2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》一学生版

新人教版1．(xx·福州一中月考)一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于( )A ．0 B.π12 C.π6D.π4解析：选A 设三角形的三内角分别为A ，B ，C ，对应的边分别为a ，b ，c .令A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π3，b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，可推出a ＝c ＝b .故A ＝B ＝C ＝π3，公差为0. 2．(xx·辽宁高考)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D 设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n＝1＋1n是递减数列，所以p 3为假命题；设a n ＋3nd ＝4nd ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．选D.3．(xx·温州模拟)已知三个不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则可能成等差数列的是( )A ．a ，b ，cB ．a 2，b 2，c 2C ．a 3，b 3，c 3D.a ，b ，c解析：选B 特值法求解，取a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则a 2，b 2，c 2为1,1,1，是等差数列，故选B.4．(xx·海口质检)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4＝( ) A.1－52 B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12解析：选B 据已知得a 3＝a 1＋a 2所以a 1q 2＝a 1＋a 1q ，所以q 2＝1＋q ，解得q ＝1±52，由于等比数列各项为正数，故q ＝1＋52，因此a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.故选B.5．已知各项不为0的等差数列{a n}满足2a2－a26＋2a10＝0，首项为18的等比数列{b n}的前n项和为S n，若b6＝a6，则S6＝( )A．16 B.31 8C.638D.6316解析：选C 由2a2－a26＋2a10＝0，∴4a6＝a26.∵a6≠0，∴a6＝4.∴b6＝4.又∵{b n}的首项b1＝18，∴q5＝b6b1＝32.∴q＝2.∴S6＝18－4×21－2＝638.故选C.6．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )A．211－47 B．212－57C．213－68 D．214－80解析：选B 由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为a n，第n个30分钟内出来的人数为b n，则a n＝4×2n－1，b n＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋41－2101－2－10×1＋102＝212－57.故选B.7．(xx·襄阳五中月考)已知等差数列{a n}中，a7＝π4，则tan(a6＋a7＋a8)等于________．解析：－1 由等差中项性质得a6＋a7＋a8＝3a7＝3π4，故tan(a6＋a7＋a8)＝tan 3π4＝－1.8．(xx·广元适应性统考)有四个自然数从小到大排成一列，前三个数成等差数列，公差为2，后三个数成等比数列，则这四个数的和为________．解析：14或21 依题意，设这四个数依次为a－2、a、a＋2、a＋22a(其中a≥2，a∈N*)．由a≥2，a∈N*，且a＋22a＝a＋4a＋4∈N，得a是4的不小于2的正约数，因此a＝2或a＝4.当a＝2时，这四个数依次为0、2、4、8，此时这四个数的和等于14；当a＝4时，这四个数依次为2、4、6、9，此时这四个数的和等于21.9．(xx·衡水中学月考)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n}的通项公式为a n ＝________.解析：10,4n －2 由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12，即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4.∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10.10．(xx·苏州中学调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________.解析：9 ∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)．两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4.∴{a n }从第2项起是公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3， ∴当n ≥2时，a n ＝3×4n －2，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48) ＝1＋3×1－491－4＝1＋49－1＝49.∴log 4S 10＝log 449＝9.11．(xx·湖北高考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0. 由题意得⎩⎨⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎨⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q 1＋q ＋q 2＝－18，解得⎩⎨⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－－2n]1－－2＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013， 则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n≤－2 012.当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，解得n≥11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k ∈N，k≥5}．12．在正项数列{a n}中，a1＝2，点A n(a n，a n＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{b n}中，点(b n，T n)在直线y＝－12x＋1上，其中Tn是数列{b n}的前n项和．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{b n}是等比数列；(3)若c n＝a n·b n，求证：c n＋1<c n.(1)解：由已知点A n在y2－x2＝1上知，a n＋1－a n＝1，∴数列{a n}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，∴a n＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.(2)证明：∵点(b n，T n)在直线y＝－12x＋1上，∴T n＝－12bn＋1，①∴T n－1＝－12bn－1＋1(n≥2)，②①－②得b n＝－12bn＋12bn－1(n≥2)，∴32bn＝12bn－1，∴b n＝13bn－1.令n＝1，得b1＝－12b1＋1，∴b1＝23，∴数列{b n}是一个以23为首项，以13为公比的等比数列．(3)证明：由(2)可知b n＝23·⎝⎛⎭⎪⎫13n－1＝23n.∴c n＝a n·b n＝(n＋1)·23n ，∴c n＋1－c n＝(n＋2)·23n＋1－(n＋1)·23n＝23n＋1[(n＋2)－3(n＋1)]＝23n＋1(－2n－1)<0，∴c n＋1<c n.13．(xx·南昌模拟)下表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等．已知a1,1＝1，a2,3＝6，a3,2＝8.(1)求数列{a n,2}的通项公式；(2)设b n＝a1，nan，2＋(－1)n a1，n，n＝1,2,3，…，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d，第一列依次组成的等比数列的公比是q(q>0)，则a2,3＝qa1,3＝q(1＋2d)⇒q(1＋2d)＝6，a3,2＝q2a1,2＝q2(1＋d)⇒q2(1＋d)＝8，解得d＝1，q＝2，所以a1,2＝2⇒a n,2＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)知a1，n＝n，所以b n＝n2n＋(－1)n n，S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫12＋222＋323＋…＋n2n＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n]，记T n＝12＋222＋323＋…＋n2n，①则12Tn＝122＋223＋324＋…＋n2n＋1，②①－②得12Tn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝1－n＋22n＋1，所以T n＝2－n＋2 2n，所以当n为偶数时，S n＝n2＋2－n＋22n；当n 为奇数时，S n ＝－n ＋12＋2－n ＋22n.14．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解：(1)由题知，当1≤n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列， 故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2 ＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，故a n＝⎩⎨⎧2n ＋2，1≤n ≤7，16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n n －12×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×54×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －71－54＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10， 故该生产线前n 年每年的平均维护费用为S n n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3，1≤n ≤780×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10n ，n ≥8当1≤n ≤7时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为递增数列， 当n ≥8时，因为S n ＋1n ＋1－S n n ＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10n＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7·⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1＋10n n ＋1>0， 所以S n ＋1n ＋1>S n n ，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 也为递增数列． 又S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12.S 9 9＝80×⎝⎛⎭⎪⎫542－109≈12.78>12，故第9年年初需更新生产线．36210 8D72 赲26302 66BE 暾-33084 813C 脼34424 8678 虸25578 63EA 揪40675 9EE3 黣W;631213 79ED 秭z30852 7884 碄35232 89A0 覠37103 90EF 郯。

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高考专题突破三高考中的数列问题试题理北师大版1．(2016·广州模拟）数列｛a n｝是公差不为0的等差数列,且a1,a3，a7为等比数列{b n｝中连续的三项，则数列｛b n｝的公比为（）A. 2 B．4C．2 D.错误!答案C解析设数列{a n｝的公差为d（d≠0）,由a错误!＝a1a7，得(a1＋2d)2＝a1（a1＋6d），解得a1＝2d，故数列{b n｝的公比q＝a3a1＝a1＋2da1＝错误!＝2。

2．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列错误!的前100项和为（）A。

错误! B.错误!C.99100D。

错误!答案A解析设等差数列｛a n}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5,S5＝15，∴｛a1＋4d＝5，，5a1＋5×5－12d＝15，∴错误!∴a n＝a1＋(n－1)d＝n。

∴错误!＝错误!＝错误!－错误!，∴数列错误!的前100项和为错误!＋错误!＋…＋错误!＝1－错误!＝错误!.3．等比数列｛a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2,3S3成等差数列,则等比数列｛a n｝的公比为________．答案错误!解析设等比数列{a n｝的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4（a1＋a1q)＝a1＋3（a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0,又q≠0，∴q＝错误!.4．(2015·课标全国Ⅱ）设S n是数列{a n}的前n项和,且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝____________.答案－错误!解析由题意,得S1＝a1＝－1，又由a n＋1＝S n S n＋1，得S n＋1－S n＝S n S n＋1，因为S n≠0，所以错误!＝1，即错误!－错误!＝－1，故数列错误!是以错误!＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以错误!＝－1－（n－1）＝－n，所以S n＝－错误!。

2021年高考数学解答题专项复习-《数列》1.设{a}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．2.设{a}是等差数列，且a1=ln2,a2+a3=5ln2.n（1）求{a n}的通项公式；（2）求错误!未找到引用源。

.3.设数列{a}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.n（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n·b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n.4.已知{a}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．5.已知数列{a}前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N+,数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N+.n(1)求a n和b n的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.6.已知数列{a}和{b n}满足a1=1，b1=0，，.n（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式.7.S为数列{a n}的前n项和.已知a n＞0，=.n（1）求{a n}的通项公式；（2）设 ,求数列{b n}的前n项和.8.已知等差数列{a}满足a3=6，前7项和为S7=49.n（1）求{a n}的通项公式（2）设数列{b n}满足b n=(a n-3)·3n，求{b n}的前n项和T n.9.设数列{a}满足a1+3a2+...+(2n-1)a n=2n.n（1）求{a n}通项公式；（2）求数列的前n项和．10.已知等比数列{a}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，n数列{（b n+1-b n）a n}的前n项和为2n2+n．（1）求q的值；（2）求数列{b n}的通项公式．11.已知数列{a}是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，，求数列{b n}的前n项和T n．12.已知数列{a}为递增的等差数列，其中a3=5，且a1,a2,a5成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）设记数列{b n}的前n项和为T n，求使得成立的m的最小正整数．13.等比数列{a}的各项均为正数，且.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列的前n项和T n.14.已知数列{a}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设错误!未找到引用源。

专题4数列（文科）解答题30题1．（江西省南昌市金太阳大联考2023届高三上学期10月联考数学（文）试题）在等比数列{n a }中，122554a a a +==．(1)求{n a }的通项公式；(2)求数列{3214n a n +-}的前n 项和Sn ．2．（2022·贵州·校联考模拟预测）已知()()2221121216n n n n ++⋅⋅⋅+=++，数列{}n a 满足2121n n a a n n +-=++，11a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设21n n a b n =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S .3．（河南省许昌济源平顶山2022届高三第三次质量检测文科数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为16,3,12n S a S =-=，数列{}n b 满足()*112,2n n b b b n +==∈N ．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．4．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（二）数学（文）试题）已知正项数列{}n a 满足2123232n a a a na n n ++++=+ ，且()()211n n n n a b n n+-=++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的前n 项和n S ．5．（陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）已知数列{}n a 是公差为12的等差数列，数列{}n b 是首项为1的等差数列，已知2344a b a b -=-.(1)求n b ；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .6．（陕西省汉中市2022届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足39a =，___________.在①36S a =，②430S =，③25845a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2na n nb a =+，求{}n b 的前n 项和n T .7．（山西省太原市2022届高三二模数学（文）试题）已知数列{}n a 为公差大于0的等差数列，2512a a +=，且1a ，3a ，13a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2041m S =，求m 的值.8．（江西省宜春市八校2022届高三下学期联合考试数学（文）试题）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，23a =且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}3n n a 的前n 项和为n T .9．（广西柳州市2023届高三第二次模拟数学（文）试题）在数列{}n a 中，()11N ,R,029n a n a a n *=+∈∈≠-，它的最大项和最小项的值分别是等比数列{}n b 中的21b -和39b -的值.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)已知数列{}()3,log n n n n c c b b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n M .10．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文科）试题）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足310a =，2a 、4a 、7a 成等比数列．(1)求{}n a 的前n 项和n S ；(2)记26n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．11．（2022·陕西西安·西安中学校考一模）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且2n S n =，数列{}n b 的前n 项和是n T ，且323n n b T =+．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设n n na cb =，证明：1231nc c c c ++++< ．12．（2022·陕西渭南·统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，不等式21280a x S x --<的解集为()1,4-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2111n n nb a S =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .13．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为21,n n n S T =-为等差数列{}n b 的前n 项和，且满足23b a =，527T T =．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n H ．14．（河南省多校联盟2022届高考终极押题（A 卷）数学（文）试题）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 与1的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列11n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.15．（河南省郑州市2022届高三第三次质量预测文科数学试题）已知数列{}n a 满足111,1n n a a S +==+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，n *∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和．16．（第四章数列（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高二数学尖子生选拔卷（苏教版2019选择性必修第一册））已知各项都为正数的数列{an }满足an ＋2＝2an ＋1＋3an .(1)证明：数列{an ＋an ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{an }的通项公式.17．（辽宁省铁岭市六校2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足332n n a S =+（n *∈N ）．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)令()31log n n na c n a *+=∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1113,1n n n a S S n a ++=+=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（陕西省西安中学2022届高三下学期八模文科数学试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，已知24a =，314S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()1n n b a n λ=+-，若{}n b 是递增数列，求实数λ的取值范围．20．（山西省吕梁市2022届高三三模文科数学试题）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131,7a S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记()()2211log 1log 1n n n b S S +=+⋅+，求{}n b 的前n 项和n T ．21．（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）文科数学试题）已知数列{}n a 的前n项和为n S ，且31,n n S a n n *+=-∈N ．(1)证明{}3n a -是等比数列；(2)求{}n na 的前n 项和n T ．22．（内蒙古赤峰市2023届高三下学期1月模拟考试文科数学试题）已知单调递增的等差数列{}n a ，且12a =，2a ，32a +，64a +成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值．23．（内蒙古呼伦贝尔市满洲里市2022届高三三模数学（文）试题）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214,22,n n a b S a ==-()()1*21N +-+=+∈n n nb n b n n n .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列(){}1n n b -的前2n 项和.24．（内蒙古呼伦贝尔市部分校2022届高考模拟数学（文）试题）已知在等差数列{}n a 中，25a =，1033a a =．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．（宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学（文）试题）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ．26．（新疆乌鲁木齐地区2022届高三第二次质量监测数学（文）试题（问卷））设数列{}n a 是由正数组成的等比数列.其中24a =，416a =.(1)求数列{}n a 的通顶公式；(2)若数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，其中12b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .27．（江西省南昌市2022届高三第三次模拟测试数学（文）试题）{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，已知12a =，14n n n S a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1n n n b S a =+，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1118n T <.28．（江西省九江市2022届第三次高考模拟统一考试数学（文）试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()1222n n S S n -=+≥．(1)求n a ；(2)求数列()21n n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和．29．（广西梧州市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，22n n S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求{}n b 前12项的和.30．（贵州省2023届高三333高考备考诊断性联考（一）数学（文）试题）已知数列{}n a 是递增的等比数列．设其公比为q ，前n 项和为n S ，并且满足1534a a +=，8是2a 与4a 的等比中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b n a =⋅，n T 是n b 的前n 项和，求使12100n n T n +-⋅>-成立的最大正整数n 的值．。

专题突破练(4) 数列中的典型题型与创新题型一、选择题1．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )A．14 B．21 C．28 D．35答案 C解析∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4．∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28．故选C．2．在等比数列{a n}中，a1＝1，公比|q|≠1．若a m＝a1a2a3a4a5，则m等于( )A．9 B．10 C．11 D．12答案 C3．在递减等差数列{a n}中，若a1＋a5＝0，则S n取最大值时n等于( )A．2 B．3 C．4 D．2或3答案 D解析∵a1＋a5＝2a3＝0，∴a3＝0．∵d<0，∴{a n}的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故S n取最大值时n等于2或3．故选D．4．在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a10＋a11＋…＋a100，则k＝( ) A．496 B．469 C．4914 D．4915答案 D解析因为数列{a n}是等差数列，所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d，因为a k＝a10＋a11＋…＋a100，所以a k＝100a1＋100×992d－9a1＋9×82d＝4914d，又a k＝(k－1)d，所以(k－1)d＝4914d，所以k＝4915．故选D．A．1024 B．2012 C．2026 D．2036答案 C6．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为1，3，5，7，…．当n＝65时，剩余的一个数为( )A．1 B．2 C．4 D．8答案 B解析将1，2，3，…，65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按。

2021年高考数学大一轮复习 解答题专题突破（三）高考中的数列问题课时作业 理1．(xx·威海模拟)已知{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝2a 4－1. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ；(2)若数列{b n }满足b 1＋4b 2＋9b 3＋…＋n 2b n ＝a n ，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)设等差数列{a n }的首项和公差分别为a 1，d ， 则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝2a 1＋3d－1，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，S n ＝n a 1＋a n2＝n 2.(2)∵b 1＋4b 2＋9b 3＋…＋n 2b n ＝a n ，①∴b 1＋4b 2＋9b 3＋…＋(n －1)2b n －1＝a n －1，n ≥2.② ①－②，得n 2b n ＝a n －a n －1＝2，n ≥2，∴b n ＝2n2，n ≥2，又∵b 1＝a 1＝1，∴b n＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n 2，n ≥2.2．(xx·淄博模拟)若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝9，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n为正整数．(1)证明：数列{a n＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(a n＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项积为T n，即T n＝(a1＋1)(a2＋1)…(a n ＋1)，求lg T n；(3)在(2)的条件下，记b n＝lg T nlg a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n，并求使Sn＞4 026的n的最小值．解：(1)证明：由题意，得a n＋1＝a2n＋2a n，即a n＋1＋1＝(a n＋1)2，则{a n＋1}是“平方递推数列”．对a n＋1＋1＝(a n＋1)2两边取对数，得lg(a n＋1＋1)＝2lg(a n＋1)，所以数列{lg (a n＋1)}是以lg(a1＋1)为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，lg(a n＋1)＝lg(a1＋1)·2n－1＝2n－1.lg T n＝lg[(a1＋1)(a2＋1)…(a n＋1)]＝lg(a1＋1)＋lg(a2＋1)＋…＋lg(a n＋1)＝1·1－2n1－2＝2n－1.(3)b n＝lg T nlg a n＋1＝2n－12n－1＝2－⎝⎛⎭⎪⎫12n－1，S n ＝2n－1－12n1－12＝2n－2＋12n－1.又S n＞4 026，即2n－2＋12n－1＞4 026，n＋12n＞2 014，又0＜12n＜1，所以n min＝2 014.3．(xx·潍坊模拟)已知等差数列{a n}，a1＋a3＋a5＝42，a4＋a6＋a8＝69；等比数列{b n}，b1＝2，log2(b1b2b3)＝6.(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；(2)设c n＝a4－b n，求数列{|c n|}的前n项和T n.解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＋a3＋a5＝3a3＝42，∴a3＝14，∵a4＋a6＋a8＝3a6＝69，∴a6＝23.∴d＝23－143＝3.∴a n＝a3＋(n－3)d＝14＋(n－3)·3＝3n＋5.设等比数列{b n}的公比为q，由log2(b1b2b3)＝6，得b1b2b3＝26，即(b2)3＝26，∴b2＝4，则q＝b2b1＝42＝2，∴b n＝2·2n－1＝2n.(2)c n ＝a 4－b n ＝17－2n，c n ＋1－c n ＝17－2n ＋1－(17－2n )＝－2n ＜0， ∴{c n }为递减数列．又c 1＝15，c 2＝13，c 3＝9，c 4＝1，c 5＝－15， ∴{c n }的前4项为正，从第5项开始往后各项为负， 设数列{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝17n －(2＋22＋ (2))＝17n －21－2n 1－2＝17n －2n ＋1＋2.∴当n ≤4时，T n ＝|c 1|＋|c 2|＋…＋|c n |＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝S n ＝17n －2n ＋1＋2. 当n ≥5时，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4－(c 5＋c 6＋…＋c n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝76－17n ＋2n ＋1－2 ＝74－17n ＋2n ＋1.∴T n ＝⎩⎨⎧17n －2n ＋1＋2，n ≤4，74－17n ＋2n ＋1，n ≥5.4．(xx·威海模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，S n ＋1－2＝4a n ，设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)证明：数列{b n }为等比数列，并写出{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎨⎧2n －1，n 为奇数，log 2b n ，n 为偶数，T n 为数列{c n }的前n 项和，求T 2n .解：(1)由S n ＋1－2＝4a n ，① 得S n －2＝4a n －1(n ≥2，n ∈N *)，②由①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝4a n －4a n －1－2a n a n －2a n －1＝2a n －2a n －1a n －2a n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列{b n }是公比为2的等比数列． 由a 1＝3，S n －2＝4a n －1，得a 1＋a 2－2＝4a 1， ∴a 2＝3a 1＋2＝11，∴b 1＝a 2－2a 1＝5， ∴b n ＝5·2n －1.(2)由题意c n ＝⎩⎨⎧2n －1，n 为奇数，log 25＋n －1，n 为偶数，∴T 2n ＝c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2n －1＋c 2＋c 4＋…＋c 2n ＝20＋22＋…＋22n －2＋n log 25＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝1－4n 1－4＋n log 25＋n 1＋2n －12＝4n －13＋n log 25＋n 2.5．(xx·青岛模拟)已知{a n}是等差数列，首项a1＝3，前n项和为S n.令c n ＝(－1)n S n(n∈N*)，{c n}的前20项和T20＝330.数列{b n}是公比为q的等比数列，前n项和为W n，且b1＝2，q2＝a9.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)证明：(3n＋1)W n≥nW n＋1(n∈N*)．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，因为c n＝(－1)n S n，所以T20＝－S1＋S2－S3＋S4＋…＋S20＝330，则a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330，即10(3＋d)＋10×92×2d＝330，解得d＝3，所以a n＝3＋3(n－1)＝3n，所以q3＝a9＝27，q＝3，所以b n＝2·3n－1.(2)证明：由(1)知，W n＝21－3n1－3＝3n－1，要证(3n＋1)W n≥nW n＋1，只需证(3n＋1)(3n－1)≥n(3n＋1－1)，即证3n≥2n＋1.当n＝1时，3n＝2n＋1，不等式成立．当n＝2时，左边＝9，右边＝5，左边＞右边，不等式成立．假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即3k＞2k＋1，则当n ＝k ＋1时，3k ＋1＝3×3k ＞3(2k ＋1)＝6k ＋3＞2(k ＋1)＋1， ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 故当n ≥2时，3n ＞2n ＋1.综上可知，3n ≥2n ＋1对于n ∈N *成立． 所以(3n ＋1)W n ≥nW n ＋1(n ∈N *)．6．(xx·济宁模拟)已知数列{b n }满足S n ＋b n ＝n ＋132，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n －12是等比数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)如果对任意n ∈N *，不等式12k12＋n －2S n≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)对于任意n ∈N *，S n ＋b n ＝n ＋132，①S n ＋1＋b n ＋1＝n ＋1＋132，②②－①，得b n ＋1＝12b n ＋14，所以b n ＋1－12＝12⎝⎛⎭⎪⎫b n －12.又由①式知，S 1＋b 1＝142，即b 1＝72. 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n －12是首项为b 1－12＝3，公比为12的等比数列，所以b n －12＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12.(2)因为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12，所以S n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋n 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋n 2＝6⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋n 2.因为不等式12k12＋n －2S n≥2n －7，化简，得k ≥2n －72n，对任意n ∈N *恒成立， 设c n ＝2n －72n，则c n ＋1－c n ＝2n ＋1－72n ＋1－2n －72n＝9－2n 2n ＋1，当n ≥5时，c n ＋1≤c n ，{c n }为单调递减数列， 当1≤n ＜5时，c n ＋1＞c n ，{c n }为单调递增数列， 116＝c 4＜c 5＝332，所以n ＝5时，{c n }取得最大值332， 所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥332.zt38746 975A 靚34727 87A7 螧Q36875 900B 逋 40085 9C95鲕25882 651A 攚29007 714F 煏?24542 5FDE 忞37853 93DD 鏝F。

专题2.2 数 列1．（1） 等差（比）数列问题解决的基本方法：用公式进行基本量代换； （2）数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．2．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解，这也是考查频率比较高的考查点．1．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为3,9n S S =，若1231,1,3a a a +++构成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：13nT ≥ 【试题来源】二轮复习联考（一）2021届高三 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析．【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式．（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果． 【解析】（1）由{}n a 为等差数列，39,S =得239a =，则23,a = 又1231,1,3a a a +++构成等比数列，所以()2132()(11)3a a a ++=+， 即()461,)6(d d -+=解得2d =或4d =-(舍)，所以21n a n =-；（2）因为()()1111121212)21211(n n a a n n n n +=--+-+=， 所以12231111n n n T a a a a a a +=+++…111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11111213221n n n ==≥=+++.2．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为公比大于0的等比数列，且11b =，236b b +=，33a =，4652a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记()121n n n c a b +=-⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ． 【试题来源】天津市部分区2021届高三下学期质量调查（一）【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）()16232n n S n +=+-⨯．【分析】（1）求出{}n a 的公差和{}n b 的公比后可得{}n a 和{}n b 的通项公式． （2）利用错位相减法可求n S ．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则26q q +=，解得2q或3q =-（舍），故12n n b -=．又()5233316d d b ++=+=，故1d =，故n a n =． （2）()()121212nn n n c a b n +⋅==--⋅，故()23123252212n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，所以()23412123252212n+n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，所以()()23122222212n n n S n +-=++++--⨯()()()11141222212623212n n n n n -++-=+⨯--⨯=---⨯-，故()16232n n S n +=+-⨯．3．已知{a n }为等差数列，各项都为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且13b =，339S =，127a b =-，4041a b =-．（1）求{}n a ､{}n b 的通项公式；（2）求和1231222n n a a a a a ++++⋯⋯++．【试题来源】陕西省西安市八校2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】（1）a n =2n ；b n =3n ，n ∈N *；（2）2n 2+4n ．【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可； （2）变形后根据等差数列的求和公式求和即可．【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q >0，由b 1=3，S 3=39，a 1=b 2﹣7，a 40=b 4﹣1，可得3+3q +3q 2=39，a 1=3q ﹣7，a 1+39d =3q 3﹣1， 解得q =3，d =2，a 1=2，则a n =2+2(n ﹣1)=2n ；b n =3•3n ﹣1=3n ，n ∈N *；（2）a 1+2a 2+2a 3+……+2a n +a n +1=2(a 1+a 2+a 3+……+a n +a n +1)﹣a 1﹣a n +1 =2•12(n +1)(2+2n +2)﹣2﹣2(n +1)=2n 2+4n ． 4．已知{}n a 是等差数列，11a =，410a =，且1a ，()k a k *∈N ，6a 是等比数列{}n b 的前3项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 是由数列{}n a 的项删去数列{}n b 的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列{}n c 的前20项的和．【试题来源】湘豫名校联考2021届高三（4月）【答案】（1）32n a n =-，14n n b -=；（2）767．【分析】（1）根据14,a a 以及等差数列的通项公式计算即可得到n a 结果，然后根据216k a a a =⋅可得k ，最后简单计算可得n b ．（2）根据（1）的条件可知求解的是()()2012241234S a a a b b b b =+++-+++，计算即可．【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，且11a =，410a =．则111310a a d =⎧⎨+=⎩，解得3d =，所以()13132n a n n =+-=-．因为1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，则216k a a a =⋅，由于32k a k =-，代入上式解得2k =．于是11b =，24b =，316b =，因此等比数列{}n b 的公比4q =．故数列{}n b 的通项公式为14n n b -=．（2）设数列{}n c 的前20项的和为20S ．因为3422464b a ===，45864256b a ===，则()()2012241234S a a a b b b b =+++-+++()242324131416647672⨯=⨯+⨯-+++=． 5．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-． （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若数列{}n b 满足331n n a og n log b +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【试题来源】百校大联考2021届高三第六次大联考【答案】（1）22n a n =-；（2）()181964nn n T +-⨯=．【分析】（1）利用1n n n a S S -=-求通项公式；（2）先根据331n n a og n log b +=求出19n n b n -=⨯，再用错位相减法求和．【解析】()21n S n n =-，∴当1n =时，2111,S =-即10a =；当2n ≥时，()211)1(n S n n -=---，()()()21211n n S S n n n n -⎡⎤∴-=-----⎣⎦．()222n n n a ∴=-≥，验证知，当1n =时，也成立．综上，22n a n =-．()2据()1求解知，22n a n =-．又33n n a log n log b +=，3322n n log n log b ∴-+=，19n n b n -∴=⨯，∴数列{}n b 的前n 项和01211929399n n T n -=⨯+⨯+⨯⋯+⨯，① 12391929399n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，②①-②得01219191919199n nn n T T n --=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯()1198919n n n T n ⨯-∴-=-⨯-，()181964nn n T +-⨯∴=【名师点睛】数列求和常用方法：（1）公式法； （2）倒序相加法；（3）裂项相消法； （4）错位相减法．6．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的n 项和34nT < 【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三下学期3月模拟考试 【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得()2131222n S n n n n n =+-⋅=+，211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再由裂项相消求和，可得所求和． 【解析】（1）公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列，则2411325a a a a ⎧=⎨=⎩，即()()121115312a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得132a d =⎧⎨=⎩ 则()32121na n n =+-=+；（2）由等差数列求和公式得()2131222n S n n n n n =+-⋅=+， 211111222n S n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 故11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭()()1111312331221242124n n n n n +⎛⎫=+--=-⋅< ⎪++++⎝⎭． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和及裂项相消法求和，常见的裂项技巧：（1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +-- ()()()()1121212121n n n n ++---=-- 1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误，考查学生的运算能力，属于中档题．7．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且满足112b =，351256b b =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}nc 满足12n n n c a b =，其前n 项和为n T ．求证：2n T <． 【试题来源】陕西省宝鸡市2021届高三下学期高考模拟检测（二）【答案】（1）2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析．【分析】（1）根据{}n a 为等差数列及题干条件，可求得1a ，代入等差数列的通项公式，即可求得答案，根据{}n b 为等比数列及题干条件，可求得q ，代入等比数列通项公式，即可求得答案．（2）由（1）可得12nn c n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减求和法，即可求得前n 项和为nT 的表达式，即可得证．【解析】（1）解：由2d =，且126a a +=．所以1226a +=，解得12a =．故()2212n a n n =+-=． 因为{}n b 为等比数列，0n b >，设公比为q ，则0q >， 所以23541256b b b ⋅==，所以341116b b q ==，所以12q =，∴1111222n n n b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）由（1）得1122nn n n c a b n ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭， 所以()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，所以()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，所以由①-②得所以231111111222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111122111(2)12212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以()1222nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，所以2n T <． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314a =，374S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0n a >，求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【试题来源】华大新高考联盟2021届高三3月教学质量测评（全国卷）【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，31143n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭；（2）()121nn T n =-⋅+．【分析】（1）根据等比数列的通项公式和前n 项和公式列出关于q 的方程，解出即可得出{}n a 的通项公式；（2）先确定12n nnn a-=⋅，利用错位相减法求和即可．【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，则123211174444a a a q q ++=++=，即2610q q --=，解得12q =或13q =-； 若12q =，则3133111422n n n n a a q ---⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若13q =-，则3331143n n n a a q --⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭；（2）由（1）得，12n nnn a -=⋅， 故01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12321222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减可得012122222212n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅，故()121nn T n =-⋅+．9．已知等比数列{}n a 的各项均为整数，公比为q ，且1q >，数列{}n a 中有连续四项在集合{}96,24,36,48,192M =--中，（1）求q ，并写出数列{}n a 的一个通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：数列{}n S 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．【试题来源】江苏省苏锡常镇四市2021届高三下学期3月教学情况调研（一） 【答案】（1）2q =-，()132n n a -=⨯-；（2）证明见解析．【分析】（1）因为1q >，且各项均为整数，所以连续四项为24,48,96,192--，故2q =-，不妨取13a =，故()132n n a -=⨯-；（2）设等比数列{}n a 的首项为1a ，()1123nn a S ⎡⎤--⎣⎦=，再分n 为奇数时和n 为偶数时验证122n n n S S S +++=即可．【解析】（1）因为1q >，且各项均为整数，所以连续四项为24,48,96,192--， 所以公比2q =-，取()113,32n n a a -==⨯-．（2）由题意，()1123nna S ⎡⎤--⎣⎦=， 所以当n 为奇数时，()1123n na S +=，()()1211121212,33n n n n a a SS ++++-+==，所以()11122223n n n n a SS S +++++==，当n 为偶数时，()()11111212,33n n nn a a S S ++-+==()212123n n a S ++-=，所以()11122223n n n n a SS S +++-+==，所以对n S 中的任意连续三项，经顺序调整后可以构成等差数列．【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式的求解，前n 项和公式，等差中项证明等差数列等，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题．本题第二问解题的关键在于分n 为奇数和n 为偶数两种情况，并结合等差中项验证122n n n S S S +++=．10．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且4228S S =+． （1）求公差d 的值；（2）若11,n a T =是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求使不等式511n T ≥成立的n 的最小值．【试题来源】黑龙江省漠河市高级中学2020-2021学年高三上学期第三次摸底考试 【答案】（1）2d =；（2）5．【分析】（1）{}n a 是公差为d 的等差数列，所以4S =146a d +，2S =12a d +，代入4228S S =+整理即得解；（2）由1a 1,d 2，得21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 裂项相消得出n T 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，解不等式得5n ≥，得到结果． 【解析】（1）由4228S S =+，即11462(2)8a d a d +=++， 化简得48d =，解得2d =；（2）由1a 1,d 2，得21n a n =-，所以111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， 所以12231111111111(1)23352121n n n T a a a a a a n n +=+++=-+-++--+ 11(1)22121n n n =-=++，由511n T ≥解得5n ≥，所以n 的最小值为5．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）利用等差数列求和公式，根据题中所给的条件，列出等量关系式，求得结果； （2）根据首项和公差，写出数列的通项公式，将11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项求出，之后利用裂项相消法求和，解不等式，求得结果． 11．己知数列{}n a 满足()*1111,202n n n n a a a a a n N ++=-+=∈ （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和，证明14n S <【试题来源】山东省临沂市沂水一中2021届高三 二轮复习联考（一） 【答案】（1）证明见解析，12n a n=；（2）证明见解析． 【分析】（1）构造数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，根据1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求得结果． （2）由裂项相消法即可求和，进而证明不等式．【解析】（1）由题对1120n n n n a a a a ++-+=两边同时除以1n n a a +得1112n na a +-= 又112a =，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2的等差数列， 所以()12212n n n a =+-=，所以12n a n=；（2）由()()11111114141n n a a n n n n +⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭所以()1111111111114223141441n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 因为*n N ∈所以()1114414n -<+，即14n S <.【名师点睛】 1120n n n n a a a a ++-+=，两边同时除以1n n a a +，构造等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是本题的关键．本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目．12．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，满足11a =，1829a a a =，数列{}n b 满足2n an b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T 的值． 【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测（三）【答案】（1）n a n =，2nn b =；（2） ()1122n n T n +=-⨯+．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件列出关于d 的方程，解方程求出d ，进而求出数列{}n a 的通项公式，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法即可求解．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ．由题意得()()117118d d d +=++，解得1d =或0（舍），所以()111n a n n =+-⨯=，所以2nn b =．（2）由（1）知231122*********nn n n T a b a b a b a b n =+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，所以()23412122232122nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，两式相减得()2311121212122122n n n n T n n ++-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯=-⨯-，所以()1122n n T n +=-⨯+．13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为324,7,16n S S a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11b =，当2n ≥时，2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【试题来源】江西省八所重点中学2021届高三4月联考 【答案】（1）12n na ；（2）12n T n=-． 【分析】（1）由3247,16S a a ==解出基本量即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知，111n b n n=--，利用裂项相消法求和． 【解析】（1）因为数列n a 正项等比数列，设公比为q ，且22430,16q a a a >∴==，即2314a a q ==，又()()32123121171714a q q q S a q q qq -++==++=∴=-，，解得2q 或23-(舍) 又111,2n n a a -=∴=．（2）22111112,log log (1)1n n n n b a a n n n n+≥===---，所以1211111112231n n T b b b n n =+++=+-+-++--12n=-． 当1n =时也适合此式，所以12n T n=-． 【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=-⎪++⎝⎭；（2） 1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦，此外需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．14．已知{}n a 数列满足12a =，1122n n n a a ++-=．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列． （2）求数列{}12n n a ++的前n 项和．【试题来源】湖南省衡阳市2021届高三下学期一模 【答案】（1）证明见解析；（2）()1122n n S n +=+⋅-．【分析】（1）将1122n n n a a ++-=两边同时除以12n +，即可证数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）利用（1）的结论可以求出数列{}n a 的通项公式，再利用乘公比错位相减求和．【解析】（1）依题，在1122n n n a a ++-=两边同时除以12n +，得11122n nn n a a ++-=，1112a =，故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得()112n na n n =+-=，可得2nn a n =⋅， 所以()1222n n n a n ++=+⋅，则数列{}12n n a ++的前n 项和()12332425222n nSn =⋅+⋅+⋅+++⋅①，()()231232421222n n n S n n +=⋅+⋅+++⋅++⋅②，①-②得()()()231121262222242212n n n n n S n n ++--=++++-+⋅+-+⋅-=，所以()1122n n S n +=+⋅-．15．已知等比数列{}n a 的前n 项和2,nn S r =+其中r 为常数．（1）求r 的值；（2）设()221log n n b a =+，若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原来的顺序组成数列{}n c ，求123100c c c c ++++的值．【试题来源】江苏省南京市、盐城市2021届高三下学期3月第二次模拟考试【答案】（1）1,r =-；（2）11302．【分析】（1）利用等比数列的定义先求数列的前几项，求出首项和公比，从而求出r 的值，但此方法需验证；也可利用1(2)n n n a S S n =≥－－求解；（2）找出数列{}n b 中数列{}n a 的项，再在求和中将其减掉即可．【解析】（1）方法1：因为2n n S r =+，所以当1n =时，112S a r ==+．当2n =时，2124S a a r +==+，故22a =． 当3n =时，31238S a a a r ++==+，故34a =． 因为{}n a 是等比数列，所以2213a a a ，化简得21r +=，解得1,r =-此时21nn S =-．当2n ≥时，11121212n n n n n n a S S ----==-+=－， 当1n =时，1111,2n n a S a -===，所以1,r =-满足题意． 方法2：因为2nn S r =+，所以当1n =时，112S a r ==+． 当2n ≥时，11121212n n n n n n a S S ----==-+=－．因为{}n a 是等比数列，所以21r +=，解得1,r =-． （2）因为12n na ，所以221log 2()n nb a n =+=．因为1213244586161,2,4,8,16,32a a b a b a b a b a b ===========，732864912864,128,256a b a b a b ======，所以123100c c c c ++++1231072345678()()b b b b a a a a a a a ++++-++++++＝107(2214)254113022⨯+=-=．【名师点睛】数列求和的方法技巧（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n a S n n =+∈N ．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）记()()2221log 1log 1n n n c a a +=+⋅+，求证：数列{}n c 的前n 项和34n T <．【试题来源】东北三省四城市联考暨沈阳市2021届高三质量监测（二） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由2n n a S n =+得()11212n n a S n n --=+-≥，作差得121n n a a -=+，进而得1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是等比数列；（2）由（1）得21n n a =-，故()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，再根据裂项求和证明即可．【解析】（1）因为2n n a S n =+①，所以()11212n n a S n n --=+-≥②， 由①-②得，121n n a a -=+．两边同时加1得()1112221n n n a a a --+=+=+， 所以1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是公比为2的等比数列．（2）令1n =，1121a S =+，则11a =． 由()11112n n a a -+=+⋅，得21nn a =-．因为()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，所以11111111121324112n T n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭11113111221242224n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 因为*11,02224n N n n ∈+>++，所以3113422244n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭所以1111311312212422244n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)nn n S a =+-，1n ≥．（1）求数列{}n a 的前3项1a ，2a ，3a ；（2）求证：数列()213n na ⎧⎫+⋅-⎨⎬⎩⎭是等比数列： （3）求数列{}(63)n n a -⋅的前n 项和n T ． 【试题来源】天津市红桥区2021届高三下学期一模 【答案】（1）11a =，20a =，32a =；（2）证明见解析；（3）3(23)22,,3(23)22,.n n nn n n T n n n ⎧+-⋅-=⎨+-⋅+⎩为偶数为奇数． 【分析】（1）分别令1,2,3n =计算即可；（2）1n n n a S S -=-（2n ≥）转化为递推数列即可证明； （3）分n 的奇偶性计算即可．【解析】（1）当1n =时，有：()1111211S a a a ==+-=⇒； 当2n =时，有：()221222210S a a a a =+-⇒=+=； 当3n =时，有：()3312333212S a a a a a =++=+-=⇒；综上可知11a =，20a =，32a =；（2）由已知得2n ≥时，1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得1122(1)n n n a a --=+-上式可化为1122(1)2(1)33n n n n a a --⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦故数列2(1)3n n a ⎧+-⎫⎨⎬⎩⎭是以112(1)3a +-为首项，公比为2的等比数列． （3）由（2）知121(1)233n n n a -+-=所以1122(1)33n n n a -=⋅-- ()()()16321221nn n n a n -⎡⎤-⋅=---⎣⎦()1=2122(1)(21)n n n n --⋅-⋅-⋅-， 当n 为偶数时，011n 1232(21)22[135(23)(21)]n n n T n -⎡⎤=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅--+-+⋅⋅⋅--+-⎣⎦ 令0111232(21)2n n A n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2[135(23)(21)]n B n n =-+-+⋅⋅⋅--+-01221123252(23)2(21)2n n n A n n --=⋅+⋅+⋅+-⋅+-⋅⋅⋅⋅① 12121232(23)2(21)2n n n A n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+-⋅②则①-②得01212222222(21)2n nn A n --=+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅--⋅()12112222(21)2n nn -=+++--⋅⋅⋅⋅()121212(21)212n nn --=+⋅--⋅-3(32)2n n =-+-⋅ 3(23)210n n A n ∴=+-⋅，2[135(23)(21)]n B n n =-+-+⋅⋅⋅--+-2222nn =⋅⋅= 所以3(23)22nn n n T A B n n =-=+-⋅-．当n 为奇数时，3(23)2nn A n =+-⋅，2[135(25)(23)(21)]n B n n n =-+-+⋅⋅⋅--+---122212n n -⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭2n =-所以3(23)22nn n n T A B n n =-=+-⋅+，综上，3(23)22,,3(23)22,.n n nn n n T n n n ⎧+-⋅-=⎨+-⋅+⎩为偶数为奇数 【名师点睛】本题的核心是考查错位相减求和．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．18．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,,A B C 成等差数列，且2c a =． （1）求角A 的大小； （2）设数列{}n a 满足1cos (2)n a nC n n =+，其前n 项和为n S ，求2n S ．【试题来源】黑龙江省佳木斯市第一中学2021届高三第六次调研考试数学试卷【答案】（1）6π；（2）()41n n + 【分析】（1）根据2B A C =+及内角和，得到3B π=，再由2c a =，及余弦定理求解．（2）化简0,21,1,2(2)n n k a k N n k n n =+⎧⎪=∈⎨=⎪+⎩，再利用裂项相消法求2n S ． 【解析】（1）因为,,A B C 成等差数列，2B A C ∴=+， 又A B C π++=，3B π∴=，又2c a =， 由余弦定理得22222222cos4233b ac ac a a a a π=+-==+-即222+=a b c ，所以ABC 是直角三角形，故,26C A ππ==所以角A 的大小为6π． （2）因为0,2111cos cos ,1,2(2)(2)2(2)n n k n a nC k N n k n n n n n n π=+⎧⎪===∈⎨=++⎪+⎩，所以2123421110024462(22)n n S n n a a a a a +=+++++=+++⨯+⨯+11111124462(22)122314()1n n n n ++⨯⨯+⨯⨯+⎛⎫=++=++⎪⎝⎭1111111223411n n ⎛⎫=+-+⎪-++- ⎝⎭()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．已知数列{}n a 满足11a =，且点()1,2nn n a a +-在函数()3f x x =的图象上．（1）求证：12n na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式： （2）若1n n n a b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：233n S n >+． 【试题来源】湖南省岳阳市2021届高三下学期高考一模【答案】（1）证明见解析；32n nn a =-；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意得123nn n a a +=+，推得11311222n n n n a a ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可证明12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，然后结合等比数列的定义和通项公式即可求得结果；（2）推得1113323212233323331122nnn n n n n nn nn a b a +++⎛⎫⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭====+>+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由不等式的性质和等比数列的求和公式、数列的单调性，即可求证． 【解析】（1）由点()1,2nn n a a +-在函数()3f x x =的图象上，可得123nn n a a +=+，所以13122n nn na a +=+，即11312222n n n n a a ++=⋅+， 也即11311222n n n n a a ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由11a =，所以113122a +=，所以12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项和公比均为32的等比数列，则3122nn n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32n n n a =-；（2）1113323212233323331122nnn n n n n nn nn a b a +++⎛⎫⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭====+>+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，2221332222333222333313nn n n S n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭>++++=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 4232333n n ≥+-=+． 【名师点睛】证明数列为等比数列的常用方法：（1）定义法；（2）等比中项法；（3）通项法；（4）前n 项和法．20．已知等差数列{}n a 的公差不为零，41a =，且457a a a ，，成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()24n n S b n N*=-∈．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：()111,2n n nn a c c c n N b *+=-=-∈，求使得216n n c -≥成立的所有n 值．【试题来源】浙江省绍兴市2021届高三下学期一模【答案】（1）3n a n =-，12n n b +=；（2）2，3，4．【分析】（1）由等差、等比数列的定义及递推关系求出2个数列的通项．（2）累加法求新数列的通项，错位相减法来求等差乘等比的前n 项和，即可得到数列通项，然后解不等式即可．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为0d d ≠（），由题得2547a a a =， 即2113d d +=+（），整理得2d d =，解得1d =，所以()443n a a n d n =+-=-．因为1124b b =-，所以14b =，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=，所以{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以12n n b +=．（2）由1n n n n a c c b +=-得1132n n n n c c ++--=， 所以()()()112211n n n n n c c c c c c c c ---=-+-+⋯+-+2312142222n n ---⎛⎫=--++⋯+ ⎪⎝⎭设23214222n n n T ---=++⋯+，则34112142222n n n T +---=++⋯+， 作差得2341121114222222n n n n T +--=+++⋯+- 31111114122221224212n n n n n ++-⨯--=-+-=--- 所以1222n n n T -=--，所以1222n n n n c T -=--= 因为22216n n n n c --=≥，所以()()42210n n ---≥． 当1n =时，不满足题意；2n =时，满足题意； 当3n ≥时，4210n --≥，解得34n ≤≤． 所以，满足题意的所有n 值为2，3，4．。

2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》五1.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a n＋1=3S n＋1，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记T n为数列{n＋a n}的前n项和，求T n.2.已知数列{a}的前n项和，数列{b n}满足.n(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n.3.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n，T n=b1＋b2＋…＋b n，求T n.4.已知{a n }为公差不为零的等差数列，首项a 1=a ，{a n }的部分项321k k k a a a 、、...n k a 恰为等比数列，且k 1=1，k 2=5，k 3=17．(1)求数列{a n }的通项公式a n (用a 表示)； (2)设数列{k n }的前n 项和为S n ，求证：231...111321<++++n S S S S (n 是正整数)．5.已知等差数列{a n }的公差为2，且，，成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：.6.已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10=110,且a 1,a 2,a 4成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足()()111n n n b a a =-+，若数列{b n }前n 项和T n ，证明12n T <.7.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=70且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设nS b nn 2=，求数列{11+n n b b }前的n 项和T n ．8.已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3=12，b 3=a 4－2a 1，S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．9.已知数列{a n }是等差数列，a 2=6，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=2，a 1b 3=12，S 3＋b 1=19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n .10.已知数列{a n }是公比不为的等比数列，a 1=1，且成等差数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）若数列{a n }的前n 项和为，试求的最大值.11.已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4=2S 2＋4，数列{b n }中，b n =1＋a na n.(1)求公差d 的值；(2)若a 1=－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围． 12.已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．13.知数列{a}的前n项和为Sn，且满足，数列{b n}为等差数列，且满足nb2=a1,b8=a3.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)令，关于k的不等式的解集为M，求所有的和S．14.设正项数列的前项和，且满足.（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.15.已知等差数列的前n 项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n 项和.答案解析16.解：(1)由a n ＋1=3S n ＋1，得当n≥2时，a n =3S n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1=4a n (n≥2)．又a 1=1，a 2=4，a 2a 1=4，所以数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以数列{a n }的通项公式是a n =4n －1(n ∈N *)． (2)T n =(1＋a 1)＋(2＋a 2)＋(3＋a 3)＋…＋(n ＋a n )=(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)=n 1＋n 2＋1×1－4n 1－4=n ＋n 22＋4n－13.17.解:18.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d2＝a 1＋d a 1＋7d ，解得d=1或d=0(舍去)，∴a n =1＋(n －1)=n.(2)由(1)得a n =n ，∴b n =2n，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴T n =21－2n1－2=2n ＋1－2.19.20.解：21.解：22.解：23.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2＋b 3=12，得b 1(q ＋q 2)=12，而b 1=2，所以q 2＋q －6=0. 又因为q ＞0，解得q=2.所以b n =2n.由b 3=a 4－2a 1，可得3d －a 1=8.① 由S 11=11b 4，可得a 1＋5d=16.②由①②，解得a 1=1，d=3，由此可得a n =3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n －2，数列{b n }的通项公式为b n =2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n =6n －2，b 2n －1=2×4n －1，得a 2n b 2n －1=(3n －1)×4n，故T n =2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n =2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1， 上述两式相减，得－3T n =2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1=12×1－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1=－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n =3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.24.解：(1)∵数列{a n }是等差数列，a 2=6， ∴S 3＋b 1=3a 2＋b 1=18＋b 1=19， ∴b 1=1，∵b 2=2，数列{b n }是等比数列，∴b n =2n-1. ∴b 3=4，∵a 1b 3=12，∴a 1=3，∵a 2=6，数列{a n }是等差数列， ∴a n =3n.(2)设C n =b n cos(a n π)，由(1)得C n =b n cos(a n π)=(-1)n 2n-1，则C n ＋1=(-1)n ＋12n，∴Cn ＋1C n=-2，又C 1=-1，∴数列{b n cos(a n π)}是以-1为首项、-2为公比的等比数列．∴T n =－1×[1－－2n]1－－2=13[(-2)n-1]．25.26.解：(1)∵S 4=2S 2＋4，∴4a 1＋3×42d=2(2a 1＋d)＋4，解得d=1.(2)∵a 1=－52，∴数列{a n }的通项公式为a n =－52＋(n －1)=n －72，∴b n =1＋1a n =1＋1n －72.∵函数f(x)=1＋1x －72在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上分别是单调减函数， ∴b 3＜b 2＜b 1＜1，当n ≥4时，1＜b n ≤b 4，∴数列{b n }中的最大项是b 4=3，最小项是b 3=－1.(3)由b n =1＋1a n ，得b n =1＋1n ＋a 1－1.又函数f(x)=1＋1x ＋a 1－1在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数，且x ＜1－a 1时，y ＜1；当x ＞1－a 1时，y ＞1.∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8， ∴7＜1－a 1＜8，∴－7＜a 1＜－6， ∴a 1的取值范围是(－7，－6)． 27.28.解：29.30.。

2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》一1.数列{a}的前n项和为S n=33n-n2.n（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=︱a n︱，求数列{b n}的前n项和S/n.2.已知数列为等差数列，其中.（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足，为数列的前项和，当不等式（）恒成立时，求实数的取值范围.3.已知{a}是等差数列，{b n}是等比差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.n（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和.4.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2＋1，数列{b n }中，b n =2a n ＋1，且其前n 项和为T n ，设c n =T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．5.等差数列{a n }的各项均为正数，a 1=3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1=1，且S 2b 2=64，S 3b 3=960.(1)求a n 与b n ；(2)求nS S S S 1...111321++++.6.已知数列{a n }的前n 项和为，且．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）令，数列{b n }的前n 项和为，若不等式对任意恒成立，求实数t 的取值范围．7.设S n ,T n 分别是数列{a n }和{b n }的前n 项和，已知对于任意n ∈N *，都有3a n =2S n +3，数列{b n }是等差数列，且T 5=25,b 10=19.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设，数列{c n }的前n 项和为R ，求使R n >2017成立的n 的取值范围.8.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 9.在数列{a n }中，a 1=6，且111++=---n na a a n n n (n ∈N *，n ≥2)， (1)求a 2，a 3，a 4的值；(2)猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．10.等差数列的前n 项和为S n ，且.(1)求{a n }的通项公式； (2)求值.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )(n ∈N *)在直线2x －y －2=0上．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)设直线x=a n 与函数f(x)=x 2的图象交于点A n ，与函数g(x)=log 2x 的图象交于点B n ，记b n =OA n →·OB n →(其中O 为坐标原点)，求数列{b n }的前n 项和T n ． 12.等差数列{a n }中，，(1)求{a n }的通项公式； (2)若，且T n 为{b n }的n 项和，求T 50的值.13.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =a ·2n +b 且a 1=3.(1)求a 、b 的值及数列{a n }的通项公式； (2)设b n =,求{b n }的前n 项和T n .14.等比数列{a n }中，已知a 1=2，a 4=16．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }是等差数列，a 3=b 3，a 5=b 5试求数列{b n }的通项公式．15.设数列{a n }的前项积为T n ，且T n +2a n =2(n ∈N *). (1)求证：数列{nT 1}是等差数列. (2)设b n =(1-a n )(1-a n+1),求数列{b n }的前n 项和S n .答案解析16.解：17.（1）.（2）.18.19.解：(1)∵a 1=S 1=2，a n =S n －S n －1=2n －1(n≥2)，∴b n=⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝1，1nn≥2.(2)由题意得c n =b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1=1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，∴c n ＋1－c n =12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1=12n ＋3－12n ＋2=－12n ＋32n ＋2<0，∴c n ＋1<c n ，∴数列{c n }为递减数列. 20.答案略；21.22.解：23.解：(1)当n=1时，a 1=2a 1－2，所以a 1=2. 当n≥2时，S n －1=2a n －1－2，S n －S n －1=(2a n －2)－(2a n －1－2)，即a n =2a n －1.所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n.(2)由(1)得b n =2n log 22n =n·2n，所以T n =1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n×2n，2T n =1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n×2n ＋1，两式相减，得－T n =21＋22＋23＋…＋2n －n×2n ＋1=21－2n1－2－n×2n ＋1=(1－n)2n ＋1－2，所以T n =(n －1)2n ＋1＋2. 24.解：25.解：(1)设数列的公差为d ，由a 3+a 5=a 4+7，得2a 1+6d=a 1+3d+7①. 由，得②得a1=1，d=2,所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1.(2)新数列依然等差，公差6，首项1，共30项，原式=30×1+26.解：(1)证明：∵点(a n ，S n )在直线2x －y －2=0上， ∴2a n －S n －2=0．①当n=1时，2a 1－a 1－2=0，∴a 1=2． 当n≥2时，2a n －1－S n －1－2=0，② ①－②，得a n =2a n －1．∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a n =2n．(2)由(1)及已知易得A n (2n ，4n )，B n (2n，n)，∴b n =OA n →·OB n →，∴b n =(n ＋1)·4n．则T n =2×41＋3×42＋4×43＋…＋(n ＋1)·4n，③4T n =2×42＋3×43＋4×44＋…＋(n ＋1)·4n ＋1，④ ③－④，得－3T n =8＋42＋43＋…＋4n －(n ＋1)·4n ＋1=8＋16(1－4n －1)1－4－(n ＋1)·4n ＋1，∴T n =n 3＋29·4n ＋1－89．27.解：28.29.解：（1）设等比数列{a}的公比为q，∵a1=2，a4=16．∴16=2q3，解得q=2．∴a n=2n．n（2）设等差数列{b n}的公差为d，∵b3=a3=23=8，b5=a5=25=32．∴b1+2d=8，b1+4d=32，解得b1=﹣16，d=12，∴b n=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28．30.解：。