考虑了两种方法，方法一是直接将调整后的机组总出力与对应清算价之积与调整前的总费用相减差值作为阻塞费用，但根据题目要求需公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分，这两部分我们用清算价与对应报价之差来结算。

问题三：我们首先根据电力市场交易规则费用最小的交易要旨确定目标函数，根据清算价、系统负荷、爬坡速率的限制条件确定约束条件，建立单目标规划模型。

然后用MATLAB求解对应的系数分配矩阵与段容分配矩阵，得出分配预案如下：一、问题重述我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。

2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。

可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。

电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。

我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。

电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。

目录1996年全国大学生数学建模竞赛题目 (2)A题最优捕鱼策略 (2)B题节水洗衣机 (2)1997年全国大学生数学建模竞赛题目 (3)A题零件的参数设计 (3)B题截断切割 (4)1998年全国大学生数学建模竞赛题目 (5)A题投资的收益和风险 (5)B题灾情巡视路线 (6)1999创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 (7)A题自动化车床管理 (7)B题钻井布局 (8)C题煤矸石堆积 (9)D题钻井布局（同 B 题） (9)2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目 (10)A题 DNA分子排序 (10)B题钢管订购和运输 (12)C题飞越北极 (15)D题空洞探测 (15)2001年全国大学生数学建模竞赛题目 (17)A题血管的三维重建 (17)B题公交车调度 (18)C题基金使用计划 (20)D题公交车调度 (20)2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (21)A题车灯线光源的优化设计 (21)B题彩票中的数学 (21)C题车灯线光源的计算 (23)D题赛程安排 (23)2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (24)A题 SARS的传播 (24)B题露天矿生产的车辆安排 (28)C题 SARS的传播 (29)D题抢渡长江 (30)2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (31)A题奥运会临时超市网点设计 (31)B题电力市场的输电阻塞管理 (35)C题饮酒驾车 (39)D题公务员招聘 (39)2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (42)A题: 长江水质的评价和预测 (42)B题： DVD在线租赁 (43)C题雨量预报方法的评价 (44)D题： DVD在线租赁 (45)2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (46)A题:出版社的资源配置 (46)B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (46)C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 (47)D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 (48)2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (53)A题：中国人口增长预测 (53)2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (56)A题数码相机定位 (56)B题高等教育学费标准探讨 (57)C题地面搜索 (57)2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (59)A题制动器试验台的控制方法分析 (59)B题眼科病床的合理安排 (60)C题卫星和飞船的跟踪测控 (61)D题会议筹备 (61)2010全国高教社杯数学建模题目 (65)A题储油罐的变位识别与罐容表标定 (65)B题 2010年上海世博会影响力的定量评估 (66)A题最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度.一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼(鳀鱼)的最优捕捞策略:假设这种鱼分四个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.99(g),各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(1/年),这种鱼为季节性集产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× (个),3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为1.22× /(1.22× +n).渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数﹑下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时鱼场中各年龄组鱼群不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏. 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7,10.1,3.29(×条),如果任用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.(北京师范大学刘来福提供)B题节水洗衣机我国淡水资源有限,节约用水人人又责,洗衣在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已相当普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣服和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水-漂水-脱水-加水-漂洗-脱水-…-加水-漂洗-脱水(称"加水-漂洗-脱水"为运行一轮).请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮﹑每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少.选用合理的数据进行计算,对照目前常用的洗衣机的运行情况,对你的模型和结果做出评价.A题零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点[说明] 根据各赛区的建议，从2004年起全国组委会不再提供赛题参考解答，只给评阅要点。

本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

一. 理解题目应注意以下几点：1. 每条线路上的有功潮流是各发电机组出力的函数，于是有6个函数，每个函数有8个相同的自变量。

函数关系可由表1和表2近似确定。

2. 输电阻塞的定义是某条线路上的有功潮流的绝对值超出限值（表6），当出现输电阻塞时按照以下顺序依次优先处理：调整各机组出力消除输电阻塞；使用线路安全裕度（表6），但要使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比尽量小；在用电侧拉闸限电。

3. 电力市场交易结果（调度计划）的制订规则和步骤：1）各机组的出力分配预案及清算价（最高段价）由三个条件决定：a)各机组的出力之和等于下一时段的负荷预报（题目中的982.4MW或1052.8MW）。

b)各机组的出力位于两个区间的交集内。

一个是从当前出力（表1方案0）出发，按照出力改变速率（表5），在15分钟时间内所能达到的范围，另一个是0与段容量之和构成的区间（如机组1当前出力是120，改变速率是2.2，于是下一时段能达到的范围是120±2.2⨯15=153/87，段容量之和为190）。

c)各机组的出力小于或等于段价（表4）不超过清算价的段容量（表3）之和，小于情况可由两种原因引起：一是由于b)中给出的约束导致选取段容量的部分；二是由于a)中给出的约束导致只能选取清算价对应的段容量的部分。

2）计算当执行上面得到的分配预案时各线路上的有功潮流，检查是否会出现输电阻塞。

如果不出现，接受该预案；否则，按照2中的步骤进行（仍需考虑机组爬坡速率和段价）。

3）当改变上述预案时，要计算阻塞费用。

需设计简明、合理的计算阻塞费用的规则，要求公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。

电力市场的输电阻塞管理（CUMCM 2004B）B10020614 孙朋B10020609 潘姝亚B10020701 王琪2013-08-10 NUPT****************摘要本题是关于电力市场的输电管理问题，首先要求附件中的数据确定发电机组出力与输电线路潮流值的关系，然后根据电力市场交易调度规则建立适当的模型，求解给定负荷的发电机组出力方案，并检测方案是否会引起输电阻塞。

当发生阻塞时考虑不同因素，在安全且经济的原则下，给出调整后的方案。

问题一：要求结合附件表1和表2的数据，确定8台机组的出力和6条线路的潮流值的关系式。

首先，我们利用散点图观察二者的定性关系，发现线路潮流值与机组出力值大致成线性关系。

用SPSS软件计算各机组出力的Pearson相关系数，结果表明各机组出力之间线性无关。

因此尝试对输电线路与机组出力进行多元线性回归分析，用MATLAB编程求出回归系数。

最后，利用统计检验回归方程(见表3)，结果显示回归方程显著说明可行。

问题二：要求根据电力市场规则设计一种阻塞费用计算规则。

阻塞费用包括补偿不能出力的序内容量和补偿在低于对应报价的清算价上出力的序外容量。

发电商的损失与其减少的出力量、序内容量的报价及清算价格有关。

出于简化问题的考虑，我们认为网方给予发电商阻塞补偿即为输电阻塞所导致发电商的损失。

对于某一机组有确定的出力时，其各个段容的出力是容易确定的。

结合调整后的方案，分段容计算阻塞费用，然后求和，最后对各个机组的阻塞费用进行求和即可得到阻塞费用。

问题三：要求在已知下一个时段预报的负荷需求为982.4MW的情况下，按照电力市场规则，同时结合各机组段容量、段价和爬坡速率等因素，给出下一个时段各机组的出力分配预案。

这是一个最优化问题，目标函数为最小购电费用。

电力市场规则规定确定的负荷有一个统一的价格即清算价，同时考虑各机组爬坡速率的限制等因素确定约束条件。

利用LINGO软件编程求解，最后得到分配方案如表6所示。