2019全品高考复习方案教师手册第2单元-函数与导数-人教A版

第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示(对应学生用书(文)、(理)9～11页)① 本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力.② 本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2019年高考的重要题型．① 理解函数的概念，了解构成函数的要素. ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③ 了解简单的分段函数，并能简单应用．1. (必修1P 26练习3改编)下列对应关系中________是函数．(填序号) ① A ＝R ＋，B ＝R ，对于任意的x∈A，x →x 的算术平方根；② A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{0，2，4，6，8}，对于任意的x∈A，x →2x ；③ x →－12x ，x ∈R ；④ x →y ，其中y ＝|x|，x ∈R ，y ∈R ；⑤ x →y ，其中y 为不大于x 的最大整数，x ∈R ，y ∈Z . 答案：①③④⑤解析：①③④⑤均符合函数的定义，②对于集合A 中的元素5，在集合B 中找不到元素与之对应．2. (必修1P 26练习4改编)下列各组函数中，表示同一函数的是__________．(填序号)① y ＝x ＋1和y ＝x 2－1x －1；② y＝x 0和y ＝1；③ f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2；④ f(x)＝（x ）2x 和g(x)＝x （x ）2. 答案：④解析：只有④表示同一函数，①与②中定义域不同，③是对应法则不同．3. (必修1P 31习题1改编)设函数f(x)＝41－x.若f(a)＝2，则实数a ＝__________．答案：－1解析：由题意可知，f(a)＝41－a＝2，解得a ＝－1.4. (必修1P 31习题8改编)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝__________．x 1 2 3 4 f(x) －3 －2 －4 －1答案：－4解析：由表中函数值得f(3)＝－4. 5. (必修1P 36习题3改编)已知函数f(x)在[－1，2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为____________．答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0，－12x ，0<x ≤2解析：观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式．当－1≤x≤0时，f(x)＝x ＋1；当0<x≤2时，f(x)＝－x2.∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0，－12x ，0<x ≤2.1. 函数的概念(1) 函数的定义一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的一个元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f(x)，x ∈A ．(2) 函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f(x)的定义域；若A 是函数y ＝f(x)的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．(3) 函数的要素函数的构成要素：定义域、对应法则、值域．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数为相同的函数或同一函数．这是判断两函数相等的依据．2. 函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法(解析式法)、图象法． 3. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．4. 映射的概念一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射．函数是映射，但映射不一定是函数．[备课札记], 1 函数的概念), 1) 下列集合A 到集合B 的对应关系中，是从集合A 到集合B 的映射的有________．(填序号)① A ＝R ，B ＝{y|y>0}，f ：x→y＝|x|；② A ＝{x|x≥2，x ∈N *}，B ＝{y|y≥0，y ∈N }，f ：x→y＝x 2－2x ＋2； ③ A ＝{x|x>0}，B ＝{y|y∈R }，f ：x→y＝±x ；④ A ＝{α|α是三角形的内角}，B ＝{y|y∈R }，对应法则：y ＝tan α；⑤ A ＝{m|m∈Z }，B ＝{y|y ＝0或y ＝1}，对应法则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ＝2n ，n ∈Z ，1，m ＝2n ＋1，n ∈Z ；答案：②⑤解析：① 集合A 中的零元素，在集合B 中没有相应的对应元素． ② 按照对应法则，满足题设条件． ③ 一对多，不满足映射的概念．④ ∵ π2∈A ，但π2的正切值不存在，∴ 此对应不是从集合A 到集合B 的映射．⑤ ∵ 集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应，∴ 此对应是从集合A 到集合B 的映射．点评：判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：① A 中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；② B 中元素可无原象，即B 中元素可以有剩余．备选变式（教师专享）已知映射f ：A→B，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x→y＝－x 2＋2x ，对于实数k∈B，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．答案：(1，＋∞)解析：由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴ Δ＝4(1－k)<0，∴ k>1时满足题意．, 2 函数的解析式), 2) 求下列各题中的函数f(x)的解析式． (1) 已知f(x ＋2)＝x ＋4x ，求f(x)；(2) 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f(x)； (3) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)．解：(1) (解法1)设t ＝x ＋2(t≥2)，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2，∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)．(3) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． 由f(0)＝1，得c ＝1.由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝ax 2＋bx ＋1＋2x ， 整理，得(2a －2)x ＋a ＋b ＝0，由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴ f(x)＝x 2－x ＋1. 变式训练根据下列条件分别求出f(x)的解析式． (1) f(x ＋1)＝x ＋2x ；(2) 二次函数f(x)满足f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2.解：(1) 令t ＝x ＋1，∴ t ≥1，x ＝(t －1)2.则f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f(x)＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)．(2) 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，∴ f(x ＋2)＝a(x ＋2)2＋b(x ＋2)＋c ， 则f(x ＋2)－f(x)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f(0)＝3，∴ c ＝3，∴ f(x)＝x 2－x ＋3., 3 分段函数), 3) 如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f(x)．(1) 求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数解析式； (2) 作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值．解：(1) 这个函数的定义域为(0，12)，当0＜x≤4时，S ＝f(x)＝12·4·x ＝2x ；当4＜x≤8时，S ＝f(x)＝8；当8＜x ＜12时，S ＝f(x)＝12·4·(12－x)＝24－2x.∴ 函数解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈（0，4]，8，x ∈（4，8]，24－2x ，x ∈（8，12）.(2) 其图象如图所示，由图知f max (x)＝8.变式训练已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x<0，则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的取值范围是____________．答案：(－1，2－1)解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x<0的图象如图所示：f(1－x 2)>f(2x)⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，1－x 2>0，解得－1<x<2－1. 备选变式（教师专享）对于实数a 和b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1，设函数f(x)＝(x ＋2)*(3－x)，x ∈R .若方程f(x)＝c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值范围是________．答案：(－∞，2)解析：令x ＋2－(3－x)≤1，求得x≤1，则f(x)＝(x ＋2)*(3－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤1，3－x ，x>1，画出函数f(x)的图象，如图，方程f(x)＝c 恰有两个不同的解，即是函数f(x)的图象与直线y ＝c 有2个交点，数形结合可得c<2.特别提醒：本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点以及新定义问题，属于难题．已知函数零点个数(方程根的个数)求参数取值范围的三种常用的方法：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y ＝g(x)，y ＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y ＝a ，y ＝g(x)的图象的交点个数问题．1. (2018·溧阳中学周练)若x∈R ，则f(x)与g(x)表示同一函数的是________．(填序号)① f(x)＝x ，g(x)＝x 2；② f(x)＝1，g(x)＝(x －1)0；③ f(x)＝（x ）2x ，g(x)＝x（x ）2； ④ f(x)＝x 2－9x ＋3，g(x)＝x －3.答案：③解析：①中，g(x)＝x 2＝|x|≠x；②中，g(x)＝(x －1)0＝1(x≠1)；③中，f(x)＝（x ）2x＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)；④中，f(x)＝x 2－9x ＋3＝x －3(x≠－3)．因此填③.2. 二次函数y ＝f(x)＝ax 2＋bx ＋c(x∈R )的部分对应值如下表：则关于x 答案：[－3，2] 解析：由表格数据作出二次函数的草图，结合数据与图象即可发现不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]．3. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．答案：44. 有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间的关系如图所示．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y 与x 之间的函数关系是____________________．答案：y ＝－3x ＋95⎝⎛⎭⎪⎫20≤x≤953 解析：设进水速度为a 1 L/min ，出水速度为a 2 L/min ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝20，5a 1＋15（a 1－a 2）＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95.当水放完，时间为x ＝953 min ，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95⎝⎛⎭⎪⎫20≤x≤953. 5. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ＞0，－x －3，x ＜0.若f(a)＞f(1)，则实数a 的取值范围是____________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a－4>－2，则a>1；当a ＜0时，－a －3＞－2，则a ＜－1.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．6. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ＞0，12－|12＋x|，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞) 解析：如图，作出函数图象，y 2＝kx －k 过定点(1，0)，临界点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12和(1，0)连线的斜率为－13，又f ′(1)＝1，由图象知实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)．, 3. 分段函数意义理解不清致误)典例 已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为__________．易错分析：(1) 误以为1－a<1，1＋a>1，没有对a 进行讨论直接代入求解；(2) 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误．解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－34特别提醒：(1) 注意分类讨论思想在求函数值中的应用，对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解；(2) 检验所求自变量的值或范围是否符合题意，求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．1. 已知集合A ＝{a ，b ，c}，B ＝{1，2}，那么可建立从A 到B 的映射个数是______，从B 到A 的映射个数是______．答案：8 9解析：依题意，建立从A 到B 的映射，即集合A 中的每一个元素在集合B 中找到对应元素，从而从A 到B 的映射个数为23＝8，从B 到A 的映射个数是32＝9.所以填写答案依次为：8；9.2. 已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个． 答案：9解析：列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．3. 若函数f(x)＝xax ＋b，f(2)＝1，又方程f(x)＝x 有唯一解，则f(x)＝________．答案：2x x ＋2解析：由f(2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f(x)＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，∵ 方程有唯一解，∴ 1－ba＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴ f(x)＝2xx ＋2.4. 如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经B ，C ，D 绕边界一周，当x表示点P 的行程，y 表示PA 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值．解：当P 在AB 上运动时，y ＝x(0≤x≤1)；当P 在BC 上运动时，y ＝1＋（x －1）2(1<x≤2)；当P 在CD 上运动时，y ＝1＋（3－x ）2(2<x≤3)；当P 在DA 上运动时，y ＝4－x(3<x≤4). ∴ y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0≤x≤1），1＋（x －1）2（1<x≤2），1＋（3－x ）2（2<x≤3），4－x （3<x≤4），∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52.5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则不等式f(x)≥－1的解集是________．答案：[－4，2]解析：f(x)≥－1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－（x －1）2≥－1， 解之得－4≤x≤0或0<x≤2，即原不等式的解集是[－4，2]．6. (2018·溧阳中学周测)设函数f(x)定义如下表，数列{x n }(n∈N *)满足x 1＝1，且对于任意的正整数n ，均有x n ＋1＝f(x n )，求x 2 018的值．解：因为x 1＝1，所以x 2＝f(x 1)＝f(1)＝2，x 3＝f(x 2)＝f(2)＝3，x 4＝f(x 3)＝f(3)＝4，x 5＝f(x 4)＝f(4)＝1，x 6＝f(x 5)＝f(1)＝2，…，不难看出数列{x n }是以4为周期的周期数列，所以x 2 018＝x 4×504＋2＝x 2＝2.点评：通过观察一些特殊的情形，来获得深刻的认识，是探索数学问题的一种重要方法，应注意学习，同时函数的表示也可以利用列表法来给出．1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数．从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射不是函数．2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法、换元法、待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．第2课时 函数的定义域和值域(对应学生用书(文)、(理)12～14页)① 函数的定义域是研究一切函数的源头，求各种类型函数的定义域是高考中每年必考的试题. ② 函数的值域和最值问题也是高考的必考内容，一般不会对值域和最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合考查，特别是应用题；再就是求变量的取值范围，主要是考查求值域和最值的基本方法．① 会求简单函数的定义域.② 掌握求函数值域与最值的常用方法. ③ 能运用求值域与最值的常用方法解决实际问题．1. (必修1P 25例2改编)函数f(x)＝x －2＋1x －3的定义域是____________________．答案：[2，3)∪(3，＋∞)解析：要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，解得x≥2且x ≠3.2. (必修1P 26练习6(2)(4)改编)函数y ＝1x 2－1＋x ＋1的定义域为__________________．答案：(－1，1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≠0，x ＋1≥0，∴ x>－1且x≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．3. 函数y ＝1x 2＋2的值域为________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：∵ x 2＋2≥2，∴ 0<1x 2＋2≤12.∴ 0<y ≤12.4. 若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________．答案：[－5，＋∞)解析：∵ x 有意义，∴ x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，函数y ＝x 2＋3x －5在[0，＋∞)上单调递增，∴ 当x ＝0时，y min ＝－5.∴ 函数y ＝x 2＋3x －5的值域是[－5，＋∞)．5. 函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是____________________．答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2解析：∵ x∈(－∞，1)∪[2，5)，∴ x －1∈(－∞，0)∪[1，4)．当x －1∈(－∞，0)时，2x －1∈(－∞，0)；当x －1∈[1，4)时，2x －1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.1. 函数的定义域(1) 函数的定义域就是使函数表达式有意义的所有的输入值x 组成的集合．在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观念．(2) 求定义域的步骤① 写出使函数有意义的不等式(组)． ② 解不等式(组)．③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．② 偶次根式函数中被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．④ y ＝a x，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R ．⑤ y ＝tan x 的定义域为{x|x≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥ 函数f(x)＝x 0的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域(1) 在函数y ＝f(x)中，与定义域中输入值x 对应的y 的值叫做输出值，所有输出值y 组成的集合叫做函数的值域．(2) 基本初等函数的值域① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．② y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b 24a，＋∞)；当a<0时，值域为(－∞，4ac －b24a ]．③ y ＝kx (k≠0)的值域为{y|y≠0}．④ y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．⑥ y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tan x 的值域是R ． 3. 函数的最值一般地，设y ＝f(x)的定义域为A. (1) 如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x∈A，都有f (x)≤f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最大值，记为y max ＝f(x 0)．(2) 如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最小值，记为y min ＝f(x 0)．4. 值域与最值的关系若函数y ＝f(x)的最大值为b ，最小值为a ，那么y ＝f(x)的值域必定是数集[a ，b]的子集，若f(x)可以取到[a ，b]中的一切值，那么其值域就是[a ，b]．5. 复合函数如果函数y ＝f(u)(u∈A)，u ＝g(x)(x∈B，u ∈A)，则y ＝f(g(x))叫做由函数y ＝f(u)(u∈A)，u ＝g(x)(x∈B，u ∈A)合成的复合函数，u 叫做中间变量．y ＝f(u)(u∈A)，叫做该复合函数的外层函数，而u ＝g(x)(x∈B)叫做该复合函数的内层函数．注意：由u ＝g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.即内层函数的值域是外层函数的定义域．6. 函数解析式的表示离不开函数的定义域．[备课札记], 1 求函数的定义域), 1) (1) 已知函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的定义域是__________． (2) 函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为____________． 答案：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 (2) (－1，1) 解析：(1) 因为函数f(x)的定义域是[0，2]，所以函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12中的自变量x 需要满足：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x －12≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x≤32，12≤x ≤52.所以12≤x ≤32，所以函数g(x)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x<1.变式训练(1) 求函数y ＝（x ＋1）|x|－x的定义域；(2) 函数f(x)的定义域是[－1，1]，求f(log 2x)的定义域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x<0，∴ 函数定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)． (2) ∵ 函数f(x)的定义域是[－1，1]，∴ －1≤log 2x ≤1，∴ 12≤x ≤2.故f(log 2x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 备选变式（教师专享） 求下列函数的定义域：(1) y ＝lg （2－x ）12＋x －x2＋(x －1)0； (2) y ＝lg sin x ＋64－x 2. 解：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－x>0，12＋x －x 2>0x －1≠0，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x<2，－3<x<4x≠1，，∴ －3<x<2且x≠1，∴ 所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}．(2) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0，64－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x<2k π＋π，k ∈Z ，－8≤x≤8. ∴ －2π<x<－π或0<x<π或2π<x ≤8.∴ 所求函数的定义域为(－2π，－π)∪(0，π)∪(2π，8]．, 2 求函数的值域), 2) 求下列函数的值域： (1) f(x)＝x －1－2x ；(2) y ＝1－x21＋x 2；(3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]；(4) y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．解：(1) (解法1：换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是f(t)＝1－t22－t＝－12(t ＋1)2＋1.由于t≥0，所以f(t)≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.(解法2：单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12，所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.(2) y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x2－1.因为1＋x 2≥1，所以0<21＋x2≤2.所以－1<21＋x2－1≤1，即y∈(－1，1]．所以函数的值域为(－1，1]．(3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y2－y.因为x∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤32，即所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (4) (基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t－2(t>0)．因为t ＋2t≥2t·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立， 故所求函数的值域为[22－2，＋∞)． 备选变式（教师专享） 求下列函数的值域：(1) f(x)＝1－x ＋x ＋3；(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12；(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x≤1.∴ f(x)＝1－x ＋x ＋3的定义域是[－3，1]．令y ＝f(x)，则y≥0，∴ y 2＝4＋2（1－x ）（x ＋3），即y 2＝4＋2－（x ＋1）2＋4(－3≤x≤1)．令t(x)＝－(x ＋1)2＋4(－3≤x≤1)．∵ x ∈[－3，1]，由t(－3)＝0，t(－1)＝4，t(1)＝0，知0≤t(x)≤4，从而y 2∈[4，8]，即y∈[2，22]， ∴ 函数f(x)的值域是[2，22]．(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12＝（x ＋3）（x －3）（x －3）（x －4）＝x ＋3x －4＝1＋7x －4(x≠3且x≠4)．∵ x ≠3且x≠4，∴ g (x)≠1且g(x)≠－6.∴ 函数g(x)的值域是(－∞，－6)∪(－6，1)∪(1，＋∞)． (3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}． 当x>1时，log 3x>0，log x 3>0，y ＝log 3x ＋log x 3－1≥2log 3x ·log x 3－1＝1； 当0<x<1时，log 3x<0，log x 3<0，y ＝log 3x ＋log x 3－1＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]－1≤－2－1＝－3.∴ 函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)., 3 函数值和最值的应用)●典型示例, 3) 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．【思维导图】 函数恒成立→不等式恒成立→分类讨论→新函数的最值→a 的取值范围【规范解答】 解：(1) 当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x＋2.∵ f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴ f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2) (解法1)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，∴ x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)．∵ y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，∴ 当x ＝1时，y min ＝3＋a ，当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.(解法2)f(x)＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，f(x)min ＝3＋a ， 当且仅当f(x)min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3. 【精要点评】 解法1运用转化思想把f(x)>0转化为关于x 的二次不等式；解法2运用了分类讨论思想．●总结归纳(1) 求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．(2) 函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求具备较高的数学思维能力、综合分析能力以及较强的运算能力．(3) 运用函数的值域解决实际问题此类问题的关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题目要求具有较强的分析能力和数学建模能力．●题组练透1. 函数y ＝x 2＋x ＋1的值域是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：∵ x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，∴ y ≥32，∴ 值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.2. 函数y ＝x ＋1－2x 的值域是____________．答案：(－∞，1]解析：令1－2x ＝t(t≥0)，则x ＝1－t 22.∵ y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1≤1，∴ 值域为(－∞，1]．3. 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域．解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min ＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0，∴ －1≤a≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.当－1≤a≤1时，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4；当1<a≤32时，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－(a －12)2＋94，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2.∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4. 4. 已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R . (1) 求实数m 的取值范围；(2) 当m 变化时，若y 的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．解：(1) 当m ＝0时，x ∈R ；当m≠0时，m ＞0且Δ≤0，解得0＜m≤1.故实数m 的取值范围是0≤m≤1.(2) 当m ＝0时，f(0)＝22；当0＜m≤1时，因为y ＝m （x －3）2＋8－8m ，故f(m)＝8－8m(0＜m≤1)．所以f(m)＝8－8m (0≤m≤1)，其值域为[0，22]．1. 函数f(x)＝ln （2x －x 2）x －1的定义域为____________．答案：(0，1)∪(1，2)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2＞0，x －1≠0得0＜x ＜2且x≠1.2. 已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．答案：{1}解析： x 2－2x ＋a≥0恒成立，且最小值为0，则满足Δ＝0，即4－4a ＝0，则a ＝1.3. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为____________． 答案：(－∞，1]解析：可由函数的图象得到函数f(x)的值域为(－∞，1].4. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案：(1，2]解析：当x≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需当x ＞2时，f(x)＝3＋log a x 的值域在区间[4，＋∞)内即可，故a ＞1，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2]．5. 已知函数f(x)＝a x＋b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．答案：－32解析：当a>1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，该方程组无解；当0<a<1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，则a ＋b ＝12－2＝－32. 6. (2018·南阳一中二模)设g(x)＝mx 2＋x ＋1.(1) 若g(x)的定义域为R ，求m 的取值范围；(2) 若g(x)的值域为[0，＋∞)，求m 的取值范围．解：令f(x)＝mx 2＋x ＋1.(1) 由题意知f(x)≥0在R 上恒成立．① 当m ＝0时， f(x)＝x ＋1≥0在R 上不恒成立；② 当m≠0时，要满足题意必有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝1－4m≤0，∴ m ≥14.综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2) 由题意知，f(x)＝mx 2＋x ＋1能取到一切大于或等于0的实数． ① 当m ＝0时，f(x)＝x ＋1可以取到一切大于或等于0的实数；② 当m≠0时，要满足题意必有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝1－4m≥0，∴ 0<m ≤14.综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 点睛：本题主要考查函数的定义域与值域、分类讨论思想，属于中档题．分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数的问题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并能应用于解题当中．1. 函数f(x)＝|x －2|－1log 2（x －1）的定义域为__________．答案：[3，＋∞)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1）≠0，x －1>0，|x －2|－1≥0，解得x≥3.2. (2018·溧阳中学周练)函数f(x)＝1xln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为____________．答案：[－4，0)∪(0，1)解析：函数的定义域必须满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧x≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得x∈[－4，0)∪(0，1)．3. 当x ＝__________________时，函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2取得最小值．答案：a 1＋a 2＋…＋a nn解析：f(x)＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )，当x ＝a 1＋a 2＋…＋a nn时，f(x)取得最小值．4. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x>2，x ＋a 2，x ≤2.若f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________________．答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：f(x)的值域为R ，则22＋a≤2＋a 2，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞).5. 已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a ，b](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a ，b)共有______个．答案：5解析：由0≤4|x|＋2－1≤1，即1≤4|x|＋2≤2，解得0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．6. 求函数y ＝（x ＋3）2＋16＋（x －5）2＋4的值域．解：函数y ＝f(x)的几何意义：平面内一点P(x ，0)到两点A(－3，4)和B(5，2)的距离之和就是y 的值．由平面几何知识，找出点B 关于x 轴的对称点B′(5，－2)．连结AB′，交x 轴于一点P ，点P 即为所求的最小值点，y min ＝AB′＝82＋62＝10.所以函数的值域为[10，＋∞)．1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．3. 求函数值域的常用方法：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等．理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．[备课札记]第1课时 函数的单调性(对应学生用书(文)、(理)15～17页)1. 下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是________．(填序号)① y ＝1x 2；② y＝x 3；③ y＝x 0 ；④ y＝x 2.答案：④解析：∵ 函数y ＝x 2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴ 函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．2. (必修1P 44习题2改编)(1) 函数f(x)＝2x ＋1的单调增区间是__________；函数g(x)＝－3x ＋2在区间(－∞，＋∞)上为________函数．(2) 函数f(x)＝x 2－2x －1的单调增区间为________，单调减区间为________．(3) 函数f(x)＝－1x －1在区间(－∞，0)上是单调________函数．(4) 函数y ＝1x在区间[1，3]上是单调________函数．答案：(1) (－∞，＋∞) 单调减 (2) [1，＋∞) (－∞，1] (3) 增 (4) 减3. (必修1P 54本章测试6改编)若函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m ＝__________．答案：10解析：函数y ＝5x 2＋mx ＋4的图象为开口向上，对称轴是x ＝－m 10的抛物线，要使函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－m 10＝－1，∴ m ＝10.4. 已知函数f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：f(x)＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2，由复合函数的增减性可知，g(x)＝1－2ax ＋2在(－2，＋∞)上为增函数，∴ 1－2a<0，∴ a>12.5. 设函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是____________．答案：f(－3)>f(－π)解析：由(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴ f(－3)>f(－π)．1. 增函数和减函数一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说y ＝f(x)在区间D 上是单调增函数．(如图①所示)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说y ＝f(x)在区间D 上是单调减函数．(如图②所示)2. 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间D 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说这个函数在这个区间D 上具有单调性(区间D 称为单调区间)．3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质如果f(x)，g(x)为增函数，则① f(x)＋g(x)为增函数；② 1f （x ）为减函数(f(x)>0)；③ f （x ）为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数．(3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．(4) 图象法奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．4. 函数的单调性的证明方法 已知函数解析式，证明其在某区间上的单调性一般只能严格用定义(或导数)来证明．主要步骤：(1) 设元； (2) 作差(商)；(3) 变形(变形要彻底，一般通过因式分解、配方等方法，直到符号的判定非常明显)； (4) 判断符号； (5) 结论．[备课札记], 1 函数单调性的判断), 1) 判断函数f(x)＝axx 2－1(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性． 分析：此函数既不是常见函数，也不是由常见函数经过简单的复合而成，因此要判断其在区间(－1，1)上的单调性，只能用函数单调性的定义．解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝a （x 1x 2＋1）（x 2－x 1）（x 21－1）（x 22－1）. 由－1<x 1<x 2<1得（x 1x 2＋1）（x 2－x 1）（x 21－1）（x 22－1）>0，∴ 当a>0时，f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(－1，1)上单调递减；同理，当a<0时，f(x)在(－1，1)上单调递增．备选变式（教师专享）证明函数f(x)＝x1＋x2在区间[1，＋∞)上是减函数．证明：设任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2.f(x 1)－f(x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1（1＋x 22）－x 2（1＋x 21）（1＋x 21）（1＋x 22）＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）. ∵ x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2， ∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0.又(1＋x 21)(1＋x 22)>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)．∴ f(x)＝x1＋x2在[1，＋∞)上为减函数．点评：亦可证明函数f(x)＝x 1＋x 2在区间[－1，1]上是增函数．由于函数f(x)＝x1＋x2是定义在R 上的奇函数，故利用单调性与奇偶性可作出函数f(x)＝x1＋x2的图象．同时也可得到函数f(x)＝x 1＋x 2在[－1，1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12., 2 求函数的单调区间), 2) 求下列函数的单调区间：(1) y ＝x 2－3|x|＋14；(2) y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ； (3) y ＝log 2(6＋x －2x 2)．解：(1) ∵ y＝x 2－3|x|＋14＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －322－2（x≥0），⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－2（x<0）， ∴ 由图象可知，y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上为增函数．(2) 易得定义域为R ，令u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则u 在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上为减函数，∴ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．(3) 由题意得6＋x －2x 2>0，化简得2x 2－x －6<0，即(2x ＋3)(x －2)<0，解得－32<x<2，即定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.设u ＝6＋x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋498，易知其在⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，14上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2上为减函数，又y ＝log 2u 在定义域上为增函数，∴ y ＝log 2(6＋x －2x 2)的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，14，单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2. 点评：已知函数的解析式，讨论或求函数的单调区间，应首先确定函数的定义域，然后再根据复合函数单调性的判断规则在函数的定义域内求内层函数相应的单调区间．变式训练函数y ＝－(x －3)|x|的单调递增区间是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －3）x ，x ≥0，（x －3）x ，x<0.画图象如图所示，可知单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.备选变式（教师专享）作出函数f(x)＝|x 2－1|＋x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．解：当x≥1或x≤－1时， y ＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54；当－1<x<1时， y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54.函数图象如图，由函数图象可知函数单调减区间为(－∞，－1]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1；单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，[1，＋∞)．,。

全品高考复习方案数学(理科) RJA 第二单元函数、导数及其应用1.编写意图函数是高考内容的重要组成部分,是一轮复习的重点和难点.编写中注意到以下几个问题: (1)该部分内容是第一轮复习初始阶段的知识,因此在选题时注重以基础题为主,尽量避免选用综合性强、思维难度大的题目;(2)函数与方程、分类讨论、数形结合以及化归与转化等数学思想与方法在本单元中均有涉及;(3)突出了函数性质的综合应用;(4)有意识地将函数中的单调性、极值、最值问题与解析几何中的切线、最值问题和不等式的证明等进行交汇,特别是精选一些以导数为解题工具的典型函数问题、切线问题,充分体现导数的工具性.2.教学建议教学时,注意到如下几个问题:(1)重视教材的基础作用和示范作用.函数客观题一般直接来源于教材,往往就是课本的原题或变式题,主观题的生长点也是教材,在函数的复习备考中,要重视教材中一些有典型意义又有创新意识的题目,将其作为函数复习过程中的范例与习题,贯彻“源于课本,高于课本”的原则.(2)阐明知识系统,掌握内在联系.知识的整体性是切实掌握函数知识的重要标志,函数的概念、图像和性质是环环相扣、紧密相连、互相制约的,并形成了一个有序的网络化的知识体系,这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数的概念、性质、公式以及例题,只有这样,学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的,记忆才是鲜明的、牢固的、生动的,应用起来才是灵活的、广泛的.(3)关注几类特殊函数.学生对抽象函数的理解较为困难,但抽象函数对培养学生的观察能力有十分重要的作用,应结合高考情况,予以适当关注,但选题不宜过难.分段函数是近几年高考命题的热点,在客观题和主观题中都有涉及,应给予重点关注.(4)在复习中要让学生明确导数作为一种工具在研究函数的变化率、单调性和极值等方面的作用,使学生掌握这种科学的工具,从而加深对函数的理解和直观认识.(5)重视渗透数学思想方法.函数这一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和数形结合思想,数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法以及构造法等.数学思想方法是以具体的知识为依托的,在复习教学中,要重视知识的形成过程,着重研究解题的思维过程,有意识地渗透思想方法,使学生从更高层次去领悟、把握、反思数学知识,增强数学意识,提高数学能力.3.课时安排本单元包括12讲、三个小题必刷卷、一个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,其中第14讲4课时,三个小题必刷卷、一个解答必刷卷建议学生独立完成,本单元大约共需15课时.第4讲函数概念及其表示考试说明1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).考情分析考点 考查方向考例考查热度 函数与映射的概念 判断给出的对应是否为函数、映射★☆☆函数的定义域和值域 求函数的定义域、值域,根据定义域、值域确定参数值或者取值范围等★☆☆ 函数的解析式 确定函数的解析式 2015全国卷Ⅱ13 ★☆☆分段函数 求分段函数的值、解方程和不等式等2017全国卷Ⅲ15,2015全国卷Ⅰ10,2015全国Ⅱ5,2014全国卷Ⅰ15★★★真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是 ( )A .y=xB .y=lg xC .y=2xD .y=√x[解析] D y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D 满足题意.2.[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f (x )={1+log 2(2-x),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A .3B .6C .9D .12[解析] C 因为f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2(log 212-1)=6,所以f (-2)+f (log 212)=9,故选C . 3.[2017·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f (x -12)>1的x 的取值范围是 . [答案] (-14,+∞)[解析] f (x )={x +1,x ≤0,2x ,x >0,f (x )+f (x -12)>1,即f (x -12)>1-f (x ),由图像变换可画出y=f (x -12)与y=1-f (x )的大致图像如图所示:易得两图像的交点为(-14,14),则由图可知,满足f(x-12)>1-f(x)的x的取值范围为(-14,+∞).■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]设f(x)={√x,0<x<1,2(x-1),x≥1.若f(a)=f(a+1),则f(1a)=()A.2B.4C.6D.8[解析] C当0<a<1时,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得√a=2(a+1-1)=2a,解得a=14,此时f(1a)=f(4)=2×(4-1)=6; 当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知,f(1a)=6,故选C.2.[2017·天津卷]已知函数f(x)={|x|+2,x<1,x+2x,x≥1.设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2√3,2]C.[-2,2√3]D.[-2√3,2√3][解析] A方法一:由题意可知,函数y=f(x)的图像恒不在函数y=x2+a的图像下方,画出函数y=f(x)和函数y=x2的图像,如图所示.当a=0时,显然f (x )>x2+a ;当a<0时,函数y=x2+a 的图像由函数y=x 2的图像向右平移|2a|个单位得到,由图可知,当函数y=x 2+a 在x<-2a 部分的图像经过点(0,2)时,a 取得最小值,此时a=-2;当a>0时,函数y=x2+a 的图像由函数y=x 2的图像向左平移2a 个单位得到,由图可知,当函数y=x 2+a 在x>-2a 部分的图像经过点(0,2)或与函数y=f (x )在x>1部分的图像相切时,a 取得最大值,而经过点(0,2)时,a=2,当函数y=x 2+a 在x>-2a 部分的图像与函数y=f (x )在x>1部分的图像相切时,设切点为P (x 0,y 0)(x 0>1),因为x>1时,f'(x )=1-2x 2,则1-2x 02=12,解得x 0=2,所以y 0=3,又点P (2,3)在函数y=x2+a 在x>-2a 部分的图像上,所以22+a =3,解得a=2,因此a 的最大值为2.综上所述,a 的取值范围是[-2,2].方法二:不等式f (x )≥x2+a 转化为-f (x )≤x 2+a ≤f (x ),当x<1时,有-|x|-2≤x 2+a ≤|x|+2,即-|x|-2-x2≤a ≤|x|+2-x2.又∵当x<0时,-|x|-2-x 2=x2-2<-2,|x|+2-x2=-3x2+2>2,当0≤x<1时,-|x|-2-x2=-3x2-2≤-2,|x|+2-x 2=x2+2≥2,∴-2≤a ≤2;当x ≥1时,有-x-2x ≤x2+a ≤x+2x ,即-32x-2x ≤a ≤12x+2x ,又∵-32x-2x ≤-2√3,12x+2x ≥2,∴-2√3≤a ≤2.综上,-2≤a ≤2.3.[2016·江苏卷] 函数y=√3-2x -x 2的定义域是 .[答案] [-3,1][解析] 令3-2x-x 2≥0可得x 2+2x-3≤0,解得-3≤x ≤1,故所求函数的定义域为[-3,1]. 【课前双基巩固】 知识聚焦1.非空数集 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定 f :A →B f :A →B2.定义域 值域 定义域 值域3.解析法 图像法 列表法4.对应关系 对点演练1.④ [解析] ①②对于定义域内任给的一个数x ,可能有两个不同的y 值,不满足对应的唯一性,故①②错;③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错;只有④表示函数.2.-1 [解析] 因为f (e)=ln e -2=-1,所以f [f (e)]=f (-1)=-1+a=2a ,解得a=-1.3.(-∞,-3)∪(-3,8] [解析] 要使函数有意义,则8-x ≥0且x+3≠0,即x ≤8且x ≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7 [解析] 值域C 可能为:只含有一个元素时有{a },{b },{c };有两个元素时,有{a ,b },{a ,c },{b ,c };有三个元素时有{a ,b ,c }.所以共有7种.5.③ [解析] 对于③,因为当x=4时,y=23×4=83∉Q ,所以③不是函数. 6.(-∞,-2]∪[0,10] [解析] ∵f (x )是分段函数,∴f (x )≥1应分段求解.当x<1时,f (x )≥1⇒(x+1)2≥1⇒x ≤-2或x ≥0,∴x ≤-2或0≤x<1. 当x ≥1时,f (x )≥1⇒4-√x -1≥1,即√x -1≤3,∴1≤x ≤10. 综上所述,x ≤-2或0≤x ≤10,即x ∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x 2-1(x ≥0) [解析] 令t=√x ,则t ≥0,x=t 2,所以f (t )=t 2-1(t ≥0),即f (x )=x 2-1(x ≥0).8.9 [解析] 设函数y=x 2的定义域为D ,其值域为{1,4},D 的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D 的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)求出函数y=e ln x 的定义域和值域,再求出选项中的函数的定义域和值域,比较可得结论;(2)根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.(1)C (2)C [解析] (1)函数y=e ln x 的定义域和值域均为(0,+∞).函数y=x 的定义域和值域都是R,不满足要求;函数y=ln x 的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=10x 的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=√x 的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选C .(2)由题意得{x +1≥0,6-3x >0,解得-1≤x<2,故函数的定义域是[-1,2).例2 [思路点拨] (1)依题意得出-1≤x 2-3<1,解之可得定义域;(2)由x ∈[-1,2],求得2x 的范围为12,4,再由12≤log 2x ≤4,即可求出函数的定义域.(1)(-2,-√2]∪[√2,2) (2)[√2,16] [解析] (1)由题意知{x 2-3≥-1,x 2-3<1,解得{x ≤-√2或x ≥√2,-2<x <2.所以函数的定义域为(-2,-√2]∪[√2,2). (2)由已知x ∈[-1,2],得2x ∈12,4,故f (x )的定义域为12,4,所以在函数y=f (log 2x )中,有12≤log 2x ≤4,解得√2≤x ≤16,故f (log 2x )的定义域为[√2,16].例3 [思路点拨] (1)根据函数有定义列出不等式组,求得定义域,再对a 分类讨论得a 的范围;(2)分m 等于0和不等于0两种情况分析.(1) B (2) [0,+∞) [解析] (1)函数f (x-a )+f (x+a )的定义域为 [a ,1+a ]∩[-a ,1-a ],当a ≥0时,应有a ≤1-a ,即0≤a ≤12;当a<0时,应有-a ≤1+a ,即-12≤a<0.所以a 的取值范围是-12,12.故选B .(2)当m=0时,y=√8,其定义域为R;当m ≠0时,由定义域为R 可知,mx 2-6mx+9m+8≥0对一切实数x 均成立,于是有{m >0,Δ=(-6m)2-4m(9m +8)≤0,解得m>0.综上可知,实数m 的取值范围为[0,+∞). 强化演练1.C [解析] 因为函数y=f (x )的定义域是[-2,3],所以-2≤2x-1≤3,可得-12≤x ≤2,即y=f (2x-1)的定义域是-12,2,故选C .2.A [解析] 函数y=f (x )的定义域是[0,2],要使函数g (x )有意义,可得{0≤2x ≤2,x -1≠0,解得0≤x<1,故选A .3.(0,1] [解析] 函数的定义域满足{1+1x >0,1-x 2≥0,解得{x >0或x <-1,-1≤x ≤1,∴0<x ≤1,故填(0,1].4.(-∞,-12)∪(12,+∞) [解析] 易知a=0不合题意.当a>0时,必有ax 2+x+a>0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,所以a>12; 当a<0时,必有ax 2+x+a<0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,所以a<-12.所以实数a 的取值范围是-∞,-12∪12,+∞.5.(-∞,-2]∪[12,1) [解析] 由已知得A={x|x<-1或x ≥1},B={x|(x-a-1)(x-2a )<0},由a<1得a+1>2a ,∴B={x|2a<x<a+1}.∵B ⊆A ,∴a+1≤-1或2a ≥1,∴a ≤-2或12≤a<1.∴a 的取值范围为a ≤-2或12≤a<1.例4 [思路点拨] (1)用换元法,令s=3x -1(s>-1),求出f (s )即可;(2)用待定系数法;(3)用构造法,根据已知方程构造含有f (x )和f (1x )的方程组.(1)ln 3x+1(x>-1) (2)12x 2-32x+5 (3)-38√x -18 [解析] (1)令s=3x -1(s>-1),则x=3s+1,所以f (s )=ln3s+1(s>-1),即f (x )=ln3x+1(x>-1).(2)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),由f (0)=5,得c=5,又f (x+1)-f (x )=a (x+1)2+b (x+1)+5-(ax 2+bx+5)=x-1,则2ax+a+b=x-1,所以{2a =1,a +b =-1, 即{a =12,b =-32.所以f (x )=12x 2-32x+5. (3)在f (x )=3√x ·f (1x )+1中,将x 换成1x ,则1x 换成x ,得f (1x )=3√1x ·f (x )+1,将该方程代入已知方程消去f (1x ),得f (x )=-38√x -18.变式题 (1)x 2-1(x ≥1) (2)-12x (x+1) (3)23lg(x+1)+13lg(1-x )(-1<x<1) [解析] (1)令√x +1=t (t ≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f (t )=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,所以f (x )=x 2-1(x ≥1).(2)当-1≤x<0时,0≤x+1<1,由已知得f (x )=12f (x+1)=-12x (x+1).(3)当x ∈(-1,1)时,有2f (x )-f (-x )=lg(x+1)①.将x 换成-x ,则-x 换成x ,得2f (-x )-f (x )=lg(-x+1)②.由①②消去f (-x )得,f (x )=23lg(x+1)+13lg(1-x )(-1<x<1).例5 [思路点拨] (1)先求f (-1),再求f [f (-1)]的值;(2)根据自变量的不同取值选择不同的分段解析式求解.(1)√22 (2)4 [解析] (1)∵函数f (x )={1-2x ,x ≤0,x 12,x >0,∴f (-1)=1-2-1=12,f [f (-1)]=f (12)=(12)12=√22. (2)∵f (3)=f (9)=1+log 69,f (4)=1+log 64,∴f (3)+f (4)=2+log 636=4. 例6 [思路点拨] 分别就自变量在不同区间上分类求解.B [解析] 因为f (x )={2x -2,x ≥0,-x 2+3,x <0,所以若f (a )=2,则当a ≥0时,2a -2=2,解得a=2;当a<0时,-a 2+3=2,得a=-1.综上a 的取值为-1或2.例7 [思路点拨] (1)分a ≤0与a>0讨论求解不等式f (a )>12,得a 的范围;(2)利用分段函数化简,由里及外列出方程求解即可.(1)D (2)2 [解析] (1)当a ≤0时,2a >12,解得-1<a ≤0;当a>0时,lo g 13a>12,解得0<a<√33.∴a ∈(-1,0]∪0,√33,即a ∈-1,√33.(2)易知f (4)=0,则f [f (4)]=f (0)=1+13a 3=113,解得a=2.强化演练1.B [解析] ∵2+log 31<2+log 32<2+log 33,即2<2+log 32<3,∴f (2+log 32)=f (2+log 32+1)=f (3+log 32),又3<3+log 32<4,∴f (3+log 32)=(13)3+log 32=(13)3×(13)log 32=127×(3-1)log 32=127×3-log 32=127×3log 312=127×12=154,∴f (2+log 32)=154.2.B [解析] 由f (0)=2,f (-1)=3可得1+b=2,a -1+b=3,可得a=12,b=1,所以f (x )={log 13x,x >0,(12)x+1,x ≤0,那么f [f (-3)]=f (12)-3+1=f (9)=lo g 139=-2.3.B [解析] 当2-a ≥2,即a ≤0时,22-a-2-1=1,解得a=-1;当2-a<2,即a>0时,-log 2[3-(2-a )]=1,解得a=-12,不符合,舍去.所以a=-1.4.D [解析] ∵函数f (x )={2-2x ,x ≤-1,2x +2,x >-1,且f (a )≥2,∴{a ≤-1,2-2a ≥2或{a >-1,2a +2≥2,即a ≤-1或a ≥0.5.C [解析] 由已知函数和f [f (a )]=2f (a ),得f (a )≥1.若a<1,则3a-1≥1,解得a ≥23,此时23≤a<1;若a≥1,则2a ≥1,解得a ≥0,此时a ≥1.综上可知a ≥23,即a 的取值范围是[23,+∞).【备选理由】例1考查抽象函数的定义域问题;例2利用值域求参数,考查分段函数的图像与性质以及数形结合思想;例3考查分段函数与不等式的问题,体会数形结合思想在解题中的应用.1 [配合例2使用] 已知函数f (3-2x )的定义域为[-1,2],则函数f (x )的定义域为 . [答案] [-1,5][解析] 因为函数f (3-2x )的定义域为[-1,2],所以-1≤x ≤2,所以-4≤-2x ≤2,所以-1≤3-2x ≤5,所以f (x )的定义域为[-1,5].2 [配合例3使用] [2017·重庆二诊] 设函数f (x )={log 2(-x2),x ≤-1,-13x 2+43x +23,x >-1,若f (x )在区间[m ,4]上的值域为[-1,2],则实数m 的取值范围为 . [答案] [-8,-1][解析] 由题意,可以考虑采用数形结合法,作出函数f (x )的图像(如图),当x ≤-1时,函数f (x )=log 2(-x 2)单调递减,且最小值为f (-1)=-1,则令log 2(-x2)=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f (x )=-13x 2+43x+23在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f (2)=2,且f (4)=23<2,f (-1)= -1.综上得所求实数m 的取值范围为[-8,-1].3 [配合例7使用] 设函数f (x )={x 2+x,x <0,-x 2,x ≥0,若f [f (a )]≤2,则实数a 的取值范围是 . [答案] (-∞,√2][解析] 函数f (x )={x 2+x,x <0,-x 2,x ≥0的图像如图所示,由f [f (a )]≤2,可得 f (a )≥-2.当a<0时,f (a )=a 2+a=a+122-14≥-2恒成立;当a ≥0时,f (a )=-a 2≥-2,即a 2≤2,得0≤a ≤√2.则实数a 的取值范围是a ≤√2.第5讲 函数的单调性与最值考试说明 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.考情分析考点 考查方向 考例 考查热度 函数单调性 求函数单调区间、确定函数的单调性2017全国卷Ⅱ8★☆☆单调性 的应用 利用单调性比较大小、求最值,根据单调性确定参数的取值范围、求参数值,利用单调性求解不等式等 2017全国卷Ⅰ5, 2015全国卷Ⅱ12★★☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ] 函数f (x )=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间是 ( ) A .(-∞,-2) B .(-∞,1) C .(1,+∞) D .(4,+∞)[解析] D 函数y=x 2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x 2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x 2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f (x )=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).2.[2017·全国卷Ⅰ] 函数f (x )在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x-2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3][解析] D 因为f (x )为奇函数,所以f (-1)=1,不等式-1≤f (x-2)≤1,即f (1)≤f (x-2)≤f (-1),因为f (x )单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x ≤3,故x 的取值范围为[1,3]. ■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·天津卷] 已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a=g (-log 25.1),b=g (20.8),c=g (3),则a ,b ,c 的大小关系为 ( ) A .a<b<c B .c<b<a C .b<a<c D .b<c<a[解析] C 由函数f (x )为奇函数且在R 上单调递增,可知当x>0时,f (x )>0,∴g (x )=xf (x )为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴c=g (3)>a=g (-log 25.1)=g (log 25.1)>g (2),b=g (20.8)<g (2),∴b<a<c. 2.[2017·北京卷] 已知函数f (x )=3x -(13)x ,则f (x ) ( )A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数D .是偶函数,且在R 上是减函数 [解析] A因为f (-x )=3-x -(13)-x =(13)x -3x =-3x -(13)x =-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为y=3x 为增函数,y=(13)x为减函数,所以f (x )=3x -(13)x为增函数.故选A .3.[2017·山东卷] 若函数e x f (x )(e =2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 ( ) A .f (x )=2-x B .f (x )=x 2 C .f (x )=3-x D .f (x )=cos x [解析] A 令g (x )=e x f (x ).对于A,f (x )的定义域为R,g (x )=e x 2-x =(e 2)x 在R 上单调递增,所以f (x )具有M 性质;对于B,f (x )的定义域为R,g (x )=e x x 2,g'(x )=e x x 2+2e x x=e x (x 2+2x )≥0在R 上不恒成立,所以g (x )在R 上不单调递增,所以f (x )不具有M 性质;对于C,f (x )的定义域为R,g (x )=e x 3-x =(e 3)x 在R 上单调递减,所以f (x )不具有M 性质;对于D,f (x )的定义域为R,g (x )=e x cos x ,g'(x )=e x cos x-e x sin x=e x (cos x-sin x )≥0在R 上不恒成立,所以g (x )在R 上不单调递增,所以f (x )不具有M 性质.故选A . 4.[2016·北京卷] 已知x ,y ∈R,且x>y>0,则 ( ) A .1x -1y >0 B .sin x-sin y>0 C .12x -12y<0 D .ln x+ln y>0[解析] C 选项A 中,因为x>y>0,所以1x <1y ,即1x -1y <0,故结论不成立;选项B 中,当x=5π6,y=π3时,sinx-sin y<0,故结论不成立;选项C 中,函数y=12x是定义在R 上的减函数,因为x>y>0,所以12x <12y ,所以12x -12y<0;选项D 中,当x=e -1,y=e -2时,结论不成立.5.[2017·江苏卷] 已知函数f (x )=x 3-2x+e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数.若f (a-1)+f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是 . [答案] [-1,12][解析] 因为f (-x )=-x 3+2x+e -x -e x =-f (x ),f (0)=0,所以f (x )是奇函数,则f (a-1)+f (2a 2)≤0可化为f (2a 2)≤f (1-a ).又f'(x )=3x 2-2+e x +e -x ≥3x 2-2+2√e x ·e -x =3x 2≥0,所以f (x )在R 上单调递增,则2a 2≤1-a ,即-1≤a ≤12.【课前双基巩固】 知识聚焦1.f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 上升的 下降的2.增函数或减函数 区间D3.f (x )≥M f (x 0)=M 对点演练1.a<12[解析] 当2a-1<0,即a<12时,f (x )是R 上的减函数.2.(2,3] [-3,2] [解析] 由函数f (x )=(x-2)2+5(x ∈[-3,3])的图像即可得到单调区间.3.32 [解析] 函数f (x )=3x+1在[2,5]上是减函数,所以最大值为f (2)=1,最小值为f (5)=12.所以最大值与最小值之和为1+12=32.4.a ≤2 [解析] 因为函数f (x )=|x-a|+1的单调递增区间是[a ,+∞),当f (x )在[2,+∞)上单调递增时,满足[2,+∞)⊆[a ,+∞),所以a ≤2.5.[32,4) [解析]函数f (x )的定义域是(-1,4),u (x )=-x 2+3x+4=-(x -32)2+254,x ∈(-1,4)的单调递减区间为[32,4),∴函数f (x )的单调递减区间为[32,4).6.(-∞,138] [解析] 由题知函数f (x )是R 上的减函数,于是有{a -2<0,(a -2)×2≤(12)2-1,由此解得a ≤138,即实数a 的取值范围是(-∞,138] . 7.[-1,1) [解析] 由条件知{-2≤a +1≤2,-2≤2a ≤2,a +1>2a,解得-1≤a<1.8.(1)a ≤-3 (2) -3 [解析] (1)函数图像的对称轴为直线x=1-a ,由1-a ≥4,得a ≤-3. (2)函数图像的对称轴为直线x=1-a ,由1-a=4,得a=-3. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 直接判断单调性即可,按照单调性的定义证明单调性. 解:该函数在(-1,1)上单调递减.证明如下: 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 12-1-ax 2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 12+ax 2(x 12-1)(x 22-1)=a(x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 12-1)(x 22-1).∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 12-1)(x 22-1)>0.又a>0,∴f (x 1)-f (x 2)>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减.变式题 C [解析] 对于A,在(0,+∞)上单调递减,故A 错;对于B,在(0,+∞)上先减后增,故B 错;对于C,在(0,+∞)上单调递增,故C 对;对于D,在(0,+∞)上单调递减,故D 错.选C .例2 [思路点拨] (1)先求出函数y=x 2-2x-8在y>0时的单调递增区间,再根据复合函数的单调性的性质判断f (x )的单调性;(2)作出函数g (x )的图像,由图像可得单调区间.(1)D (2)[0,1) [解析] (1)函数y=x 2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x 2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x 2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f (x )=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)由题意知g (x )={x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,该函数图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).变式题 (1)B (2)(-∞,2] [解析] (1)令t=2x 2-3x+2,则y=(14)t,由复合函数的单调性易知在(-∞,34]上单调递增,故选B .(2)因为f (x )在R 上单调递增,所以a-1>0,即a>1,因此g (x )的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2].例3 [思路点拨] (1)转化为同底的指数函数、对数函数,依据它们的单调性比较大小;(2)由已知可知f (x )-ln x 为定值,设为t ,则f (x )=ln x+t ,求出t ,再结合函数的单调性分析可得答案. (1)C (2)c>a>b [解析] (1)因为a=log 52<log 5√5=12,b=(32)57>(32)0=1,c=log 73∈(log 7√7,log 77)即c ∈12,1,故b>c>a.故选C .(2)根据题意,对任意的x ∈(0,+∞),都有f [f (x )-ln x ]=e +1,又由f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数,则f (x )-ln x 为定值,设t=f (x )-ln x ,则f (x )=ln x+t.又由f (t )=e +1,即ln t+t=e +1,解得t=e,则f (x )=lnx+e(x>0),则f (x )为增函数.又由(12)13=√123=√146,(13)12=√13=√1276,log 2π>1,则有(13)12<(12)13<log 2π,则有c>a>b.例4 [思路点拨] (1)构造函数,利用单调性把求解的不等式中的函数符号去掉,得出一般的不等式,解该不等式;(2)可判断出f (x )为增函数,于是可将函数不等式转化为常规不等式. (1)D (2)(1,2) [解析] (1)由已知条件知,f (x 1)-x 1<f (x 2)-x 2对任意x 1<x 2恒成立,故函数g (x )=f (x )-x 为R 上的增函数,且g (-3)=f (-3)-(-3)=-1.不等式f (log 12|3x -1|)>lo g 12|3x -1|-1,即f (log 12|3x -1|)-lo g 12|3x -1|>-1,即g (lo g 12|3x -1|)>g (-3),所以lo g 12|3x -1|>-3,得0<|3x -1|<8,解得x<2且x ≠0,故所求不等式的解集为(-∞,0)∪(0,2).(2)因为y=e x ,y=x 3在R 上均为增函数,所以函数f (x )为增函数,所以不等式f (x 2)<f (3x-2)等价于x 2<3x-2,即x 2-3x+2<0⇔1<x<2,故x ∈(1,2).例5 [思路点拨] 变换函数解析式,利用常见函数的单调性确定f (x )的单调性,从而得到函数的最大值和最小值. 4033 [解析] f (x )=2017x+1+20162017x +1+2016sin x=2017x+1+2017-12017x +1+2016sin x=2017-12017x +1+2016sin x.显然该函数在区间-π2,π2上单调递增,故最大值为f π2,最小值为f -π2,所以M+N=fπ2+f -π2=2017-12017π2+1+2016+2017-12017-π2+1-2016=4034-12017π2+1-2017π21+2017π2=4034-1=4033.例6 [思路点拨] 根据一次函数以及指数函数的单调性得到不等式组,解出即可. D [解析] 由题意得{3-a >0,a >1,3-a ≤a,解得32≤a<3,故选D .强化演练1.B [解析] 根据题意可知,函数f (x )在(0,+∞)上单调递减.而1<log 47<log 49=log 23,0<0.20.6<0.20=1,所以log 23>log 47>0.20.6,所以b<a<c.2.(-√5,-2)∪(2,√5) [解析] 因为函数f (x )=ln x+2x 在定义域上单调递增,且f (1)=ln 1+2=2,所以由f (x 2-4)<2得f (x 2-4)<f (1),所以0<x 2-4<1,解得-√5<x<-2或2<x<√5.3.1 [解析] 当x>1时,y=lo g 13x 是减函数,得y<0;当x ≤1时,y=-x 2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1]上单调递增,得y ≤1.综上得f (x )的最大值是1.4.1 [解析] ∵f (1+x )=f (1-x ),∴f (x )的图像关于直线x=1对称,∵函数f (x )=2|x-a|(a ∈R)的图像以直线x=a 为对称轴,∴a=1,∴f (x )在[1,+∞)上单调递增.∵f (x )在[m ,+∞)上单调递增,∴m ≥1,则m 的最小值为1.5.a ≥-12 [解析] 若函数f (x )=ln(ax 2+x )在区间(0,1)上单调递增,则函数g (x )=ax 2+x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0恒成立.当a=0时,g (x )=x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0,符合题意;当a>0时,g (x )图像的对称轴为x=-12a <0,且有g (x )>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增,符合题意;当a<0时,需满足g (x )图像的对称轴x=-12a ≥1,且有g (x )>0,解得a ≥-12,则-12≤a<0.综上,a ≥-12.【备选理由】例1为抽象函数单调性的判断与证明问题,目的是让学生掌握抽象函数单调性的解决方法;例2为利用指数函数、对数函数的单调性比较大小问题;例3为利用分段函数的单调性解决不等式恒成立问题,需要对所给函数的单调性进行判断,进而将所要求解的不等式转化为常规不等式.1 [配合例1使用] [2018·南阳一中月考] 已知x ≠0时,函数f (x )>0,对任意实数x ,y 都有f (xy )=f (x )f (y ),且f (27)=9,当0≤x<1时,f (x )∈[0,1).(1)判断f (x )在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (2)若a ≥0且f (a+1)≤√93,求a 的取值范围. 解:(1)f (x )在[0,+∞)上单调递增.证明如下: 设0≤x 1<x 2,∴0≤x 1x 2<1,f (x 1)=f (x 1x 2·x 2)=f (x1x 2)·f (x 2).∵当0≤x<1时,f (x )∈[0,1),∴f (x1x 2)<1,∴f (x 1)<f (x 2),故f (x )在(0,+∞)上单调递增.(2)∵f (27)=9,又f (3×9)=f (3)·f (9)= f (3)·f (3)·f (3)=[f (3)]3,∴9=[f (3)]3,即f (3)=√93.∵f (a+1)≤√93,∴f (a+1)≤f (3). ∵a ≥0,∴a+1∈[1,+∞),∴a+1≤3, 即a ≤2,又a ≥0,故0≤a ≤2.2 [配合例3使用] [2017·重庆第二外国语学校月考] 设a=(53)16,b=(35)-15,c=ln 23,则a ,b ,c 的大小关系是 ( ) A .a>b>c B .b>a>cC .b>c>aD .a>c>b[解析] B ∵0<a=(53)16<b=(35)-15=(53)15,c=ln 23<ln 1=0,∴b>a>c.3 [配合例4使用] [2017·长安一中质检] 已知f (x )={x 2-4x +3,x ≤0,-x 2-2x +3,x >0,不等式f (x+a )>f (2a-x )在[a ,a+1]上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-2)B .(-∞,0)C .(0,2)D .(-2,0)[解析] A 二次函数y=x 2-4x+3图像的对称轴是直线x=2,∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x 2-4x+3≥3,同样可知函数y=-x 2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,∴-x 2-2x+3<3,∴f (x )在R 上单调递减.∴由f (x+a )>f (2a-x )得到x+a<2a-x ,即2x<a ,∴2x<a 在[a ,a+1]上恒成立,∴2(a+1)<a ,∴a<-2,∴实数a 的取值范围是(-∞,-2).故选A .第6讲 函数的奇偶性与周期性考试说明 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.考情分析考点 考查方向考例考查热度 函数奇偶性的判断 判断给出的函数的奇偶性 2014全国卷Ⅰ3 ★★☆ 函数奇偶性的应用 已知奇偶性求参数值、函数值等2017全国卷Ⅱ14,2017全国卷Ⅰ5,2015全国卷Ⅰ13 ★★☆ 函数周期性及其应用 判断函数的周期、利用周期性求函数值等★☆☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ] 函数f (x )在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x-2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3][解析] D 因为f (x )为奇函数,所以f (-1)=1,不等式-1≤f (x-2)≤1,即f (1)≤f (x-2)≤f (-1),因为f (x )单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x ≤3,故x 的取值范围为[1,3].2.[2014·全国卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .f (x )g (x )是偶函数 B .|f (x )|g (x )是奇函数 C .f (x )|g (x )|是奇函数 D .|f (x )g (x )|是奇函数[解析] C 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C .3.[2017·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=2x 3+x 2,则f (2)= . [答案] 12[解析] 因为函数f (x )为奇函数,所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12. 4.[2015·全国卷Ⅰ] 若函数f (x )=x ln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . [答案] 1[解析] 由f (-x )=f (x )得-x ln(-x+√a +x 2)=x ln(x+√a +x 2),即x [ln(x+√a +x 2)+ln(-x+√a +x 2)]=x ln a=0对定义域内的任意x 恒成立,因为x 不恒为0,所以ln a=0,所以a=1.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题 1.[2017·北京卷] 已知函数f (x )=3x -(13)x ,则f (x ) ()A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数D .是偶函数,且在R 上是减函数[解析] A 因为f (-x )=3-x -(13)-x=(13)x-3x =-3x -(13)x=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为y=3x 为增函数,y=(13)x为减函数,所以f (x )=3x -(13)x 为增函数.故选A .2.[2016·山东卷] 已知函数f (x )的定义域为R .当x<0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x );当x>12时,f x+12=f x-12.则f (6)= ( )A .-2B .-1C .0D .2[解析] D ∵当x>12时,f x+12=f x-12,∴f (x )的周期为1,则f (6)=f (1).又∵当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x ),∴f (1)=-f (-1).又∵当x<0时,f (x )=x 3-1,∴f (-1)=(-1)3-1=-2,∴f (6)=-f (-1)=2.3.[2017·山东卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+4)=f (x-2).若当x ∈[-3,0] 时,f (x )=6-x ,则f (919)= . [答案] 6[解析] 由f (x+4)=f (x-2)可知周期T=6,所以f (919)=f (153×6+1)=f (1),又因为f (x )为偶函数,所以f (1)=f (-1)=6-(-1)=6.4.[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f (x )={x +a,-1≤x <0,|25-x|,0≤x <1,其中a ∈R .若f -52=f 92,则f (5a )的值是 .[答案] -25[解析] 因为f (x )的周期为2,所以f -52=f -12=-12+a ,f92=f12=110,即-12+a=110,所以a=35,故f (5a )=f (3)=f (-1)=-25.5.[2016·四川卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f (x )=4x ,则f-52+f (1)= .[答案] -2[解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x+2).因为f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ), 所以f (1)=f (-1),f (1)=-f (-1),即f (1)=0. 又f (-52)=f (-12)=-f (12),f12=412=2,所以f (-52)=-2,从而f (-52)+f (1)=-2.【课前双基巩固】 知识聚焦1.f (-x )=f (x ) f (-x )=-f (x ) y 轴 原点2.f (x+T )=f (x ) 最小的正数 最小正数 对点演练1.2 [解析] f (x )=x 2-1和f (x )=x 2+cos x 为偶函数.2.减 减 [解析] 根据奇偶函数图像的对称性可得.3.1-√2 [解析] f (-2)=-f (2)=-(√2-1)=1-√2.4.1 [解析] 因为f (x+3)=f (x ),所以f (x )是以3为周期的周期函数,所以f (2017)=f (672×3+1)=f (1)=log 4(12+3)=1.5.奇 [解析] 由{1-x 2>0,|x +3|-3≠0,得-1<x<1且x ≠0,∴函数f (x )的定义域为(-1,0)∪(0,1).∴f (x )=lg(1-x 2)|x+3|-3=lg(1-x 2)x,∴f (-x )=lg(1-x 2)-x =-f (x ),∴f (x )是奇函数.6.①③ [解析] 对于①,f (1x )=1x -x=-f (x ),满足题意;对于②,f (1x )=1x +11x=f (x )≠-f (x ),不满足题意;对于③,f (1x )={ 1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x,1x>1,即f (1x )={1x ,x >1,0,x =1,-x,0<x <1,故f (1x)=-f (x ),满足题意.7.2 [解析] ∵f (x )=-f (x +32),∴f (x+3)=f [(x +32)+32]=-f (x +32)=f (x ),∴f (2017)=f (3×672+1)=f (1)=2.8.{x 2+4x -3,x >0,0,x =0,-x 2+4x +3,x <0 [解析] 设x<0,则-x>0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )2+4(-x )-3]=-x 2+4x+3,由奇函数的定义可知f (0)=0,所以f (x )= {x 2+4x -3,x >0,0,x =0,-x 2+4x +3,x <0.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用函数奇偶性的性质直接判断;(2)对于①②两个函数,先求定义域,再等价化简函数解析式,然后用奇偶性的性质判断,对于③可用图像法判断.(1)C (2)C [解析] (1)因为f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),于是f (-x )·g (-x )=-f (x )g (x ),即f (x )g (x )为奇函数,A 错误;|f (-x )|g (-x )=|f (x )|g (x ),即|f (x )|g (x )为偶函数,B 错误;f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,即f (x )|g (x )|为奇函数,C 正确;|f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|,即|f (x )g (x )|为偶函数,所以D 错误.故选C .(2)①中,易知函数的定义域为{-√2,√2},所以f (x )=0,所以f (-x )=-f (x )且f (-x )=f (x ),所以①既是奇函数又是偶函数;②中,由{1-x 2>0,|x -3|-3≠0得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,所以x-3<0,所以f (x )=ln(1-x 2)-x,验证知f (-x )=-f (x )成立,所以②是奇函数;作出图像(图略),知③是奇函数.故选C .变式题 (1)A (2)D [解析] (1)易知h (x )=f (x )+g (x )的定义域为{x|x ≠0}.因为f (-x )+g (-x )=-x 2-x -1+-x2=-x ·2x 1-2x -x 2=x(1-2x )-x 1-2x-x2=x 2x -1+x2=f (x )+g (x ),所以h (x )=f (x )+g (x )是偶函数.故选A .(2)对于选项A,函数的定义域为R,f (-x )=-x+sin 2(-x )=-(x+sin 2x )=-f (x ),所以f (x )=x+sin 2x 为奇函数;对于选项B,函数的定义域为R,f (-x )=(-x )2-cos(-x )=x 2-cos x=f (x ),所以f (x )=x 2-cos x 为偶函数;对于选项C,函数的定义域为R,f (-x )=3-x -13-x =-3x -13x=-f (x ),所以f (x )=3x -13x 为奇函数;只有f (x )=x 2+tan x 既不是奇函数也不是偶函数.故选D . 例2 [思路点拨] (1)先确定函数f (x )在0,32上的零点情况,再据周期性确定在区间(0,6]上的零点个数;(2)由条件f (x+2)=1-f(x)可得出函数的周期为4,再求f (2018).(1)B (2)A [解析] (1)由f x-34=f x+34得f x+32=f (x ),即函数是周期为32的周期函数.∵当x∈0,32时,f (x )=ln(x 2-x+1),令f (x )=0,得x 2-x+1=1,解得x=1(x=0舍去),又∵函数f (x )的周期为32,∴方程f (x )=0在区间(0,6]上的解有1,52,4,112,共4个.(2) 由f (x+2)=1-f(x),得f (x+4)=1-f(x+2)=f (x ),所以函数f (x )的周期为4,所以f (2018)=f (2).因为f (2+2)=1-f(2),所以f (2)=-1f(4)=-2-√3=-2-√3.故f (2018)=-2-√3.变式题 803 [解析] 依题意,f (1)=f (1+3)=f (4)=3×4-1=11,f (2)=3×2-1=5,f (3)=3×3-1=8,所以f (1)+f (2)+f (3)=24,所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (100)=33[f (1)+f (2)+f (3)]+f (100)=33×24+f (1)=792+11=803.例3 [思路点拨] (1)利用偶函数将求f (-√2)转化为求f (√2);(2)观察函数的结构可整理成含有一个奇函数与一个常函数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值和为零求值.(1)B (2)C [解析] (1)∵f (x )为偶函数,∴f (-√2)=f (√2),又当x>0时,f (x )=log 2x ,∴f (√2)=log 2√2=12,即f (-√2)=12.(2)f (x )=2·(2|x|+1)+x 32|x|+1=2+x 32|x|+1,设g (x )=x 32|x|+1,∵g (-x )=-g (x ),∴g (x )为奇函数,∴g (x )max +g (x )min =0.∵M=f (x )max =2+g (x )max ,m=f (x )min =2+g (x )min ,∴M+m=2+g (x )max +2+g (x )min =4.例4 [思路点拨] (1)函数只有一个零点,所以f (2x 2+1)+f (λ-x )=0有唯一解,即f (2x 2+1)=f (x-λ)有唯一解,再求解;(2)函数为偶函数,所以不等式f (a-2)>0等价为f (|a-2|)>f (2),再据单调性求解.(1)C (2)D [解析] (1)令y=f (2x 2+1)+f (λ-x )=0,因为f (x )是奇函数,所以f (2x 2+1)=-f (λ-x )=f (x-λ).又因为f (x )是R 上的单调函数,所以2x 2+1=x-λ只有一个根,即2x 2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-78.(2)∵偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),∴函数f (x )在[0,+∞)上为增函数,f (2)=0,∴不等式f (a-2)>0等价为f (|a-2|)>f (2),即|a-2|>2,即a-2>2或a-2<-2,解得a>4或a<0.例5 [思路点拨] (1)由f (x )是奇函数且f (x+1)为偶函数,可得出函数是周期为4的周期函数;(2)由题意可得偶函数y=f (x )是周期为4的函数,f (x )=sin |x|是偶函数,作出函数的图像,两函数图像交点的个数即为所求根的个数.(1)B (2)10 [解析] (1)∵f (x )为R 上的奇函数,∴f (0)=0,且有f (x )=-f (-x ),即有f (x+1)=-f (-x-1),又∵f (x+1)为偶函数,∴f (x+1)=f (-x+1),∴f (-x+1)=-f (-x-1),即f (x+1)=-f (x-1),∴f (x+2)=f (x+1+1)=-f (x ),∴f (x+4)=f (x ),∴f (x )是周期为4的周期函数,∴f (2016)+f (2017)=f (504×4)+f (1+504×4)=f (0)+f (1)=0+1=1.(2)∵函数y=f (x )为偶函数,且满足f (x+2)=-f (x ),∴f (x+4)=f (x+2+2)=-f (x+2)=f (x ),∴偶函数y=f (x )是周期为4的函数.由x ∈[0,2]时,f (x )=2-x 2可作出函数f (x )在[-10,10]上的图像,同时作出函数y=sin |x|在[-10,10]上的图像,交点个数即为所求根的个数.数形结合可得交点个数为10.例6 [思路点拨] (1)由函数f (x )是偶函数和周期函数,得出函数在[3,6]上的单调性,再进行判断;(2)由已知得出函数在x ∈0,12时单调递增,且f (x )>0,进而根据奇函数得出x ∈-12,0时的单调情况,再据周期性得出在区间1,32上的情况.(1)B (2)D [解析] (1)依题意知,f (x )是偶函数,且是以6为周期的周期函数.因为当x ∈[0,3]时,f (x )单调递增,所以f (x )在[-3,0]上单调递减.根据函数周期性知,函数f (x )在[3,6]上单调递减.又因为[4,5]⊆[3,6],所以函数f (x )在[4,5]上单调递减.(2)当x ∈0,12时,由f (x )=lo g 12(1-x )可知f (x )单调递增且f (x )>0,又函数为奇函数,所以在区间-12,0上函数也单调递增,且f (x )<0.由f x+32=f (x )知,函数的周期为32,所以在区间1,32上,函数单调递增且f (x )<0.故选D . 强化演练1.B [解析] 由y=f (-x )和y=f (x+2)是偶函数知f (-x )=f (x ),f (x+2)=f (-x+2)=f (x-2),故f (x )=f (x+4),则F (3)=f (3)+f (-3)=2f (3)=2f (-1)=2f (1)=2π3,故选B .2.D [解析] 根据题意,f (x )为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,则f (ln x )<f (2)⇔|ln x|<2,即-2<ln x<2,解得e -2<x<e 2,即x 的取值范围是(e -2,e 2).3.D [解析] 因为f (x )满足f (x-4)=-f (x ),所以f (x-8)=f (x ),所以函数f (x )是以8为周期的周期函数,则f (-25)=f (-1),f (80)=f (0),f (11)=f (3).由f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (x-4)=-f (x ),得。

第七节 函数的图象————————————————————————————————[考纲传真] 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变y＝af(x)的图象．―――――――――――――――――――――→0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a，横坐标不变(4)翻转变换x轴下方部分翻折到上方y＝|f(x)|的图象；①y＝f(x)的图象―――――――――――→x轴及上方部分不变y轴右侧部分翻折到左侧y＝f(|x|)的图象．②y＝f(x)的图象―――――――――――――→原y轴左侧部分去掉，右侧不变1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( )(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．( )(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )①②③④图2­7­1A．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④B [设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙V甲骑＞V乙骑＞V乙跑＞V甲跑，故选B.]跑，依题意3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1D [依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e－x －1.] 4．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )D [∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，故选D.]5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：31222055】(0，＋∞) [在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．](1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. [解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.3分①②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.6分(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.9分③④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.12分[规律方法] 画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．[变式训练1] 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.[解] (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.6分(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图②.12分( )(2)(2015·全国卷Ⅱ)如图2­7­2，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图2­7­2A B C D(1)D (2)B [(1)∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x.又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.(2)当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时， 在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.] [规律方法] 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．[变式训练2] (1)已知函数f (x )的图象如图2­7­3所示，则f (x )的解析式可以是( )图2­7­3A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1 D ．f (x )＝x －1x(2)(2016·河南平顶山二模)函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图2­7­4所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )图2­7­4(1)A (2)C [(1)由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A. (2)由题图可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.]☞角度1已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]☞角度2 确定函数零点的个数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．5 [方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.]☞角度3 求参数的值或取值范围(2016·浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ kx －1，x ＞0，－－x ，x ＜0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)B [根据题意可知，“伙伴点组”的点满足：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x， 即km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1， 可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.]☞角度4 求不等式的解集函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图2­7­5所示，那么不等式f xcos x ＜0的解集为________．图2­7­5⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0. 由f (x )的图象知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x ＜0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f x cos x 为偶函数， 所以f x cos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.] [规律方法] 函数图象应用的常见题型与求解方法(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[思想与方法]1．识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．2．用图：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等．[易错与防范]1．图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错． 2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．课时分层训练(十) 函数的图象A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 的图象上所有的点( ) A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度B [因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象，故B正确．]2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )【导学号：31222056】A B C DC [出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.]3．(2016·广西桂林高考一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )A B C DB [由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x>1时，y>0，故选B.]4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(0,1]D [作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：由图可知k∈(0,1]，故选D.]5．(2017·洛阳模拟)若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是( )A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f x，得0≤x <1.由f (x )为偶函数．结合图象(略)知f (x )<0的解集为－1<x <1.所以f (x －1)<0⇔－1<x －1<1，即0<x <2.] 二、填空题6．已知函数f (x )的图象如图2­7­6所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________. 【导学号：31222057】图2­7­6(2,8] [当f (x )＞0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．]7．如图2­7­7，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图2­7­7f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0.]8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－1，＋∞) [如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5].(1)在如图2­7­8所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；图2­7­8(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图象如图所示．4分(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5].8分 (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.12分 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图象为：4分(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.8分(3)由f (x )的图象知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]2．已知函数f (x )＝若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________．【导学号：31222058】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ [对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|. 因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.]3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，3分∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.5分(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2].7分 ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.9分令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值范围为[7，＋∞).12分。

第九节 函数模型及其应用———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝k x＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ＞0，b ≠1，a ≠0)． (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a ＞0，a ≠1，m ≠0)． (6)幂函数模型：y ＝a ·x n＋b (a ≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x 0，使ax 0＜x n0＜log a x 0.( )(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )＜f (x )＜g (x )．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )A ．100只B ．200只C ．300只D ．400只B [由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 3 9＝200.]3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y 2C ．y ＝12(x 2－1)D ．y ＝2.61cos xB [由表格知当x ＝3时，y ＝1.59，而A 中y ＝23＝8，不合要求，B 中y ＝log 23∈(1,2)，C 中y ＝12(32－1)＝4，不合要求，D 中y ＝2.61cos 3＜0，不合要求，故选B.]4．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( ) 【导学号：31222069】B [由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B.]5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．＋p＋q－1 [设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝＋p＋q－1.](1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )A B C D(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P 运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )【导学号：31222070】A B C D(1)A (2)D [(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.][规律方法]判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．[变式训练1] 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )D [y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A ，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B ，故选D.]其关系如图2­9­1①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2­9­1②.(注：利润和投资单位：万元)①② 图2­9­1(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解] (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0).3分 (2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6， 所以总利润y ＝8.25万元.5分②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.7分令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，9分此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点： (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．[变式训练2] (2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋Bx －A ，x ＞A .已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元A [根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12x －，x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.]公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.(1)B (2)9 [(1)设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．(2)设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋x －＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x ＞8.当x ＝8时，y ＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6，得x ＝9.][规律方法] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f (x )＝x ＋a x(a ＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解． 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．[变式训练3] (2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．2 500 [L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．][思想与方法]1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．[易错与防范]1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．课时分层训练(十二) 函数模型及其应用A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：【导学号：31222071】则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD [根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A．118元B．105元C．106元D．108元D [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108，故选D.]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2­9­2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. 【导学号：31222072】图2­9­2给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )A ．85元B ．90元C ．95元D ．100元C [设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大．]5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]二、填空题6．在如图2­9­3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.【导学号：31222073】图2­9­320 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)8 [设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]8．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．24 [由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln 192.又∵48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48192＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e33k ＋ln192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.]三、解答题9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． [解] (1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，2分 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).5分(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2x ＋8003x ＋5－10＝70(万元)，7分 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立，10分所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元.12分 10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N *)，2分 飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－x －，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.5分(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x －10x －15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－x －2＋21 000，30＜x ≤75.8分因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数， 故当x ＝30时，S 取最大值12 000元， 又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上， 当x ＝60时，取得最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是( ) A.12B.14C ．2 D.18A [由题目可知加密密钥y ＝kx 3是一个幂函数型，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，即2＝k ×43，解得k ＝243＝132.故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，则1256＝132x 3，即x 3＝18，解得x ＝12.] 2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x 小时后，病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个. 【导学号：31222074】y ＝4x 1 024 [设原有1个病毒，经过1个30分钟有2＝21个病毒；经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；……经过60x 30个30分钟有22x ＝4x 个病毒， ∴病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为y ＝4x ，∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．]3．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围．[解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，2分 令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52， 即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，∴2t＝2，即t ＝1，∴经过1 min ，物体的温度为5 ℃.5分(2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立，即m ·2t ＋22t ≥2恒成立， 亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立.7分 令12t ＝x ，则0<x ≤1， ∴m ≥2(x －x 2).10分∵x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，∴m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.12分。