_立方根和开平方根__n次方根

x 2y ,求 x y 的值.
∵ 2x y2 3 ，∴（2x-y）2=9，2x-y=±3.
∵ 3 x 2 y3 3 ，∴x-2y=-3.
当2x-y=3，x-2y=-3时，解得x=y=3，∴
x2y x y
无意义.
当2x-y=-3，x-2y=-3时，解得x=-1，y=1，∴ x 2 y = 1 .
x y
2
4.算术平方根：把正数的正的平方根叫做算术平方根.即一个正数x的 平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根.
5.立方根: 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，
也叫做a的三次方根．记作３a .
6.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一 个负的立方根，零的立方根是零.
平方根和立方根
1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平
方根或二次方根．这就是说，如果x2 a，那么x 叫做a的平方根．
2平方根的性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
3.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
解：
设正方体铁块的棱长是x厘米，烧杯内部的底面半径是r厘米， 根据题意列方程得x3＝64， 解得x＝4， 所以正方体铁块的棱长是4厘米. 设烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得 πr2×3＝64，所以 r2 64.因为r＞0，解得.
9 所以烧杯内部的底面半径是厘米.
10.已知 (2x y)2 3 ,3 (x 2y)3 3 解：
又因为 SABFE 2SCDEF ，设
所以144 212x， ．
，
B
FC
所以
(cm)．

根式知识点总结一、根式的基本概念1.1 根式的定义根式是代数式中的一种形式，它表示某个数的平方根、立方根等。

根式的一般形式为√a，其中a为被开方数，√表示开平方。

当n为偶数时，a的开n次方称为n次根，当n为奇数时，a的开n次方也称为n次根。

例如，√a表示a的平方根，3√a表示a的立方根。

1.2 根式的性质根式的性质包括：（1）非负性：非负数的平方根非负，即√a≥0。

（2）倍数性：若a≥0，b≥0，则√(ab)=√a*√b。

（3）倒数性：若a≥0，b≥0，则√(a/b)=√a/√b。

1.3 根式的化简化简根式是指将根式表示的数化为最简的形式。

根式的化简步骤包括：（1）分解被开方数：将被开方数分解成最小的因子的乘积。

（2）寻找完全平方数：将分解后的因子中，能够开方得到整数的因子提出来。

（3）化简根式：将提出来的完全平方数乘以未提出来的部分，即为化简后的根式。

1.4 根式的运算根式的运算包括加减、乘除等。

（1）加减根式：只有被开方数相同的根式才能相加或相减。

当根式被开方数不同时，可以通过化简，使它们的被开方数相同，然后进行加减运算。

（2）乘除根式：根式的乘法和除法可以直接进行，只需要将根式中的因子进行乘法和除法运算即可。

1.5 根式的应用根式在实际生活中有许多应用，例如在几何学中计算图形的周长、面积，解决数学问题，以及在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。

因此，学好根式的知识对我们解决实际问题具有重要的意义。

二、根式的高级应用2.1 根式方程根式方程是含有根式的方程，例如√x+3=5。

解根式方程的关键是化去根式，将根式方程化为一个关于未知数的代数方程，然后通过解代数方程得到根式方程的解。

2.2 根式的图形表示在坐标系中，根式所代表的数可以表示为图形，例如y=√x表示一条关于原点对称的抛物线。

根式的图形表示在几何学和微积分中有重要的应用。

2.3 根式的极限在高等数学中，我们将根式看作函数，通过极限的概念来研究根式的性质。

次方根的概念次方根是数学中的一个重要概念，在代数学中经常会涉及到次方根的运算。

次方根是指对一个数进行幂运算的逆运算，即给定一个正整数n和一个非负实数a，求出满足x^n = a的数x，这个x就称为a的n次方根。

在代数学中，常见的次方根有平方根（n=2）、立方根（n=3）、四次方根（n=4）等，分别表示对一个数开平方、开立方、开四次方。

以平方根为例，对于任意一个非负数a，可以找到一个非负数x，满足x^2 = a。

其中，当a为正数时，x 就是a的平方根；当a为零时，x为零；当a为负数时，则不存在实数x满足该等式。

在实际应用中，次方根有广泛的用途，涉及到许多领域。

以下将从不同维度介绍次方根的概念和其应用。

首先，次方根在几何中起到重要作用。

在几何中，次方根与平方、立方运算密切相关。

通过求平方根，可以得到给定的正实数的边长。

例如，在正方形中，平方根可以用来计算对角线的长度。

同样，在立方体中，立方根可以用来计算边长。

其次，次方根在物理学中也有广泛应用。

在牛顿力学中，速度是位置的一次方根对时间的导数，加速度是位置的二次方根对时间的导数。

光的强度也与其传播距离的平方成反比关系。

通过应用次方根的概念，可以推导出这些物理现象背后的数学模型，从而更好地理解和描述自然界的运动规律。

此外，次方根在统计学和概率论中也有重要应用。

例如，在概率分布函数中，正态分布曲线的形状可以通过对数函数求平方根来得到。

在统计学中，次方根经常用来计算方差和标准差。

方差是观测值与均值之间差异程度的平方和的平均，而标准差则是方差的平方根。

通过将方差和标准差应用于数据集，可以揭示数据分布的离散程度，帮助分析和解释实际问题。

此外，次方根还在金融计算、信号处理和图像处理等领域中得到广泛应用。

在金融计算中，次方根常常用于计算利息的本质增长率。

在信号处理和图像处理中，次方根可以用来进行信号和图像的压缩和解压缩操作。

通过对信号和图像的分解和合成，可以减小数据的存储和传输开销，提高处理效率。

沪教版七年级（下）数学⼀课⼀练及单元测试卷和参考答案七年级下数学⼀课⼀练及单元测试卷和参考答案⽬录第⼗⼆章实数12.1 实数的概念（1） 3 12.2 平⽅根和开平⽅（1） 6 12.3 ⽴⽅根和开⽴⽅（1）9 12.4 n次⽅根（1）13 12.5 ⽤数轴上的点表⽰数（1）17 12.6 实数的运算（1）22 12.7 分数指数幂（1）26 七年级(下)数学第⼗⼆章实数单元测试卷⼀30 第⼗三章相交线平⾏线13.1 邻补⾓、对顶⾓（1）34 13.2 垂线（1）38 13.3 同位⾓、内错⾓、同旁内⾓（1）42 13.4 平⾏线的判定（1）46 13.5 平⾏线的性质（1）50 七年级(下)数学第⼗三章相交线平⾏线单元测试卷⼀54 第⼗四章三⾓形14.1 三⾓形的有关概念（1）59 14.2 三⾓形的内⾓和（1）63 14.3 全等三⾓形的概念与性质（1）67 14.4 全等三⾓形的判定（1）7114.5等腰三⾓形的性质（1）77 14.6等腰三⾓形的判定（1）81 14.7等边三⾓形（1）85 七年级(下)数学第⼗四章三⾓形单元测试卷⼀90第⼗五章平⾯直⾓坐标系15.1 平⾯直⾓坐标系（1）94 15.2直⾓坐标平⾯内点的运动（1）98 七年级(下)数学第⼗五章平⾯直⾓坐标系单元测试卷⼀103 参考答案107数学七年级下第⼗⼆章实数12.1 实数的概念（1）⼀、选择题1．|－32| 的值是（）A ．－3 B. 3 C ．9 D ．－92．下列说法不正确的是（） A ．没有最⼩的有理数 B ．没有最⼤的有理数C ．有绝对值最⼩的有理数D ．有最⼤的负数 3．在3.0,2,2313,1010010001.0,4,0,)3(0π-，这七个数中，⽆理数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列命题中正确的是（） A ．数轴上的点与有理数⼀⼀对应 B ．有限⼩数是有理数 C ．数轴上的点与实数⼀⼀对应 D ．⽆限⼩数是⽆理数5．下列说法：①⽆限⼩数都是⽆理数；②正数、负数统称为有理数；③⽆理数的相反数还是⽆理数；④⽆理数与有理数的和⼀定是⽆理数；⑤⽆理数与⽆理数的和⼀定还是⽆理数；⑥⽆理数与有理数的积⼀定仍是⽆理数。

计算简单的根式与分数在数学学习中，我们经常会遇到根式和分数的计算问题。

根式是数学中的一种表达形式，它表示一个数的平方根、立方根等；而分数则表示一个数被另一个数除的结果。

本文将介绍一些计算简单的根式与分数的方法。

一、根式的计算根式的计算主要涉及到平方根、立方根和开n次根的计算。

下面将分别介绍这三种根式的计算方法。

1. 平方根的计算平方根是数学中最常见的根式之一。

计算一个数的平方根可以使用开方运算符√。

比如，要计算16的平方根，可以写作√16，计算结果是4。

2. 立方根的计算立方根表示一个数的三次方根。

计算一个数的立方根也可以使用开方运算符√。

比如，要计算8的立方根，可以写作∛8，计算结果是2。

3. 开n次根的计算开n次根表示一个数的n次方根。

计算一个数的开n次根也可以使用开方运算符√。

比如，要计算27的开3次根，可以写作∛27，计算结果是3。

二、分数的计算分数是数学中用来表示一个数被另一个数除的结果的形式。

分数由一个分子和一个分母组成，表示为a/b，其中a为分子，b为分母。

下面将介绍分数的基本运算。

1. 分数的加减运算分数的加减运算可以通过找到它们的最小公倍数来进行。

比如，要计算1/2 + 1/3，首先找到1/2和1/3的最小公倍数为6，然后将分数的分子乘以最小公倍数除以分母，得到3/6和2/6，最后将两个分数的分子相加，得到5/6。

2. 分数的乘除运算分数的乘除运算可以通过将分数的分子相乘、分母相乘或者分数的分子乘以另一个分数的倒数来进行。

比如，要计算1/2 × 2/3，将分数的分子相乘得到2，分母相乘得到6，所以计算结果是2/6，可以进一步化简为1/3。

3. 分数的化简分数的化简是将分数写成最简形式，即分子和分母没有公因数。

可以通过找到分子和分母的最大公因数，然后将分子和分母都除以最大公因数来进行分数的化简。

比如，要化简4/8，首先找到4和8的最大公因数为4，然后将分子和分母都除以4，得到1/2，所以4/8可以化简为1/2。

根号的运算公式根号是数学中的一种运算符号，它表示对一个数进行开方运算。

根号运算在数学中有着广泛的应用，它的公式可以帮助我们解决各种问题。

本文将介绍根号的运算公式，并通过实例来说明其应用。

一、根号的定义和性质根号的运算公式可以总结为以下几点：1. 根号下面的数称为被开方数，根号上面的数字称为指数。

2. 如果一个数的平方等于被开方数，那么这个数就叫做被开方数的平方根，记作√被开方数=平方根。

3. 平方根可以是正数、负数或零，但在实际应用中通常只考虑正数平方根。

4. 如果一个数的n次方等于被开方数，那么这个数就叫做被开方数的n次方根，记作∛被开方数=次方根。

5. 除了平方根和立方根，还可以有更高次方的根，例如四次方根、五次方根等。

二、平方根的运算公式平方根是最常见的根号运算，其运算公式如下：√a = b => b² = a其中，a为被开方数，b为平方根。

我们可以通过求解b的平方等于a来得到平方根的值。

例如，求解√16的值，我们可以使用上述公式：b² = 16解方程可得b = ±4，因此√16的值为4或-4。

三、立方根的运算公式立方根是指一个数的三次方等于被开方数，其运算公式如下：∛a = b => b³ = a其中，a为被开方数，b为立方根。

我们可以通过求解b的立方等于a来得到立方根的值。

例如，求解∛27的值，我们可以使用上述公式：b³ = 27解方程可得b = 3，因此∛27的值为3。

四、根号的运算规则和性质1. 根号运算具有传递性，即√(√a) = √a。

2. 乘法和除法的运算法则：√(ab) = √a × √b，√(a/b) = √a / √b。

3. 加法和减法的运算法则：根号不能直接进行加法和减法运算。

五、根号的应用举例1. 几何应用：根号可以用于计算图形的边长、面积、体积等。

例如，计算正方形的对角线长度、三角形的斜边长度等。

n次方根的概念
一、定义
n次方根是指一个数的n次方等于另一个数的运算，即被开方数的n次方根等于该数。

n次方根通常使用符号√（n）表示，其中n表示根数。

二、不同根数的概念
1. 平方根：根数为2，表示一个数的平方根。

2. 立方根：根数为3，表示一个数的立方根。

3. 四次方根：根数为4，表示一个数的四次方根。

4. 五次方根：根数为5，表示一个数的五次方根。

5. n次方根：根数为n，表示一个数的n次方根。

三、求n次方根的方法
求n次方根的一般方法有以下两种：
1. 迭代法：迭代法是一种基于数学公式和程序控制结构的求解方法。

它通过重复迭代的步骤，逐步逼近求解方程的根。

2. 牛顿-拉弗森方法：牛顿-拉弗森方法是一种数值计算方法，可以求函数的零点。

求n次方根时，可以将其转化为一个函数的零点问题，然后使用牛顿-拉弗森方法来求解。

四、n次方根的实际应用
n次方根在实际生活和工作中具有广泛的应用，如计算机科学中的编码系统、密码学、数字信号处理、图像处理等领域。

同时，n次方根也应用于物理学领域，如热力学、光学等，以及统计学和金融学等领域。

在日常生活中，n次方根也常常用于计算直线距离、概率计算等。

总之，n次方根是一种重要的数学概念，具有广泛的实际应用价值。

12.4 n次方根
平方根的概念:
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根 求一个数a的平方根的运算叫做开平方. a叫 做被开方数. 立方根的概念: 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立
3 方根.用 a
表示,读作“三次根号3aa ”,
中的a叫
做被开方数,3叫做根指数.
求一个数a的立方根的运算叫做开立方
问题1：
（1）2 128
7
128 7 如果 x 128，那么x= 2 。
7
2
5
3 243 3 243 （2） 5 如果 y 243，那么y= 3
5
结论： 任何实数a有且只有一个 奇次方根，用 n a 表示
问题2： 6 6 2 64 2 64 （1） 6 如果 x 64 ，那么x= 2
2
（3）求 6 729 的值
练习
计算：
3 216
4 81
5 243
1 6 8
2
作业布置
1 . 课本和练习册上的练习 2 . 预习新课
(2) 3 81 3 81 4 如果 y 81 ，那么y= 3
4
4
结论：正数a的偶次方根有两个 且互为相反数，用 n a 表示
问题3：负数有偶次方根吗？零 的n次方根是多少？ 结论： 负数没有偶次方根
零的n次方根是零
例题：
32 （1）求 243的5次方根
（2）求 8 的6次方根
问题1: 如果一个数的n次方(其中n
பைடு நூலகம்
是大于1的整数)等于a，你能否类比 平方根和立方根说明这个数的意义？
定义：
如果一个数的n次方等于a,那么这个数 叫做a的n次方根 当n是奇数时，这个数是a的奇次方根 当n是偶数时，这个数是a的偶次方根 求一个数a的n次方根的运算，就叫做开 n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数

开方与乘方的运算开方和乘方都是数学中常见的运算符号。

它们在解决实际问题和推导数学关系时起着重要作用。

本文将介绍开方和乘方的定义、性质以及它们在数学和实际生活中的应用。

一、开方的运算开方是求解一个数的平方根的运算。

数学中常见的开方有平方根、立方根和n次方根。

1. 平方根平方根是对一个数进行平方运算的逆运算。

数学符号中，平方根用√表示。

对于一个非负数x，它的平方根记为√x，表示满足y²=x的非负数y。

例如，√4=2，因为2²=4。

2. 立方根立方根是对一个数进行立方运算的逆运算。

数学符号中，立方根用³√表示。

对于一个数x，它的立方根记为³√x，表示满足y³=x的数y。

例如，³√8=2，因为2³=8。

3. n次方根n次方根是对一个数进行n次方运算的逆运算。

数学符号中，n次方根用ⁿ√表示。

对于一个数x，它的n次方根记为ⁿ√x，表示满足yⁿ=x 的数y。

例如，⁵√32=2，因为2⁵=32。

二、乘方的运算乘方是对一个数进行重复乘法运算的运算。

数学符号中，乘方用上标表示。

对于一个数x和正整数n，x的n次幂记为xⁿ，表示x连乘n 次的结果。

例如，2³=2×2×2=8。

乘方具有以下性质：1. x⁰=1任何数的0次方等于1，其中x≠0。

2. x¹=x任何数的1次方等于它本身。

3. xⁿ×xᵐ=xⁿ⁺ᵐ相同底数的乘方相乘，底数不变，指数相加。

4. (xⁿ)ᵐ=xⁿᵐ乘方的指数相乘，底数不变。

5. (x×y)ⁿ=xⁿ×yⁿ乘方的底数相乘，指数不变。

三、开方和乘方在数学中的应用开方和乘方在数学中有广泛的应用。

1. 代数方程式的解由于开方和乘方是数学中的基本运算，它们在解代数方程式时起着重要作用。

例如，在求解二次方程时，需要用到平方根的概念。

2. 几何中的长度、面积和体积计算开方和乘方在几何中的应用也很广泛。

03
根式取值范围的性质
平方根取值范围的性质
01
实数范围内，非负数的平方根有两个值，一个正数和一个 负数。例如，√9=3和-√9=-3。
02
负数没有实数平方根，因为任何实数的平方都是非负的。
03
0的平方根是0本身。
立方根取值范围的性质
任何实数的立方根只有一个实数值。例如，三次根号下8=2，三次根号下-8=-2。
根式定义取值范围
• 根式定义 • 根式取值范围 • 根式取值范围的性质 • 根式取值范围的应用
01
根式定义
平方根定义
平方根定义
对于非负实数a，其平方根是一个实数 x，满足x²=a。平方根用符号√表示， 例如√4=2。
取值范围
平方根的定义域是非负实数，即被开 方数大于等于0。
立方根定义
立方根定义
0的立方根是0本身。
n次方根取值范围的性质
对于正整数n，非负实数的n次方根有n个值，分布在0和1之间。例如，四次根号下16=2，四次根号下 (-16)=-2，四次根号下(1/16)=1/2，四次根号下(-1/16)=-1/2。
对于负整数n，实数范围内没有n次方根。
0的n次方根是0本身。
04
根式取值范围的应用
对于实数a，其立方根是一个实数x， 满足x³=a。立方根用符号∛表示，例 如∛8=2。
取值范围
立方根的定义域是全体实数，即被开 方数可以是任意实数。
n次方根定义
n次方根定义
对于实数a，其n次方根是一个实数x，满足x^n=a。n次方根用符号∛表示，例如∛8=2。
取值范围
n次方根的定义域是全体实数，即被开方数可以是任意实数。
THANKS感谢观看源自010203

(3) n 0 0
n是奇数 n是偶数
活动正5偶次方根课堂练习－巩固提高
1、若n为正整数，2n a2n a,那么a的取值范围是什么？
解： ∵2n是偶数， ∴ -a≥0, ∴ a≤0.
2、5的n次方根是多少？
解： 当n是奇数时, 5的n次方根是 n 5.
当n是偶数时，5的n次方根是 n 5.
练习
活动6
课堂小结
一. 概念：（１）n次方根 （２）开n次方
• 如果 xn=a，那么 x叫做a的n次方根.
• 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方.
二. “n次方根”分类讨论
实数a的n 次方根
正数 0
负数
偶次方根
个数 表示
2个 n a
1个 0
0个
奇次方根
个数 表示
1个 n a >0
1个 0
1个 n a <0
实数-23的7次方根，记作：7 23
实数0的8次方根，记作：8 0 0
正数的奇次方根是一个正数； 负数的奇次方根是一个负数. 正数的偶次方根有2个。 负数的偶次方根没有。
0的任何次方根都是0。
活动3
例题讲解－性质的运用
例1 (1)求16的4次方根.
分析：正数a有2个互为相反数的偶次方根
解： 4 16 4 24 = 2
如果一个数x的立方等于a,即x³=a，那么 这个数x叫做a的立方根.
求__一__个__数___a_的__立__方___根___的运算叫做开立方运算
若（±3）²=9，则±3是9的_平__方__根_ 若5³=125，则5是125的_立__方_根__
活动1
复习类引比平入方－根平与方立根方和根立，方根
什么是n次方根、 开n次方呢？

根号的计算公式根号（Radical）是数学中的一种重要的概念，它也叫开方、开平方等。

它可以用来表示一个数字的根，也就是说，由一个数字乘以自身后，得到的结果就是它原来的值。

根号的表示形式是用一个花括号中间有一个横线，横线左边是根号底数，右边跟着一个指数，指数是以1/2代表以2为底数，以1/3代表以3为底数，以1/n代表以n 为底数，表示开n次方。

根号的计算公式根号的计算公式有很多种，其中最常用的就是平方根计算公式。

它的形式是：根号（a）=a另外，也有立方根计算公式，它的形式是：根号（a）= a还有其他更高次的根号计算公式，它们的表达式比上面两种形式要复杂些，表示方式是：根号（a）=a其中，a代表根号底数，n代表根号的指数，而括号中的系数则由其他参数决定，通常需要根据数据的具体情况来确定。

求根号的方法求根号的方法有很多，其中最常用的有求根号的解析法和求根号的数值法两种。

求根号的解析法是指通过解方程的方法求出结果，即采用数学方法计算分数根号的值。

求根号的数值法是指通过采用迭代算法或者牛顿迭代法等求根号的值，这种方法可以在一定范围内快速求出结果。

用科学计算器求根号现在有很多科学计算器，它们可以帮助我们快速求出任意数字的根号，其表达方式如下：根号（a）= a其中，a代表根号底数，n代表根号的指数，n为2或者3可以得到对应指数的根号结果，n大于3的情况，可以通过根号按层分解法，将大根号分解成小根号，然后分别计算，再把计算结果累加起来，就可以得到最终的结果。

总结本文讲述了根号的定义及计算公式，以及求根号的常用方法和科学计算器的使用方法。

根号的计算对于解决平面几何、复数计算以及微积分等相关问题有着重要的意义，因此了解根号的计算公式以及如何求根号至关重要。

开根号函数式求根公式开根号函数是一种特殊的函数形式，常见于数学中求根的相关问题。

求根是指找出方程的根，即使方程等式两边相等。

开根号函数的求根公式是指通过对方程进行变形，将未知数从根号内移至等式另一边，从而得到由已知量表示的方程形式。

常见的开根号函数式求根公式有平方根、立方根和n次方根的求根公式。

1. 平方根的求根公式：对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，可以通过配方的方式求解。

可以根据二次方程的一般表达式以及求根公式的推导得到平方根的求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)这个公式在解二次方程时非常有用，可以通过插入具体的系数计算得出根的值。

2. 立方根的求根公式：对于一个三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a、b、c、d为常数，可以通过代数的方式求解。

可以进行变量代换的方式将三次方程化为二次方程，然后进一步利用二次方程的求根公式来解。

一个常见的立方根的求根公式为：x = (-b/2a) + ∛[(b^2-3ac)/2a^2 + (c/3a)√(b^2-4ac)]这个公式可以帮助我们解决一些三次方程问题，通过将具体的系数代入公式，可以得到方程的根的解。

3. n次方根的求根公式：对于一个n次方程a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 = 0，其中a_0, a_1, ..., a_n为常数，可以通过代数的方式求解。

和二次方程、三次方程不同，一般情况下高于三次的方程没有通解形式，只能通过近似的方式求解。

在实际应用中，通常使用牛顿迭代法或二分法等数值方法来求解高次方程的根。

这些方法可以通过迭代的方式逼近方程的根，精度随着迭代次数的增加逐渐提高，从而得到方程的根的近似值。

以上是开根号函数的求根公式的相关内容。

通过这些求根公式，我们可以解决数学中许多涉及根的问题，从而进一步推导出更多的应用和结论。

知识回顾：
一、 乘方的运算：
2 2 4 平方： 2 2 、 、 3 立方： 23 、 33 、43 n次方(n是大于3的整数)： 2n 、 3n 、 4n 二、 开平方与开立方： 开平方： 4 、 16 、 64 3 3 开立方： 3 8 、 27 、 64 三、 逆运算： 平方 开平方 、立方 开立方 n次方 ？
6
= 64 ,
-64 ; = (-2) 64 , 那么x = ±2 ;
6
(2)
34 = 81 , (3) 4 = -81 ; 如果 y 4 = 81 , 那么 y = ±3 ;
2 -27 ; = ( 3 ) 3 如果 z 2 = 9 , 那么 z =
2
(3)
= 27 ,
±3;
结论2：
1. 正数a的偶次方根有两个，它们互为相 n 反数，正n次方根用“ a ” 表示，负n 次 -n a 方根用“ ”表示，其中被开方数 naa ＞ 0，根指数n是正偶数(当n=2时，在 中省略n). 2. 负数的偶次方根不存在.
第十二章 第4节：n次方根
我们将平方根和立方根的概念加以推广： 1. n次方根的定义：如果一个数的n次方(n是大于1的整数) 等于a，那么这个数叫做a的n次方根； 其中，当n=2时，这个数叫做a的平方根； 当n=3时，这个数叫做a的立方根；
2. 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开 方数，n叫做根指数；用符号如何表示？ 3. 有时n次方根简称“方根”；开n次方简称“开方”；
例题1：
32 2 (1) 求 的 5 次方根：243 3
(2) 求(-8)² 的 6 次方根： 2 (3) 求 625 的4次方根： 5

7
= 128 ,

第二讲 立方根、开立方、n 次方根【典型例题1】（1）以下说法中正确的有（ ）. A ．16的平方根是4± B ．64的立方根是4± C ．27-的立方根是3- D ．81的平方根是9 【解】 C（2）下列说法正确的是（ ）A 一个数的立方根有两个，且他们互为相反数B 任何一在个数必有立方根与平方根C 一个数的立方根必与这个数同号D 负数没有立方根 【解】 C 【知识点】1、立方根概念：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”， 3a 中的 a 叫做被开方数，“3”叫做根指数。

2、立方根的性质：正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零。

（任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根）【基本习题限时训练】下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由。

（1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。

（2） 只有零的立方根是它本身。

（3） 只有零的平方根是它本身。

（4） 1的平方根与立方根相同。

【解】（1） √ （2）× （3） √ （4）× 【拓展题1】 1、已知：x =ba m +是m 的立方根，而y=36-b 是x 的相反数，且m=3a-7。

求a 、b 、m 的值.【解】由题意,可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+7363a m m b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==825m b a2、立方根有如下性质：3ab =3a ∙3b ，3b a =33ba计算：（1）36.2101.0⨯的值 （2）设32=m ,33=n ,用含m 、n 的代数式表示348、38116【解】（1）36.2101.0⨯=3216001.0⨯=3001.0∙3216=0.1×6=0.6（2）348=386⨯=36×38=332⨯×2=2mn38116=381163=3332728⨯⨯=333332728⨯⨯=n m 32 —————————————————————————————【典型例题2】求下列各数的立方根：(1)1000 (2)278- (3)001.0- (4)0 【解】（1）10 （2）-32（3）-0.1 （4）0【知识点】求一个数a 的立方根的运算叫开立方 【基本习题限时训练】(1)下列各式中值为正数的是( )(A)()355.2- (B)-()324.3- (C)30 (D)37-【解】D(2)下列说法中正确的是（ ） (A)278的立方根是32± （B ）-125没有立方根 (C)0的立方根是0 （D ）()4832=-- 【解】C（3）下列说法正确的是（ ） （A ）一个数的立方根一定比这数小 （B ）一个正数的立方根有两个 （C ）每一个数都有算术平方根（D ）一个负数的立方根只有一个，且仍为负数 【解】D（4）如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （A ）-b=3a (B)()ab =-3 (C)3a b = (D)a b =3【拓展题2】1、 求最小正整数n ,使332n 为整数【解】n =22、 小明有一个正方体模型1，小杰也做了一个正方体模型2，他的模型边长是小明的正方体边长的2倍。

根号式的计算方法（原创实用版3篇）篇1 目录1.引言：介绍根号式的计算方法的重要性和必要性2.根号式的基本概念：定义和符号3.根号式的计算方法：平方根、立方根和 n 次方根的计算4.根号式的性质：根号内的数值、正负性、乘法和除法规则5.实际应用：根号式在数学、物理和工程等领域的应用案例6.结论：总结根号式的计算方法和性质的重要性和应用价值篇1正文根号式的计算方法是数学中一个重要的领域，它在解决许多实际问题中都发挥着重要的作用。

了解和掌握根号式的计算方法，对于提高我们的数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。

首先，让我们来了解一下根号式的基本概念。

根号式是用来表示一个数的平方、立方或其他高次幂的符号，通常用根号符号“√”表示。

例如，如果我们说一个数的平方根，就是指这个数的二次方根，用数学符号表示就是√x。

同样，一个数的立方根就是指这个数的三次方根，用数学符号表示就是√x。

在了解了根号式的基本概念后，我们来看一下根号式的计算方法。

平方根的计算方法是通过开平方，即将一个数不断平方直到得到所需的数值。

例如，9 的平方根就是 3，因为 3等于 9。

立方根的计算方法是通过开立方，即将一个数不断立方直到得到所需的数值。

例如，27 的立方根就是 3，因为 3等于 27。

对于 n 次方根，我们可以使用类似的方法，即将一个数不断 n 次方直到得到所需的数值。

除了计算方法外，根号式还有一些重要的性质。

首先，根号内的数值必须是非负的，因为任何数的平方都是非负的。

其次，根号式的正负性由根号内的数值决定。

例如，√9 和√(-9) 分别表示正 3 和负 3。

此外，根号式还满足乘法和除法规则，即√a ×√b = √(ab) 和√a ÷√b = √(a/b)。

最后，让我们来看一下根号式在实际应用中的案例。

在数学领域，根号式被广泛应用于代数、几何、微积分等学科。

在物理和工程领域，根号式也被广泛应用于计算物体的速度、加速度、位移等物理量。

平方根与立方根运算法则在数学中，平方根和立方根都是常见的运算。

平方根是指某个数的平方等于它本身的非负数解，而立方根则是指某个数的立方等于它本身的解。

本文将介绍平方根和立方根的运算法则，以帮助读者更好地理解和应用这些数学概念。

一、平方根的运算法则1. 平方根的定义对于非负数x，如果存在一个非负数a，使得a的平方等于x，那么a就是x的平方根，记作√x。

例如，√9=3，表示9的平方根是3。

2. 平方根运算的性质（1）非负数的平方根是唯一的。

即对于任意非负数x，只有一个非负数a满足a的平方等于x。

（2）对于任意非负数x和y，有以下性质：- √(x*y) = √x * √y，即两个数的乘积的平方根等于它们的平方根的乘积。

- √(x/y) = √x / √y，即一个数除以另一个数的平方根等于它们的平方根的商。

- √(x^n) = (√x)^n，即一个数的n次方的平方根等于它的平方根的n次方。

3. 平方根运算的例子（1）计算√16解：由平方根的定义可知，√16=4，因为4的平方等于16。

（2）计算√(8*2)解：根据性质2可知，√(8*2) = √8 * √2。

再将√8和√2分别计算：√8=2√2，√2保持不变。

因此，√(8*2) = 2√2 * √2 = 2*2 = 4。

（3）计算√(27/9)解：根据性质2可知，√(27/9) = √27 / √9。

再将√27和√9分别计算：√27=3√3，√9=3。

因此，√(27/9) = 3√3 / 3 = √3。

二、立方根的运算法则1. 立方根的定义对于任意实数x，如果存在一个实数a，使得a的立方等于x，那么a就是x的立方根，记作³√x。

例如，³√8=2，表示8的立方根是2。

2. 立方根运算的性质（1）实数的立方根可以是正数、负数或零。

（2）对于任意实数x和y，有以下性质：- ³√(x*y) = ³√x * ³√y，即两个数的乘积的立方根等于它们的立方根的乘积。