(完整版)n次方根(教案)

n次根式教学设计发布时间：2023-02-15T07:57:50.622Z 来源：《中小学教育》2022年19期作者：代应松[导读] 1.理解n次方根的概念.2.掌握根式的性质.3.能利用根式的性质对根式进行运算.代应松泸州老窖天府中学一、教学目标1.理解n次方根的概念.2.掌握根式的性质.3.能利用根式的性质对根式进行运算.二、教学重难点重点：n次方根概念的理解；难点：n次方根概念的理解．三、教学过程（一）复习引入初中如何定义平方根和立方根的？类似的，归纳：1．n次方根：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* （二）概念理解试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.填空:(1)25的平方根等于________________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于______________ (4)16的四次方根等于________________ (5)a6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于_________________ 思考：一个数的n次方根有多少个？归纳：即：若xn=a,则奇次方根:正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零. 归纳：即：若xn=a,则偶次方根：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零. 2．根式(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（三）例题分析例1：1.的运算结果是（）A.2B.C.D.例2：计算下列各式的值.例3：计算下列各式的值公式2：当n为奇数时，当n为偶数时，根式的运算性质（1）（2）当n为奇数时，当n为偶数时，正确区分和：（1）已暗含有意义，根据n的奇偶性可知a的取值范围；（2）中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性. 例4：利用根式的性质化简求值（1）（2）（3）（4）例5：若，则实数a的取值范围是 .练习：若，则实数a的取值范围是 .（四）、课堂小结我们用类比的方法研究了：（1）n次方根的定义（2）n次方根的性质。

晋城一中（数学）课时教案学年度第一学期主要教学过程设计二次备课教学过程一．n次方根的概念1.n次方根的定义一般地，如果ax n=，那么x叫做a的n次方根.（其中1>n，且*∈Nn）2. n次方根的性质(1)aa nn=）（(1>n，且*∈Nn).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数nanaan n.(3)负数没有偶次方根.(4)0的任何次方根都是0，记作00=n3. 根式的概念式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.例1 求下列各式的值：（1）33)8(-（2）2)10(-（3）44)3(π-（4）2)(ba-解：（1）8)8(33-=-（2）10)10(2=-（3）33)3(44-=-=-πππ（4）⎩⎨⎧<-≥-=-=-baabbabababa,,)(2二、分数指数幂的定义1.规定正数的正分数指数幂的意义是：n mnmaa=(0>a，m，*∈Nn，且1>n)；2.规定正数的负分数指数幂的意义是：n mnmnmaaa11==-(0>a，m，*∈Nn，且1>n)；仿照开立方和开平方，提出开n次方根的概念。

发展学生数学推理能力；通过根式的求值，培养学生分类思想，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。

教学过程主要教学过程设计二次备课3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.三、有理数指数幂的运算性质(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①s rsr aaa+=(0>a，r，Qs∈)；②rssr aa=)((0>a，r，Qs∈)；③rrr baab=)((0>a，r，Qs∈).(2)拓展：s rsraaa-=(0>a，r，Qs∈).例2 求值：（1）328；（2）43)8116(-.解：（1）42)2(8232332===；（2）827)23()32(])32[()8116(3343443====---例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中0>a).（1）322aa⋅；（2）3aa⋅例4 计算下式各式(式中字母均是正数).2115113366221(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（）；318842()m n-（）；323243(.a a a÷（）-)211115326236=[2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-（1）原式=4=4ab a3188842=()()m n-（）原式2233==.mm nn-2313223=()a a a-÷（）原式21313222=a a---166==a a a a--通过特殊问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。

第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计一、教学目标：1. 理解n次方根、根式以及分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简与求值；3. 掌握并运用分数指数幂的运算性质。

二、教学重难点：重点：理解根式和分数指数幂的概念；掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．三、教学过程：（一）复习导入回顾初中学过的知识：什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?类比归纳出n次方根的概念（二）探究新知探究一：n次方根的概念一般地，如果x n=a，则n叫做a的n次方根，其中n﹥1，且nϵN*.思考：n的取值会影响n次方根的值吗?类比平方根和立方根：例如：①x2=81； x2=-64；x2=0. ②x3=8；x3=-27；x3=0.学生归纳出结果：当n为偶数时，正数a的n次方根有2个，且互为相反数，其中，正的n n 次方根用表示；当n 为奇数时，a 的n 次方根有1表示.0的n 次方根为0,即n 0=0.教师总结：一个数到底有没有n 次方根，有几个n 次方根，首先要考虑被开方数的正负，还要分清n 为奇数还是偶数两种情况.探究二：根式的概念(1)n 叫做根指数，a 叫做被开方数．规定n ＞1，且n ∈N *.那么，根式有怎样的性质呢？（2）探究根式的性质：①n n a )(； ②n n a例：55)3(-；55)3(；44)3(根据n 次方根的意义可得n n a )(有意义时，n a =一定成立.思考：n na =a 一定成立吗？? 例：447；44)7(-；557；55)7(-. 教师引导学生讨论并总结:n a =； n {,0;,<0.a a a a a ≥-==牛刀小试:（1）338-）（ （2）44-3）（π (3)2)10-（ （4）66-a ）（b探究三：分数指数幂的意义（1）根式与分数指数幂的互化观察几个式子，总结根式与分数指数幂互化的规律.1025a a =（a ﹥0）,842a a=（a﹥0）,1234a a=（a﹥0）,教师引导学生归纳:根式与分数指数幂互化的规律.引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?（2）分数指数幂的意义①正分数指数幂的意义：amn＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)②负分数指数幂的意义：amn＝1amn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)③0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义.探究四：有理数指数幂的运算性质由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即：1(>0,,);2()(>0,,);3()(>0,>0,).r s r sr s rsr r ra a a a r s Qa a a r s Qab a b a b r Q+=∈=∈=∈（）（）（）（三）随堂练习1.求值2.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）328)1(438116)2(-⎪⎭⎫⎝⎛.)2(;)1(3322a a a a •3.计算下列各式（式中字母均为正数)：.))(3(;))(2();3()6)(2)(1(4233288341656131212132a a a n m b a b a b a ÷--÷--（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容? 板书设计 n 次方根与分数指数幂1. n 次方根2.根式的概念3.分数指数幂（1）根式与分数指数幂的互化（2）分数指数幂的意义4.有理指数幂的运算性质.。

4.1.1n次方根教案
教授n次方根是数学教学中的一个重要内容，它涉及到数学中
的指数和根号运算，对学生来说可能是一个较为新颖的概念。

设计
一份教案来教授n次方根需要考虑以下几个方面：
1. 知识背景，首先，教案应该包括n次方根的定义，例如如何
理解n次方根，以及它与指数的关系。

同时，也要讲解n次方根的
性质，如n次方根的运算规律和特点。

2. 教学目标，明确教学目标是设计教案的关键。

教师需要清楚
地确定学生需要达到的认知目标、能力目标和情感目标，例如学生
应该能够理解n次方根的概念，掌握n次方根的计算方法，以及能
够运用n次方根解决实际问题等。

3. 教学内容和方法，教案应该包括教学内容的安排和教学方法
的选择。

教师可以通过具体的例题引导学生理解n次方根的计算方法，也可以通过实际问题的讨论来培养学生的问题解决能力。

4. 学习过程，设计学习过程是教案的核心。

教师可以通过导入、提出问题、讲解、示范、练习和总结等环节来引导学生逐步掌握n
次方根的相关知识和技能。

5. 教学评价，教案还应该包括教学评价的内容，包括如何评价学生对n次方根的掌握程度，以及如何帮助学生发现和解决问题。

综上所述，设计一份教学n次方根的教案需要考虑知识背景、教学目标、教学内容和方法、学习过程以及教学评价等方面，以帮助学生全面地理解和掌握n次方根的相关知识和技能。

第一课时根式教学目标：1、知识与技能理解n次方根概念及n次方根的性质.2、过程与方法会求或化简根指数为正数时的根式.3、情感态度与价值观通过具体的情景，引发学生思考，激发求知欲，让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感.重点难点：重点：利用n次根式的性质化简n次根式.难点：n次根式的性质及应用.教学过程：一、课题引入多媒体展示课本问题1、问题2，展示问题情境，学生尝试求解，回答问题.二、n次根式概念的引出提出3个思考：思考1: 4的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2：-27的立方根是什么？任何一个数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3：一般地，常实数a的平方根、立方根是什么概念？学生回答思考1、思考2的问题，并在教师的指导下回答思考3.在以上3个思考基础上延伸提出:如果4x a=，5x a=，6x a=，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？三、新课讲解类比以上x的称呼，归纳出n次方根的概念.1、n次根式：一般地，若n x a=，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且*n∈ .根式：我们把式子( n>1,且n∈ )叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有几个？当n为奇数时呢？n为奇数，a的n次方根有一个，为a为正数n为偶数，a的nn为奇数，a的n次方根有一个，为a为负数n为偶数，a的n次方根不存在.零的n次方根为零，记为=举例：16的4次方根为±2，-27的5次方根为，而-27的4次方根不存在。

小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定要先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况。

2、根式的性质○1、3、5、4分别等于什么？一般地，n等于什么？归纳可得n a=○2于什么？当n为奇数时，a=当n为偶数时，a=小结：当n对值算具体的值，这样就避免出现错误。

n次方根的概念和性质一、教学分析分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。

分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。

教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。

将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。

教学时，要让学生充分体会当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。

对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去理解。

根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。

但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。

二、学情分析学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。

然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。

教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。

由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其表示方法。

然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。

通过本节课的学习，不仅要求学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。

三、教学目标：（1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质（2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，总结n次方根性质；（3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想；四、教学重难点重点：n次方根的概念和性质，难点：n次方根的性质五、教学过程1.触景生情问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%。

n次方根与分数指数幂教学设计◆教学目标1．经历n 次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质，提升数学抽象核心素养．2．了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化．3．理解有理数指数幂的意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．◆教学重难点◆教学重点：根式与有理数指数幂的意义及其运算性质．教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质．◆课前准备PPT课件．◆教学过程（一）整体感知1．联系实际，明确任务问题1：请同学们阅读教科书第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：（1）本章要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？（2）如何研究这些函数？研究这些函数的哪些方面？（3）这些函数可以解决哪些实际问题？师生活动：学生独立阅读教科书内容，回答上述问题，教师予以补充．预设的答案：（1）指数函数与对数函数，并学会利用它们解决实际问题．（2）类比幂函数的学习，根据研究一类函数的过程和方法，对指数函数和对数函数按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．需要研究它们的概念、图象、性质．（3）比如细胞分裂的数量随时间的变化的规律是成指数增长的；未受控制的传染病在大量人群中传播的初期都是成指数增长的；利用放射性物质的衰减测定遗址及文物的年代；322a；师生活动：学生独立完成后展示交流．到依据就是分数指数幂和预设的答案：3222=a a a（2）14211333322()()a a a a a a ===．设计意图：通过一般表达式的运算，巩固分数指数幂和n 次方根的互相转化，特别是把n 次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式．例4 计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）31884()m n -； （3）()32324a a a -÷．师生活动：学生独立完成后展示交流． 预设的答案：解：（1）()()2115211115110336632623622(2)(6)(3)26344a b a b a b a bab a +-+--÷-=⨯-÷-==⎡⎤⎣⎦；（2）331128882388443()()()m m n m n m n n---===；（3）()222113113131323246333262222222()a aa a a a a a a a aaa a a a ---÷=-÷=÷-÷=-=-=-．设计意图：本题具有一定的综合性，需要综合运用n 次方根、分数指数幂的概念，分数指数幂的运算性质，以及式的加减乘除等进行运算，目的是巩固有理数指数幂的运算性质．（三）归纳小结，布置作业问题7：本节课研究了哪些内容？怎样研究的？有理数指数幂运算性质有什么特点？ 师生活动：学生讨论交流． 预设的答案：研究内容和路径可以用下图（图1）表示：n 次方根整数指数幂分数指数幂被开方数的指数能被根指数整除的根式 被开方数的指数不能被根指数整除的根式有理数指数幂运算性质图165p．（225a．。

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