最速下降法.

最速下降法姓名：沈东东 班级：研1404 学号：1415033005一、最速下降法的原理目标函数:(1)n f R R n →>在决策变量的当前点()k n x R ∈处的一阶Taylor 展开式为()()()()()()()k k k T f x f x g x δδοδ+=++式中，()()k n g x R ∈为f 在点()k x 处的梯度向量。

当扰动量n R δ∈充分小时，有()()()()()()k k k T f x f x g x δδ+≈+设新的迭代点为(1)()k k x x δ+=+，于是得到(1)()()()()()k k k T f x f x g x δ+-≈为了使(1)k x +处的目标函数值比()k x 处有所下降，需要满足()()0k T g x δ<此外，梯度向量()()k g x 和扰动量δ的内积可以表示为()()()()cos k T k g x g x δδθ=式中，θ为两向量之间的夹角。

若要使目标函数值的下降量尽可能大，可知δ的方向应该为梯度方向的负方向，即cos 1θ=-。

函数f 在点()k x 处的负梯度方向称为该点的最速下降方向。

在每次迭代时都取最速下降方向作为搜索方向的方法就称为最速下降法。

二、最速下降法的特点1.若()k x 不是极小点，则f 在点()k x 处的最速下降方向总是下降方向。

2.如果每次迭代时都用精确搜索方法得到最佳步长作为搜索步长，则寻优过程中相邻的最速下降方向是正交的。

3最速下降法产生的迭代点序列在一定条件下是线性收敛的，其收敛性质与极小点*x 处的Hesse 矩阵有关。

三、最速下降法的计算步骤最速下降法的计算步骤如下：步骤1：已知待求问题的目标函数()f x ，选择初始点(0)x ，并设定精度要求tol ，令:0k =。

步骤2：计算()f x 在点()k x 处的梯度向量()()k g x ，得到最速下降方向()()()k k d g x =-。

最速下降法（Steepest Descent Method）是一种数值优化算法，用于求解无约束优化问题的最小值。

下面是最速下降法的一般解题步骤：
1.定义目标函数：首先，需要明确要优化的目标函数。

这个函数通常表示为f(x)，其中
x 是优化变量。

2.初始化起始点：选择一个合适的起始点x0，作为最速下降法的初始点。

3.计算梯度：计算目标函数在当前点的梯度，即∇f(x)。

这可以通过对目标函数进行偏
导数计算得到。

4.确定搜索方向：将梯度反向取负作为搜索方向d，即d = -∇f(x)。

5.确定步长：确定沿着搜索方向移动的步长，也称为学习率或步长因子。

常见的选择
方法有固定步长、线性搜索和精确线搜索等。

6.更新当前点：根据步长和搜索方向，更新当前点x，即x = x + αd，其中α 表示步
长。

7.判断终止条件：判断是否满足终止条件，可以是达到预定的迭代次数、目标函数值
变化很小或梯度变化很小等。

8.若不满足终止条件，则返回第3步，重新计算梯度，并重复3-7步骤，直到满足终
止条件。

最速下降法的关键在于选择合适的步长和搜索方向。

步长过大可能导致无法收敛，步长过小可能导致收敛速度慢。

搜索方向的选择应该保证在当前点能够使目标函数值下降最快。

需要注意的是，最速下降法可能会陷入局部最小值，而无法达到全局最小值。

为了克服这个问题，可以考虑使用其他优化算法，如共轭梯度法、牛顿法等。

最速下降法是一种常用的优化算法，可以用于求解多元函数的极小值。

在Matlab中，我们可以通过编写程序来实现最速下降法求取函数在给定范围内的极小值。

本文将围绕最速下降法在Matlab中的实现展开讨论，包括算法原理、程序编写、实例演示等内容。

一、最速下降法的原理及步骤最速下降法是一种基于梯度下降的优化算法，其原理是通过沿着函数梯度的负方向不断迭代，来逼近函数的极小值点。

其基本步骤如下：1. 初始化：选择初始点x0，设定迭代终止条件。

2. 梯度计算：计算当前点的梯度值∇f(xk)。

3. 方向选择：选择负梯度方向p_k=-∇f(xk)。

4. 步长确定：求解使得f(xk+α_pk)最小化的步长αk。

5. 迭代更新：更新迭代点xk+1=xk+αkp_k，并检查迭代终止条件。

二、最速下降法在Matlab中的实现在Matlab中，我们可以通过编写程序来实现最速下降法。

以下是一个简单的最速下降法求解函数极小值的Matlab程序示例：```matlabfunction [x, fval, exitflag, output] = steepestdescent(fun, x0, options)fun为目标函数句柄，x0为初始点，options为优化选项[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, x0, options);end```以上代码中，我们使用了Matlab内置的优化函数fminunc来实现最速下降法。

其中fun为目标函数句柄，x0为初始点，options为优化选项，x为最优解，fval为最优值，exitflag为退出标志，output为优化输出。

三、实例演示下面我们以一个简单的二元函数为例，演示最速下降法在Matlab中的实现过程。

假设我们要求解的目标函数为f(x, y) = x^2 + y^2，且x, y∈[0, 2]。

我们可以通过编写如下Matlab程序来实现最速下降法的求解：```matlabfun = (x) x^2 + y^2; 定义目标函数x0 = [1, 1]; 设置初始点options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton'); 设置优化选项[x, fval, exitflag, output] = steepestdescent(fun, x0, options); 调用最速下降法disp(['最优解为：', num2str(x)]);disp(['最优值为：', num2str(fval)]);```通过以上程序，我们可以得到最优解为x=[0, 0]，最优值为fval=0，这即为目标函数在给定范围内的极小值点及极小值。

一、最速下降法基本原理(一)无约束问题的最优性条件无约束问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依据，为此我们有以下几个定理。

定理1 设f :1n R R →在点nx R ∈处可微。

若存在n p R ∈，使()0T f x p ∇<则向量p 是f 在点x 处的下降方向。

定理2 设1:nf R R →在点n x R *∈处可微。

若x *是无约束问题的局部最优解，则()0f x *∇=由数学分析中我们已经知道，使()0f x ∇=的点x 为函数f 的驻点或平稳点。

函数f 的一个驻点可以是极小点；也可以是极大点；甚至也可能既不是极小点也不是极大点，此时称它为函数f 的鞍点。

以上定理告诉我们，x *是无约束问题的的局部最优解的必要条件是：x *是其目标函数f 的驻点。

现给出无约束问题局部最优解的充分条件。

定理3 设1:nf R R →在点nx R *∈处的Hesse 矩阵2()f x *∇存在。

若()0f x *∇=，并且2()f x *∇正定则x *是无约束问题的严格局部最优解。

一般而言，无约束问题的目标函数的驻点不一定是无约束问题的最优解。

但对于其目标函数是凸函数的无约束凸规划，下面定理证明了，它的目标函数的驻点就是它的整体最优解。

定理4 设1:nf R R →，n x R *∈，f 是nR 上的可微凸函数。

若有()0f x *∇=则x *是无约束问题的整体最优解。

(二)最速下降法的基本思想和迭代步骤最速下降法又称为梯度法，是1847年由著名数学家Cauchy 给出的。

他是解析法中最古老的一种，其他解析方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是最优化方法的基础。

设无约束问题中的目标函数1:nf R R →一阶连续可微。

最速下降法的基本思想是：从当前点k x 出发，取函数()f x 在点kx 处下降最快的方向作为我们的搜索方向kp .由()f x 的Taylor 展式知()()()(k k k k T k k f x f x tp t f x p o tp -+=-∇+‖‖)略去t 的高阶无穷小项不计，可见取kp =()kf x -∇时，函数值下降得最多。

最速下降法的基本思路最速下降法是一种求解无约束优化问题的迭代算法，其基本思路是从当前点出发，沿着当前点到最优解的方向进行移动，并以一定的步长进行迭代更新，直到达到最优解或者满足一定的停止准则。

本文将从以下几个方面详细介绍最速下降法的基本思路。

一、最速下降法的数学模型在介绍最速下降法的基本思路之前，我们先来看看最速下降法所要求解的数学模型。

对于一个无约束优化问题：min f(x)，x∈R^n其中f(x)为目标函数，x为自变量向量。

我们希望求出目标函数的全局最小值或局部最小值。

二、梯度和梯度方向在介绍最速下降法的基本思路之前，我们需要先了解两个概念：梯度和梯度方向。

1、梯度对于一个可微函数f(x)，在点x处，它的梯度定义为：grad f(x)=[∂f/∂x1, ∂f/∂x2, …, ∂f/∂xn]T其中T表示矩阵转置。

梯度是一个向量，它指向函数在该点上升最快的方向，其模长表示该方向上函数增加的速率。

2、梯度方向对于一个可微函数f(x)，在点x处，它的梯度方向定义为：-df/dx=-(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, …, ∂f/∂xn)T梯度方向是一个向量，它指向函数在该点下降最快的方向，其模长表示该方向上函数减少的速率。

三、最速下降法的基本思路有了梯度和梯度方向的概念之后，我们就可以来介绍最速下降法的基本思路了。

最速下降法是一种基于负梯度方向进行迭代更新的优化算法。

具体来说，它的基本思路可以分为以下几个步骤：1、初始化首先需要选择一个初始点x0作为起始点。

2、计算负梯度在当前点xk处计算目标函数f(x)的负梯度-df/dx，并将其作为移动方向。

3、确定步长确定一个合适的步长αk，使得目标函数沿着移动方向能够有足够大的下降。

4、迭代更新根据当前点和移动方向以及步长进行迭代更新：xk+1 = xk + αk*(-df/dx)5、停止准则判断是否满足停止准则，如果满足，则停止迭代；否则返回步骤2。

四、最速下降法的收敛性最速下降法是一种保证收敛的优化算法，但是其收敛速度较慢。

数学软件与实验结课作业------最速下降法班级：071111学号：07111008 07111012 07111057姓名：李咏邹仁朋宋郝开摘要最速下降法又称梯度法，早先求解无约束多元函数极值的数值方法，是1847年由著名数学家Cauchy给出的，它是解析法中最古老的一种，是最优化方法的基础。

它工作量较少，且储存变量不多，初始点要求也不高，但效率不高。

最速下降法多用来解觉n元函数的无约束非线性规划问题。

利用负梯度方向来决定每次迭代的新的搜索方向，使得每次迭代能使待优化的目标函数逐步减小，从而最终找到最优解。

最速下降法的基本思想是：从当前点x k出发，取函数f(x)在点x k 处下降最快的方向作为我们的搜索方向p k，由f(x)的Taylor 展式知(x k) - f (x k +t p k) = -tÑf (x k)T p k+ o‖( t p k‖)，略去t的高阶无穷小项不计，可见取p k= -Ñf (x k)时，函数值下降得最多。

从而，构造出最速下降法的迭代步骤求解。

最速下降法的一种简单形式是：x(k+1)=x(k)-a*g(k),其中a称为学习速率，可以是较小的常数。

g（k）是x(k)的梯度。

一、问题描述求解最优化问题是通常采用两种方法：1.解析解法——利用函数的导数构造迭代公式使之收敛到极值点的方法；2.直接解法——根据数学原理，用尽可能少的计算量直接比较函数值的大小，来确定函数极值的方法。

在最优化计算方法中，要求解12(,,,)n y f x x x = 的局部最小值，选用解析解法，采用如下的方法进行迭代计算：先给出初始点000012(,,,)n x x x =x ，然后根据其梯 度方向0()f ∇x ，计算一元函数0010()min (())y f f λλλ≥=-⋅∇x x ，并得到1001()f λ=-⋅∇x x x 。

如此反复迭代，最终收敛于局部最优点。

实现该算法。