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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九下数学第1章解直角三角形测试卷1考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．在Rt△ABC中，△C＝90°，若sin△A＝23，则cosB＝（）A．23B．√53C．2√55D．√522．在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且|tanB−√3|+(2sinA−√3)2=0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（）A．7米B．9米C．12米D．15米4．如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q．当点Q也落在△O上时，cos△OQB的值等于（）A．12B．13C．14D．23（第3题）（第4题）（第5题）5．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A．1sinαB．1cosαC．sinαD．16．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．8tan20°B．8tan20°C．8sin20°D．8cos20°7．我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6=6R，则π≈l62R=3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°（第7题）（第8题）8．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，D为AC上一点，连接BD，将△BDC沿BD翻折，点C恰好落在AB上的点E处，连CE.若AD=7√22，tan∠ABD=13，则CD的长度为（）A．5√22B．6√25C．3√22D．7√239．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan△ABF＝2，则DE的长是（）A．1B．65C．43D．5310．在△ABC中，∠ACB=90°，P为AC上一动点，若BC=4，AC=6，则√2BP+AP的最小值为（）A．5B．10C．5√2D．10√2（第9题）（第10题）（第11题）第12题）二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan△ABE＝．12．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A 处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为m．（参考数据：√3≈1.732，结果按四舍五八保留一位小数）13．图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2（忽略跑步机的厚度）．该跑步机由支杆AB （点A固定），底座AD和滑动杆EF组成．支杆AB可绕点A转动，点E在滑槽AC上滑动．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，点E从点C向左滑动，若滑动杆EF与AD夹角的正切值为2，则察看点F处的仪表盘视角为最佳．（1）BE＝cm；（2）当滑动端点E与点A的距离EA＝cm时，察看仪表盘视角最佳．（第13题）（第14题）14．如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE=AB，BE=DE，则tan∠BDE=．15．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC.若AD=1，CD=3，则sin∠ABD=.（第15题）（第16题）16．如图，岸边堤坝和湖中分别伫立着甲、乙两座电线塔，甲塔底CD和堤坝EF段均与水平面MN 平行，B为CD中点，CD=6EF=12米，DE=5米．某时刻甲塔顶A影子恰好落在斜坡底端E处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米．随后小章乘船行驶至湖面点P处，发现点D，F，P三点共线，并在P处测得甲塔底D和乙塔顶T的仰角均为α=26.7°，则塔高AB的长为米；若小章继续向右行驶10米至点Q，且在Q处测得甲、乙两塔顶A，T的仰角均为β=36.8°．若点M，P，Q，N在同一水平线上，TN⊥MN，则甲、乙两塔顶A，T的距离为米．（参考数据：tan26.7°≈0.5，sin26.7°≈0.45，tan36.8°≈0.75，cos36.8°≈0.8）三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．计算：（1）tan30°sin60°−cos245°+tan45°；（2）√(tan60∘−1)2+|1−cos60°|−2tan45°·cos30°．18．如图，在△ABC中，△C=150°，AC=4，tanB= 18．（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：√2=1.4，√3=1.7，√5=2.2）19．如图，在△ABC中，△C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的△O经过AB的中点E，交AD 的延长线于点F，连结EF．（1）求证：△1=△F．，EF=2 √5，求CD的长．（2）若sinB= √5520．某校门前正对一条公路，车流量较大，为便于学生安全通过，特建一座人行天桥．如图，是这座天桥的引桥部分示意图，上桥通道由两段互相平行的楼梯AB、CD和一段平行于地面的平台CB构成．已知△A=37°，天桥高度DH 为5.1米，引桥水平跨度AH 为8.3米． （1）求水平平台BC 的长度；（2）若两段楼梯AB ：CD=10：7，求楼梯AB 的水平宽度AE 的长．（参考数据：sin37°≈ 35 ，cos37°≈ 45 ，tan37°≈ 34）21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问： （1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？22．如图1，在△ABC 中，△ACB=90°，△CAB=30°，△ABD 是等边三角形，E 是AB 的中点，连接CE 并延长交AD 于F ．（1）求证：①△AEF△△BEC ；②四边形BCFD 是平行四边形；（2）如图2，将四边形ACBD 折叠，使D 与C 重合，HK 为折痕，求sin△ACH 的值．23．在△ABC 中，△ABC=90°．（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM△△BCN ；（2）如图2，P 是边BC 上一点，△BAP=△C ，tan△PAC= 2√55，求tanC 的值；（3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB ，△DEB=90°，sin△BAC= 35 ， AD AC =25，直接写出tan△CEB 的值． 24．已知:点 C 、D 在 ⊙O 上,弦 AB ⊥CD ,垂足 E ,弦 AF ⊥BC ,垂足为 G ,弦 AF 与 CD 相交于点 H ；（1）如图1,求证: DE=EH；（2）如图2,连接OC,当CD平分∠BCO时,求证:弧AD=弧FD；（3）如图3,在(2)的条件下,半径OC与AF相交于点K,连接BH,若sin∠BHD=23,S△BCH=√5,求线段OK的长.。
【知识梳理】一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．锐角三角函数BCa bc二、特殊角的三角函数值锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反.三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．【典型例题】考点一锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是()A.2B.12C.√55D.√5【例2】如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1C.√33D.√3【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【变式训练】,则AB的长是()1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【变式训练】1. 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°2. sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°+(√3-tanβ)2=0,则对此三角形的形状描3.若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sinα-√32述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A 为锐角,则cot A 的值为 .【强化练习】1. 如图,以点O 为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A ,B 两点,P 是AB⏜上一点(不与点A ,B 重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.3.在Rt△ABC中,若2AB=AC,则cos C=.,AD是BC边上的高线.4. 如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=5,cos C=35(1)求AD的长;(2)求△ABC的面积.5. 如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos∠APC的值．【典型例题】考点一 锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A ,B ,C 都在格点上,则tan ∠ABC 的值是 ( )A .2B .12C .√55D .√5【答案】A【例2】如图,A ,B ,C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan ∠BAC 的值为( )A .12B .1C .√33D .√3【答案】B【解析】如图,连结BC ,则BC ⊥AB.答案及解析=1.在Rt△ABC中,AB=BC=√22+12=√5,∴tan∠BAC=BCAB【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.【答案】√322. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【答案】D【变式训练】,则AB的长是() 1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5【答案】C,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35【答案】125考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【答案】见解析【解析】原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2．【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案】见解析【解析】（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【变式训练】 1. 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45° 2.sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°【答案】见解析 【解答】（1）原式==12- (2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；3. 若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sin α-√32+(√3-tan β)2=0,则对此三角形的形状描述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【答案】C 【解答】∵sin α-√32+(√3-tan β)2=0,∴sin α-√32=0,√3-tan β=0, ∴sin α=√32,tan β=√3. 又∵α,β都是锐角, ∴α=60°,β=60°,∴此三角形的形状是等边三角形. 故选C考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB ==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．．【答案】见解析【解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴ 10sadA BD AD ==．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A为锐角,则cot A的值为.【答案】（2）4 3【强化练习】1. 如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是AB⏜上一点(不与点A,B重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)【答案】C【解析】如图,过点P作PQ⊥OB,垂足为Q.在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sinα=PQOP ,cosα=OQOP,即PQ=sinα,OQ=cosα,则点P的坐标为(cosα,sinα).故选C.2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.【答案】2√23【解析】∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,则AB=√12+(2√2)2=3.∵AB ⊥CD ,AC⏜=AD ⏜,∴∠ABC=∠ABD , ∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=AC AB =2√23. 3. 在Rt △ABC 中,若2AB=AC ,则cos C= .【答案】.√32或2√55【解析】∵2AB=AC ,∴AB 不是最长边,即∠C ≠90°.分两种情况讨论:①当∠B=90°时,设AB=x ,则AC=2x ,∴BC=√(2x )2-x 2=√3x ,∴cos C=BC AC =√3x 2x =√32.②当∠A=90°时,设AB=y ,则AC=2y ,∴BC=√(2y )2+y 2=√5y ,∴cos C=AC BC =√5y =2√55. 综上所述,cos C 的值为√32或2√55. 4. 如图,在△ABC 中,∠B=45°,AC=5,cos C=35,AD 是BC 边上的高线.(1)求AD 的长;(2)求△ABC 的面积.【答案】见解析【解答】解:(1)∵AD ⊥BC ,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt △ACD 中,AC=5,cos C=35,∴CD=AC ·cos C=3,∴AD=√AC 2-CD 2=4.(2)∵∠B=45°,∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠B=45°,∴∠B=∠BAD ,∴BD=AD=4,∴S △ABC =12AD ·BC=12×4×(4+3)=14.5. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案】见解析【解答】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10，∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．。
九年级数学下册第一章《解直角三角形》单元测试题-浙教版（含答案）一、单选题1．已知α是锐角，若sinα=12，则α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在Rt△ABC中，△A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（）A．34B．43C．35D．453．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（）米．A．100cos20°B．100cos20°C．100sin20°D．100sin20°4．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：√2，坝高BC=4m，则AB的长度为（）A．2√6m B．4√2m C．4√3m D．6m5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，AC=7米，则树高BC为（）A ．7sina 米B ．7cosa 米C ．7tana 米D ．7tana米 7．如图，在Rt△ABC 中，△C=90°，AB=13，AC=12，则△A 的正弦值为（ ）A ．512B ．1213C ．125D ．5138．如图，AB 是△O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos△CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长为（ ）A ．23B ．56C ．1D ．769．如图是大坝的横断面，斜坡AB 的坡度 i 1 =1：2，背水坡CD 的坡度i 2=1：1，若坡面CD 的长度为6√2 米，则斜坡AB 的长度为（ ）A ．4√3B ．6√3C ．6√5D ．2410．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（ ）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12二、填空题11．若cosα=0.5，则锐角α为 度．12．计算： |√3−2|+(12)−1+2sin60°= . 13．如图，在一次测绘活动中，小华同学站在点A 的位置观测停泊于B 、C 两处的小船，测得船B 在点A 北偏东75°方向900米处，船C 在点A 南偏东15°方向1200米处，则船B 与船C 之间的距离为 米．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是边CD 上的一动点，EF△BP 交BP 于G ，且EF 平分正方形ABCD 的面积，则线段GC 的最小值是 .三、计算题15．计算： |−5|+sin30∘−(π−1)016．计算： √8−4cos45°+(12)−1+|−2| 17．观察下列等式：①sin30°= 12 ，cos60°= 12； ②sin45°= √22 ，cos45°= √22； ③sin60°= √32 ，cos30°= √32． （1）根据上述规律，计算sin 2α+sin 2（90°﹣α）= ．（2）计算：sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°．18．（1）√18 + |−√2| -（2012﹣π）0-4sin45°（2）解方程：x 2-10x ＋9＝0．四、解答题19．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）20．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．21．已知sinα+cosα=1713，且0°＜α＜45°，求sinα的值．22．已知：在Rt△ABC 中，△C=90°，sinA=23，AC=10，求△ABC的面积。
第一章 直角三角形的边角关系本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
单元测试时间是：90分钟，满分是：100分一、选择题〔每一小题3分，一共30分，请把答案填入答卷相应的表格内〕1. 有一山坡程度方向前进了40米，就升高了20米，那么这个山坡的坡度是〔 〕A ．1:2B ．2:1C ．D2. 假设A ∠为锐角，且1cos 3A =，那么〔 〕 A ．0°< A ∠<30° B ．30°<A ∠<45° C ．45°<A ∠<60° D ．60°<A ∠<90°3. 比拟tan 46,cos 29,sin 59︒︒︒的大小关系是〔 〕A ．tan 46cos 29sin 59︒<︒<︒B ．tan 46sin 59cos 29︒<︒<︒C ．sin 59tan 46cos 29︒<︒<︒D ．sin 59cos 29tan 46︒<︒<︒ 4. 在Rt ABC △中，90C ∠=°，假设1sin 2A =，那么A ∠的度数是〔 〕 A ．60°B ．45°C ．30°D ．无法确定5. 同一时刻，身高2.26m 的姚明在阳光下影长为1.13m ；小林浩在阳光下的影长为0.64m ，那么小林浩的身高为〔 〕6. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的程度线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，那么乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是〔 〕 Am B ．4 m C． mD ．8 mAB7. tan 45sin 452sin 30cos 45tan 30︒︒-︒︒+︒=〔 〕A ．12B ．22C ．32D ．338. 如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的程度间隔 为5米，那么这两树在坡面上的间隔 AB 为〔 〕A ． αcos 5B ． αcos 5C ． αsin 5D ．αsin 59. 将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如下图的形状，那么折痕PQ 的长是〔 〕 A ．233cm B ．433cm C ．5cm D ．2cm 10.2tan 302tan 301tan 30︒-︒++︒=〔 〕A ．233 B ．2313- C ．231- D ．1 单元测试答卷班级___________学号_________ 姓名____________〔时间是：90分钟，满分是：100分〕一、选择题〔每一小题3分，一共30分，请把答案填入相应的表格内〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题〔每空3分，一共30分〕 题号 11 12 13 14 15 答案题号16171819α5米AB60°P Q2cm答案11. 在Rt ABC △中，90C ∠=°，sinA=45,BC=20，那么ABC △的周长为__________ 12. 在Rt ABC △中，9032C AB BC ∠===°，，，那么cos A 的值是 ．13. 如图，某游乐场内滑梯的滑板与地面所成的角∠A = 35°，滑梯的高度BC = 2米，那么滑板AB 的长约为_________米〔准确到0.1〕．14. 如图，小明从A 地沿北偏30向走1003m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．15. 如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 点重合，连结B A '，那么C B A ''∠tan 的值是 ．16. 某校初三〔一〕班课外活动小组为了测得旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A B 处的仰角为60°，如下图，那么旗杆的高度为 米．〔3 1.732≈，结果准确到0.1米〕17. 如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开场时绳子与水面的夹角为30°，此人以BCAAC (B ′)BA ′C ′ACDEB60°每秒0.5米收绳．问：未开场收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是__________米;收绳8秒后船向岸边挪动了____________米?〔结果保存根号〕18. 小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如下图，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，α=36°，那么长方形卡片的周长为________．〞〔准确到1mm 〕19. 〔参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75〕20. 公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得10BC CD ==米，120B C ∠=∠=°，45A ∠=°．那么这块草地的面积为__________．三、 解答题〔一共40分〕 21. 〔6分〕计算：22009(21)86sin 45(1)--+-+-°．CDABαl12mmDCBA22. 〔7分〕如图，AC 是我某大楼的高，在地面上B 点处测得楼顶A 的仰角为45º，沿BC 方向前进18米到达D 点，测得tan ∠ADC ＝ 53．现打算从大楼顶端A 点悬挂一幅庆贺建国60周年的大型标语，假设标语底端距地面15m ，请你计算标语AE 的长度应为多少？23. 〔7分〕如图，两条笔直的公路AB CD 、相交于点O ，AOC ∠为36°，指挥中心M 设在OA 路段上，与O 地的间隔 为18千米．一次行动中，王警官带队从O 地出发，沿OC 方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进展通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：sin 360.59cos360.81tan 360.73===°，°，°．】23. 〔10分〕如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的间隔 为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． 〔1〕求观测点B 到航线l 的间隔 ；B〔2〕求该轮船航行的速度〔结果准确到0.1km/h 〕．1.73，sin 760.97°≈，cos 760.24°≈，tan 76 4.01°≈〕24.〔10分〕花园小区有一朝向为正南方向的居民楼〔如图〕，该居民楼的一楼是高4米的小区商场，商场以上是居民住房．在该楼的前面16米处要盖一栋高18米的办公楼．当冬季正午的阳光与程度线的夹角为35°时，问：〔1〕商场以上的居民住房采光是否有影响，为什么？〔2〕假设要使商场采光不受影响，两楼应相距多少 米？〔结果保存一位小数〕〔参考数据：sin 350.57≈°，cos350.82≈°，tan 350.70≈°〕参考答案一、选择题 1. A 2. D 3. D 4. C 5. A 6. B 7. D 8. B 9. B 10. D 二、填空题 11. 6012. 13.14. 100 15.31 16.17. 解〔1〕如图，在Rt △ABC 中，BCAC＝sin30° ∴ BC ＝︒sin305＝10米 〔2〕收绳8秒后，绳子BC 缩短了4米，只有6米，这时，船到河岸的间隔 为1125365622=-=-米．故挪动间隔为.18. 解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．18018090909036.DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=-∠=-=∠+∠=︒∴∠==︒°°°°，，根据题意，得BE =24mm ，DF =48mm. 在Rt ABE △中，sin BEABα=， 2440sin 360.60BE AB ∴===°mm在Rt ADF △中，cos DFADF AD∠=，4860cos360.80DF AD ∴===°mm ．∴矩形ABCD 的周长=2〔40+60〕=200mm ．19. 解：连接BD ，过C 作CE BD ⊥于E ，10120BC DC ABC BCD ==∠=∠=，°， 123090ABD ∴∠=∠=∴∠=°，°．5CE BE ∴=∴=，452A AB BD BE ∠=∴===°，ABD BCD ABCD S S S ∴=+△△四边形CE BD BD AB •+•=21212115(15022m =⨯+⨯=+． 三、解答题 20.解：)2200916sin 45(1)--+-︒+-=21+-=21)1++--ClD CBAE 1 2=211+++-=2+21. 解：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，45ABC ∠=°，Rt ABC ∴△是等腰直角三角形，AC BC =．在Rt ADC △中，90ACD ∠=°，tan AC ADC DC ∠=53=， 35DC AC ∴=， BC DC BD -=，即3185AC AC -=．45AC ∴=．那么451530AE AC EC =-=-=． 答：标语AE 的长度应为30米． 22. 解：过点M 作MH OC ⊥于点H ． 在Rt MOH △中，sin MHMOH OM∠= 18OM =，36MOH ∠=°，18sin 36180.5910.6210MH ∴=⨯=⨯=>°．即王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话． 23. 解：〔1〕设AB 与l 交于点O ．在Rt AOD △中，6024cos 60ADOAD AD OA ∠====°，，°．又106AB OB AB OA =∴=-=，．在Rt BOE △中，)(360cos ,60km OB BE OAD OBE =︒=∴︒=∠=∠∴观测点B 到航线l 的间隔 为3km ．〔2〕在Rt AOD △中，3260tan =︒=AD OD ．B在Rt BOE △中，3360tan =︒=BE OE ．DE OD OE ∴=+=．在Rt CBE △中，︒=∠=∴=︒=∠76tan 3tan ,3,76CBE BE CE BE CBE ．3tan 76 3.38CD CE DE ∴=-=-°．15min h 12=，1212 3.3840.6112CDCD ∴==⨯≈〔km/h 〕．24. 解：〔1〕如图，光线交CD 于点E ，过点E 作EF BD ∥交AB 于点F ． 设DE x =米，那么(18)AF x =-米在Rt AFE △中，35AEF ∠=°，tan 35AFEF ∴=° 180.7016x-=， 6.8x = 6.84>，∴居民住房的采光有影响．〔2〕如图，在Rt ABD △中tan ABADB BD ∠= 18tan 35BD =°，1825.7125.80.70BD =≈≈ 答：两楼相距25.8米．本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
第1章解直角三角形单元测试（B卷提升篇）【浙教版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：120分考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019•海淀区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．sin A＝D．tan A＝2．（3分）（2018秋•昭平县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°3．（3分）（2019春•江岸区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（）A．B．C．D．4．（3分）（2019•南关区二模）数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国科如图所示，在D处没得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，D蹑旗杆的距离DE为6米，测角仪CD的高度为1米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）（2019•新华区校级模拟）一人沿坡比为1：的斜边AB滑下，滑下的距离S米与时间t秒的关系式S＝10t+2t2，如果滑到坡底的时间为4秒，则此人水平移动的距离为（）A．36 米B．18米C．72 米D．36米6．（3分）（2019•秦淮区一模）已知Rt△ABC，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则下列选项正确的是（）A．sin A＜sin B B．cos A＜cos B C．tan A＜tan B D．sin A＜cos A7．（3分）（2018秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，则∠BDC的度数是（）A．45°B．60°C．70°D．75°8．（3分）（2019•镇江模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tan C 的值为（）A．B．C．D．9．（3分）（2019•海港区校级自主招生）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2 D．310．（3分）（2019•柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019•黔东南州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan B＝．12．（4分）（2019•富顺县一模）在△ABC中，若，则△ABC是三角形．13．（4分）（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．14．（4分）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD 的值．15．（4分）（2019春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．则tan∠DBC的值为．16．（4分）（2019•铜山区二模）在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2009秋•祁阳县校级期中）（1）已知，求tanα的值．（2）已知α为锐角，且tanα＝4，求的值．18．（8分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，AC=3（1）求∠B的度数与AB的值；（2）求tan∠CDB．19．（8分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D 点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米．（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．20. （10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与CD、AC相交于点F、E，FB=2CF．（1）求sinA的值；（2）如果CD=5，求AE的值．21．（10分）（2019•锦州）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM 的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）22．（12分）（2019•嘉兴二模）如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD 内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据：≈2.24，≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）23．（12分）如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若BE=4，DG=2，求tan∠DBG的值．第1章解直角三角形单元测试（B卷提升篇）【浙教版】参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019•海淀区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．sin A＝D．tan A＝【思路点拨】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【答案】解：∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，∴AC＝＝＝．sin A＝，cos A＝，tan A＝＝，只有选项D正确．故选：D．【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（3分）（2018秋•昭平县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【思路点拨】先判断出A的取值范围，再根据sin45°＝解答即可．【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角．∵sin A＝，∴A＝45°．故选：B．【点睛】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．3．（3分）（2019春•江岸区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（）A．B．C．D．【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴sin∠BCD＝sin A＝＝＝，即只有选项C错误，选项A、B、D都正确，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，cot A＝．4．（3分）（2019•南关区二模）数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国科如图所示，在D处没得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，D蹑旗杆的距离DE为6米，测角仪CD的高度为1米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【答案】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，∴tan55°＝＝，故选：B．【点睛】此题考查了考查仰角的定义，三角函数的定义，注意数形结合思想的应用．5．（3分）（2019•新华区校级模拟）一人沿坡比为1：的斜边AB滑下，滑下的距离S米与时间t秒的关系式S＝10t+2t2，如果滑到坡底的时间为4秒，则此人水平移动的距离为（）A．36 米B．18米C．72 米D．36米【思路点拨】求滑下的距离；设出下降的高度，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解．【答案】解：如图，当t＝4时，s＝10t+2t2＝72．设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线．在直角三角形中，由勾股定理得：x2+（x）2＝722．解得x＝36．即此人水平移动的距离为36米，故选：D．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解．6．（3分）（2019•秦淮区一模）已知Rt△ABC，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则下列选项正确的是（）A．sin A＜sin B B．cos A＜cos B C．tan A＜tan B D．sin A＜cos A【思路点拨】根据大角对大边定理以及三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：设∠A，∠B，∠C对应的边为a，b，c∵∠A＞∠B，∴a＞b，∵sin A＝，sin B＝，cos A＝，cos B＝，∴sin A＞sin B，cos A＜cos B，故选：B．【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是熟练运用大角对大边定理，本题属于基础题型．7．（3分）（2018秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，则∠BDC的度数是（）A．45°B．60°C．70°D．75°【思路点拨】根据在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，可以得到∠A和∠ACD的度数，从而可以求得∠BDC的度数．【答案】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，∴∠A＝30°，∠ACD＝45°，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠BDC＝75°，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和角平分性的性质解答．8．（3分）（2019•镇江模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tan C 的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC＝10，求出BC，那么CD＝BC﹣BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tan C的值．【答案】解：∵在△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝2，∠B＝30°，∴BD＝＝＝6．∵S△ABC＝BC•AD＝10，∴BC•2＝10，∴BC＝10，∴CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4，∴tan C＝＝＝．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长. 9．（3分）（2019•海港区校级自主招生）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2 D．3【思路点拨】如图，作BH⊥AC于H．解直角三角形分别求出AH，CH即可．【答案】解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵∠BHA＝90°，∴cos A＝＝＝，∴AH＝，BH＝＝，在Rt△CBH中，CH＝＝，∴AC＝AH+CH＝+＝3，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会解题常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．（3分）（2019•柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．【思路点拨】如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD 置于直角三角形中，设CE为1，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．【答案】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°∴∠DCE＝45°，∵DE⊥CE∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°∴设DE＝CE＝1，则CD＝在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴tan∠CAD＝，则AC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°∴BC＝，∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝故选：D．【点睛】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019•黔东南州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan B＝．【思路点拨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，设BC＝4x，AB＝5x，根据勾股定理得到AC＝＝3x，根据正切函数的定义即可得到结论．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，勾股定理得AC＝＝3x，由正切等于对边比邻边，得tan B＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，正切函数的定义．12．（4分）（2019•富顺县一模）在△ABC中，若，则△ABC是等边三角形．【思路点拨】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出sin A＝，cos B＝，再利用特殊角的三角函数值求出答案．【答案】解：∵|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．13．（4分）（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．【思路点拨】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．【答案】解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案为：【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．14．（4分）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值．【思路点拨】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：===，进而可得CE=x，DE=x，从而可求tan∠CAD==．【答案】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴===，∴CE=x，DE=x，∴AE=，∴tan∠CAD==，故答案为．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．15．（4分）（2019春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．则tan∠DBC的值为．【思路点拨】过点D作DG⊥BC于点G，易求得AB＝AC＝13，AE＝6，BE＝CE＝5，然后利用中位线的性质即可求出DG＝6，最后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：过点D作DG⊥BC于点G，∵AB＝AC＝13，cos∠ABC＝，∴BE＝5，由勾股定理可知：AE＝12，∵AE⊥BC，∴BE＝EC＝5，∵D是AC的中点，DG∥AE，∴DG是△AEC的中位线，∴DG＝AE＝6，EG＝CE＝，∴BG＝，在Rt△BDG中，tan∠DBC＝＝，故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．16．（4分）（2019•铜山区二模）在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝．【思路点拨】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，由点B为CF的中点、点E为DF的中点可得出BE∥CD，进而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2+BE2可得出∠AEB＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠ABE的值，此题得解．【答案】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示．∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，∴BE∥CD，∴∠AOD＝∠ABE．在△ABE中，AB＝，AE＝2，BE＝，∵AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB＝90°，∴cos∠ABE＝＝＝，∴cos∠AOD＝．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于∠AOD的直角三角形是解题的关键．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2009秋•祁阳县校级期中）（1）已知，求tanα的值．（2）已知α为锐角，且tanα＝4，求的值．【思路点拨】（1）对已知条件分子分母同除以cosα即可求解；（2）根据已知条件可得sinα＝4cosα，代入式子求解即可．【答案】解：（1）分子分母同除以cosα，得＝2，去分母，得3tanα+3＝4tanα+2，解得tanα＝1；（2）∵tanα＝4，＝tanα，∴sinα＝4cosα，∴＝＝﹣13．【点睛】本题利用正弦、余弦与正切之间的关系tanα＝求解．18．（8分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，AC=3（1）求∠B的度数与AB的值；（2）求tan∠CDB．【思路点拨】（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=2x，则根据勾股定理得到AC=x，所以x=3，解得x=3，于是得到CE=3，AE=6，接着利用sinB=得到∠B=45°，则BE=CE=3，最后计算AE+BE得到AB的长，（2）利用CD为中线得到BD=AB=4.5，则DE=BD﹣BE=1.5，然后根据正切的定义求解．【答案】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，在Rt△ACE中，∵tanA==，∴AE=2x，∴AC==x，∴x=3，解得x=3，∴CE=3，AE=6，在Rt△BCE中，∵sinB=，∴∠B=45°，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE=CE=3，∴AB=AE+BE=9，答：∠B的度数为45°，AB的值为9；（2）∵CD为中线，∴BD=AB=4.5，∴DE=BD﹣BE=4.5﹣3=1.5，∴tan∠CDE===2，即tan∠CDB的值为2．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．19．（8分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D 点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米．（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．【思路点拨】（1）在Rt△ABD中利用三角函数即可求解；（2）作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD=AE=AB﹣BE求解．【答案】解：（1）作CE⊥AB于点E，在Rt△ABD中，AD===10（米）；（2）在Rt△BCE中，CE=AD=10米，BE=CE•tanβ=10×=10（米），则CD=AE=AB﹣BE=30﹣10=20（米）答：乙建筑物的高度DC为20m．【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求的AD的长是解题的关键．20. （10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与CD、AC相交于点F、E，FB=2CF．（1）求sinA的值；（2）如果CD=5，求AE的值．【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质得到CD=AD，得到∠A=∠ACD，证明△EFC∽△CFB，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可；（2）根据直角三角形的性质求出AB，根据正弦的定义求出BC，根据勾股定理计算即可．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD，∵∠ACB=90°，BE⊥CD，∴△EFC∽△CFB，∴===，∴CF=2EF，由勾股定理得，CE==EF，∴sin∠ACD==，∴sinA=；（2）∵CD=5，∴AB=10，∵sinA=，∴BC=2，由勾股定理得，AC=4，又EC=BC=，∴AE=3．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、锐角三角函数的概念，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、锐角三角函数的定义是解题的关键．21．（10分）（2019•锦州）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM 的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【思路点拨】过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及矩形的性质，本题属于中等题型．22．（12分）（2019•嘉兴二模）如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD 内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据：≈2.24，≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）【思路点拨】（1）由题意CD＝CH，利用勾股定理求出CH即可．（2）如图2中，作EK⊥PC于K．解直角三角形求出CK，PK，DN即可判断．【答案】解：（1）由题意CD＝CH，在Rt△ACH中，CH＝＝2≈12.2（cm）．∴CD＝CH＝12.6（cm）．（2）如图2中，作EK⊥PC于K．在Rt△ECK中，EK＝EC•sin53°≈4（cm），CK＝EC•cos53°≈3（cm），在Rt△EPK中，PK＝＝＝2≈4.48（cm），∴DP＝CD﹣CK﹣PK﹣MN＝12.6﹣3﹣4.48﹣2＝3.12＞2.5，∴能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．（12分）如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若BE=4，DG=2，求tan∠DBG的值．【思路点拨】（1）只要证明∠CBG=∠CDE，即可用ASA证明△BCG≌△DCE．（2）利用勾股定理分别在RT△DHG，RT△BHG中，求出BH，HG即可解决．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG=∠DCE=90°，BC=CD，∵BF⊥DE，∴∠DFG=∠BCG=90°，∵∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE，（2）解：∵△BCG≌△DCE，∴CG=CE，∵BE=BC+CE=4，DG=CD﹣CG=2，∴BC=CD=3，CG=CE=，在RT△BDC中，∵∠BCD=90°，∴BD===6，过点G作GH⊥BD垂足为H，∵∠DHG=45°，∠DHG=90°，DG=2，∴=，∴DH=2，∴GH=DH=2，∵BD=BH﹣DH，∴BH=6﹣2=4，在RT△BHG中，∵∠BHG=90°，∴tan∠DBG=，∴tan∠DBG=．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用线段和差关系求出线段BC，CG是解题的关键．。
2021-2022学年浙教版九年级数学下册《第1章解直角三角形》期末综合复习训练（附答案）1．某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米B．3米C．2米D．1米2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（）A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（）A．1B．2C．D．4．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能5．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．6．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（）A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A．+1B．﹣1C．D．8．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为．9．数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为米．10．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P 的距离为海里（结果保留根号）．11．如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是m（≈1.732，结果保留整数）．12．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）13．如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）14．2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D 在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果保留整数，参考数据：≈1.732，≈1.414）15．小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）16．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？17．如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）18．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）19．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．20．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．21．小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）22．小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）23．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．24．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）25．某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？26．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．（1）求观测点B与C点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．参考答案1．解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，则BD＝AB•sin∠BAD≈5×＝3（米），在Rt△BCD中，∠C＝30°，∴BC＝2BD＝6（米），则调整后的楼梯会加长：6﹣5＝1（米），故选：D．2．解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH＝BF，BH＝DF，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴＝1：，设DF＝xm，CF＝xm，∴CD＝＝2x＝20m，∴x＝10，∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，∴DH＝BF＝（10+30）m，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，故选：A．3．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故选：B．4．解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE 即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故选：A．5．解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．故选：A．6．解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∵四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH＝50（米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，FC＝EF•tan60°，∴CF＝50×≈86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．故选：A．7．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，∴tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．8．解：过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，∴BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝4，∴CD＝＝5，①△ABC是钝角三角形时，AC＝AD﹣CD＝1，∴S△ABC＝AC•BD＝＝2；②△ABC是锐角三角形时，AC＝AD+CD＝7，∴S△ABC＝AC•BD＝×7×4＝14，故答案为：2或14．9．解：在Rt△APO中，OP＝15米，∠APO＝30°，∴OA＝OP•tan30°＝（米），在Rt△POB中，OP＝15米，∠OPB＝60°，∴OB＝（米），∴AB＝OA+OB＝20（米），故答案为：20．10．解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝P A•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．11．解：过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，根据题意得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，AB＝3×10＝30m，∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°，在Rt△ABH中，AH＝AB＝15m，∵tan∠ABH＝，∴BH＝＝＝15，∵∠ACH＝∠ACD﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°，∴CH＝AH＝15m，∴BC＝BH+CH＝（15+15）m，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝≈20（m）．答：这架无人机的飞行高度大约是20m．故答案为20．12．解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，在Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16，∴BM＝sin60°•AB＝×16＝8（cm），∠ABM＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，又∵BC＝8，∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），即点C到AE的距离约为6.3cm，故答案为：6.3．13．解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×＝40（海里），∵∠CAB＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AC＝AD＝×40＝40（海里）．答：货船与港口A之间的距离是40海里．14．解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝2000（米），OD＝AD＝2000（米），在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），答：火箭的速度约为335米/秒．15．解：过点O作OE⊥AB于点E，则BE＝OD＝3m，设AE＝xm，则AB＝（x+3）m，A′E＝（x+6）m，∵∠AOE＝45°，∴OE＝AE＝xm，∵∠A′OE＝60°，∴tan60°＝＝，即＝，解得x＝3+3，∴AB＝3+3+3＝（6+3）m．16．解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，设PC＝x，则BC＝x，在Rt△P AC中，∵tan30°＝＝＝，∴x＝10+10，∴P A＝2x＝20+20，答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，有sin∠PBE＝＝＝，∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．17．解：过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示：则四边形AMBN是矩形，∴AN＝BM，BN＝MA，∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2＝，∴设BM＝x米，则AM＝2x米，∴AB＝＝＝x＝105，∴x＝21，∴AN＝BM＝21（米），BN＝AM＝42（米），在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°，∴△BCN是等腰直角三角形，∴CN＝BN＝42（米），∴AC＝AN+CN＝21+42＝63≈141.1（米），答：观光电梯AC的高度约为141.1米．18．解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝＝4（m），∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，∴，即，∴BD＝＝2.25（m），∴tan∠AOD＝tan70°＝，即≈2.75，解得：AB＝6m，∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．19．解：（1）过点D作DH⊥CE于点H，由题意知CD＝2米，∵斜坡CF的坡比为i＝1：3，∴，设DH＝x米，CH＝3x米，∵DH2+CH2＝DC2，∴，∴x＝2，∴DH＝2（米），CH＝6（米），答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a+6）米，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝a（米），∴AG＝（a﹣2）米，∵∠ADG＝30°，∴，∴，∴a＝6+4，∴AB＝（6+4）（米）．答：大树AB的高度是（6+4）米．20．解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：设AC＝x米，由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，∴PC＝AC＝x（米），在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，∵PC﹣QC＝PQ＝5米，∴x﹣（x+3）＝5，解得：x＝4（+1），∴BC＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），答：无人机飞行的高度约为14米．21．解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵BC⊥AB，∴四边形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，∴AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，∴CD＝≈＝xm，∵AD＝CD+BC，∴2（x+150）＝+150，解得x＝250（m），∴DF＝250 m，∴DE＝250+150＝400 m，∴AD＝2DE＝800 m，∴CD＝800﹣150＝650 m，由勾股定理得AE＝＝＝400m，BE＝CF＝＝＝600 m，∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293 m．22．解：过D作DM⊥AC于M，设MD＝x，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x，∴AD＝x，在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400，∴MD＝400m，∴AD＝MD＝400，过B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，∴BN＝AN＝AB＝300，∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE＝BN＝×300＝300，∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），即D处学校和E处图书馆之间的距离约是580m．23．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．24．解：（1）依题意知：∠P AB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，过点B作BD⊥AP于D点，∵∠DAB＝45°，，∴AD＝BD＝4，∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，∴∠PBD＝60°，∵BD＝4，∴，∴P A＝（4+4）（km）；（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，∴PB＝8，过点P作PE⊥BC于E，∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，∴∠PBE＝60°，∵PB＝8，∴BE＝4，，∵BC＝12，∴CE＝8，∴PC＝＝4（km）．25．解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．即∠BCA＝∠CBD，∴AC＝AB＝200（海里）．在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．26．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，∴AE＝CE＝25（海里），∵∠CBE＝30°，∴BE＝25（海里），∴BC＝2CE＝50（海里）．答：观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）如图，作CF⊥DB于点F，∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，∴四边形CEBF是矩形，∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），在Rt△DCF中，根据勾股定理，得CD＝＝＝70（海里），∴70÷42＝（小时）．答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．。
专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)． 在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米． 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°， 因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米， 所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4， 解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE， 则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。
第1章解直角三角形单元测试(A卷基础篇）【浙教版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：120分考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019春•潍城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AC＝4，BC＝3，则下列结论中正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝2．（3分）（2019•滨海新区模拟）cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．（3分）（2019•岳麓区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝5，那么AC等于（）A．5tanαB．5cosαC．5sinαD．4．（3分）（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（3分）（2019•道里区校级模拟）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道，为测量B、C 两地之间距离，某工程师乘热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处；在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）m．A．100B．50C．50D．6．（3分）（2018秋•永州期末）下列各式中，不成立的是（）A．cos60°＝2sin30°B．sin15°＝cos75°C．tan30°•tan60°＝1 D．sin230°+cos230°＝17．（3分）（2018秋•密云区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则AC的长为（）A．6 B．8 C．10 D．128．（3分）（2019•邵阳县模拟）已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（）A．﹣1 B．2 C．3 D．2.59．（3分）（2019•石家庄模拟）在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货船从B港口沿北偏西60°的方向出发，2h后相遇在点P处，如图所示．问A港与B港相距____海里．（）A．10B．5+5C．10+5D．2010．（3分）（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019•雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝．12．（4分）（2019•杨浦区校级自主招生）求值：cos30°•sin45°•tan60°＝．13．（4分）（2019•雨花区校级模拟）在Rt△ABC中，2sin（α+20°）＝，则锐角α的度数为．14．（4分）（2019•江阴市模拟）如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD，那么BD＝米．（结果保留根号）15．（4分）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是．16．（4分）（2018秋•道外区期末）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin∠A＝，点D为边AC上一点，若∠BDC＝45°，DC＝6cm，则△ABC的面积等于cm2．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2018秋•兴化市期末）计算：（1）sin230°+sin60°﹣sin245°+cos230°；（2）．18．（8分）（2019春•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝6，求AB的长．19．（8分）（2019•十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．20．（10分）（2019•柳江区模拟）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是100m，求乙楼的高CD（结果保留根号）．21．（10分）（2019•大庆一模）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离为多少千米？（参考数据：≈1.732，结果保留小数点后一位）22．（12分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．（12分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=；（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD=45°，连接CD，直接写出线段CD的长．第1章解直角三角形单元测试（A卷基础篇）【浙教版】参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019春•潍城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AC＝4，BC＝3，则下列结论中正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝【思路点拨】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答．【答案】解：由勾股定理得，AB＝＝5，则sin A＝＝，A选项错误；cos A＝＝，B、D选项错误；tan A＝＝，C选项正确；故选：C．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．2．（3分）（2019•滨海新区模拟）cos45°的值等于（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【答案】解：cos45°＝．故选：D．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．3．（3分）（2019•岳麓区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝5，那么AC等于（）A．5tanαB．5cosαC．5sinαD．【思路点拨】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：在Rt△ABC中，cosα＝，∴AC＝AB•cosα＝5cosα，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．4．（3分）（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【思路点拨】根据特殊角的三角函数值解答．【答案】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．5．（3分）（2019•道里区校级模拟）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道，为测量B、C 两地之间距离，某工程师乘热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处；在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）m．A．100B．50C．50D．【思路点拨】根据正切的定义计算即可．【答案】解：由题意得，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，则BC＝＝100，故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（3分）（2018秋•永州期末）下列各式中，不成立的是（）A．cos60°＝2sin30°B．sin15°＝cos75°C．tan30°•tan60°＝1 D．sin230°+cos230°＝1【思路点拨】根据互余两角的三角函数关系判断即可．【答案】解：A、cos60°＝sin30°，错误；B、sin15°＝cos75°，正确；C、tan30°•tan60°＝1，正确；D、sin230°+cos230°＝1，正确；故选：A．【点睛】此题考查互余两角的三角函数关系，关键是根据互余两角的三角函数关系解答．7．（3分）（2018秋•密云区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则AC的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【思路点拨】根据题意，利用锐角三角函数可以求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝，∵AB＝10，∴BC＝6，∴AC＝＝8，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．8．（3分）（2019•邵阳县模拟）已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（）A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5【思路点拨】根据同角三角函数关系tanα＝进行解答．【答案】解：由＝1，得＝1．所以＝1．解得tanα＝2.5．故选：D．【点睛】考查了同角三角函数关系，熟练运用同角的同角三角函数关系式进行求解．9．（3分）（2019•石家庄模拟）在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货船从B港口沿北偏西60°的方向出发，2h后相遇在点P处，如图所示．问A港与B港相距____海里．（）A．10B．5+5C．10+5D．20【思路点拨】先作PC⊥AB于点C，根据甲货船从A港沿北东的方向以5海里/小时的速度出发，求出∠PAC和AP，从而得出PC的值，得出BC的值，即可求出答案．【答案】解：作PC⊥AB于点C，∵甲货船从A港沿北东的方向以5海里/小时的速度出发，∴∠PAC＝45°，AP＝5×2＝10，∴PC＝AC＝5，∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC＝60°，∴BC＝PC＝5，∴AB＝AC+BC＝5+5，答：A港与B港相距（5+5）海里，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．10．（3分）（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．【答案】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019•雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝．【思路点拨】根据正弦的定义解答．【答案】解：在Rt△ABC中，sin A＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．12．（4分）（2019•杨浦区校级自主招生）求值：cos30°•sin45°•tan60°＝．【思路点拨】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．【答案】解：cos30°•sin45°•tan60°＝××＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．13．（4分）（2019•雨花区校级模拟）在Rt△ABC中，2sin（α+20°）＝，则锐角α的度数为40°．【思路点拨】先通过sin（α+20°）＝，计算α+20°的值，从而可求α值．【答案】解：由题意可得sin（α+20°）＝，所以α+20°＝60°，解得α＝40°．故答案为40°．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值的运用．14．（4分）（2019•江阴市模拟）如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD，那么BD＝100（﹣）米．（结果保留根号）【思路点拨】直接利用锐角三角函数关系得出AC，BC的长，进而得出DC的长，即可得出答案．【答案】解：由题意可得：BC＝AC＝AB•sin45°＝100（m），则tan30°＝，故DC＝＝100×＝100（m），则BD＝100（﹣）m．故答案为：100（﹣）．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确运用锐角三角函数关系是解题关键．15．（4分）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是．【思路点拨】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．．【答案】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵tan∠ACD=，∴tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，∵AC2+BC2=AB2，∴（3x）2+（4x）2=52，解得：x=1，∴AC=3，BC=4，∵S△ABC=，∴CD==，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．16．（4分）（2018秋•道外区期末）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin∠A＝，点D为边AC上一点，若∠BDC＝45°，DC＝6cm，则△ABC的面积等于12cm2．【思路点拨】在Rt△BCD中利用正切定义得到BC＝6，再在Rt△ABC中利用正弦定义计算出AB＝14，接着利用勾股定理计算出AC＝4，然后根据三角形面积公式计算．【答案】解：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC＝，∴BC＝6tan45°＝6，在Rt△ABC中，∵sin∠A＝，∴AB＝＝14，∴AC＝＝4，∴△ABC的面积＝×6×4＝12（cm2）．故答案为12．【点睛】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义计算直角三角形中未知的边和角．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2018秋•兴化市期末）计算：（1）sin230°+sin60°﹣sin245°+cos230°；（2）．【思路点拨】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【答案】解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+＝+；（2）原式＝＝．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（6分）（2019春•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝6，求AB的长．【思路点拨】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30°，tan B＝，AC＝6可求出AD与BD的长度．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，∴CD＝AC•sin30°＝3，AD＝AC×cos30°＝9，在Rt△CDB中，∵tan B＝∴＝∴BD＝4，∴AB＝AD+DB＝9+4．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．19．（6分）（2019•十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．【思路点拨】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到结论．【答案】解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，∵坡角α＝45°，β＝30°，∴BE＝AE＝6，CF＝DF＝6，∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6＝9+6，∴BC＝（9+6）m，答：BC的长（9+6）m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．20．（6分）（2019•柳江区模拟）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是100m，求乙楼的高CD（结果保留根号）．【思路点拨】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【答案】解：由题意可得：∠BDA＝45°，则AB＝AD＝100m，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA＝tan30°＝＝，解得：CD＝（m），答：乙楼的高CD为．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA＝＝是解题关键．21．（6分）（2019•大庆一模）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C 到海岸线l的距离为多少千米？（参考数据：≈1.732，结果保留小数点后一位）【思路点拨】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝2km，在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝2×＝≈1.7（km），答：船C到海岸线l的距离约为1.7km．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．22．（12分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【思路点拨】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．【答案】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．23．（12分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=；（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD=45°，连接CD，直接写出线段CD的长．【思路点拨】（1）如图，作∠BAC=90°，且边AC=3，才能满足条件；（2）作DE=2，连接DF，则△DEF是以EF为边且面积为3的三角形，连接BD，CD，则∠CBD=45°．【答案】解：（1）如图，由勾股定理得：AB==2，AC==3，BC==，∴AB2+AC2=（2）2+（3）2=26，BC2=（）2=26，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，tan∠ACB===；（2）如图，∵S△DEF=×2×3=3，∵BC=，CD==，BD==，∴BC2+CD2=52，BD2=52，∴BC2+CD2=BD2，∴∠BCD=90°，BC=CD，∴∠CBD=45°，∴CD=．【点睛】本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．。
浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，各边都扩大5倍，则tanA 的值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 【答案】A【解析】∵三角函数值与对应边的比值有关， ∴各边都扩大5倍后，tanA 的值不变. 故答案为：A.2．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（ ）米．A ．100cos20° B ．100cos20° C ．100sin20° D ．100sin20° 【答案】B【解析】∵△B=90°，△C=20°，∴cos∠C =BCAC，∴BC=AC·cos∠C =100cos20°. 故答案为：B. 3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（ ）米A ．4√3B ．6√5C ．12√5D ．24【答案】B【解析】如图,过B 作BE△AD 于点E ，∵斜面坡度为1：2，AE=12， ∴BE=6，在Rt△ABC 中， AB =√AE 2+BE 2=√122+62=6√5 ． 故答案为：B ．4．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√32D ．1【答案】B【解析】如图，设AB 与CD 交于点E ，过点C 作CF△AB ，连接DF ，∵CF△AB ，∴∠C =∠AEC =α ， 设小正方形的边长为1，根据勾股定理得： CD 2=12+32=10 ， DF 2=12+22=5 ， CF 2=12+22=5 ，∴CF 2+DF 2=CD 2 ，DF=CF ， ∴△CDF 为等腰直角三角形， ∴△C=45°，∴sinC =√22，∴夹角α的正弦值为 √22.故答案为：B.5．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA 旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A 观察到瞰胜楼楼底点C 的仰角为12°，楼顶点D 的仰角为13°，测得斜坡BC 的坡面距离BC = 510米，斜坡BC 的坡度 i =8：15 .则瞰胜楼的高度CD 是（ ）米.（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A ．30B ．32C ．34D ．36 【答案】D【解析】由斜坡BC 的坡度i =8：15 ，设 CE =8x 、 BE =15x ， 在 Rt △BCE 中，BC =√BE 2+CE 2=√(8x)2+(15x)2=17x ， 由 BC =17x =510 求得 x =30 ， ∴CE =240 米、 BE =450 米，在 Rt △ACE 中，AE =CE tan∠CAE =240tan12°=1200 （米）， 在 Rt △ADE 中，DE =AEtan∠DAE =1200×tan13°=276 （米）， 则 DC =DE −CE =276−240=36 （米）. 故答案为：D.6．若规定 sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ ，则sin15°=（ ） A ．√2−12 B ．√2−√64 C ．√3−12 D ．√6−√24【答案】D【解析】由题意得，sin15°=sin （45°-30°） =sin45°cos30°-cos45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24故答案为：D7．如图，在菱形ABCD 中，DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，则tan△DBE 的值是（ ）A ．12B ．2C ．√52D ．√55【答案】B【解析】∵DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，∴AE AD =3AD =35，解得：AD ＝5. ∴DE ＝ √AD 2−AE 2=√52−32＝4， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=5， ∴BE ＝5﹣3＝2，∴tan△DBE ＝ DE BE =42＝2.故答案为：B.8．如图，在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3，DE△AC 于点E ，连接BE ，则tan△CBE 的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设AB=4a ，∵在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3， ∴BC=2a ，AC=2 √3 a ，AD ：AB=1：4， ∵△C=90°，DE△AC ， ∴△AED=90°， ∴△AED=△C ， ∴DE△BC ，∴△AED△△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴AE AC =14 ，∴AE= 14×2√3a =√32a ，∴EC=AC ﹣AE= 2√3a −√32a =3√32a ，∴tan△CBE= CE CB =3√32a 2a =3√34，故答案为：C ．9．如图，已知扇形OAB 的半径为r ，C 是弧AB 上的任一点（不与A ，B 重合），CM△OA ，垂足为M ，CN△OB ，垂足为N ，连接MN ，若△AOB ＝ α ，则MN 可用 α 表示为（ ）A ．rsinαB ．2rsin α2 C ．rcosα D ．2rcos α2【答案】A【解析】如图，连接OC 交MN ，延长OM 、ON 交于一点D ，∵∵△CMD=△DNO=90°， ∴△D=△D ，∴△CMD△△OND ，∴DM DN =DC DO ，即DM DC =DN DO , ∵△D=△D ，∴△DMN△△DCO ， ∴MN CO =DN OD， ∵sin△AON=DN OD ,∴sin△AON=MN CO, 即sin α=MN r,∴MN= rsinα ， 故答案为：A.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（ ）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12【答案】C【解析】过A 作AQ△BC 于Q ，过E 作EM△BC 于M ，连接DE ，∵BE 的垂直平分线交BC 于D ，BD=x ， ∴BD=DE=x ，∵AB=AC ，BC=8，tan△ACB=y ， ∴EM MC =AQCQ =y ，BQ=CQ=4， ∴AQ=4y ，∵AQ△BC ，EM△BC ， ∴AQ ∥EM ，∵E 为AC 中点，∴CM=QM=12CQ=2，∴EM=2y ，∴DM=8-2-x=6-x ，在Rt△EDM 中，由勾股定理得：x 2=（2y ）2+（6-x ）2， 即3x -y 2=9. 故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，正方形网格中，点A ，O ，B ，E 均在格点上．△O 过点A ，E 且与AB 交于点C ，点D 是△O 上一点，则tan∠CDE = ．【答案】12【解析】由题意可得：△CDE ＝△EAC ， 则tan△CDE ＝tan△EAC ＝BE AE =24=12．故答案为：12．12．如图，已知BD 是△ABC 的外接圆直径，且BD =13，tanA =512，则BC = ．【答案】5【解析】如图所示，连接C ，D ，由图可知 ∠A =∠D （同弧所对的圆周角相等）， 且 ∠BCD =90°（直径所对的圆周角等于90°），∵tanA =512，∴sinA =513，∴sinA =sinD =513，∴BC =BD ⋅sinD =13×513=5，故答案为：5．13．如图所示，在四边形 ABCD 中， ∠B =90° ， AB =2 ， CD =8 ， AC ⊥CD ，若 sin∠ACB =13，则 cos∠ADC = ．【答案】45【解析】∵∠B =90° ， sin∠ACB =13，∴AB AC =13 ，∵AB =2 ，∴AC =6 ，∵AC ⊥CD ，∴∠ACD =90° ，∴AD =√AC 2+CD 2=√62+82=10 ，∴cos∠ADC =DC AD =810=45． 14．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin△CAM ＝ 35，则tan△B ＝ ．【答案】23【解析】Rt△AMC 中，sin△CAM=MC AM =35， 设MC=3x ，AM=5x ，则AC= √AM 2−MC 2 =4x ． ∵M 是BC 的中点，∴BC=2MC=6x ． 在Rt△ABC 中，tan△B= AC BC =4x 6x =23．故答案为 23.15．如图，在5×5的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点O ，则tan△AOC ＝ .【答案】12【解析】如图：将线段AB 向右平移至FD 处，使得点B 与点D 重合，连接CF ，∴△AOC ＝△FDC ，设正方形网格的边长为单位1，根据勾股定理可得：CF =√22+12=√5，CD =√42+22=2√5， DF =√32+42=5，∵(√5)2+(2√5)2=52， ∴CF 2+CD 2＝DF 2， ∴△FCD ＝90°，∴tan∠AOC =tan∠FDC =CF CD =√52√5=12.故答案为：12.16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图.经测量，车轮的直径为 66cm ，中轴轴心 C 到地面的距离 CF 为 33cm ，后轮中心 A 与中轴轴心 C 连线与车架中立管 BC 所成夹角 ∠ACB =72° ，后轮切地面 l 于点 D .为了使得车座 B 到地面的距离 BE 为 90cm ，应当将车架中立管 BC 的长设置为 cm .（参考数据: sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.1)【答案】60【解析】∵车轮的直径为 66cm ∴AD=33cm ∵CF=33cm ∴AC△DF∴EH=AD=33cm ∵BE△ED ∴BE△AC∵BH=BE -EH=90-33=57cm∴△sinACB=sin72°= BH BC =57BC=0.95∴BC=57÷0.95=60cm 故答案为60.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．求下列各式的值（1）sin45°cos45°+4tan30°sin60° ；（2）cos60°−2sin 245°+23tan60°−sin30° .【答案】（1）解： sin45°cos45°+4tan30°sin60°=√22×√22+4×√33×√32=12+2 =52. （2）解：cos60°−2sin 245°+23tan 260°−sin30° .=12 -2×(√22)2+23×(√3)2-12 =12-1+2-12 =1. 18．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度.如图所示，测得斜坡BE 的坡度i ＝1：4（即AB ：AE ＝1：4），坡底AE 的长为8米，在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°，在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60°.（1）求AB的高；（2）求树高CD.（结果保留根号）【答案】（1）解：作BF△CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，∴CF=AB，∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，∴AB=2（米），（2）解：∵AB=2，∴CF=2，设DF=x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF=DF BF，则BF=DFtan30∘=√3x（米），在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC=DC EC∴EC=√33(x+2)米.∵BF-CE=AE，即√3x−√33(x+2)=8.解得：x=4√3+1，则CD=4√3+1+2=(4√3+3)米.答：CD的高度是（(4√3+3)）米.19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米.（1）求BH的长；（2）木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=10°，tan∠ABC=AC BC，则BC=ACtan∠ABC≈1.80.18=10(cm)，∴BH=BC−HC=7(cm)，（2）解：在 Rt △BPH 中， ∠ABC =10° ， tan∠ABC =PHBH， 则 PH =BH ⋅tan∠ABC ≈7×0.18≈1.3(cm) ， 答：木桩上升了大约 1.3 厘米.20．图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与地面垂直的OM 位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（1）求AB 的长（精确到0.01米）；（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N 点运动到M 点的路径MN ⌢的长度．（结果保留π）【答案】（1）解：过B 作BE△AC 于E ，则AE=AC ﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，△AEB=90°，∴AB =AE sin∠ABE =0.4sin20°≈1.17（米）.（2）解：△MON=90°+20°=110°，∴弧MN 的长度是110π×0.8180=2245π米. 21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 DE 、箱长 BC 、拉杆 AB 的长度都相等，即 DE =BC =AB ，点 B ， F 在线段 AC 上，点 C 在 DE 上，支撑点 F 到箱底 C 的距离 FC =32cm ，CE ： CD =1 ： 5 ， DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，请根据以上信息，解决下列问题：（1）求水平滑杆 DE 的长度；（2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 DE 的距离 ℎ 的值 ( 结果保留到 1cm).( 参考数据：sin50°≈0.77 ， cos50°≈0.64 ， tan50°≈1.19) . 【答案】（1）解： ∵DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，在 Rt △CDF 中， cos50°=CFCD，∴CD =CF cos50∘=320.64≈50(cm) ，∵CE ： CD =1 ： 5 ， ∴DE =60cm ；（2）解：如图，过A 作 AG ⊥ED ，交 ED 的延长线于G ，∵DE =BC =AB ， DE =60cm ， ∴AC =120cm ，在 Rt △ACG 中， sin∠DCF =AGAC，∴ℎ=AG =AC ⋅sin50°=120×0.77=92.4≈92(cm) .22．如图，在等腰三角形ABC 中，△ABC ＝90°，点D 为AC 边上的中点，过点D 作DE△DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F.（1）求证：DE ＝DF（2）若AE ＝4，FC ＝3，求cos△BEF 的值. 【答案】（1）证明：连接BD ，∵ △ABC=90°，D 为AC 边上的中点，∴AD=BD=CD ，△C=△A=△EBD=△FBD=45°，BD△AC ，∵DE△DF ，∴△EDF=△BDC=90°，∴△EDB=△CDF=90°-△BDF ， ∴△EDB△△FDC （ASA ）， ∴ DE=DF（2）解：∵ △EDB△△FDC ，CF =3， ∴ CF=BE=3，同理AE=BF=4，在Rt△EBF 中，由勾股定理得：EF=√32+42=5，∴ cos△BEF ＝BF EF =35.23．如图，AB 是△O 的直径，弦CD△AB 于点E ，点P 在△O 上，△1=△BCD ．（1）求证：CB△PD ；（2）若BC=3，sin△BPD= 35，求△O 的直径．【答案】（1）证明：∵△D=△1，△1=△BCD，∴△D=△BCD，∴CB△PD；（2）解：连接AC，∵AB是△O的直径，∴△ACB=90°，∵CD△AB，∴BD⌢= BC⌢，∴△BPD=△CAB，∴sin△CAB=sin△BPD= 3 5，即BCAB=35，∵BC=3，∴AB=5，即△O的直径是5．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC△AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作△Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF.（1）求线段AE的长；（2）若△ABE＝△FDE，求EF的值.（3）若AB﹣BO＝4，求tan△AFC的值.【答案】（1）解：∵点A（0，8），∴AO=8，∵点D是点C关于点A的对称点，∴AC=AD，∵AC△AB，∴BC=BD，∴∠C=∠ADB，∵以AD为直径作△Q交BD于点E，∴∠AED=90°，∴在△CAO和△DAE中，{∠COA=∠AED=90°∠C=∠ADBAC=AD∴△CAO≌△DAE(AAS)，∴AE=AO=8；（2）解：∵△ABE＝△FDE，∴AB ∥DF ，∴∠CAB =∠CDF ，又∵∠C =∠C ，∴△CAB ∽△CDF ，∴AB DF =AC CD =12， ∵△ABE ＝△FDE ，∠AEB =∠FED ， ∴△ABE ∽△FDE ，∴AE FE =AB DF =12，即8FE =12， 解得△FE =16；（3）解：∵AB ﹣BO ＝4，即AB =BO +4， ∵∠AOB =90°，∴在RtΔABO 中，AO 2+OB 2=AB 2，即82+OB 2=(OB +4)2， 解得△OB =6，AB =10，∵∠BEF =90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6， ∵∠AOB =∠BEF =90°，∠AFO =∠BFE ， ∴△AFO ∽△BFE ，∴AO BE =FO EF =86=43， ∴设EF =3x ，OF =4x ，∴BF =4x −6，∴在RtΔBEF 中，BE 2+EF 2=BF 2，即62+(3x)2=(4x −6)2，解得△x =487， ∴EF =3x =1447， ∴tan∠AFC =tan∠EFB =BE EF =61447=724.。
1.3解直角三角形第1课时解直角三角形【基础练习】知识点已知一边一角或两边解直角三角形,BC=6,则AB的长为()1.在Rt△ABC中,△C=90°,sin A=35A.4B.6C.8D.102.如图1,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=30°,AB=8,则BC的长为()图1A.4√3B.4C.8√3D.4√333.在Rt△ABC中,已知△C=90°,△A=40°,BC=3,则AC等于()A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°4.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,c=10,△A=45°,则a=,b=,△B=°.5.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,a=6,b=2√3,则△B的度数为.6.如图2,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=37°,BC=32,则AC的长约为.(结果保留整数,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)图27.如图3所示,AB是伸缩式的遮阳棚,CD是窗户,要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户,则AB的长度是米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°).图38.如图4,在Rt△ABC 中,△C=90°,a ,b ,c 分别为△A ,△B ,△C 的对边,由下列条件解直角三角形. (1)△A=60°,b=4; (2)a=13,c=√23;(3)c=2√2,△B=30°;(4)a=8,sin B=√22.图49.如图5,在△ABC 中,△ABC=90°,△A=30°,D 是边AB 上一点,△BDC=45°,AD=4,求BC 的长.(结果保留根号)图5【能力提升】10.某简易房的示意图如图6所示,它是一个轴对称图形,则AC的长为()图6A.511sinα米B.511cosα米C.115sinα米D.115cosα米11.等腰三角形的腰长为2√3,底边长为6,则底角等于()A.30°B.45°C.60°D.120°12.[2019·杭州]如图7,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC△OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,△BCO=x,则点A到OC的距离等于()图7A.a sin x+b sin xB.a cos x+b cos xC.a sin x+b cos xD.a cos x+b sin x13.如图8,已知在Rt△ABC中,△ABC=90°,点D沿BC边从点B向点C运动(点D与点B,C不重合),作BE△AD于点E,CF△AD,交AD的延长线于点F,则在点D运动的过程中,BE+CF的值()图8A.不变B.逐渐增大C.逐渐减小D.先增大后减小14.如图9,小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,点B恰好落在AD边上,设此点为F.若AB∶BC=4∶5,则tan△ECB的值为.图915.在学习《解直角三角形》一章时,小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.(1)初步尝试:我们知道:tan60°=,tan30°=,发现结论:tan A2tan A2(填“=”或“≠”).(2)实践探究:如图10△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=2,BC=1,求tan A2的值.小明想构造包含12△A的直角三角形:延长CA至点D,使得DA=AB,连结BD,可得到△D=12△BAC,即转化为求△D的正切值.请按小明的思路进行余下的求解.(3)拓展延伸:如图△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=3,tan A=13.△tan2A=;△求tan3A的值.图10答案1.D2.D3.D4.5√2 5√2 455.30° [解析] ∵tan B=ba ,b=2√3,a=6, ∴tan B=2√36=√33,∴∠B=30°. 6.24 [解析] 因为在Rt △ABC 中,∠C=90°, 所以tan B=ACBC ,即tan37°=AC32, 所以AC=32·tan37°≈32×0.75=24. 7.√38.解:(1)∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°. ∵b=4,cos A=bc,∴4c=12,解得c=8,∴a=√82-42=4√3.(2)∵a=13,c=√23,∴b=√c 2-a 2=13. ∵sin A=a c =13÷√23=√22, ∴∠A=45°,∴∠B=45°. (3)∵∠B=30°,c=2√2,sin B=bc , ∴12=2√2,∠A=60°,∴b=√2,∴a=√c 2-b 2=√(2√2)2-(√2)2=√6. (4)∵sin B=√22,∴∠B=45°, ∴∠A=45°,∴b=a=8, ∴c=√a 2+b 2=8√2.9.解:∵∠ABC=90°,∠BDC=45°, ∴BD=BC.∵∠ABC=90°,∠A=30°, ∴AB=√3BC ,∴AD+BD=√3BC ,即AD+BC=√3BC. 又∵AD=4,∴4+BC=√3BC , 解得BC=2√3+2.10.D [解析] 如图,过点A 作AH ⊥BC 于点H.由题意,得AB=AC ,BC=4+0.2+0.2=4.4(米). ∵AH ⊥BC , ∴BH=CH=2.2米. 在Rt △ABH 中,cos α=BH AB,∴AB=BHcosα=2.2cosα=115cosα(米),即AC=115cosα米. 故选D . 11.A [解析] 如图所示,在△ABC 中,AB=AC=2√3,BC=6,过点A 作AD ⊥BC 于点D , 则BD=12BC=12×6=3.在Rt △ABD 中,cos B=BDAB =2√3=√32,∴∠B=30°.故选A .12.D [解析] 如图,过点A 分别作AE ⊥OC 于点E ,AF ⊥OB 于点F .∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°.∵∠ABC=∠AEC ,∠BCO=x ,∴∠EAB=x,∴∠FBA=x.∵AB=a,AD=b,∴AE=FO=FB+BO=a cos x+b sin x.故选D.13.C[解析] ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴CF∥BE,∴∠DCF=∠DBE.设∠DCF=∠DBE=α,则CF=CD·cosα,BE=DB·cosα,∴BE+CF=(DB+CD)cosα=BC·cosα.∵∠ABC=90°,∴0°<α<90°,当点D从点B向点C运动时,α是逐渐增大的,∴cosα的值是逐渐减小的,∴BE+CF=BC·cosα的值是逐渐减小的.故选C.14.12[解析] 设AB=4k,则BC=5k.在△DFC中,FC=BC=5k,CD=AB=4k,∴DF=3k,∴AF=2k.由折叠的性质可知∠CFE=∠B=90°,∴∠CFD+∠AFE=90°.又∵∠CFD+∠DCF=90°,∴∠AFE=∠DCF.又∵∠D=∠A=90°,∴△DFC∽△AEF,∴DFAE =FCEF,即3kAE=5k4k-AE,解得AE=1.5k,∴BE=2.5k,∴tan∠ECB=2.5k5k =1 2 .15.解:(1)√3√33≠(2)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴AB=√AC 2+BC 2=√5. ∵DA=AB ,∴∠D=∠ABD ,CD=DA+AC=√5+2, ∴∠BAC=2∠D , ∴tan A2=tan D=BCCD =√5+2=√5-2.(3)①34 [解析] 如图ⓐ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结BE ,则AE=BE ,∠A=∠ABE ,∴∠BEC=2∠A. ∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,tan A=13, ∴BC=1,则AB=√AC 2+BC 2=√10. 设AE=x ,则BE=x ,EC=3-x.在Rt △EBC 中,由勾股定理,得BE 2=EC 2+BC 2,即x 2=(3-x )2+1, 解得x=53,即AE=BE=53,∴EC=43,∴tan2A=tan ∠BEC=BC EC=34.故答案为34.②如图ⓑ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结CE ,作BM 交AC 于点M , 使∠MBE=∠ABE ,则∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A. 设EM=y ,则CM=EC -EM=43-y. ∵∠MBE=∠ABE ,∠A=∠ABE ,∴∠A=∠MBE ,∠ABM=2∠A=∠BEC , ∴△ABM ∽△BEM , ∴AB BE =BM EM,即√1053=BM y,∴BM=3√105y. 在Rt △MBC 中,BM 2=CM 2+BC 2, 即3√105y 2=43-y 2+1,整理得117y 2+120y -125=0, 解得y 1=2539,y 2=-53(不合题意,舍去), 即EM=2539,则CM=43-2539=913,∴tan3A=tan ∠BMC=BCCM=1913=139.。
