中国石油大学高等数学第二次在线作

中国石油大学高等数学（二）第三次在线作业第1题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数的收敛与绝对收敛第2题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第3题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第4题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第5题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第6题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第7题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第8题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：交错级数的收敛域第9题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第10题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：单位向量、共线的概念、数量积第11题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量平行的性质第12题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：单位向量、向量垂直、数量积第13题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第14题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：单位向量、共线的概念、数量积第15题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的夹角第16题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第17题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：二次曲面与空间曲线第18题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第19题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量平行的性质、数量积第20题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第21题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：阿贝尔定理第22题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：幂级数的收敛域第23题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：幂级数的收敛域第24题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第25题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第26题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第27题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：幂级数的收敛域第28题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第29题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：二次曲面第30题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：二次曲面与空间曲线第31题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数收敛的概念第32题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第33题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：空间曲线第34题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的关系第35题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的关系第36题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的平行概念与单位向量概念第37题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数收敛的必要条件第38题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：旋转曲面与柱面第39题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第40题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数收敛的必要条件作业总得分：20.0作业总批注：。

第7题
B
在线作业一答案
CCDCC BDBDD DCBCB CDCAC EBBCD DCAAB 错错对错错错对错错对
第二次在线作业
第1题
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DCDCC BDCAB BACBC DACBC ABCAA BADCB 对错对错错对错错对对
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第1题
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40题
DABCB CCCBD BDABA BBACD BDABD BADDA 对错对对错对对错错对。

《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。

2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。

4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。

5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。

6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。

7．平面2250x y z -++=的法向量是 。

8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。

9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。

10．函数z =的定义域为 。

11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。

12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。

13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。

向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。

14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。

15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。

16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。

17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。

18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。

19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。

2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若(,)z f x y =有连续的二阶偏导数，且(,)xyf x y K ''= (常数)，则(,)y f x y '=（ D ） (A) 22K ； (B) Ky ； (C) ()ϕ+Ky x ； (D) ()ϕ+Kx y .8. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤-≤≤，则下列结论正确的是（ A ）. (A)()()0Df yg x dxdy =⎰⎰； (B) ()()0Df xg y dxdy =⎰⎰；(C)[()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰； (D) [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ∆的面积为（ A ）(A)92； (B) 73； (C) 29； (D)37. 10. 曲面积分2z dxdy ⎰⎰∑在数值上等于( C ).(A) 流速场i z v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；(C) 向量场k z F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2=沿Σ边界所做的功.11．若级数1(2)nn n c x ∞=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在 1x = 处 ( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.12.级数121(1)n pn n -∞=-∑的敛散性为 ( A ) (A) 当12p >时，绝对收敛； （B ）当12p >时，条件收敛；(C) 当102p <≤时，绝对收敛； （D ）当102p <≤时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. （本题满分6分）设()x y z x y z e-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .解：两边同取微分 ()(1)()x y z dx dy dz edx dy dz -++++=⋅-⋅++ ， 整理得 dz dx dy =--.14. （本题满分8分）求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dx dy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以切向量为：91{1,,}1616T =-， 切线方程为： 1111691x y z ---==-； 法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=.15.（本题满分8分）求幂级数(21)nn n x∞=+∑的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，0(21)nn n x∞=+∑02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x ，10122∞∞-===∑∑nn n n nxx nx，设11()∞-==∑n n A x nx，则10011(),(11);1∞∞-=====-<<-∑∑⎰⎰xxn nn n x A x dx nx dx x x x 21(),1(1)'⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x 即 2222()(1)∞===-∑nn x nx xA x x ， 0(21)∞=∴+∑n n n x 02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x 22211,(11)(1)1(1)+=+=-<<---x x x x x x .16.（本题满分6分）计算()∑=++⎰⎰I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2225+=xy 所截下的有限部分. 解：()∑=++⎰⎰I x y z dS (5)∑=+⎰⎰x dS∑=⎰⎰xdS （∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑+⎰⎰dS 05∑=+⎰⎰dS 2225+≤=⎰⎰x ydxdy 25π==.17.（本题满分8分）计算积分222(24)(2)=++-⎰LI x xy dx x y dy ，其中L 为曲线22355()()222-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.解：4∂∂==∂∂Q Px x y，∴积分与路径无关，选折线AC +CB 为积分路径， 其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤⎧⎨==⎩x x x AC y dy 2,0:.,14==⎧⎨=≤≤⎩x dx CB y y y222(24)(2)∴=++-⎰LI x xy dx x y dy222(24)(2)=++-⎰AC x xy dx x y dy 222(24)(2)+++-⎰CBx xy dx x y dy24221141(24)(8).3=++-=⎰⎰x x dx y dy 18.（本题满分8分）计算22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy ，∑是由曲面224-=+y x z与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧. 解：2222,(),,,∂∂∂==+=++=+∂∂∂P Q R P yz Q y x z R xy x z x y z由高斯公式， 22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy 22()Ω=+⎰⎰⎰x z dxdydz（利用柱面坐标变换cos sin ,θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩z x y y 则2:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）22242032.3ππθ-==⎰⎰⎰r d rdr r dy 19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法向量为000222222{,,}x y z a b c， 切平面方程为0)()()(020020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即 1202020=++cz z b y y a x x ， 则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 22200016a b c V x y z =⋅，令 )1(ln ln ln ),,,(220220220000000-+++++=czb y a x z y x z y x L λλ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1021021021220220222002020c z b y a x c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，30c z =，故切点坐标为)3,3,3(c b a . 20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：22[()][()]b b aaf x dxg x dx ⎰⎰2[()()].baf xg x dx ≥⎰证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则 22[()][()]b baaf x dxg x dx ⎰⎰22()()Df xg y dxdy =⎰⎰（D 关于y x =对称）22()()Df yg x dxdy =⎰⎰221[()()2D f x g y dxdy =+⎰⎰22()()]Df yg x dxdy ⎰⎰22221[()()()()]2Df xg y f y g x dxdy =+⎰⎰ 1[2()()()()]2Df xg x f y g y dxdy ≥⋅⎰⎰[()()()()]Df xg x f y g y dxdy =⋅⎰⎰ ()()()()b b aaf xg x dx f y g y dy =⎰⎰2[()()]baf xg x dx =⎰.2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯，则（ D ）. （A ）必有0a =; （B ）必有0b c -=;（C ）当0a ≠时，必有b c =; （D ）必有()a b c λ=- （λ为常数）. 2. 直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点（0，0）处（ A ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）. （A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设()f u 是连续函数，平面区域:11,0D x y -≤≤≤≤，则22()Df x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A）122()dx f x y dy +⎰⎰; （B）1220()dy f x y dx +⎰⎰;（C ）12()d f r rdr ⎰⎰πθ; （D ）120()d f r dr ⎰⎰πθ.6. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n ∞=--∑（ B ）. （A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，向量{1,1,1}n =，点0(1,2,3)P ， 则03.3P u n ∂=∂2. 若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-3. L 为圆221x y +=的一周，则22()0.Lx y ds -=⎰4. 设1lim 2n n na a +→∞=，级数211n n n a x∞-=∑的收敛半径为.25. 设221()x y f x e dy -=⎰，则1101()(1).4xf x dx e -=-⎰ 6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设()f u 是可微函数，z f =，求2z z x y x y∂∂+∂∂. 解题过程是：令u =，则()z f u x ∂'=∂，()z f u y ∂'=∂，20.z zx y x y∂∂∴+=∂∂ 2. （本小题6分）计算二重积分2211Dxy dxdy x y +++⎰⎰，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥. 解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，2201Dxy dxdy x y ∴=++⎰⎰， 故2211D xy dxdy x y +++⎰⎰221D xy dxdy x y =++⎰⎰221D dxdy x y +++⎰⎰122020ln 2.12rdr d r -=+=+⎰⎰πππθ 3. （本小题6分） 设曲面(,)z z x y =是由方程31x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)dz.解题过程是：令3(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，z F x '=，则所求切平面的法向量为：0{,,}{5,1,1}x y z M n F F F '''==，切平面方程为：560.x y z ++-=23x z F z x y z x F x '∂+=-=-'∂，2y z F zx y F '∂=-=-'∂，00(1,2)5.M M z zdzdx dy dx dy x y∂∂∴=+=--∂∂4. （本小题6分） 计算三重积分Ω，其中Ω是由柱面y =及0,0y z ==，4x y z ++=所围成的空间区域.解题过程是：利用柱面坐标变换，Ω14(cos sin )2r d r dr dz -+=⎰⎰⎰πθθθ12300[4(cos sin )]d r r dr =-+⎰⎰πθθθ04141[(cos sin )].3432d =-+=-⎰ππθθθ 5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面22(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.解题过程是：补2211,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：∑与1∑上所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω∑+∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰上下2211332rd rdr dz ππθ==⎰⎰⎰， (2)x z dydz zdxdy ∑∴++=⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑-++⎰⎰上3012Ddxdy π=--⎰⎰3.22πππ=-= 6. （本小题7分） 求幂级数211nn n x n∞=+∑的收敛域及和函数. 解题过程是：因为1lim n n n a R a →∞+=2211lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限21lim 0n n n→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-， 211()n n n S x x n ∞=+=∑1nn nx ∞==∑1n n x n ∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dx n ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰0111x x x dx x x '⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈-- 7. （本小题7分）例1 计算22()I xy dS ∑=+⎰⎰，∑1z ≤≤的边界.解题过程是：设12∑=∑+∑，其中1∑为锥面1z z =≤≤，2∑为221,1z x y =+≤部分，12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤.1dS ==，2dS dxdy =，22()I x y dS ∑∴=+⎰⎰122()x y dS ∑=++⎰⎰222()x y dS ∑+⎰⎰22(D x y =+⎰⎰22()Dx y dxdy ++⎰⎰221)()Dx y dxdy =+⎰⎰21301)1).2d r dr ππθ==⎰⎰四．证明题（8分）.设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221()[()1]Ly f xy x y f xy I dx dy y y +-=+⎰， （1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22[()1](,)x y f xy Q x y y-=， ;1)()()](]1)([);(1)()](1[])()(2[22322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='⋅+-=∂∂'+-=+-⋅'+=∂∂ P Qy x∂∂∴=∂∂成立，积分I 与路径L 无关. （2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+⎰⎰21[()][()]c d a c cbf bx dx cf cy dy b y=++-⎰⎰()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-⎰⎰()().cd ab c a c af t dt ab cd d b d b=-+==-⎰2009—2010学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（6530⨯=分分）1. 若向量,,a b c 两两互相垂直，且5,12,13a b c ===，则13.a b c ++=2．设函数22sin y z xy x =，求2.z zxy z x y∂∂+=∂∂3. 设函数(,)f x y 为连续函数,改变下列二次积分的积分顺序：21101(,)(,)(,).y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 计算(1,2)2(0,0)7()(2).2y y I e x dx xe y dy e =++-=-⎰5. 幂级数213nn n n x ∞=∑的收敛域为：(.6. 设函数2()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑， 则其系数32.3b π= 二、选择题（4520⨯=分分）1．直线11321x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A ) (A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直. 2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ） (A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值； (C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则22Lxdy ydxx y -=+⎰（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a为常数，则级数21sin n na n ∞=⎛ ⎝∑ （ B ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设224,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数(0,0)x f '和(0,0)y f '. (7分)解：令42244200,lim (,)lim 1y y ky kx ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同，00lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--'===∆∆，00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→+∆--'===∆∆.2.计算I Ω=其中Ω是由上半球面z =和锥面z =所围成的立体 . (7分)解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρϕθρϕθρϕ=== 则2sin dxdydz d d d ρϕθϕρ=，:02,0,0.4πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤I Ω=2340sin (2).d d d ππθϕϕρπ==⎰⎰⎰3.求锥面z 被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积 .（7分）解：锥面∑：,)xy z x y D =∈=22{2}.x y x +≤x z '=，y z '=.xyxyD D S dS dxdy ∑∴====⎰⎰⎰⎰ 4. 计算曲面积分222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰，其中∑是由22z x y =+，221x y +=，0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设Ω为∑所围立体，222,,,P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂由Gauss 公式， 222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则dxdydz rd drdz θ=， 2:0,01,0.2r z r πθΩ≤≤≤≤≤≤2122205().48r I d rdr r z dz πθπ∴=+=⎰⎰⎰ 5.讨论级数312ln n n n∞=∑的敛散性. （6分）解：543124ln ln lim lim0,n n n n n nn→∞→∞⋅==312ln n n n∞=∴∑收敛 .6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分） 解：设级数的和函数为()S x ，则121211(1)()(21)!2n n n n S x x n -∞--=-=-∑2111(1)sin (21)!22n n n x x n --∞=-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，(,).x ∈-∞+∞ 即111111()sin sin sin cos cos sin 2222222x x x x S x ---⎛⎫⎛⎫==+=⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑2101(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∑ 2201(1)sin (1)2(2)!2n n n n x n ∞=-=⋅-⋅∑212101(1)cos (1),(,).2(21)!2n n n n x x n ∞++=-+⋅-∈-∞+∞+⋅∑ 四、设曲线L 是逆时针方向圆周22()()1,()x a y a x ϕ-+-=是连续的正函数， 证明：()2()Lxdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰. （8分）证明：设22:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式，()()()L D xdy Q P y x dx dxdy y x y ϕϕ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰1(())()Dx dxdy y ϕϕ=+⎰⎰（而D 关于y x =对称） 1(())()D x dxdy x ϕϕ=+⎰⎰1[2()]22.()D D x dxdy dxdy x ϕπϕ≥⋅==⎰⎰⎰⎰即 ()2()L xdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰.2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案 一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=设则dy dx +3 .2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y ⎰⎰110 ),(=)1cos 1(21- .3．设函数21cos ,0()1,0xx f x x x x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-= 212π+ .4．设曲线C 为圆周222R y x=+,则曲线积分ds x y x C⎰+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ C ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则Ω等于 （ B ）.(A)432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C)nn en -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n nnn4. 设∑∞=1n na是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ） （A ） 若∑∞=1n na收敛，则∑∞=12n na也收敛 （B ）若∑∞=1n na收敛，则11+∞=∑n n naa 也收敛（C ）若∑∞=1n n a 收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞=1n n a 收敛，则1lim1<=+∞→ρnn n a a三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求yx u∂∂∂2.解：212f xyf xu+=∂∂)()(22222121211212f f x f f x xy xf yx u++++=∂∂∂ 221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= 2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y xx L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(510=T52cos ,51cos ==βα 13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy yz y x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511)2,1(=⨯+=∂T3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdy xy dxdy y xdxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()( 22300d r dr πθ=+⎰⎰ = π84. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 204020r ： 质量M =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρk=dr r r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 204020⎰⎰⎰76kπ=. 法2：22:1,:1D x y z ⎧+≤⎪Ω≤≤+(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydz ρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰211076rkk d dr ππθ==⎰⎰⎰. 法3：122217||(1(1)).6kM k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ==+--=⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算曲线积分⎰+++-=Cy x dy x y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dy x y dx y x I 1)()( dxdy y Px Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x . 6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zxxydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：利用高斯公式，dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydz x ⎰⎰⎰Ω+2dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222 .154sin 31104020πϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数 .解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-0≠x 时，1111)(+∞=∑+=n n x n x xS =01x nn x dx ∞=∑⎰01x n n x dx ∞==∑⎰0ln(1)1xxdx x x x ==----⎰0=x 时，0)0(=S ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=∴00)1,0()0,1[)1ln(1)(x x xx x S四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰D x ydxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y xy x .证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ⎰⎰⎰⎰=D D y xx y dxdy ee dxdy e e⎰⎰=∴D x y dxdy e e 21）（⎰⎰⎰⎰+D D y xxy dxdy ee dxdy e e =π=≥+⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy e e e e D y x x y 221(21） 五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--=（1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。

中国石油大学高等数学（二）第三次在线作业第1题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数的收敛与绝对收敛第2题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第3题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第4题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第5题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第6题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第7题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第8题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：交错级数的收敛域第9题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第10题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：单位向量、共线的概念、数量积第11题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量平行的性质第12题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：单位向量、向量垂直、数量积第13题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第14题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：单位向量、共线的概念、数量积第15题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的夹角第16题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第17题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：二次曲面与空间曲线第18题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第19题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量平行的性质、数量积第20题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第21题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：阿贝尔定理第22题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：幂级数的收敛域第23题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：幂级数的收敛域第24题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第25题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第26题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第27题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：幂级数的收敛域第28题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第29题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：二次曲面第30题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：二次曲面与空间曲线第31题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数收敛的概念第32题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第33题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：空间曲线第34题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的关系第35题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的关系第36题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的平行概念与单位向量概念第37题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数收敛的必要条件第38题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：旋转曲面与柱面第39题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第40题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数收敛的必要条件作业总得分：20.0作业总批注：。

第一次在线作业单选题 (共30道题)展开收起1.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分2.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分3.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D此题得分：2.5分4.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分5.（2.5分）<／p>•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分6.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B此题得分：2.5分7.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D此题得分：2.5分8.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B此题得分：2.5分9.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D此题得分：2.5分10.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D此题得分：2.5分11.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D此题得分：2.5分12.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分13.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B此题得分：2.5分14.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分15.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B此题得分：2.5分16.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分17.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D此题得分：2.5分18.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分19.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：A此题得分：2.5分20.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分21.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.•E、.•F、.我的答案：E此题得分：2.5分22.（2.5分）•A、.•B、.•C、.我的答案：B此题得分：2.5分23.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B此题得分：2.5分24.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分25.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D此题得分：2.5分26.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：D此题得分：2.5分27.（2.5分）•A、.•B、.•D、.我的答案：C此题得分：2.5分28.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：A此题得分：2.5分29.（2.5分）•B、.•C、.•D、.我的答案：A此题得分：2.5分30.（2.5分）•A、.•B、.•C、.•D、.我的答案：B此题得分：2.5分判断题 (共10道题)展开收起•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分32.（2.5分）•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分•正确•错误我的答案：正确此题得分：2.5分34.（2.5分）•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分36. （2.5分）•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分•正确•错误我的答案：正确此题得分：2.5分38.（2.5分）•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分•正确•错误我的答案：错误此题得分：2.5分40.（2.5分）•正确•错误我的答案：正确此题得分：2.5分。

一、单选题答题要求:每题只有一个正确的选项。

1(5.0分)A)通解B)特解C)是解，但既不是通解，又不是特解D)不是解参考答案： C收起解析解析：无2(5.0分)A)B)C)D)参考答案： A收起解析解析：无3(5.0分)A)B)C)D)参考答案： D收起解析解析：无4(5.0分)A)B)aC)af(a)D)f(a)参考答案： C收起解析解析：无5(5.0分)A)B)C)D)参考答案： D收起解析解析：无6(5.0分)A)B)1C)2D)3参考答案： A收起解析解析：无7(5.0分)A)2B)1C)4D)1/4参考答案： C收起解析解析：无8(5.0分)A)B)C)D)参考答案： D收起解析解析：无9(5.0分)A)1/2B)-1/2C)3/2D)-3/2参考答案： C收起解析解析：无10(5.0分)A)B)C)D)参考答案： C收起解析解析：无11(5.0分)A)B)C)D)参考答案： B收起解析解析：无12(5.0分)A)B)C)D)参考答案： C收起解析解析：无13(5.0分)A)1/3B)1/4C)2/3D)参考答案： C收起解析解析：无14(5.0分)A)在[a，b]的某个区间上f(x)=0B)对于[a，b]上的一切x均使f(x)=0C)在[a，b]内至少有一点x使f(x)=0D)在[a，b]内不一定有x使f(x)=0参考答案： C收起解析解析：无15(5.0分)A)B)C)D)参考答案： D收起解析解析：无16(5.0分)A)2B)C)4D)6参考答案： C收起解析解析：无17(5.0分)下列积分中能用牛顿-莱布尼兹公式的是A)B)C)D)参考答案： D收起解析解析：无18(5.0分)A)B)C)D)参考答案： A收起解析解析：无19(5.0分)A)B)C)D)参考答案： C收起解析解析：无20(5.0分)A)必要条件B)充分条件C)充分必要条件D)既非充分也非必要精选文库参考答案： B收起解析解析：无。

第三次在线作业单选题 (共30道题)展开收起1.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D此题得分：2.5分2.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A此题得分：2.5分3.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B此题得分：2.5分4.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：C此题得分：2.5分5.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B此题得分：2.5分6.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：C此题得分：2.5分7.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：C此题得分：2.5分8.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：C此题得分：2.5分9.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B此题得分：2.5分10.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D此题得分：2.5分11.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A此题得分：2.5分12.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D此题得分：2.5分13.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A此题得分：2.5分∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A此题得分：2.5分15.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A此题得分：2.5分∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B此题得分：2.5分17.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B此题得分：2.5分∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A此题得分：2.5分19.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：C此题得分：2.5分∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D此题得分：2.5分21.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B此题得分：2.5分∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D此题得分：2.5分23.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A此题得分：2.5分24.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B此题得分：2.5分25.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D此题得分：2.5分26.（2.5分）∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B此题得分：2.5分27.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A此题得分：2.5分28.（2.5分）∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D此题得分：2.5分29.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D此题得分：2.5分30.（2.5分）∙A、.∙B、.∙D、.我的答案：A此题得分：2.5分判断题 (共10道题)展开收起31.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分32.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分33.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分34.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分35.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分36.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分37.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分38.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分39.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分40.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分。